caderno do
ensino fundamental
a
8 - SÉRIE
volume 1 - 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretária da Educação
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária-Adjunta
Iara Gloria Areias Prado
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do Interior
Aparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos
Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane
Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José
Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires
Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da
Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design
Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
S239c
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a série, volume 1
/ Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado,
Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.– São Paulo :
SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-185-7
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria
Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério
Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.
CDU: 373.3:51
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números
10
Situação de Aprendizagem 2 – Números Reais e as Frações Contínuas
22
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, álgebra e geometria com a Reta Real
31
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza
42
Orientações para Recuperação
49
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para compreensão
do tema 50
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
52
São Paulo Faz ESCola – uMa ProPoSta
CurriCular Para o EStado
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
5
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
FiCHa do CadErno
Conjuntos numéricos: dos naturais aos irracionais
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Fundamental
8a
1o bimestre de 2009
Conjuntos e diagramas
Conjuntos numéricos
Aproximações para os irracionais
Reta real
Notação científica
7
oriEntação GEral SobrE oS CadErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se à
forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao
longo dos Cadernos de cada um dos bimestres.
Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos,
as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo
com o número de aulas disponíveis por semana,
o professor explorará cada assunto com mais ou
menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma
escala adequada para o tratamento do mesmo.
A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades
pode ser estendido para mais de uma semana,
enquanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que somente o
professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos
8
pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma
das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem
(1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de
abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades
são independentes e podem ser exploradas pelos
professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos
Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a
expectativa é de que a forma de abordagem dos
temas seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em
sintonia com a forma de abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para o
enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável ao
desenvolvimento das competências esperadas no
presente bimestre, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.
Conteúdos básicos do bimestre
O tema central deste Caderno são os conjuntos numéricos e as suas características e
propriedades. Os números constituem um eixo
Matemática – 8a série, 1o bimestre
importante da Matemática e, neste momento,
apresentaremos propostas para que se possa
estudá-los em articulação com outros eixos,
como a geometria e a álgebra. Na 8a série os
alunos devem sistematizar o conhecimento
adquirido ao longo do Ensino Fundamental,
retomando as principais ideias associadas aos
conjuntos numéricos.
O foco da Situação de aprendizagem 1 é a
sistematização dos conjuntos numéricos, dos
naturais aos irracionais. Optamos por tratar
desse assunto a partir da exploração da ideia
de conjunto, a qual desempenha um papel importante dentro do conhecimento matemático.
Propomos a exploração de alguns problemas
envolvendo conjuntos que podem ser resolvidos
por meio de diagramas. A noção de inclusão,
reunião, interseção, entre outras, aparece com
naturalidade nas atividades propostas. Em seguida, apresentamos a ampliação dos conjuntos
numéricos, partindo dos naturais e chegando aos
irracionais, enfatizando não apenas as características de cada conjunto, mas a possibilidade de
realização das quatro operações sem restrições.
Problematizamos, também, a existência dos segmentos incomensuráveis, que deram origem ao
conjunto dos números irracionais.
Na Situação de aprendizagem 2 retomamos a ideia da representação dos racionais e
dos irracionais e daremos um passo além com
a apresentação de uma nova forma de escrita
dos números reais, que são as frações contínuas.
A representação dos números reais como frações contínuas permite o trabalho com a ideia
de aproximação de uma forma mais natural e
precisa do que aquela que poderíamos fazer por
meio das representações decimais dos números.
Na Situação de aprendizagem 3 ampliamos
a ideia dos conjuntos numéricos trabalhados na
Situação de Aprendizagem 1, agora do ponto
de vista do “preenchimento” da reta real. Essa
situação constitui um momento importante de
articulação entre os eixos da aritmética, da álgebra e da geometria, porque discutiremos números, suas representações e sua localização na
reta real com o uso dos instrumentos clássicos
de desenho, que são a régua e o compasso.
Por fim, na Situação de aprendizagem 4, tratamos da notação científica e da ideia de ordem de
grandeza. Retomando as propriedades das operações com potências, que foram contempladas anteriormente no Caderno da 7a série, introduzimos
formalmente a notação científica e apresentamos
algumas atividades envolvendo a representação
e as operações com números nesse formato. Em
seguida, apresentamos uma das ideias mais importantes para o trabalho com números grandes
ou pequenos e na comparação entre grandezas
físicas: a ideia de ordem de grandeza.
Quadro Geral de conteúdos do 1o bimestre
da 8a Série do Ensino Fundamental
unidade 1 – Conjuntos e diagramas.
unidade 2 – Resolução de problemas por
meio de diagramas.
unidade 3 – Classificação dos conjuntos
numéricos.
unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal.
unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.
unidade 6 – Representações na reta real.
unidade 7 – Construções na reta real.
unidade 8 – Notação científica e ordem
de grandeza.
9
SituaçõES dE aPrEndizaGEM
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
CONjuNtOS E NúMEROS
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Eüler); operações e relações entre conjuntos; classificação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver
problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os conjuntos: interseção, reunião, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com diversos tipos de números: naturais, frações, decimais, negativos,
etc. A 8a série é o momento ideal para se fazer
uma síntese desses números, retomando seus
significados e organizando uma classificação.
Antes de classificar os conjuntos numéricos,
sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto
e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada
à resolução de problemas e à representação por
diagramas, e menos à linguagem simbólica, que
será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais importantes na Matemática. A chamada “Matemática
10
Moderna” pretendeu desenvolver o ensino da
Matemática a partir da teoria dos conjuntos,
o que acabou gerando uma exagerada valorização da linguagem simbólica em detrimento
da constituição do pensamento matemático.
Essa iniciativa acabou tornando o ensino da
Matemática extremamente abstrato e distante
da realidade do aluno, fazendo com que essa
metodologia viesse a ser gradativamente substituída por outra, mais contextualizada e voltada para a construção do significado.
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na linguagem formal e mais voltado para o desenvolvimento do
pensamento lógico e a resolução de problemas.
Essa é a perspectiva que queremos desenvolver nesta Situação de Aprendizagem.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Problemas envolvendo conjuntos
Consideremos o seguinte problema:
uma atividade com duas questões foi
aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam
acertado as duas questões, 35 acertaram a
primeira questão e 25, a segunda. Calcule
o percentual de alunos que acertou apenas
uma questão.
Esse é um típico problema que envolve a
ideia de interseção de conjuntos. Apresente
o problema aos alunos e deixe que eles tentem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos
podem questionar a plausibilidade das informações numéricas, uma vez que a soma das
partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior
que o todo (40). Como isso é possível?
A ideia é fazer com que os alunos percebam que as informações sobre os resultados
obtidos não são excludentes, isto é, possuem
elementos em comum. Assim, dos 35 alunos
que acertaram a primeira questão estão contemplados, também, aqueles que acertaram a
segunda questão. O mesmo ocorre em relação
ao número de alunos que acertou a segunda
questão. Levando em consideração esse fato,
o problema adquire novo significado.
É importante comentar com os alunos a
importância da interpretação do enunciado.
Dependendo de como forem escritas, algumas
informações podem ter certo grau de ambiguidade no seu significado. Afirmar que 35 alunos
acertaram a primeira questão é diferente de
afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a
primeira questão. Isso faz toda a diferença, e
não é raro que alguns alunos optem por essa
última interpretação, que acarreta a inconsistência de as partes serem maiores que o todo.
No caso desse problema, o fato de um aluno
poder acertar a primeira e a segunda questão da atividade implica existência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles não são
mutuamente exclusivos. Contudo, em outras situações, a exclusividade dos conjuntos é subentendida pelo próprio contexto. Por exemplo,
em uma classe de 40 alunos com 25 homens e
15 mulheres, não há necessidade de se afirmar
que 25 dos alunos são exclusivamente homens,
pois não há interseção entre os conjuntos.
Dessa forma, o contexto do problema desempenha um papel central na interpretação
do enunciado, pois nem sempre essa distinção
é feita explicitamente. Sugerimos que o professor apresente aos alunos diferentes situações
para que eles identifiquem se os conjuntos são
mutuamente exclusivos ou não.
Voltando ao problema inicial, os alunos podem concluir que, entre os 35 que acertaram a
primeira questão, existem aqueles que acertaram somente a primeira questão e aqueles que
acertaram as duas. Como essa informação foi
fornecida pelo problema, conclui-se que 15 alunos acertaram somente a primeira questão.
Acertaram apenas
a 1a questão (15)
Acertaram a
1a questão (35)
Acertaram a 1a e
a 2a questão (20)
11
Do mesmo modo, pode-se obter o número
de alunos que acertaram somente a segunda
questão fazendo a diferença entre 25 e 20,
ou seja, 5.
que possuem determinada propriedade a, é
representado assim:
A
Calculando-se as porcentagens para cada
resultado, obtemos:
x
y
f % de alunos que acertaram apenas a
15
= 0,375 ou 37,5%.
40
f % de alunos que acertaram apenas a
primeira questão:
segunda questão:
5
= 0,125 ou 12,5%.
40
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão foi de 50%.
Problemas desse tipo, envolvendo relações entre conjuntos, podem ser resolvidos
por meio de diagramas. Para os alunos da
8a série, os diagramas permitem uma visualização e organização dos dados do problema
que podem ajudar a resolver problemas mais
complexos. Assim, sugerimos que o professor
apresente esse tipo de representação aos alunos e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para
representar conjuntos e suas relações.
Atribui-se ao famoso matemático suíço
Leonhard Eüler a ideia de usar diagramas
para representar relações lógicas. O diagrama de Eüler nada mais é do que uma
região delimitada do plano, simbolizada
por uma figura curva fechada, que representa determinado conjunto. um conjunto A, constituído de todos os elementos
12
Nesse caso, o elemento x possui a propriedade
a e, portanto, pertence ao conjunto a. já o elemento y, que está fora do diagrama, não possui a
propriedade a e, portanto, não pertence a a.
A relação espacial entre as figuras (sobreposição, separação, inclusão) indica também
o tipo de relação existente entre os conjuntos
(interseção, inclusão, exclusão). Consideremos
o conjunto a formado pelos elementos que têm
a propriedade a e o conjunto b formado pelos
elementos que têm a propriedade b. Vejamos os
principais casos e os símbolos associados:
1. inclusão: todo a é b. Se todo elemento de
a pertence a b, então a é um subconjunto
de b. Dizemos que a está contido em b.
Escrevemos a ⊂ b.
Exemplo: todo múltiplo de dez é um número
par. Os múltiplos de dez formam um subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos
de 10
2. interseção: algum a é b. Se alguns elementos do conjunto a também pertencem ao
conjunto b, então existe interseção entre
Matemática – 8a série, 1o bimestre
esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B
simultaneamente. Escrevemos A ∩ B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns
números ímpares são primos, como, por exemplo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares
Primos
5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um
deles é subconjunto do outro. Contém
os elementos de A que não pertencem
ao subconjunto B.
C AB = B
A– A
B
Exemplo: o complementar dos múltiplos
de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15,
25, 35, 45, ...
M(5)
M(10)
3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da
reunião entre A e B contém todos os elementos de A e de B. Escrevemos A ∪ B.
Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e
dos múltiplos de três. A interseção são os múltiplos de seis.
M(2)
M(3)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou
dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro
conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A interseção entre os
dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅.
Exemplo: os números pares e os números
ímpares são mutuamente exclusivos, pois não
possuem elemento em comum.
4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e
B são aqueles que pertencem a A e não
pertencem a B. Escrevemos A – B.
Exemplo: a figura representa os números pares
que não são primos. Trata-se da diferença entre os
conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares
Primos
Pares
Ímpares
Para representarmos as relações entre dois
ou mais conjuntos, recorremos a mais diagramas. Por exemplo:
Animais
Minerais
Mamíferos
13
Os diagramas anteriores mostram que os
mamíferos são um subconjunto dos animais,
e que nenhum elemento do conjunto dos
minerais pertence ao conjunto dos animais.
Observando os diagramas, podemos obter as
seguintes conclusões:
f todo mamífero pertence ao reino dos
animais.
f nem todo animal é mamífero.
que os alunos se apropriem do uso de diagramas
na representação das argumentações lógicas,
propomos a seguinte atividade.
atividade 1
Nas figuras abaixo, determine qual dos diagramas representa melhor os argumentos dados.
a) todas as pessoas nascidas em Curitiba
são paranaenses. (P)
joão nasceu em Curitiba. (C)
f nenhum mineral é animal.
diagramas e lógica
Logo, joão é paranaense. (j)
i.
Os diagramas de Eüler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos devido
à sua facilidade de compreensão visual. Contudo,
ficaram mais conhecidos como “Diagramas de
Venn”, por causa da semelhança com o tipo de
diagrama criado pelo filósofo britânico john Venn.
Os diagramas também podem ser usados para representar argumentações lógicas. Por exemplo:
C
P
j
ii.
C
P
f todos os mineiros são brasileiros.
j
f Pedro é mineiro.
f logo, Pedro é brasileiro.
iii.
P
Brasileiros
C
j
Mineiros
Pedro
Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta de três proposições: duas premissas e uma conclusão. Para
14
Apenas o diagrama III pode representar os
argumentos dados. O diagrama I contradiz
a premissa de que todos os curitibanos são
paranaenses. E o diagrama II representa o
contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são curitibanos.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.
ii.
um quadrado é um quadrilátero.
Logo, nenhum quadrado possui cinco
lados.
Poliedros
regulares
tetraedros
i.
Pirâmides
Quadriláteros
Cinco lados
iii.
Pirâmides
Quadrado
tetraedros
ii.
Quadrilátero
Cinco
lados
Quadrado
iii.
Quadrilátero
Cinco lados
Quadrado
Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I como o
III contradizem a primeira premissa.
c) Alguns tetraedros são regulares.
Poliedros
regulares
O diagrama que representa a argumentação
dada é o II. O diagrama I está errado, pois
não se afirma que todas as pirâmides são
poliedros regulares. O diagrama III também
está em desacordo com as premissas, pois nem
todos os poliedros regulares são pirâmides.
resolução de problemas por meio de
diagramas
Vejamos, agora, como os diagramas podem
auxiliar a resolução de problemas envolvendo
a relação entre as partes e o todo de determinados conjuntos. Retomaremos o problema
inicial desta Situação de Aprendizagem.
todos os tetraedros são pirâmides.
Logo, algumas pirâmides são regulares.
i.
Poliedros
regulares
Pirâmides
uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados
apontaram que 20 alunos haviam acertado as
duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Calcule o percentual de
alunos que acertou apenas uma questão.
tetraedros
Do total da classe de 40 alunos, uma parte
acertou as duas questões. Assim, há interseção
15
entre os conjuntos dos alunos que acertaram a
primeira questão e a segunda. Para completar o
diagrama com as informações numéricas do problema, podemos iniciar registrando a interseção
entre os dois conjuntos, ou seja, o número de
alunos que acertaram as duas questões.
1 ∩2
o
o
1a
2a
É importante comentar com os alunos que,
nesse caso, a soma dos elementos representados no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao total
de alunos da classe, 40, o que significa que nenhum aluno errou as duas questões.
Com a leitura do diagrama preenchido, podemos obter as respostas do problema, bastando calcular as porcentagens solicitadas,
como já havia sido feito no início desta Situação de Aprendizagem.
20
Em seguida, preenchemos as regiões que representam o número de alunos que acertaram
exclusivamente uma das questões. O número de
alunos que acertou apenas a primeira questão é
a diferença entre o número total de alunos que
acertou a primeira questão e os que acertaram
as duas questões (20), ou seja, 15. O mesmo
ocorre em relação à segunda questão.
1o – 2o
1a
2a
15
atividade 2
uma pesquisa de mercado foi realizada
para verificar a audiência de três programas
de televisão, 1 200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300
ao programa B e 360 ao programa C. Desse
total, 100 famílias assistem aos programas A e
B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas
A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas.
Com base nesses dados, determine:
2o – 1o
a) quantas famílias não assistem a nenhum
dos 3 programas?
1a
b) quantas pessoas assistem ao programa
A e não assistem ao programa C?
2a
15
16
20
Sugerimos que o professor proponha mais
alguns problemas para os alunos, para que eles
se familiarizem com esse tipo de representação.
A seguir, apresentamos um exemplo de um problema envolvendo mais de dois subconjuntos.
20
5
c) qual o programa de maior fidelidade,
ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa?
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Representando as informações dadas no diagrama, temos o seguinte:
O mesmo deve ser feito para os programas B
e C, como mostra a figura abaixo:
Representação da interseção entre os 3 conjuntos: A ∩ B ∩ C
A
A
B
B
80
260
160
20
10
20
40
290
C
C
Representação da interseção dos conjuntos,
dois a dois: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C.
O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse total,
sabemos que 20 famílias assistem aos três
programas; portanto, o número de famílias
que só assistem aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80. O mesmo
vale para as outras interseções.
A
B
80
20
10
40
Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a soma das partes corresponde ao total de entrevistados.
Soma das partes:
260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860.
Neste problema, a soma das partes (860) é
menor que o total de entrevistados (1 200).
A diferença (340) corresponde ao número de
entrevistados que não assiste a nenhum dos
três programas. Isso pode ser representado
como o conjunto complementar em relação
ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama abaixo:
C
A
Representação do número de pessoas que
assistem exclusivamente a cada um dos programas. No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas
que assiste ao programa A (370) e a soma
das interseções A ∩ B, A ∩ C e A ∩ B ∩ C.
B
80
260
160
20
10
40
290
t
340
C
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
17
Preenchidos os diagramas, podemos responder
às perguntas do problema:
a) 340 pessoas não assistem a nenhum dos
3 programas.
b) 340 pessoas assistem ao programa A e não
assistem ao programa C: 260 + 80 = 340.
A
B
80
260
160
20
10
t
40
340
290
C
c) O programa com maior fidelidade é o C, com
290 espectadores, contra 260 do A e 160 do B.
A
B
80
260
160
20
10
40
290
t
340
C
os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos centrais
da Matemática. Aparentemente, a ideia de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos
em termos de contagem de objetos, os números
chamados naturais são suficientes para expressar resultados e efetuar determinadas operações.
18
Contudo, ao longo da história, as transformações
socioculturais da humanidade criaram diferentes necessidades de representação, implicando
criação de outras formas de representação numérica: frações, decimais, números negativos,
irracionais e imaginários. Cada tipo de número
criado pelo homem ampliou não só a capacidade
de representação, mas também as possibilidades
de solução para diferentes problemas.
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos
tiveram contato com muitas formas de representação numérica. Com os números naturais, puderam representar quantidades inteiras, registrar
contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar
operações, etc. Os números racionais aparecem
em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como número decimal. As frações surgem
para representar quantidades não inteiras, o resultado de medidas, a relação entre a parte e o
todo de um determinado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na 6a série, rompendo com a ideia de que os números só
podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, na 8a série surgem os números irracionais, que representam as medidas de segmentos
incomensuráveis, uma vez que ela não pode ser
representada na forma de uma fração entre dois
inteiros.
Todo esse universo numérico pode ser organizado e sistematizado por meio de diagramas que
representem as relações de inclusão e interseção
entre os diferentes conjuntos. Apresentaremos, a
seguir, a classificação mais usual dos conjuntos
numéricos sob o ponto de vista das características de cada número e das operações que podem
ser realizadas dentro de cada conjunto.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Conjuntos numéricos e operações: dos
naturais aos racionais.
No conjunto dos números naturais, sempre
podemos realizar as duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação. Ou seja, qualquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto
dos naturais, o resultado de a + b e de a . b
será também um natural. Dizemos, então, que o
conjunto dos naturais é fechado para a adição e
a multiplicação.
Contudo, o mesmo não ocorre em relação às
operações inversas. No domínio dos naturais,
nem sempre é possível realizar a subtração ou
a divisão entre dois números. Por exemplo, o
resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natural. A subtração a – b só pode ser realizada no
conjunto dos números naturais se a for maior
ou igual a b.
A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico para
incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, além
da adição e multiplicação, qualquer subtração
realizada resulta em um número inteiro. Contudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷
a só pode resultar em um inteiro se a for um
fator de b.
Assim, de forma análoga ao que aconteceu com
a subtração, a criação dos números fracionários, na
b
(a e b inteiros, com a ≠ 0) removeu os
forma
a
obstáculos para a operação de divisão, com exceção
da divisão por zero. Esse domínio ampliado gerou
o conjunto dos números racionais, que é fechado
para a adição, multiplicação, subtração e divisão.
Assim, a ampliação do campo numérico dos
naturais para os racionais possibilitou a criação
de um conjunto onde os resultados das quatro
operações aritméticas básicas podem ser obtidos
sem restrições.
dos racionais aos irracionais
Como vimos, os números racionais permitem
expressar o resultado de um processo de medida.
Se compararmos a magnitude de dois segmentos a e b, podemos obter como resultado um
número inteiro, se a for um fator de b, ou seja,
b = r . a. Se isso não ocorrer, então podemos dividir a unidade a em n segmentos iguais, cada
a
, de forma que ele caiba
n
um número inteiro m de vezes no segmento b.
um de comprimento
m
. a.
n
Quando for possível expressar a medida de
um segmento com base em outro por meio de
uma fração ou um número inteiro, dizemos que
os segmentos são comensuráveis. Em termos
práticos, os números racionais podem expressar a
medida de quaisquer segmentos comensuráveis.
Neste caso, teríamos que b =
Em termos teóricos, contudo, a questão
deve ser ampliada. Nem toda medida pode ser
expressa na forma de uma razão entre números inteiros. A descoberta da existência dos segmentos incomensuráveis foi um dos fatos mais
surpreendentes da história da Matemática. Um
dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade é a medida da diagonal do quadrado em
relação ao lado, que foi atribuída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.
19
Considerando um quadrado de lado unitário,
podemos obter a medida da diagonal aplicando o
Teorema de Pitágoras:
d 2 = 12 + 12
d2 = 2
d
1
1
143
341
Ora, se d for comensurável em relação ao
lado 1, então devem existir dois inteiros a e b,
a
a
tal que = d. Logo,
b
b
2
= 2, ou seja,
a2
= 2.
b2
Podemos escrever que a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores primos, tais
fatores obviamente irão aparecer aos pares já que a2
= a . a. O mesmo acontece com o número b. Se a
igualdade acima fosse verdadeira, teríamos a . a =
2 . b . b, ou seja, teríamos uma quantidade ímpar
de fatores do lado direito, já que temos 2 . b . b, e
uma quantidade par de fatores do lado esquerdo da
igualdade, a . a. Sabemos que isso não é possível,
pois todo número inteiro diferente de 0 e de 1 possui uma única decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma fração
a
, com a e b inteiros que, elevada ao quadrado,
b
resulte em dois. Esse resultado, que nada mais é
do que a 2 , não é um número racional. Assim,
retomando a perspectiva da preservação das operações, o conjunto dos números racionais não é
fechado para a radiciação.
A existência de segmentos incomensuráveis
implicou na criação de um conjunto comple-
20
mentar aos números racionais e que foi denominado irracional. Entre os números irracionais
encontram-se as raízes não exatas, como 3 ,
5 , 12 , 5 5 , etc. e números como PI (π) ou
Fi (φ), chamados transcendentais ou transcen­
dentes (o conceito de número transcendental será
tratado na Situação de Aprendizagem 3). De um
modo geral, todos os irracionais possuem uma
representação decimal infinita e não periódica.
A reunião do conjunto dos números racionais
com o conjunto dos irracionais deu origem ao
conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma propriedade importante, que será amplamente utilizada daqui para a frente. Para cada
número real, é possível associar um único ponto
de uma reta numerada. Assim, a reta real constitui
um modelo para a representação de todos os números reais, sejam eles racionais ou irracionais.
A representação de alguns irracionais será apresentada nas Situações de Aprendizagem a seguir.
É importante comentar com os alunos que,
diferentemente do conjunto dos racionais,
os irracionais não são fechados em relação
às operações de adição e multiplicação. Por
exemplo, embora 3 + 5 seja irracional, o
resultado de 3 + – 3 é zero, que é racional. Do mesmo modo, 3 . 3 = 9 = 3 , que
também é racional. O conjunto dos irracionais
também não é fechado pela subtração e pela
divisão.
(
)
representação dos conjuntos por meio
de diagramas
Podemos representar os conjuntos numéricos
por meio de diagramas. Como vimos anteriormente, podemos ampliar os conjuntos numéricos
Matemática – 8a série, 1o bimestre
dos naturais aos racionais introduzindo novos tipos de números (frações, negativos) de modo a
permitir a realização das quatro operações básicas sem restrições. Essa ampliação pode ser representada pelos seguintes diagramas:
para os números reais (IR), representado pelo
diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os
irracionais são o conjunto complementar aos
racionais em relação aos reais.
IR
Conjunto dos Naturais (IN)
2
3
f Fechado para as operações de adição
e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
z
IN
π
Ir
Q
IN
Com base neste diagrama, podemos escrever as
seguintes relações entre os conjuntos numéricos:
1,
Ampliação dos Naturais para os Inteiros (z)
f Introdução dos negativos.
f Fechado para adição, multiplicação
e subtração.
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
IR = Q ∪ Ir
A seguir, propomos uma atividade para
aprofundar o conhecimento sobre as relações
entre os conjuntos numéricos:
atividade 3
–1, –2, –3, ...
z
5
Classifique em verdadeira ou falsa as
expressões matemáticas a seguir. Re-escreva
as expressões falsas tornando-as verdadeiras.
IN
1,,–
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)
a) IN ⊂ Z
f Introdução das frações, não inteiros.
Verdadeira. Os naturais são um subconjunto
dos inteiros, pois todo número natural também é inteiro.
f Fechado para adição, multiplicação,
subtração e divisão.
b) IN ∪ Z = Q
Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é
o próprio conjunto dos inteiros. N ∪ Z = Z
1, – 3,
2 4
Q
z
IN
1,,–,
c) IR – Ir = Q
Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos reais.
d) Z ∩ Q = Q
A introdução dos números irracionais (Ir)
permitiu a ampliação do campo dos racionais
Falsa. A interseção entre inteiros e racionais são
o próprio conjunto dos inteiros. Z ∩ Q = Z
21
e) Q ∩ Ir = Q
Falsa. Não há interseção entre racionais e
irracionais, pois são conjuntos mutuamente
exclusivos. Q ∩ Ir = ∅
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos numéricos,
desde os números naturais até os reais e que saibam
usar diagramas para representar situações-problema envolvendo relações entre as partes e o todo de
um conjunto. Além disso, o aluno deve conhecer o
significado das principais relações entre conjuntos:
reunião, interseção, pertinência, inclusão e diferença. Embora o foco na 8a série não seja a formalização da linguagem simbólica matemática, o que
será feito no Ensino Médio, o aluno deve conhecer
o significado dos principais símbolos ligados às
operações entre conjuntos: ∩, ∪, ⊂.
Além das atividades propostas nesta Situação de
Aprendizagem, o professor poderá sugerir problemas
e exercícios complementares que estão presentes na
maioria dos livros didáticos. Em relação aos problemas envolvendo conjuntos, é importante orientar
os alunos em relação a alguns aspectos, tais como:
f cuidado na leitura do enunciado –
ambiguidade x contexto.
f organização das informações.
f registro das operações.
f representação por meio de diagramas.
tais aspectos devem ser considerados pelo
professor nas atividades de avaliação.
Em relação aos conjuntos numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é a
ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais
aos racionais com apoio nas quatro operações
básicas. E o segundo, é a passagem dos racionais
para os irracionais, compondo o conjunto dos
números reais. Esses dois aspectos devem ser bem
trabalhados, pois constituirão uma base para o
prosseguimento dos estudos no Ensino Médio,
principalmente no que se refere às funções.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2
NúMEROS REAIS E AS FRAçõES CONtÍNuAS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números
racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; relacionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a
busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e
aproximação na representação de números racionais.
Estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto de vista
conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e analisar a
validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.
22
Matemática – 8a série, 1o bimestre
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 2
números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos em uma Situação de
Aprendizagem da 7a série, a representação decimal de um número racional ou é finita, como no
4
= 0,8, ou infinita e periódica, como
caso de
5
7
no caso de
= 1,1666... . A seguir apresenta6
remos novos contornos a essa questão com a
retomada da discussão da fração geratriz de
uma dízima periódica.
Recuperando o processo de determinação
da geratriz de uma dízima, sugerimos que a discussão seja iniciada com o seguinte problema:
Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?
De acordo com o processo descrito na
7 série, escrevemos x = 0,7999... e iniciamos a
busca de duas igualdades equivalentes a essa,
e que tenham exatamente o mesmo período,
como veremos a seguir:
a
. 10
. 10
x = 0,7999...
10x = 7,999...
100x = 79,999...
. 10
. 10
(1)
(2)
(3)
Observe que necessitamos de duas multiplicações por 10 para encontrar duas igualdades
com o mesmo período, que são as igualdades indicadas por (2) e (3). Dependendo do
período da dízima investigada, o processo pode
exigir mais do que duas multiplicações por 10;
porém, o processo descrito é geral uma vez que,
por ele, sempre será possível encontrar duas
igualdades com números de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos,
membro a membro, as igualdades de mesmo
período que, no caso do exemplo, são (2) e (3).
tal subtração tem por objetivo encontrar uma
igualdade equivalente em que apareça um número inteiro no segundo membro. Com base
nela, basta agora encontrar o valor de x, que
será a fração geratriz de 0,7999... .
(3) – (2):
100x – 10x = 79,999... –7,999...
90x = 72
x=
72
4
, ou seja, x =
90
5
A conclusão importante que decorre desse
problema que acabamos de resolver é que tanto
a dízima periódica 0,7999... quanto o decimal
finito 0,8 são representações decimais da mesma
4
fração . trabalhando com outros exemplos
5
o professor poderá elaborar atividades em que
os alunos percebam que, pelo processo descrito,
todo decimal finito poderá ser convertido em
uma dízima periódica cujo período será ou
0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999..., etc. Isso se
justifica pois, como veremos a seguir, podemos
representar qualquer número racional como
soma de infinitas frações decimais.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve como motivação a busca de se escrever
qualquer fração sob uma forma decimal.
23
Isso porque tanto o cálculo quanto a comparação entre frações decimais são mais simples do
que entre frações ordinárias.
A partir da discussão desencadeada com a
questão inicial sobre a fração geratriz, podemos reformular a afirmação feita no primeiro
parágrafo para o seguinte enunciado:
“todo número racional pode ser escrito
como uma dízima periódica”.
Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, sempre será
possível representar um racional como soma
de infinitas frações. No caso dos racionais
Frações Contínuas
A fração
4
situa-se entre os inteiros 0 e 1.
5
Dessa forma, podemos escrever
sendo que x > 1. Se
4
1
como 0 + ,
5
x
4
1
5
= 0 + , então x = ,
5
x
4
4 7
e , essas somas seriam:
5 6
o que nos permite escrever, portanto, 4 = 0 + 1 ,
5
5
4
4
= 0,8 = 0,7999... =
5
que chamaremos de igualdade (1). Repetiremos o raciocínio que acabamos de fazer,
7
9
9
9
+
+
+
+ ...
10 100 1 000 10 000
agora para a fração
7
= 1,1666... =
6
1+
1
6
6
6
+
+
+
10 100 1 000 10 000
Deve ficar claro para o professor que a discussão feita até o momento tem como objetivos:
1. retomar a discussão de fração geratriz
iniciada na 7a série;
2. reformular definições à luz de maior rigor e generalidade;
3. recuperar ideias relacionadas com a estrutura do sistema decimal de numeração.
24
Se por um lado o uso da notação decimal
nos permite escrever todo e qualquer número
racional como uma soma de infinitas frações,
há um processo que nos permite escrever todo
e qualquer número racional com um número
finito de frações, como veremos a seguir.
5
5
. Sabemos que é um
4
4
número entre 1 e 2 e que, portanto, pode ser
escrito como 1 +
1
5
1
, com y > 1. Se = 1 + ,
y
4
y
então y = 4. Segue, portanto, que
5
1
=1+ ,
4
4
que chamaremos de igualdade (2). Substituindo
4
1
=0+
, que será a
1
5
1+
4
igualdade (3). Repetindo mais uma vez o mesmo
(2) em (1) teremos
1
1
1
processo para a fração , teremos: = 0 + ,
4
4
w
com w > 1, o que implica dizer que w = 4 e que,
portanto,
1
1
= 0 + . Note que essa última
4
4
Matemática – 8a série, 1o bimestre
etapa dos cálculos não implicou uma repre1
o que, em
4
última análise, quer dizer que o processo
está encerrado. Na prática isso sempre ocorrerá quando x, y, w... for um número inteiro.
sentação diferente para a fração
5
, o que
4
nos fez calcular y, que por sua vez é igual a
4 ∈ z, encerrando assim o processo em y.
Decorre do processo que acabamos de fazer
a seguinte igualdade, que chamamos “desenNo caso do exemplo analisado, x =
volvimento do
4
em fração contínua”:
5
4
1
=0+
1
5
1+
4
Pode-se demonstrar que todo número racional pode ser escrito como fração contínua
por meio de um desenvolvimento finito, como
ocorreu no exemplo que acabamos de analisar.
Vamos mostrar agora que o racional
7
, cuja
6
representação decimal era explicitamente uma
dízima periódica, também pode ser escrito com
fração contínua por meio de um número finito
de passos. O raciocínio será o mesmo que foi
4
utilizado para o :
5
(1)
7
7
1
está entre 1 e 2, portanto, = 1 + ,
6
6
x
com x > 1
(2) De
7
1
= 1 + decorre que x = 6, ou
6
x
seja,
7
1
=1+
6
6
(3) Como x = 6 ∈ z,, o processo está encerrado e a fração contínua do desenvovimento de
7 7
1
é =1+ .
6 6
6
atividade 1
16
Com relação ao número racional , per7
gunta-se:
a) utilizando o algoritmo da divisão para
fazer 16 ÷ 7 encontraremos um decimal
finito ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito
dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7 irá encontrar como resultado 2,2857142. Como não
identificamos facilmente nessa divisão um
período que se repete, é possível que o aluno
responda que o resultado é um decimal finito.
Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem
“As dízimas periódicas são previsíveis...”, do
Caderno do 1o bimestre da 7a série. Naquele
momento foi discutido que, ao realizarmos a
divisão entre numerador e denominador de
uma fração irredutível, o resultado só será
dízima periódica se ao menos um dos fatores
do denominador da fração for diferente de
2 e diferente de 5. Como o denominador da
16
apresenta fator primo 7, sabemos
7
que a representação decimal decorrente da
conta de divisão será uma dízima periódica.
Uma vez que os oito dígitos da calculadora
não foram suficientes para a identificação
do período, recomendamos que o professor
solicite que os alunos façam a conta armada
até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).
fração
25
16
como fração contínua.
7
16
Faremos agora o desenvolvimento de como
7
fração contínua:
b) Escreva
16
16
1
está entre 2 e 3, portanto, = 2 + ,
7
7
x
com x > 1.
(1)
(2) De
16
1
7
= 2 + decorre que x = , ou
7
x
2
16
1
=2+ .
7
7
2
7
7
1
(3) está entre 3 e 4, portanto, = 3 + ,
2
2
y
com y > 1.
seja,
(4) De
7
1
=3+
decorre que y = 2, ou
2
y
seja, 7 = 3 + 1 .
2
2
(5) Como y = 2 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é
16
1
= 2+
1
7
3+
2
Faremos mais um exercício para reforçar
a ideia do processo.
atividade 2
Escreva
30
como fração contínua.
13
30
30
1
está entre 2 e 3, portanto, = 2 + ,
13
13
x
com x > 1.
(1)
(2) De
26
30
1
13
= 2 + decorre que x = , ou
13
x
4
seja, 30 = 2 + 1 .
13
13
4
13
13
1
(5) está entre 3 e 4, portanto, = 3 + ,
4
4
y
com y > 1.
(6) De
13
1
= 3 + decorre que y = 4, ou
4
y
seja, 13 = 3 + 1 .
4
4
(7) Como y = 4 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é
30
1 .
= 2+
1
13
3+
4
Em resumo, alguns dos objetivos específicos que o professor poderá levar em consideração se decidir por abordar frações contínuas
para representar números racionais são:
1. as frações contínuas descrevem um processo finito (utilizando frações) para a
representação de todo e qualquer número racional. Sem as frações contínuas, e
restritos apenas à representação decimal
dos números racionais, uma dízima periódica só poderá ser representada com
a soma infinita de frações.
2. as frações contínuas são trabalhadas em
um ambiente onde se faz necessária a
retomada de operações e representação
de frações, o que é positivo dentro da
ótica de currículo em espiral.
3. o estudo das frações contínuas abre uma
interessante perspectiva de interpretação e análise dos números irracionais,
como veremos a seguir.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Frações contínuas e os números irracionais
uma forma muito utilizada de nos referirmos aos números irracionais é a de que são
os números cuja representação decimal tem
infinitas casas não periódicas depois da vírgula. Nesse caso, ao observarmos no visor de
uma calculadora de oito dígitos o resultado
1,4142135 de 2 sabemos, de antemão, que
o número indicado é apenas uma aproximação
de 2 , dado que 2 é um número irracional. Se fosse possível ter uma calculadora que
calculasse 2 com infinitas casas, o fato de
se tratar de um número irracional nos dá garantias de que as casas depois da vírgula não
seriam periódicas.
Se nos referirmos aos números irracionais dessa maneira – e tendo discutido antes a representação dos racionais por frações
contínuas – surge quase que naturalmente a
pergunta, se existe um processo para a representação dos irracionais com frações contínuas. Veremos a seguir que além de existir tal
processo, surpreendentemente ele nos conduzirá a um tipo de representação periódica e,
portanto, previsível.
A seguir aplicaremos o mesmo processo
que foi utilizado para a obtenção de frações
contínuas de números racionais para o caso
do número irracional 2 .
1.
1
2 está entre 1 e 2, portanto, 2 = 1 + ,
x
com x > 1.
2. De
2 =1+
2 – 1=
1
x
1
decorre que:
x
x=
1
2 –1
x=
1
.
2 –1
2 +1
2 +1
x =1+ 2
2 =1+
temos, portanto,
1
1+ 2
3. 1 + 2 é um número entre 2 e 3,
portanto, 1 + 2 = 2 +
4. De 1 + 2 = 2 +
1
, y > 1.
y
1
decorre que y = 1 + 2
y
e, portanto, temos:
1+ 2 = 2 +
1
1+ 2
5. Substituindo no resultado do passo 2
o resultado obtido no passo anterior
teremos:
2 =1+
1
2+
1
1+ 2
6. Note que x = y = 1 + 2 . Se fôssemos
continuar o processo, partiríamos de y
e encontraríamos w = 1 + 2 . Na sequência, partiríamos de w = 1 + 2 e
encontraríamos z = 1 + 2 , e assim sucessivamente em um processo infinito.
Segue, portanto, que a fração contínua
que representa 2 será:
2 =1+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
...
27
O processo descrito nos fornece uma
“fábrica” de aproximações racionais para
2 , bastando para isso parar em algum
ponto da sequência infinita indicada na
fração contínua.
1a aproximação:
2 1 +
2 =1+
2+
2+
2 1 +
2+
2+
1
...
28
3
= 1, 5
2
2+
1
1
2+
2+
2+
1
2+
2+
2
2
2 =1+
1
1
...
1
1
2+
1
2+
1
2+
1
...
2 1 +
2+
1
...
1
2
2+
2
17
12
41
 1, 4138
29
1
2+
1
2+
1
2+
3
2
7
= 1, 4
5
1
, ou seja , 2 
1
5a aproximação:
1
2+
1
1
1
, ou seja,
2
2+
2+
1
1
3a aproximação:
2 =1+
2
17
 1, 4167
12
1
1
1
2+
2+
1
2 1 +
2a aproximação:
2
7
5
1
1
2+
, ou seja , 2 
2 1
1
2+
1
2+
2
4a aproximação:
2 =1+
2 =1+
1
1
2+
1
2+
2+
1
...
, ou seja , 2 
1
2+
1
1
2+
41
29
1
2
Pode-se demonstrar que as sucessivas
aproximações racionais que obtemos de 2
por meio da sua fração contínua formam
uma sequência convergente em que seus termos são, alternadamente, aproximações por
Matemática – 8a série, 1o bimestre
falta e por excesso de 2 . A tabela a seguir
resume essa informação:
aproximação
de 2
1a
2a
3a
4a
5a
1
=1
1
3
= 1,5
2
7
= 1,4
5
Erro em
aproximação
relação ao
por
valor de 2
≈ 0,4142
Falta
O segundo resultado enunciado é curioso
porque, contrariamente às aproximações de 2
quando expresso por decimais (aproximações
que envolvem infinitas frações não periódicas),
ao expressarmos 2 por uma fração contínua
sua representação será periódica.
Apenas como curiosidade, apresentamos a
seguir a representação com fração contínua de
dois importantes números irracionais, a razão
áurea
≈ 0,0858
≈ 0,0142
17
≈ 1,4167 ≈ 0,0024
12
41
≈ 1,4138 ≈ 0,0004
29
Excesso
Falta
1+ 5
e π:
2
1+ 5
=
2
1+
1
1+
1
1+
Excesso
π=3+
Falta
2. os números do tipo n (onde n é natural não quadrado perfeito) têm desenvolvimento com infinitos passos, e os
passos são periódicos.
3. todo número real pode ser representado
por uma fração contínua.
1
1+
1
...
1
7+
1
15 +
O processo de determinação das frações contínuas dos números racionais e do número irracional 2 sinaliza para os seguintes fatos, que
podem ser matematicamente demonstrados:
1. todo número racional pode ser representado por uma fração contínua por
meio de um número finito de passos.
e
1
1
1+
1
292 +
1
1+
1
1+
1
1+
1
2+
1
...
atividade 3
Determine a fração contínua que representa o número 24 .
24 está entre 4 e 5, portanto,
1
24  4 1 , com x > 1.
x
1
2) De 24  4 1 decorre que:
x
1
24 – 4 
x
1)
29
x=
1
24 – 4
x=
24 + 4
1

24 – 4
24 + 4
24 = 4 +
4 + 24
x=
8
Temos, portanto,
24 = 4 +
1
4 + 24
8
4 + 24
é um número entre 1 e 2, por3)
8
4 + 24
1
tanto,
= 1 + , y > 1.
8
y
4) De
4 + 24
1
= 1+
8
y
decorre
que
y = 4 + 24 e, portanto, temos:
4 + 24
1
= 1+
8
4 + 24
Substituindo o resultado do passo 4 no resultado do passo 2, temos:
1
1+
1
8+
1
1+
1
8+
1
1+
1
8+
1
...
Finalizada esta breve apresentação sobre o assunto, queremos ressaltar, mais uma
vez, que o tratamento dado nessa Situação
de Aprendizagem aos números racionais e irracionais por meio de frações contínuas consiste em uma alternativa à abordagem tradicional
conduzida por boa parte dos programas curriculares e livros didáticos. Deve ficar claro que
a decisão sobre incorporar ou não essa abordagem (ou parte dela) caberá ao professor.
Considerações sobre a avaliação
que
uma vez que o professor se decida por trabalhar com as frações contínuas no seu curso
sobre números reais, recomendamos que aproveite também a oportunidade para explorar o
uso da calculadora em sala de aula. utilizar a
calculadora para calcular a representação decimal de números racionais e para encontrar
aproximações de raízes pode ser uma interessante porta de entrada para a expansão do conhecimento numérico de um aluno de 8a série.
4 + 24
. Como w repetiu o valor de x,
8
a partir de agora o processo começa a se
repetir novamente. Segue, portanto, que a
Deve-se observar que nas séries anteriores
já haviam aparecido representantes numéricos
de todos os conjuntos; porém, entendemos
que a 8a série seja o ambiente para organizar
24 = 4 +
1
1+
1
4 + 24
5) Como y = 4 + 24 é um número entre
8 e 9, temos 4 + 24 = 8 +
6)
w=
30
24 será:
fração contínua que representa
De
4 + 24 = 8 +
1
w
1
, com w > 1.
w
decorre
Matemática – 8a série, 1o bimestre
as informações numéricas, bem como conceder novos contornos à discussão feita sem
grande aprofundamento sobre números racionais e irracionais na 7a série.
As avaliações sobre o tema tratado nesta
Situação de Aprendizagem podem ser feitas
por meio de listas de exercícios em que se peça
para o aluno determinar frações geratrizes,
identificar/determinar frações contínuas, e
calcular aproximações racionais obtidas por
frações contínuas.
Identificado um interesse sobre o assunto
por parte dos alunos, outra possibilidade de
avaliação pode ser um trabalho de pesquisa
em que os alunos tenham que se aprofundar
no assunto estudado.
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3
ARItMÉtICA, áLGEBRA E GEOMEtRIA COM A REtA REAL
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real;
teorema de tales, teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com critérios pré-estabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real
por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar proposições e raciocinar
de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos números na reta real.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 3
8a série, pode ser utilizado agora para ampliar
o significado do plano cartesiano. O estudo dos
gráficos, que consiste em problema importante
a reta real
no contexto da Matemática, já vem sendo rea-
O estudo da reta real na 8 série tem
alguns objetivos muito bem definidos. Inicialmente, ele justifica-se pelo fato de que todo o
conhecimento numérico do aluno, estabelecido
a
ao longo das séries anteriores, e organizado com a Situação de Aprendizagem 1 da
lizado desde a 5a série do Ensino Fundamental,
porém sempre deixando de lado discussões
relacionadas ao “preenchimento” do plano.
Por exemplo: ao dizer em uma 6a série que
os pontos (1,1), (1,4) e (5,1) são vértices de
um triângulo retângulo no plano cartesiano,
31
A retomada do tema em questão pode ser
feita com o seguinte problema:
exemplo de ponto pertencente ao segmento
AB, com coordenada y não inteira.
Construa no plano cartesiano o triângulo de vértices (1,1), (1,4) e (5,1). Em seguida,
indique alguns pontos ao longo do perímetro desse triângulo em que ao menos uma de
suas coordenadas não seja inteira.
Fazendo a representação do triângulo no
plano poderemos investigar a questão com
maior clareza:
denada x não inteira, e o par
7
3
um
Se, por opção do professor, o mesmo
problema fosse tratado na 7a série, após a
apresentação de alguns números irracionais,
poderíamos “preencher” os mesmos segmen2 , 1 , que pertence
tos com pontos como
a AC, e 1, 6 , que pertence a AB. Após o
trabalho feito com o teorema de tales na
7a série, também poderíamos encontrar pontos
pertencentes a BC com ambas as coordenadas
não racionais. Por exemplo, determinaremos
a seguir a ordenada do ponto 6 , y pertencente ao segmento BC.
)
(
)
(
(
y
1,
341
ponto pertencente ao segmento AC, com coor143
apenas iniciamos uma discussão que pode e
deve ser retomada na 8a série com mais rigor
e precisão por meio de discussão da reta real.
)
y
4
1
0
B
A
4
C
1
5
x
32
143
O par ordenado
341
Os segmentos AB, AC e BC são formados
por infinitos pontos, contudo, na 6a série não
se discutia especificamente quais são as coordenadas desses pontos. Se tal discussão fosse
conduzida naquela ocasião, certamente preencheríamos os segmentos apenas com pontos de
coordenadas racionais, já que os números irracionais ainda não haviam sido apresentados.
3
, 1 seria um exemplo de
2
y
1
0
B
D
E
C
A
1
6
5
x
Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y
e ED = 6 – 1 . Segue, portanto, que:
BE ED
4–y
6 –1
=
→
→
=
3
4
BA AC
→y=
19 – 3 6
∉ Q.
4
Matemática – 8a série, 1o bimestre
143
das não racionais:
6,
341
Portanto, o ponto D tem as seguintes coordena19 – 3 6
.
4
Retomando a discussão com os alunos sobre
o número π, iniciada na 6a série, é possível indicar que outro exemplo de ponto pertencente ao
segmento AC, com abscissa não racional, seria o
par ordenado (π,1).
Essa discussão deve servir para que o professor problematize a necessidade de ampliação das ideias relacionadas sobre os eixos do
plano cartesiano que, a rigor, são eixos de números reais, apesar de não ter sido definido
dessa maneira até a 7a série. Poderíamos dizer
que na 6a série a reta real estava preenchida
apenas com os racionais, na 7a série foram incorporados a ela alguns números irracionais
(caso o professor tenha optado por iniciar a
discussão sobre irracionais nessa série), e na
8a série ela será completamente preenchida
com os demais irracionais.
Antes de prosseguirmos a proposta de trabalho com a reta real, falaremos brevemente
sobre a divisão dos números irracionais entre
algébricos e transcendentes. Normalmente
não se comenta esse assunto no Ensino
Fundamental; porém, não encontramos grandes obstáculos para que ele seja abordado, especialmente se houver interesse do professor
em tratar o assunto sobre o ponto de vista da
história da Matemática.
Dizemos que um número real é algébrico
quando ele é solução de uma equação algébrica
com coeficientes inteiros.
Vejamos alguns exemplos de equações algébricas com coeficientes inteiros, bem como o
respectivo grau da equação:
Equação algébrica
Grau da
equação
Solução da
equação
2x + 8 = 0
1
–4
– 6x + 4 = 0
1
2
3
x2 = 3
2
± 3
x2 + x – 2 = 0
2
1 ou –2
x3 + x2 – 2x – 2 = 0
3
– 2, 2
ou –1
usando a definição de números algébricos
e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
, – 3 , 3 , 1, –2, – 2 ,
3
cados como algébricos.
2 e –1 são classifi-
observações:
1. uma equação do tipo
2 x – 1 = 0 não
serviria para classificar o número
2
2
como algébrico porque, apesar da equação ser algébrica, ela não possui todos
seus coeficientes inteiros (o coeficiente
de x é o número irracional 2 ). Para
mostrar que
2
é um número algébrico
2
(e ele é!), teríamos que apresentar, por
exemplo, a equação 2x2 – 1 = 0.
33
2. equações do tipo , x +
1
+2=0
x+1
x + 2 x + 2 = 0 , sen x =
1
não são algé2
bricas. Equações algébricas são do tipo
a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0, com
a0 ≠ 0, a0, a1, ..., an – 1, an sendo seus coeficientes, e n o seu grau.
3. um mesmo número algébrico pode ser
identificado por mais de uma equação
algébrica com coeficientes inteiros, mas
basta apresentar uma única equação
para que ele seja classificado como algébrico. Alguns exemplos de equações que
permitem classificar o número 2 como
algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0,
x3 + x2 – 2x – 2 = 0, etc.
O primeiro motivo de estabelecermos essa
classificação é o de justificar para o aluno a
diferença entre números irracionais como 2
e o π. Enquanto 2 é um número irracional
algébrico, não há uma equação algébrica com
coeficientes inteiros que tenha como solução
o número π, o que o caracteriza como irracional não algébrico (irracional transcendente:
quando um número real não é algébrico dizemos que ele é transcendente). todo número
racional é algébrico, mas nem todo número
irracional é algébrico.
Existem inúmeros exemplos de irracionais
transcendentes, porém, até o final do Ensino
Fundamental o aluno terá contato com apenas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar
matematicamente que são irracionais transcendentes números como π, log 2 e 2 2 .
34
Dizemos que a reta real é o conjunto que
reúne os números racionais e irracionais ou, de
outra forma, o conjunto que reúne os números
algébricos e os números transcendentes. Por fim,
afirmaremos que todo número racional é algébrico, nem todo número irracional é algébrico e
que todo número transcendente é irracional.
localização de números na reta real com o
uso de régua e compasso
Agora que a reta real está completamente preenchida, nos debruçaremos sobre
um problema que remonta à geometria da
Grécia Antiga. Sabe-se que os gregos antigos
se interessavam por construções geométricas
feitas com o uso de dois dos instrumentos geométricos mais simples de todos:
a régua sem escala e o compasso. Outros
instrumentos de construção também eram
utilizados na antiguidade clássica, porém,
acredita-se que o problema de se encontrar
os procedimentos para as construções geométricas com o uso de apenas esses dois
instrumentos esteja relacionado à busca de
simplicidade e elegância.
A tarefa que propomos para o professor
é desafiar seus alunos a encontrarem procedimentos com régua sem escala e compasso
para localizar na reta real a maior quantidade de números que for possível. uma forma de organizar a exploração seria partir
dos números naturais, passar pelos inteiros
não naturais, depois pelos racionais não inteiros e, por fim, pelos irracionais, eventualmente dividindo-os em irracionais algébricos
e transcendentes.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Começaremos por apresentar um diagrama com exemplos de números de cada conjunto numéricos e, em seguida, tentaremos
localizar na reta real (com os instrumentos
permitidos) alguns dos exemplos numéricos
do diagrama.
Q
IR – Q
z
1
2
2
3
3
–2
1
3
2
4
–4
7
0,25
sen 10o
1
mos que se comece com a localização de
passando em seguida para 0,25 =
0
1
, e depois
4
para
–6
log 2
1
,
2
1
. Apresentamos a seguir exemplos de
3
procedimentos que permitem as construções
desses números.
2
3
π
Os procedimentos para localização dos
racionais na reta real podem variar muito e
é importante que o professor dê liberdade
para que os alunos pensem sobre suas estratégias próprias de localização antes que seja
generalizado algum método padrão. Sugeri-
–1
IN
–3
2
Construção dos racionais não inteiros
2,3666...
Construção do
Construção dos números naturais e dos
inteiros negativos
1
2
1. Marcamos com o compasso o número 1.
Partimos de uma reta ordenada com uma
marcação para o zero. Em seguida, estabelecemos uma unidade de medida arbitrária (1u) e,
com a ajuda do compasso, marcamos todos os
números naturais e os inteiros negativos transportando a unidade para a reta real.
2. traçamos a mediatriz do segmento que
liga os números 0 e 1.
3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz
1
e a reta real é o número .
2
0
1
IR
1u
–3
–2
–1
0
1
2
3
IR
35
Construção do 0,25 =
1
4
Construção do
1
(conforme já foi descrito).
2
2. traçamos a mediatriz do segmento que
1. traçamos
1
.
2
3. O ponto de cruzamento entre a medialiga os números 0 e
triz e a reta real é o número
0
1
4
1
2
1
.
4
1
1
3
É interessante notar que muitos alunos ten1
na reta real repetindo o proce3
dimento da mediatriz, o que torna o problema
muito difícil. Recomendamos, nesse caso, que
o professor permita que os alunos discutam em
pequenos grupos o problema da localização de
tam localizar
1
na reta real. É provável que apareçam soluções
3
criativas e diferentes entre os grupos. Apresentamos a seguir uma solução do problema que tem
a vantagem de se constituir num método geral
para a representação de qualquer racional do
IR
1
tipo , com q ∈ z*.
q
1. Marcamos D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.
Com as duas construções que acabamos de
fazer, deve ficar claro para o aluno que podemos construir com régua sem escala e compasso
1 1 1 1
qualquer número da sequência , , , , ... .
2 4 8 16
De forma geral, torna-se simples a construção de qualquer número racional cujo denominador seja uma potência de 2. Por exemplo,
7
, basta
8
traçar a mediatriz do segmento de extremos
se quisermos construir o racional –
1
1
, o que fará o racional . Como
4
8
7
1
– = (–1) . 7 . , com a ajuda do compasso,
8
8
1
“capturamos” e “transportamos” a medida
8
sete vezes à esquerda do zero.
em 0 e
2. traçamos uma reta qualquer (diferente
da reta real) passando por D, que chamaremos reta t.
3. Na reta t, com a ajuda do compasso
marcamos três segmentos de mesmo
comprimento a partir do ponto D (na figura são os segmentos DA, AB e BC). O
comprimento desses segmentos não precisa ser igual à unidade de medida 1u.
4. Ligamos C com E formando o triângulo DCE.
D
E
0
1
IR
A
B
C
36
t
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Se conseguirmos traçar, com régua e compasso, retas paralelas à reta que passa por E e
C de forma que elas passem pelos pontos B e A,
o teorema de tales (trabalhado na 7a série) nos
dará garantias que a interseção dessas retas com
1 2
a reta real ocorrerá nos números e . O proce3 3
dimento do traçado da paralela a uma reta por
um ponto fora dela é bem conhecido do desenho
geométrico, e será ilustrado a seguir com a reta s,
paralela à EC passando por B.
E
D
2
3
0
A
IR
1
z
P
Q
B
X
s
C
t
Procedimento do traçado de s:
1. A partir de um ponto P de EC, abrimos
o compasso até B e traçamos uma semicircunferência de diâmetro XZ .
2. transportamos com o compasso o segmento XB na semicircunferência para
a posição indicada na figura por ZQ
( XQ e ZQ são congruentes).
3. Ligando os pontos B e Q determinamos
a reta s, que será paralela à EC.
4. A interseção de s com a reta real ocor2
1
rerá em . Para traçar , basta trans3
3
portar com o compasso o segmento
2
de extremos em e 1 para a esquerda
3
2
(note que o segmento transpor3
1
tado tem medida igual a u).
3
O procedimento descrito permite a generalização da construção com régua sem escala e
1
compasso de qualquer racional , com q ∈ z*
q
p
e, consequentemente, de qualquer fração ,
q
com p ∈ z e q ∈ z*.
de
Construção de
2e 3
uma vez que já conhecemos um procedimento para localizar todos os racionais na
reta real com régua e compasso, nossa tarefa agora será investigar a localização dos
números irracionais.
Começando com 2, sua construção pode
ser feita da seguinte forma:
1. traçamos uma perpendicular à reta real
passando pelo zero.
2. Marcamos 1u na reta traçada (P), e
também na reta real (Q).
3. Ligando P e Q temos um segmento de medida 2u (pelo teorema de Pitágoras).
4. transportamos com o compasso o segmento de extremos P e Q para a reta
real e determinamos 2u sobre ela.
1
P
2
Q
0
1
2
IR
37
Se utilizarmos agora um triângulo retângulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será
3u, o que indica que 3 também é construtível. Repetindo esse processo podemos
construir qualquer número irracional do tipo
n , com n natural e não quadrado perfeito.
Frequentemente encontramos nos livros de
Matemática essa construção associada à espiral ilustrada na figura a seguir:
1
1
ƅŊ
3
ƅŊ
2
1
1
ƅŊ
4
ƅŊ
5
ƅŊŊ
14
...
38
1
c
ƅŊ
8
ƅŊŊ
15
ƅŊŊ
13 ƅŊŊ ƅŊŊ ƅŊŊ
10
12 11
b
h
1
ƅŊ
9
B
1
1
1
2
A
ƅŊ
7
ƅŊŊ
16
4
1
ƅŊ
6
ƅŊŊ
17
Construção de
No estudo de relações métricas do triângulo
retângulo discutimos e demonstramos, por semelhança de triângulos, a seguinte relação:
1
1
opte por discuti-lo neste momento do curso (1o
bimestre), deverá ter trabalhado antes as relações métricas no triângulo retângulo. Havendo interesse e motivação por parte dos alunos
p
na representação das raízes do tipo n com
p ≠ 1 sendo uma potência de 2, o professor poderá dar início à discussão sobre semelhança de
triângulos já no 1o bimestre do ano.
n
m
a
C
h2 = m . n
1
Dispositivo de Teodoro,
Cirene. a consO procedimento
descrito de
generaliza
trução das raízes quadradas, mas nada nos diz
sobre raízes com outros índices que não 2. A seguir descreveremos um procedimento geral para
a construção com régua e compasso das raízes da
p
forma n , sendo n natural não quadrado perfeito, e p uma potência de 2 diferente de 1, ou seja,
o método permitirá construir, por exemplo, 2 ,
4
2 , 8 2 , 16 2 , ...
Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2,
teremos h = 2 . Se aplicarmos o resultado para
n = 1 e m = 2, obteremos h = 4 2 . Fazendo
agora n = 1 e m = 4 2 , encontraremos h = 8 2 .
Por esse processo, fica claro que podemos obter
qualquer raiz do tipo p n em que p é igual a 2,
4, 8, 16,..., e n natural. Resta-nos investigar qual
deve ser o procedimento, com régua e compasso,
para a construção de h. Ilustraremos tal procedimento para h = 4 2 .
Vale lembrar que o método que apresentaremos será demonstrado por semelhança de triângulos, que é um tema da grade de Matemática do 3o bimestre da 8a série. Caso o professor
1. traçamos com régua e compasso os
números reais 1 e 1 + 2 (os procedimentos de construção de 2 já foram
discutidos anteriormente, o que não
Matemática – 8a série, 1o bimestre
deve trazer dificuldades para representar 1 + 2 na reta real).
marcamos com P sua interseção com a
semicircunferência.
2. traçamos a mediatriz t do segmento de
extremos em 0 e 1 + 2 para determinar M, ponto médio desse segmento.
t
P
t
1
0
1
0
2
1
1+ 2
IR
2
1
1+ 2
M
IR
3. traçamos uma semicircunferência de
centro M e raio
1+ 2
.
2
5. O segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 4 2 , porque
é a altura de um triângulo retângulo de
projeções ortogonais dos catetos sobre
a base medindo 1 e 2 .
Este ângulo é reto porque
é um ângulo inscrito de um
ângulo central de 180°
t
1
M
h2 = 1 . 2
h
2
1
0
M
1+ 2
IR
1
h= 42
2
O procedimento descrito permite que se consp
trua qualquer raiz do tipo n , em que p é igual a
2, 4, 8, 16, ..., e n natural.
4. traçamos uma perpendicular à reta real
passando pelo número 1 e, em seguida,
Refletiremos agora sobre a construção com
régua e compasso dos demais números irracionais, como por exemplo 3 2 e π.
39
Apesar de não ser objetivo do curso da 8a série,
o professor pode comentar com os alunos o seguinte resultado matemático:
Os únicos números reais construtíveis
com régua sem escala e compasso são os números algébricos de grau 1, 2, 4, 8, 16...
Os números algébricos de grau 1 são os números
p
racionais, e os demais são as raízes do tipo n , em
que p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural. Segundo
esse resultado, que está matematicamente demonstrado, números irracionais algébricos como 3 2 , e
números transcendentes como π, não são construtíveis com régua sem escala e compasso. Tal fato
não deve ser interpretado como sendo a indicação
de que esses números não estejam na reta real.
Como V' = 2, segue que x = 3 2 e, portanto,
o problema se resume na busca de um método
para a construção de 3 2 com régua e compasso.
Problema da quadratura da circunferência: construir com régua sem escala e compasso um quadrado cuja área seja igual à de
um círculo dado ou, de modo equivalente,
construir um círculo de área igual à de um
quadrado dado.
r
x
x
A=π.r
A discussão que acabamos de conduzir tem
relevância histórica já que está relacionada a dois
antigos problemas clássicos investigados pelos
gregos antigos: o problema da duplicação do cubo
e o problema da quadratura da circunferência.
Os enunciados desses problemas são:
Problema da duplicação do cubo: construir
com régua sem escala e compasso a medida x
do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de um cubo de lado 1.
x
2
x = π . r2
2
Admitindo-se um círculo de raio 1, o valor
procurado de x é  .
Tanto o problema da duplicação do cubo
quanto o da quadratura da circunferência não podem ser resolvidos. O primeiro porque 3 2 é um
número algébrico de grau três e, como tal, não é
construtível com régua e compasso. E o segundo não é construtível porque π é transcendente
e, portanto, não construtível. Note que avaliar
a construtibilidade de  se resume a avaliar a
construtibilidade de π porque  seria a altura
h de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catemos n = 1 e m = π.
1
x
1
1
V=1
40
x
V' = 2V
V' = x3
Encerramos a discussão dessa Situação de
Aprendizagem lembrando que o tema tratado permite que se retome o estudo do desenho geométrico e que se faça uma aproximação entre os eixos
da aritmética, da álgebra e da geometria. Sabemos
Matemática – 8a série, 1o bimestre
que a discussão conduzida não é usualmente feita
no Ensino Fundamental, porém, não encontramos
obstáculos para que o assunto seja tratado, a não
ser por uma opção do professor, o que será respeitado. Esperamos, contudo, que esta Situação
de Aprendizagem contribua para que se agregue
conhecimento aos tópicos similares que constam
do seu planejamento anual da disciplina.
O professor também deve ter clareza de que é
desejável que os alunos possam trabalhar, de preferência em pequenos grupos, na busca de processos geométricos que permitam a construção dos
números solicitados. uma atividade interessante
que o professor pode propor é a de se determinar
procedimentos diferentes de construção com régua e compasso de um mesmo número.
Considerações sobre a avaliação
Pensando na avaliação, o professor pode
explorar a construção geométrica dos números, bem como ideias relacionadas à classificação de números em conjuntos já que agora
podemos fazê-la de acordo com novos critérios: números construtíveis com régua e compasso e números não construtíveis; números
algébricos e números transcendentes.
Nesta Situação de Aprendizagem não
apresentamos explicitamente sugestões de
exercícios porque toda a discussão feita pode
com facilidade ser transformada em atividades para o aluno. Por exemplo: uma vez que o
1
,
2
1 1 1
a construção de , , , ... pode se transformar
4 8 16
em exercício. Da mesma forma, uma vez que se
professor tenha mostrado a construção de
1
, a cons3
trução de todo e qualquer número racional
pode passar a ser um exercício de classe,
ou uma atividade de avaliação. Para os irracionais, se o professor optar por trabalhar
apenas com as raízes quadradas, o exemplo
de 2 deve ser suficiente para que o aluno possa construir como exercício qualquer
raiz do tipo n , com n natural e não quadrado perfeito. No caso das demais raízes
construtíveis, o exemplo de 4 2 deve permitir que os alunos construam 8 2 , 16 2 , 32 2 , ...
como exercício.
tenha demonstrado a construção de
uma vez que o tema explorado nessa Situação de Aprendizagem mantém forte vínculo
com importantes tópicos da história antiga
da Matemática, o professor pode solicitar
também que seus alunos façam uma pesquisa
sobre os problemas clássicos de construção.
Caso se opte por essa forma de avaliação, sugerimos que a pesquisa não se restrinja apenas
aos aspectos históricos, mas que se faça também Matemática com ela, principalmente no
que diz respeito às construções geométricas
com régua, compasso e outros instrumentos.
Por exemplo: o professor pode pedir que os
alunos investiguem o problema da trisseção de
um ângulo ou o problema da construção do
pentágono regular, que estão diretamente relacionados com a discussão de números reais.
41
SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4
POtêNCIAS, NOtAçãO CIENtÍFICA E
ORDEM DE GRANDEzA
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: potências de dez; operações com potências; notação científica; ordem de
grandeza.
Competências e habilidades: conhecer as propriedades operatórias das potências; escrever um
número em notação científica; determinar a ordem de grandeza de um número; resolver problemas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos.
Estratégias: revisar as propriedades de operações com potências; resolução de atividades e
exercícios.
roteiro para aplicação da Situação
de aprendizagem 4
O objetivo principal desta Situação de
Aprendizagem é o aprofundamento da notação numérica na forma de potências.
No Caderno da 7a série, já havíamos problematizado o uso das potências de dez para
representar números muito grandes ou muito pequenos. Se o professor achar necessário,
poderá fazer uma revisão sobre as principais
propriedades das operações com potências.
Nesta Situação de Aprendizagem, vamos formalizar o conceito de notação científica e apresentar a noção de ordem de
grandeza. Esses dois conceitos são de fundamental importância, não só para a continuidade dos estudos em Matemática, mas,
também, para as Ciências: Física, Biologia
e Química.
42
das potências de dez para a notação científica
O principal argumento para justificar o
uso de uma notação na forma de potências
de dez é que ela facilita a compreensão, a
comparação e a operação com números
muito grandes ou muito pequenos. As informações numéricas escritas na forma
decimal nem sempre são inteligíveis. Por
exemplo: o raio do átomo de hidrogênio
mede aproximadamente 0,000000005 cm;
uma célula é formada por cerca de
2 000 000 000 000 de átomos. Dificilmente
somos capazes de assimilar informações
como estas. usando a notação exponencial, é possível ter uma ideia da ordem de
grandeza desses números:
f raio do átomo de hidrogênio: 5 . 10–9 cm;
f número de átomos em uma célula:
2 . 10 12.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Como escrever números na notação de
potências de 10?
Consideremos um número qualquer, por
exemplo, 1 500. Esse número pode ser escrito
como um produto de diversas maneiras:
1 500 . 1 = 150 . 10 = 15 . 100 = 1,5 . 1 000 =
0,15 . 10 000 = ...
Em notação de potência de dez, os mesmos
números seriam escritos assim:
1 500 . 100 = 150 . 101 = 15 . 102 = 1,5 . 103 =
0,15 . 104 = ...
Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número com potência de dez.
nome
número por extenso
As potências de dez ajudam na leitura e na
comparação de números muito grandes ou muito pequenos. Contudo, nossa percepção numérica dificilmente consegue dar sentido a esses
números extremos, uma vez que não estamos
acostumados a lidar com tais valores em nosso
cotidiano. Para se ter uma ideia dessas magnitudes, pergunte aos alunos quanto tempo alguém
levaria para contar até um milhão, na velocidade de um número por segundo. Muito provavelmente, as estimativas mais ousadas devem
se situar perto de algumas horas. Na realidade,
seriam necessários 12 dias para se contar até um
milhão, e cerca de “32 anos” para um bilhão.
A tabela abaixo mostra o tempo necessário para
contar alguns desses números grandes.
Potência de dez
tempo de contagem
(1 por segundo)
um
1
100
1 segundo
Mil
1 000
103
17 minutos
Milhão
1 000 000
106
12 dias
Bilhão
1 000 000 000
109
32 anos
trilhão
1 000 000 000 000
1012
32 mil anos
Quatrilhão
1 000 000 000 000 000
1015
32 milhões de anos
Quintilhão
1 000 000 000 000 000 000
1018
32 bilhões de anos
43
Outro recurso utilizado para facilitar a
comparação e a compreensão dos números relativos a algumas medidas é os prefixos do sistema internacional. Alguns desses prefixos são
bem conhecidos, como o quilo (1 000), que é
usado para expressar distâncias (quilômetro =
1 000 metros), massa (quilograma = 1 000 gramas)
ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte = 1 000 bytes). A tabela abaixo mostra
os principais prefixos e o valor correspondente em potências de 10.
Prefixos
letra
notação científica
atto
a
10–18
femto
f
10–15
pico
p
10–12
nano
n
10–9
micro
µ
10–6
mili
m
10–3
centi
c
10
deci
d
10–1
quilo
k
103
mega
M
106
giga
G
109
tera
t
1012
peta
P
1015
exa
E
1018
–2
Exemplos:
f um elétron tem 1 femtômetro de extensão;
44
f a luz amarela tem comprimento de onda
de 0,5 micrômetros;
f o raio da terra é de aproximadamente
6 300 quilômetros;
f uma montanha pode pesar cerca de
100 petagramas;
f as informações digitais criadas, capturadas e replicadas no mundo em 2007
equivalem a 281 exabytes.
Escrevendo um número em notação
científica
um número qualquer pode ser escrito em
notação científica se for transformado em um
produto de um número compreendido entre
um e dez (incluindo o 1) por uma potência de
dez de expoente inteiro.
Exemplos:
7 = 7 . 100
100 = 1 . 102
1 500 = 1,5 . 1 000 = 1,5 . 103
62 300 = 6,23 . 10 000 = 6,23 . 104
0,02 = 2 .
1
= 2 . 10–2
100
0,00058 = 5,8 .
1
= 5,8 . 10–4
10 000
uma maneira prática de se escrever a notação científica é a seguinte:
1. Para números maiores que dez:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve "se deslocar" para a esquerda até encontrar a casa da unidade. Este número será o expoente da potência de dez.
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Exemplo:
1 50 000 000 = 1,5 . 108
8 casas
Note que a vírgula "desloca-se" 8 casas
decimais para a esquerda. Portanto, 8 é o
expoente de 10.
2. Para números menores que um:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve "se deslocar" para a direita até encontrar
a casa da unidade. Este número será o expoente negativo da potência de dez.
Exemplo:
0,00081 = 8,1 . 10–4
4 casas
A vírgula "desloca-se" 4 casas decimais
para a direita, e –4 é expoente de 10.
o significado da regra prática
É importante comentar com os alunos
que, na verdade, não é a vírgula que se
desloca, mas o algarismo. Quando multiplicamos um número por um múltiplo de
dez, altera-se o valor posicional de todos
os seus algarismos para um valor superior,
ou seja, à esquerda. Como a vírgula fica em
uma posição fixa, separando a unidade dos
décimos, tudo se passa como ela se deslocasse para a direita. Se multiplicarmos 2,5
por 10, as duas unidades viram dezenas, e
os cinco décimos viram cinco unidades, resultando em 25.
Da mesma forma, quando dividimos um
número por um múltiplo de dez, os algarismos
se deslocam para um valor posicional menor,
à direita. Se dividirmos 25 por 100, as duas
dezenas viram dois décimos, e as cinco unidades, cinco centésimos, resultando em 0,25.
Novamente, tudo se passa como se a vírgula
se deslocasse para a esquerda.
A seguir, propomos algumas atividades
para a consolidação dos procedimentos de escrita na forma de potências de dez e em notação científica.
atividade 1
Escreva os números abaixo na forma de um
produto, de quatro maneiras diferentes. Veja
o exemplo: 25 300 = 2 530 . 10 = 253 . 100 =
25,3 . 1 000 = 253 000 . 0,1
a) 250 = 25 . 10 = 2,5 . 100 = 0,25 . 1 000 =
2 500 . 0,1
b) 0,004 = 4 . 0,001 = 0,4 . 0,01 =
0,04 . 0,1 = 0,0004 . 10
c) 4,73 = 47,3 . 0,1 = 0,473 . 10 =
473 . 0,01 = 0,0473 . 100
atividade 2
Escreva os números abaixo em língua corrente e em notação científica:
Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos).
3,5 . 10–2
a) 7 300 000 000
Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 109.
45
b) 2 980 000 000 000 000 000
operações com potências de dez
Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1018.
uma das vantagens de escrevermos um
número na forma de potências de 10 é que
as operações se tornam mais simples. É um
bom momento para retomar com os alunos as
propriedades das operações com potências de
mesma base:
c) 0,25
Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 10 –1.
d) 0,0004
Quatro décimos de milésimos ou 4 . 10 –4 .
e) 0,0000125
Cento e vinte e cinco decimilionésimo:
1,25 . 10 –5.
atividade 3
Escreva os dados numéricos das informações seguintes, em notação científica.
f na multiplicação basta fazer a soma dos
expoentes. 103 . 108 = 103 + 8 = 1011;
f na divisão, efetua-se a subtração dos expoentes. 108  105 = 108 – 5 = 103;
f potência de uma potência resulta na multiplicação dos expoentes. (103)2 = 103 . 2 = 106;
f potências com expoentes racionais: o
denominador do expoente é o índice da
22
5
a) A população da China é, aproximadamente, 1,3 bilhão de habitantes.
1,3 . 109.
raiz. 333 = 5 32 .
Seguem alguns exemplos envolvendo tais
propriedades:
b) A Bacia Amazônica é formada pelo
Rio Amazonas e seus afluentes e ocupa uma área de 7 045 000 km2, dos
quais 4 750 000 km2 estão em território brasileiro.
a) 0,0021 . 30 000 000 =
7,045 . 106 km2 e 4,75 . 106 km2.
b) 350 000  0,02 = (3,5 . 105)  (2 . 10–2) =
c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km
por segundo.
= (2,1 . 10–3) . (3 . 107) =
= (2,1 . 3) . (10–3 . 107) = 6,3 . 104
= (3,5  2) . (105  10–2) = 1,75 . 107
c) (0,005)3 = (5 . 10–3)3 = 125 . 10–9 =
3 . 10 km/s.
5
d) A espessura da folha de papel é mais ou
menos 0,0001 metros.
10 –4 m.
46
= 1,25 . 10–7
d)
250 000 = 2, 5 . 105 =
4
= 25 . 10 4 = 25 . 10 4 = 5 . 10 2 =5.102
Matemática – 8a série, 1o bimestre
E, no caso da adição e subtração, pode-se
recorrer à fatoração, transformando as parcelas em potências de 10 com mesmo expoente.
a) 6,5 . 103 + 5,4 . 103 = (6,5 + 5,4) . 103 =
= 11,9 . 103 = 1,19 . 104
= (460 – 2,5) . 103 = 457,5 . 103 =
1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108.
Efetue as seguintes operações usando as
propriedades da potenciação. Dê as respostas
em notação científica.
a) 1 200 . 500 000 = 1,2 . 10 . 5 . 10 =
= 6 . 108.
3
c) 450 000 ÷ 0,009 = 4,5 . 105 ÷ 9 . 10–3 =
= 0,5 . 108 = 5 . 107.
d) 0,00025 ÷ 0,00000005 =
= 25 . 10–5 ÷ 5 . 10–8 = 5 . 103.
e) 0,34 ÷ 1 700 = 34 . 10–2 ÷ 17 . 102 =
= 2 . 10–4.
f) (60 000)3 = (6 . 104)3 = 216 . 1012 =
= 2,16 . 1014.
g) (0,0004) = (4 . 10 ) = 256 . 10
= 2,56 . 10–14.
4
0, 000027 =
–4 4
–16
=
16 . 10 4 = 4 . 102.
3
d) 7,54 . 107 – 3,2 . 106 =
75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107.
atividade 6
5
b) 0,00015 . 0,002 = 1,5 . 10–4 . 2 . 10–3 =
= 3 . 10–7.
3
b) 2,5 . 107 – 500 . 104 =
c) 1,28 . 108 + 4 . 105 =
atividade 4
i)
a) 2,5 . 105 + 7 . 103 =
2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107.
= 4,575 . 105
160 000 =
Efetue as operações abaixo e dê a resposta
em notação científica.
103 . (2,5 . 10 2 + 7) = 10 3 . (257) = 2,57 . 105.
b) 4,6 . 105 – 2,5 . 103 = 460 . 103 – 2,5 . 103 =
h)
atividade 5
27 . 10 – 6 = 3 . 10 –2.
Observe o quadro abaixo e complete a
coluna de notação científica:
Planeta
distância média
ao Sol (em km)
notação
científica
Mercúrio
57 900 000
5,79 . 107
Vênus
108 200 000
1,082 . 108
terra
149 600 000
1,496 . 108
Marte
227 900 000
2,279 . 108
júpiter
778 300 000
7,783 . 108
Saturno
1 427 000 000
1,427 . 109
urano
2 870 000 000
2,87 . 109
Netuno
4 497 000 000
4,497 . 109
Plutão
5 900 000 000
5,9 . 109
47
Atividade 7
Com base na tabela anterior, imagine o seguinte problema: Em determinado instante,
Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na Terra.
Neste momento, qual é a distância entre
Saturno e a Terra?
Podemos resolver esse problema aplicando o
Teorema de Pitágoras.
2
2
2
DSol
-Sat = DSol -Terra + DTerra -Sat
2
Terra – Sat
(1,4 . 10 ) = (1,4 . 10 ) + D
9 2
8 2
2
18
16
DTerra
- Sat = 1,96 . 10 – 1,96 . 10
2
16
16
DTerra
- Sat = 196 . 10 – 1,96 . 10
2
16
DTerra
- Sat = 194,04 . 10
DTerra - Sat = 194,04 . 10 6 � 13,9 . 10 8 =
= 1,39 . 109
A distância entre a Terra e Saturno é de
aproximadamente 1 390 000 000 km.
Ordem de grandeza
Em muitas situações, quando trabalhamos com medidas muito grandes ou muito
pequenas, não há necessidade de conhecer
com precisão todos os algarismos que compõem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima
de um determinado valor. Essa potência é
48
denominada ordem de grandeza do número
que expressa a medida.
Exemplos:
a) o raio orbital médio do planeta Júpiter
mede aproximadamente 778 547 200 km.
Esse número pode ser escrito como
7,785472 . 108 km. Como 7 está mais
próximo de 10 do que de 1, podemos
aproximá-lo para 10, resultando no
produto 10 . 108. Portanto, sua ordem
de grandeza é de 109.
b) a ordem de grandeza do número
0,000031 é 10–5. Isso porque, escrevendo o número em notação científica,
3,1 . 10–5, notamos que o 3 está mais
próximo do 1 do que do 10. Portanto,
aproximamos o número para baixo, resultando em 1 . 10–5.
Conhecendo as ordens de grandezas de
diversas medidas, podemos facilmente distinguir qual é a menor ou a maior, bastando
comparar os expoentes das potências de 10.
Retomando a tabela da atividade 6, que informa as distâncias médias dos planetas ao Sol,
podemos constatar que a distância Terra-Sol é
da ordem de 108 km, enquanto a de Júpiter
é da ordem de 109 km, ou seja, é cerca de
10 vezes mais distante.
Atividade 8
Dê a ordem de grandeza das seguintes
medidas:
a) população mundial: aproximadamente
6,6 bilhões em 2007.
1010
b) massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg
1025 kg
Matemática – 8a série, 1o bimestre
c) massa de um: 9,11 . 10–28 g
10–27 g
d) altitude do Everest: 8 848 m
104 m
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é a de que os alunos tenham
consolidado seus conhecimentos sobre potências e suas operações. Além disso, eles devem saber escrever um número qualquer em
notação científica, e realizar operações com
ela. O conhecimento sobre as propriedades das operações com potências também é
fundamental. Outro conceito importante que
deve ser considerado nas avaliações é o de ordem de grandeza.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, tanto ao longo
das atividades propostas como ao final de um
ciclo ou bimestre. As atividades propostas
nesta Situação de Aprendizagem constituem
exemplos de exercícios que podem ser utilizados para compor a avaliação, a partir das
expectativas listadas no parágrafo anterior.
Além disso, os livros didáticos contêm uma
série de outros exercícios e problemas que podem complementar o trabalho do professor na
elaboração de fichas de exercícios e provas.
ORIENtAçõES PARA RECuPERAçãO
Na Situação de Aprendizagem 1, caso alguns alunos demonstrem dificuldade para
compreender o significado dos conjuntos numéricos, recomendamos que se retome um
pouco da história dos números, mostrando
como esse tipo de representação evoluiu ao
longo da história em função das necessidades
do homem: o surgimento dos números naturais como uma forma de representar a contagem de objetos ou de marcar a passagem do
tempo; a necessidade de medida levando ao
surgimento dos números fracionários (racionais); o desenvolvimento do comércio e das
finanças, que demandou a utilização de números negativos para registrar dívidas, etc.
Na Situação de Aprendizagem 2, o professor
poderá retomar os temas por meio de lista de
exercícios e, eventualmente, poderá propor que
os alunos façam um trabalho em grupo sobre frações contínuas e aproximações de irracionais.
A Situação de Aprendizagem 3 permite
que o professor explore a recuperação com
atividade de desenho geométrico já que parte significativa do trabalho nela apresentado
diz respeito às construções geométricas. Nesse
momento, o professor poderá utilizar uma lista de exercícios e poderá solicitar que o aluno prepare fichas-resumo com procedimentos
elementares de construção como, por exemplo, o traçado da mediatriz de um segmento, o
traçado da bissetriz de um ângulo, construção
de polígonos regulares e, mais diretamente relacionado com a Situação de Aprendizagem, a
construção de alguns números reais.
49
Em relação à Situação de Aprendizagem 4, que trata da notação científica,
pode acontecer de alguns alunos demonstrarem dificuldade com algumas das operações. Caso isso ocorra, recomendamos
que o professor retome os princípios que
fundamentam as propriedades das operações com potências. Mais do que enunciar
a propriedade, é fundamental que o professor mostre por que essa propriedade vale.
Isso pode ser feito a partir de exemplos
simples, no qual o aluno possa se apoiar em
seus conhecimentos prévios sobre multiplicação e potências para compreender o significado da propriedade. Por exemplo: uma
das propriedades afirma que, no produto
de potências de mesma base, mantém-se a
base e somam-se os expoentes. Podemos
visualizar essa propriedade a partir de um
exemplo numérico:
23 . 25 = 2 . 2 . 2
.
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 28
3 fatores 2
5 fatores 2
Generalizando para os expoentes m e n,
temos:
am . an = 2 . 2 . 2
.
2.2.2.2.2=
m fatores
n fatores
2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...= 2m + n
m + n fatores
RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR
E DO ALuNO PARA COMPREENSãO DO tEMA
AABOE, A. Episódios da história antiga
da Matemática. 2. ed. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000.
50
n. 1, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1982.
BESKIN, N. Fracções contínuas. Lisboa:
ulmeiro, 2001.
COuRANt, R.; ROBBINS, H. O que
é Matemática? Ciência Moderna. Rio de
janeiro, 2000.
CARNEIRO, j. P. Q. um processo finito para a raiz quadrada. In: Revista do
Professor de Matemática, n. 34, Rio de
janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1997.
jAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Revisitando os três problemas clássicos insolúveis da Antiguidade. In: Revista do
Professor de Matemática, n. 66, Rio de janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 2008.
COStA, R. O que é um número transcendente? In: Revista do Professor de Matemática,
LIMA, Elon Lages. O que significa a
igualdade 1/9 = 0,111...? In: Revista do
Matemática – 8a série, 1o bimestre
Professor de Matemática, n. 2, Rio de
janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1983. p. 6-9.
NIVEN, I. Números: racionais e irracionais. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 1984.
MOREIRA, C. G. Frações contínuas,
representações de números e aproximações.
In: Eureka, n. 3, Rio de janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998.
SAGAN, C. Bilhões e bilhões: reflexões
sobre vida e morte na virada do milênio.
São Paulo: Cia. das Letras, 2002.
51
ContEúdoS dE MatEMátiCa Por SériE/biMEStrE
do EnSino FundaMEntal
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
5a série
números naturais
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações básicas.
- Introdução às potências.
Frações
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
números decimais
- Representação.
- transformação em fração
decimal.
- Operações.
6a série
números naturais
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional decimal.
números inteiros
- Representação.
- Operações.
números racionais
- Representação fracionária e
decimal.
- Operações com decimais
e frações.
7a série
8a série
números racionais
- transformação de
decimais finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
números reais
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
Potenciação
- Propriedades para
expoentes inteiros.
tratamento da informação
- A linguagem das
potências.
Geometria/medidas
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
álgebra
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
álgebra
- Equações do 2o grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
Geometria/medidas
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área por
composição e decomposição.
números/proporcionalidade
- Proporcionalidade direta e
inversa
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: .
tratamento da informação
- Gráficos de setores.
- Noções de probabilidade.
álgebra/equações
- Equações de 1o grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações do 1o grau.
- Sistemas de
Coordenadas (plano
cartesiano).
Geometria/medidas
- Proporcionalidade, noção
de semelhança.
- Relações métricas entre
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
tratamento da informação
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
álgebra
- uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
Geometria/medidas
- teorema de tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações
- área de polígonos.
- Volume do prisma.
Geometria/medidas
- O número π; a circunferência,
o círculo e suas partes; área
do círculo.
- Volume e área do cilindro.
Sistemas de medida
- Medidas de comprimento,
massa e capacidade.
- Sistema métrico decimal.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.
52
tratamento da informação
- Contagem indireta e
probabilidade.