Introdução Permutação Combinações Métodos de contagem Francimário Alves de Lima Universidade Federal do Rio Grande do Norte 6 de agosto de 2014 Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Exercı́cios Introdução Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercı́cios Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercı́cios Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral? De quantas maneiras é possı́vel um sistema ser funcional? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral? De quantas maneiras é possı́vel um sistema ser funcional? Há uma forma mais fácil? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios O princı́pio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possı́veis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possı́veis? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios O princı́pio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possı́veis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possı́veis? Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possı́veis se os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios O princı́pio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possı́veis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possı́veis? Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possı́veis se os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números? Ou seja, este será o nosso espaço amostral! Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercı́cios Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Permutação Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possı́veis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba). Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princı́pio básico. Para o caso de n objetos essa quantidade é n!. Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possı́veis em um time de beisebol formado por 9 jogadores? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Permutação Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possı́veis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba). Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princı́pio básico. Para o caso de n objetos essa quantidade é n!. Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possı́veis em um time de beisebol formado por 9 jogadores? Ex. 4: Quantos diferentes arrajos de letras pode ser formados a partir das letras PEPPER? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercı́cios Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Ideia Estamos frequentemente interessados em determinar o número de grupos diferentes de r objetos que podem ser formados a partir de um total de n objetos. Por exemplo, quantos diferentes grupos de 3podem ser selecionados dos 5 itens A, B, C , D e E ? Res.: 5x4x3 = 10 3x2x1 Em geral, tem-se que o número de grupos diferentes de r itens que poder ser formados a partir de um conjunto de n intes é n n(n − 1)...(n − r + 1) n! = = r r! (n − r )!r ! Em que, r é o número de itens que será escolhidos dentre os n. Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Combinação Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são possı́veis? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Combinação Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são possı́veis? Ex. 6: Considere um conjunto de n antenas das quais m apresentam defeito e n − m funcionam, e suponha que n]ao seja possı́vel distinguir as antenas defeituosas daquelas que funcionam. Quantos alinhamentos podem ser feitos sem que duas antenas com defeito sejam colocadas lado a lado? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercı́cios Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Permutação Combinações Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios 1 O grêmio de uma faculdade é formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2 formados. Um subcomitê de 4 pessoas, formado por uma pessoa de cada ana, deve ser escolhido. Quantos subcomitês diferentes são possı́veis? 2 Quanas funções difinidas em n pontos são possı́veis se cada valor da função for igual a 0 ou 1? 3 No exemplo 2, quantas placas de automóvel seriam possı́veis se a repetição entre letras ou números fosse proibida? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Exercı́cios Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Exercı́cios 4 Uma turma de teoria da probabilidade é formada por 6 homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com o seu desempenho. Suponha que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota. (a) Quantas diferentes classificações são possı́veis? (b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificações são possı́veis? 5 A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes. quatro são de matemática, três são de quı́mica, dois são de história e um é um livro de lı́nguas. A Sra. Jones deseja arranjá-los de forma que todos os ivros que tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possı́veis? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Exercı́cios 6 Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais quatros são russos, três são dos EUA, dois são da Grã-Bretanha e um é do Brasil. Se o resultado do torneio listar apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de colocação, quantos resutados serão possı́veis? 7 Quantos diferemtes sinais, cada um deles formado por nove bandeiras alinhadas, podem ser feitos a partir de un conjunto de quatro bandeiras brancas, três bandeiras vermelhas e duas bandeiras azuis se todas as bandeiras de mesma cor forem idênticas? Francimário Alves de Lima Métodos de contagem Introdução Permutação Combinações Exercı́cios Exercı́cios 8 De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por duas mulheres e três homesn podem ser formados? E se dois dos homens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos? 9 Quantos subconjuntos existem em um conjunto de n elementos? ROSS, Sheldon. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações. 8. ed. Tradutor: Alberto De Conti. Porto Alegre: Bookman, 2010. Pg 15 até 25. Francimário Alves de Lima Métodos de contagem
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