Professor • Adriano Diniz
Aluno (a): _____________________________________
01
14/02/2013
Matemática
3.2) Complementar de um conjunto em relação ao conjunto
Teoria dos conjuntos
universo: CUA= A= A C= U − A
Conjunto vazio é o que não tem elementos.
Indica-se por: { } ou Ǿ
U
A
Conjunto unitário é aquele que tem um único elemento.
Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem todos os
elementos com os quais estaremos trabalhando.
Indica-se por U.
Subconjunto
A ⊂ B ⇒ ∀x , x ∈ A ⇒ x ∈ B
Número de elementos da união de dois conjuntos
B
A
A
B
U
Conjuntos iguais: A =B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A
Conjunto das partes: Dado um conjunto A, o conjunto das partes de
A é o conjunto P(A), formado por todos os subconjuntos de A.
Número de elementos do conjunto P(A): n P ( A )  =2n
n( A ∪ B )= n( A ) + n(B ) − n( A ∩ B )
Operações com conjuntos
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 ) União: A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ou x ∈ B}
a
A
A
B
01.
A
B
B
2a) Intersecção: A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A e x ∈ B}
A
B
A
A
B
B
(PUC-RIO/2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos
quais:
- 96 eram brasileiros,
- 64 eram homens,
- 47 eram fumantes,
- 51 eram homens brasileiros,
- 25 eram homens fumantes,
- 36 eram brasileiros fumantes,
- 20 eram homens brasileiros fumantes.
Calcule:
a)
o número de mulheres brasileiras não fumantes;
b)
o número de homens fumantes não brasileiros;
c)
o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
a
3 ) Diferença: A − B = {x ∈ R / x ∈ A e x ∉ B}
A
B
A
A
B
B
3.1) Complementar de um conjunto em relação a outro: CBA= A − B ,
com B ⊂ A
A
B
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02.
(UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos
Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre
as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao
seguinte resultado:
•
23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
•
23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
•
15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
•
6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
•
5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu,
por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto
dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos,
evidentemente, A  B = Ø .
Concluímos que o número n de alunos desta turma é
a)
49
b)
50
c)
47
d)
45
e)
46
1
03.
(PAIES) Uma fábrica de bebidas encomendou uma pesquisa a
respeito da aceitação de três de seus produtos, os
refrigerantes A, B e C. Dos 40.000 entrevistados, os resultados
foram os seguintes:
•
7000 pessoas tomam os refrigerantes A e B.
•
8000 pessoas tomam os refrigerantes B e C.
•
7000 pessoas tomam os refrigerantes A e C.
•
19000 pessoas tomam o refrigerante A.
•
8000 pessoas tomam apenas o refrigerante A.
•
18000 pessoas tomam o refrigerante B.
Com base nestas informações, marque para as alternativas
abaixo (V) verdadeira, (F) falsa ou (SO) sem opção.
01. 8000 pessoas tomam somente o refrigerante B.
02. 3000 pessoas tomam os refrigerantes A, B e C.
03. 8000 pessoas não tomam nenhum desses refrigerantes
ou tomam somente o refrigerante C.
04. Se apenas 800 pessoas não tomam qualquer um desses
refrigerantes, então, podemos afirmar que exatamente
9200 pessoas tomam apenas o refrigerante C.
04.
(UFOP-MG) Três frutas são consumidas por um grupo de 400
pessoas: laranja, banana e maçã. Dessas pessoas, 185
consomem laranja, 125 consomem laranja e banana, 130
consomem banana e maçã, 120 consomem laranja e maçã e
100 consomem laranja, banana e maçã. O número de pessoas
que consomem banana é igual ao número de pessoas que
consomem maçã.
O número de pessoas que consomem maçã e não consomem
laranja é de:
a)
95
b)
125
c)
195
d)
245
05.
(UFPA) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio,
acerca das disciplinas português, geografia e história,
constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de
geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e
geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de
história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O
número de alunos que não gosta de nenhuma dessas
disciplinas é
a)
0
b)
5
c)
10
d)
15
e)
20
06.
(UNIFEI-MG) Dos alunos de uma escola infantil, 60 são
meninas, 37 crianças são loiras, 20 meninos são não loiros e 13
meninas são loiras. Quantos alunos existem nessa escola?
a)
60
b)
86
c)
104
d)
130
07.
08.
(UFU-MG) Em uma pesquisa sobre a ocorrência dos tipos
sanguíneos A, B, AB e O realizada com 1200 pessoas,
constatou-se que 12% têm sangue tipo A, 62% não têm sangue
tipo B e 83% não têm sangue tipo AB.
Como cada indivíduo possui um único tipo sanguíneo, então o
número de pessoas que têm sangue tipo O é:
a)
720
b)
180
c)
396
d)
465
(UEL-PR) Um instituto de pesquisas entrevistou 1.000
indivíduos, perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e B.
Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o partido A; que 500
pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas não tem
rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam os dois
partidos é:
a)
120 pessoas
b)
200 pessoas
c)
250 pessoas
d)
300 pessoas
e)
800 pessoas
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09.
(PUC-MG) Em um grupo de 60 pessoas residentes em certo
município, há 28 que trabalham por conta própria, 26 que
trabalham com carteira assinada e 15 que têm esses dois tipos
de trabalho. O número de pessoas desse grupo que não
trabalham por conta própria e nem trabalham com carteira
assinada é:
a)
21
b)
23
c)
25
d)
27
10.
(FUVEST-SP) Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caia
pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3
tardes sem chuvas. Quantos dias durou a viagem:
a)
6
b)
7
c)
8
d)
9
e)
10
11.
(UFU-MG) João fez um curso de verão com carga horária de 21
horas aula, sendo que nos dias em que tinha aula, João tinha
somente 1 hora aula. Quantos dias durou o curso, sabendo que
as aulas ocorriam exclusivamente no período da manhã ou no
período da tarde e houve 15 tardes e 16 manhãs sem aula
durante o referido curso?
a)
21
b)
26
c)
31
d)
36
12.
(PUC-GO) Em uma festa para 120 convidados, três tipos de
bebidas são oferecidas, Refrigerante, Cerveja e Água. Sabe-se
que entre os convidados 20% não tomam cerveja e nem
refrigerante e 50 tomam cerveja, então, quantos convidados
exatamente bebem refrigerante mas não bebem cerveja?
13.
(UFCampina Grande-PB) Uma escola de Campina Grande abriu
inscrições para aulas de reforço nas disciplinas Matemática,
Física e Química do 2º ano do Ensino Médio, sem que houvesse
coincidência de horários, de modo que permitisse a inscrição
simultânea em mais de uma dessas três disciplinas. Analisando
o resultado final das inscrições, o coordenador pedagógico
constatou:
•
Dos 62 alunos inscritos para as aulas de Física, 22
inscreveram-se exclusivamente para essas aulas;
•
38 alunos se inscreveram para as aulas de Matemática;
•
26 alunos se inscreveram para as aulas de Química;
•
Nenhum aluno se inscreveu simultaneamente para as
aulas de Matemática e de Química;
•
O número de alunos inscritos exclusivamente para as
aulas de Matemática é o dobro do número de alunos
inscritos exclusivamente para as aulas de Química.
O número de alunos inscritos simultaneamente para as aulas
de Matemática e de Física é
a)
26
b)
20
c)
18
d)
24
e)
22
14.
(UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais
fabricadas pela Nascebem S. A. foi enviada para a fiscalização
sanitária.
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas,
por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74
foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número
menor de pílulas que o especificado.
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram
reprovadas em ambos os testes.
Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
15.
(UESC-BA) Analisando-se a parte hachurada representada no
diagrama e as afirmações
2
Observação: Cc ={x ∈ U: x ∉ C}
C
c
C
a)
A ∪ B e(A ∪ B)
C
c
b)
A ∪ B e ( A ∩ B )C
C
c
C
c)
A ∩ B e(A ∩ B)
C
c
d)
A ∩ B e ( A ∪ B )C
I.
A ∩ (B ∪ C)
II.
A ∩ (B ∩ C)
III.
A ∩ (B ∪ C)
IV.
A ∩ (B ∩ C)
pode-se concluir que a alternativa correta é a
01. I
02. III
03. IV
04. I e III
05. II e IV
16.
(UFRJ-RJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três
modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum
associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes
dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as
inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só
farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de
17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as
aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as
aulas de tênis. Quantos associados se inscreveram
simultaneamente para as aulas de futebol e natação?
20.
(UESPI) Uma pesquisa em um supermercado, sobre o consumo
das marcas de biscoitos A, B e C, revelou que, entre 300
consumidores:
•
115 compram a marca A,
•
113 compram a marca B,
•
127 compram a marca C,
•
15 compram as três marcas,
•
23 compram as marcas A e B,
•
22 compram as marcas A e C
•
25 compram as marcas B e C.
(FGV-SP) Considere as afirmações a respeito da parte em
destaque do diagrama seguinte:
I.
A ∩ (B ∪ C)
II.
A ∩ (B ∩ C)
III.
A ∩ (B ∪ C)
IV.
A ∩ (B ∩ C)
A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são):
a)
I
b)
III
c)
I e II
d)
II e III
e)
II e IV
17.
19.
Considerando estas informações, assinale a alternativa
incorreta:
a)
Todos os entrevistados compram ao menos uma das
marcas A, B ou C.
b)
Duzentos e sessenta entrevistados compram exatamente
uma das marcas A, B ou C.
c)
Existem 173 entrevistados que compram a marca A ou a
B, mas não compram a marca C.
d)
Existem 35 entrevistados que compram exatamente
duas das marcas.
e)
Cento e quinze entrevistados compram a marca A.
21.
(UDESC SC/2011) O Festival de Dança de Joinville é
considerado o maior do mundo pelo Guinnes Book of Records
de 2005. Desde 1998, este festival é realizado no Centreventos
Cau Hansen, que tem capacidade para 4200 pessoas por noite.
Suponha que no 28º Festival de Dança, realizado em julho de
2010, houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes
modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A noite da dança de
rua teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram
5% dos ingressos; e a noite do ballet teve 90% dos ingressos
disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas costumam
prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700
pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz; 1610 assistiram ao
ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105
prestigiaram as três modalidades de dança. Se todas as pessoas
que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s)
apresentação(ões), então o número total de pessoas distintas
que assistiu a pelo menos uma das três modalidades
anteriormente mencionadas foi:
a)
9385.
b)
9070.
c)
9595.
d)
6275.
e)
6905.
22.
(UFG GO/2011) Os tipos sanguíneos no sistema ABO são
determinados de acordo com a presença de certos tipos de
antígenos na superfície das hemácias. Um indivíduo tem
(UFFeiraSantana-BA) O diagrama representa o conjunto
A
C
a)
b)
c)
d)
e)
18.
B
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(B ∩ C) ∪ (B ∩ A)
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
B ∪ (A ∩ C)
C ∩ (A ∪ B)
(UFU-MG) Chamando de U o conjunto formado por todas as
pessoas que moram em Uberlândia, de A o subconjunto de U
formado pelas pessoas do sexo masculino e de B o subconjunto
de U formado pelas pessoas que nasceram em Uberlândia,
então duas maneiras equivalentes de representar o conjunto
de pessoas do sexo feminino que moram em Uberlândia, mas
que nasceram em outra cidade são:
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3
sangue tipo AB, por exemplo, se tiver antígenos A e B; tipo A se
tiver apenas o antígeno A e tipo O se não tiver o antígeno A e
nem o B. Em um grupo com 100 pessoas, verificou-se que 83
possuem o antígeno A e 69, o antígeno B.Considerando esse
grupo,
a)
determine quantas pessoas, no máximo, podem ter
sangue tipo O;
b)
demonstre que mais da metade das pessoas tem sangue
tipo AB.
23.
(UFT TO/2010) Foi aplicado um teste contendo três questões
para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo representa a
porcentagem de acerto dos alunos por questão.
17.
C
18.
D
19.
--- associados
20.
D
21.
A
22.
a) 17
b) Dos 69 que possuem o antígeno B, no máximo 17 não possuem o
antígeno A, visto que 83 dos 100 indivíduos possuem o antígeno A.
Portanto, pelo menos 52 pessoas do grupo possuem sangue AB.
23.
C
Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e
8 alunos não acertaram nenhuma. O número de alunos que
acertaram as três questões é:
a)
44
b)
40
c)
12
d)
20
e)
30
GABARITO
01. a) 29
b) 5
c) 127
02.
B
03.
FVFV
04.
B
05.
A
06.
C
07.
C
08.
D
09.
A
10.
B
11.
B
12.
46
13.
E
14.
48
15.
03
16.
D
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