0 [Type the document title] Universidade do Vale do Paraíba Fundamentos da Física Ao Aluno Esta apostila será elaborada ao longo da disciplina de Fundamentos da Física, ministrada nos curso de Arquitetura e Urbanismo da Univap. A apostila será uma compilação das notas de aula que estarão fundamentadas nos livros listados na bibliografia recomendada. Estas notas de aula não substituirão o uso dos livros textos, mas poderão auxiliá-lo no entendimento dos conteúdos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livros seja utilizado para uma melhor compreensão dos conteúdos desse curso. São José dos Campos, março de 2013 1 1. Grandezas, unidades e medidas É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maça, por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade. Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos. 1.1. Coerência Dimensional Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme: x = x0+v.t (1) onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial, v é a velocidade do móvel e t o tempo. No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc. Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t. Para que ocorra a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões. Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea! Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a expressão: 80 quilogramas = 30 metros + x metros Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os seguintes símbolos: Comprimento [L] Massa [M] Tempo [T] Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos: x posição = [ L ] t tempo = [ T ] v !"#$%&" !"#$% = ! ! π₯ = π₯! + π£π‘ β πΏ = πΏ + πΏ π β πΏ = πΏ + πΏ π Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de unidades. Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais. Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido. São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, temperatura, velocidade, aceleração, etc. Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke: F = βk x (2) onde, no lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos uma constante k (constante elástica da mola), que queremos determinar sua dimensão, multiplicada pela posição x (elongamento da mola). Então, realizando a análise dimensional: 3 1. πΉ = πππ π π×πππππππçãπ 2. πππππππçãπ = !"#$%×!"#$% = 3. πΉ = πππ π π×πππππππçãπ = π πΏ !"#$%&#'()" ! !.! = ! !! , logo ! !! Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos: π π= πΏ π πΏ =π πΏ β =π ! π πΏ π! π π! Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao quadrado, ou seja, g/ s2 ou kg/s2 . Vejamos a seguir alguns exemplos de análise dimensional: 1. Velocidade: π£ = β! β! se βπ = πΏ e βπ‘ = π π£= πΏ π 2. Aceleração: π = π= πΏ π! 3. Força: F = m.a β! β! πΉ= π. πΏ π! 4. Trabalho: π = πΉ. π π= π. πΏ π ! ! ! 5. Potência: π = β! π= !.!! !! 6. Quantidade de Movimento: π = π. π£ π= π. πΏ π EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão dimensionalmente incorretas, onde: v0 é a velocidade inicial do objeto; a é a aceleração do corpo; x0 é a posição inicial do objeto; Ξx = xβx0 é o deslocamento; g é a aceleração da gravidade; r é o raio de uma circunferência; v é a velocidade; t é o tempo; W é o trabalho realizado. 5 a) x = x0+v0.t+1/2.a.t2 b) v = v0+a.t2 c) v = v02 + 2.a.Ξx d) t = (v0.sen ΞΈ) / g e) a = v / r f) W = F.Ξx.cosΞΈ 2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, µ, c e d: a) F= G.(M.m)/r2 b) fa = µ.N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal. c) F = c.a3 d) F = d.v , onde v é a velocidade. 1.2. Coerência de Unidades O Sistema Internacional de Unidades β SI βTodo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico) As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si. Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à "Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de símbolos. Exemplos: Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa nome: metro nome: segundo nome: quilograma símbolo: m símbolo: s símbolo: kg Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e "grau Celsius". O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto. Certo Errado segundo s s. ou seg. metro m m. ou mtr. kilograma kg kg. ou kgr. hora h h. ou hr. O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s". cinco metros Certo Errado 5m 5 ms 7 dois kilogramas 2 kg 2 kgs oito horas 8h 8 hs Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas: Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. Certo Errado quilômetro por hora quilômetro/h km/h km/hora metro por segundo metro/s m/s m/segundo Grandeza Nome Plural Símbolo O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto, não pode ser usado sozinho. Certo Errado quilograma; kg quilo; k Use o prefixo quilo da maneira correta. Certo Errado quilômetro kilômetro quilograma kilograma quilolitro kilolitro área metro quadrado metros quadrados m² volume metro cúbico metros cúbicos m³ ângulo plano radiano radianos rad velocidade metro por segundo metros por segundo m/s aceleração metro por segundo metros por segundo m/s² quilograma por quilogramas por metro cúbico metro cúbico metro cúbico por metros cúbicos por segundo segundo força newton newtons N pressão pascal pascals Pa joule joules J watt watts W massa específica vazão trabalho, energia, quantidade de calor potência, fluxo de energia kg/m³ m³/s O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais: Grandeza Nome Plural Símbolo comprimento metro metros m tempo segundo segundos s massa quilograma quilogramas kg corrente elétrica ampère ampères A temperatura termodinâmica kelvin kelvins K quantidade de substância mol mols mol Intensidade luminosa candela candelas cd As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas das setes grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas: 9 1.3. Conversão de Unidades Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento. Unidade km hm dam m dm cm mm 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 1 hectômetro 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1 decâmetro 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 1 metro 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 1 decímetro 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1 centímetro 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 1 milímetro 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 1 kilômetro β Exemplos de conversão de unidades. Converter as seguintes medidas de áreas para km2: a) 100 m2 1 m = 0,001 km, então 1 m2 = (0,001 km)2 1 m2 = 0,000001 km2 Logo: 100 m2 = 100 x 0,000001 km2 100 m2 = 0,0001 km2 b) 150 hm2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm2 = (0,1 km)2 1 hm2 = 0,01 km2 Logo: 150 hm2 = 150 x 0,01 km2 150 hm2 = 1,5 km2 c) 100000 dm2 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm2 = (0,0001 km)2 1 dm2 = 0,00000001 km2 Logo: 100000 dm2 = 100000 x 0,00000001 km2 100000 dm2 = 0,001 km2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm: a) 2,5 m b) 1,3 km c) 200 dam d) 10500 mm 2) Converta as seguintes medidas de áreas para m2: a) 1 km2 b) 5 dam2 c) 2,5 mm2 d) 3 cm2 3) Converta as seguintes medidas de volume para m3 a) 1,85 cm3 b) 11,5 mm3 c) 3,2 dam3 d) 0,1 km3 1.4. Fatores de Conversão de Tempo Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo. 11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos: a) 1h 10min b) 1 semana c) 48h d) 2h 26min 5) Converta: a) 300 dias em segundos b) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos 1.5. Fatores de Conversão de Unidades Derivadas Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade. Converter de Para Multiplicar por metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8 metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369 metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60 quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778 quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214 Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a conversão de unidades, conforme segue no exemplo: Converter de km/h para m/s: 10 ππ 1000π 1β 1πππ 10×1000 × × × = = 2,77 π π β 1ππ 60πππ 60π ππ 60×60 Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6) Converta: a) 35 km/h em m/s b) 100 m/s em km/h c) 600W em HP d) 35 HP em cv e) 3,5 cv em J/s f) 500 mmHg em kgf/cm2 g) 1000 pol em km h) 3500 ml em galões 7) Ano-luz é uma quantidade de comprimento igual à distância percorrida pela luz em um ano. Calcule o fator de conversão entre anos-luz e metros. Determine o valor de um ano-luz em metros. 13 8) O micrometro (1µ m) é também chamado de mícron. (a) Quantos mícrons tem 1 km? 9) A planta de crescimento mais rápido de que se tem notícia é uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3,7 m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em metros por segundos e metros por hora? 10) A Terra é uma esfera de raio de aproximadamente igual a 6,37 x 106 m. Qual é a sua circunferência em quilômetros? 1.5. Notação Científica Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar. A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas: 1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula; 2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove). 3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10n onde, a potência n é o número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda da vírgula. Exemplos: 3563,2 m = 3,5632×103m 0,000001234 mm = 1,234×10β6 mm 0,02m × 0,13m = 2,0×10β2m × 1,3×10β1m = 2,0×1,3×10β2β1 = 2,6×10β3 m2 (6,31×10β5 m)3 = (6,31)3×(10β5)3 m3 = 251,2396×10β15 m3 = 2,512396×10β13 m3 A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas regras especiais que veremos no tópico seguinte. Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas recomendou os seguintes prefixos: Tabela 6. Prefixos utilizados no SI. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11) Escreva em notação científica as seguintes medidas: a) 0,00005 b) 300,2 c) 0,00000000198 d) 230120,2 1.7. Critérios de Arredondamento Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que se deve ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de 06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são: 1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes. 15 Ex.: 7,34856 β 7,3 2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescentase uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes. Ex.: 1,2734 β 1,3 3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for ímpar desprezando os seguintes. Ex.: 6,2500 β 6,2 12,350 β 12,4 4. Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes. Ex.: 8,2502 β 8,3 8,4503 β 8,5 1.8. Medidas de comprimento, área e volume Perímetro: é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Área: pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja de uma superfície. Área tem unidades, por exemplo, cm2, m2, in2, etc. Volume: de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades, por exemplo, cm³, m³, in³, etc. 3 O litro, unidade popularmente usada para volume, equivale a 0,001 m , ou a um decímetro cúbico. Figura 1. Fórmulas de área e volume para alguns sólidos EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule o perímetro e a área da figura abaixo 17 2) Em um folheto de propaganda aparece a seguinte planta de um apartamento. Calcule a área de cada cômodo e a área total do apartamento 3) A figura abaixo mostra a planta de uma chácara. O proprietário deseja realizar algumas reformas e benfeitorias. Veja a lista de tudo que será feito: 1. Cerca ao redor de todo o terreno. 2. Plantação no terreno ao lado da casa. 3. Muro separando os arredores da casa da plantação; muro separando ambos do resto do sítio. 4. Horta de 600 metros quadrados no terreno no fundo da chácara. Calcule: a) quantos metros vai precisar de cerca; b) quantos metros de comprimento o muro terá; c) a área destinada à plantação; d) quanto de terreno irá sobrar para plantar o pomar 5) A cozinha da nossa casa tem duas janelas, cada uma com 1 m de largura por 1,20 m de altura. Tem também duas portas, cada uma com 70 cm de largura por 2 m de altura (essas medidas já incluem a moldura da porta). Sabe-se ainda que a distância do chão da cozinha ao teto é de 2,60 m e o comprimento de cada parede é de 4 m. Pretendemos azulejar as quatro paredes com azulejos retangulares de 15 cm por 20 cm. Quantos azulejos serão necessários? 6) Na figura abaixo, vemos uma piscina de 10 m de comprimento por 6 m de largura. Existe uma parte rasa, com 1,20 m de profundidade, uma descida e uma parte funda, com 2 m de profundidade. Com as medidas que aparecem no desenho, calcule o volume da piscina. 19 Solução: Inicialmente, podemos constatar que essa piscina é um prisma. Por quê? Vamos recordar: todo prisma é formado por duas figuras paralelas e iguais chamadas bases e, por arestas paralelas e iguais, que ligam essas bases. Observe que a nossa piscina está de acordo com essa definição. A figura que aparece na frente é uma das bases e qualquer uma das arestas de comprimento 6 m é a altura, porque elas são perpendiculares às bases. As duas bases são paralelas e iguais. A altura é perpendicular às bases. O volume do prisma é igual à área de uma das bases multiplicada pela altura. Como, no nosso caso, a altura é igual a 6 m, só nos falta calcular a área de uma das bases. Para isso, vamos dividi-la em figuras menores, como mostra o desenho abaixo. A base do nosso prisma foi dividida em três partes: um retângulo (A), um retângulo ângulo menor (B) e um triângulo retângulo (C). Com as medidas que estão no desenho, poderemos facilmente calcular as áreas das três partes: SA = 10 x1,2 = 12 m2 SB = 3 x0,8 = 2,4 m2 SC =3 x 0,8 / 2 = 1,2 m 2 A soma das áreas das três partes é 12 + 2,4 + 1,2 = 15,6 m 2. Essa é a área da base do nosso prisma. Como o volume é o produto da área da base pela altura (6 m), temos que o volume da piscina é: 15,6 x 6 = 93,6 m3 Concluímos, então, que cabem dentro dessa piscina 93,6 m3 de água, ou seja, 93 600 litros. 21 Aula Prática: Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas Determinação Experimental do Volume de um Objeto 1. INTRODUÇÃO Será calculado o volume de objetos como esferas, cilindros e cubos metálicos. Para tal fim, serão usados dois instrumentos para medir dimensões lineares: o paquímetro e o micrômetro. 2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas técnicas de medidas, cuidados experimentais no laboratório, utilizando instrumentos de medida muito simples como o paquímetro e o micrômetro. 3.TEORIA A seguir, descreveremos o funcionamento dos instrumentos de medição usados neste experimento. 3.1. PAQUÍMETRO O paquímetro é um instrumento de medida de comprimento muito utilizado em laboratórios e em oficinas mecânicas onde também é conhecido como calibre. Entre seus principais usos podemos citar medidas de diâmetros de vergalhões, diâmetros internos, profundidades, etc. O paquímetro (Fig. 1) consta usualmente de uma haste metálica com duas esperas fixas (1 e 7), um cursor móvel com esperas (2 e 10), nônio ou vernier (11) e uma haste (14). Figura 1. Elementos do paquímetro. 1, 2, 7 e 10: esperas, 3: nônio ou vernier superior (polegada), 4: trava, 5: corpo móvel, 6: escala superior (graduada em polegadas), 8 e 9: esperas internas, 11: nônio ou vernier inferior (cm), 12: posicionador do corpo móvel, 13: escala inferior (graduada em centímetros), 14: haste de profundidade. O corpo do paquímetro contém duas escalas principais graduadas uma em polegadas e outra em milímetros. O cursor possui duas escalas secundárias em correspondência às escalas principais. A escala secundária do cursor é parte muito importante do instrumento, pois permite que se façam leituras de frações da unidade da escala principal, aumentando deste modo a precisão da medida. As escalas auxiliares são conhecidas por nônio ou vernier. O funcionamento do nônio baseia-se no fato de que o seu comprimento corresponde a um número inteiro de N divisões da escala principal. Seja n o número de divisões e u o comprimento de cada divisão do nônio. Então se U é o comprimento de cada divisão da escala principal, resulta: Figura 2. Escalas do paquímetro. 23 Na figura 2, 10 divisões do nônio correspondem a 9 mm da escala principal. Assim, cada divisão do nônio corresponde a 9/10 da divisão da escala principal. Desta forma, ao fazermos medidas, o primeiro traço à esquerda do nônio serve de referência para se contar os milímetros e o próximo traço no nônio que coincidir com qualquer traço da escala principal determinará a fração de milímetro. Figura 3. Leitura de uma medição através do paquímetro. Na figura 3 pode-se ver a correta leitura de uma medição com o uso do paquímetro. Define-se como aproximação do nônio a diferença entre o comprimento de uma divisão da escala principal e o comprimento de uma divisão do nônio: ! π΄=πβπ’ = 1β! π Quando a escala auxiliar não é dividida em 10 partes costuma-se denominá-la vernier. No vernier n divisões da escala auxiliar correspondem a n β 1 divisões da escala principal. Cada divisão do vernier corresponde a πβ1 1 =1β π π da escala principal. Portanto a divisão do vernier é 1/n menor que a da escala principal. A quantidade 1/n é a menor leitura do vernier. Aparelhos como o teodolito, aparelhos ópticos como os espectroscópios, apresentam escalas circulares, mas o princípio de seus nônios é o mesmo. APLICAÇÕES β’ Medidas de comprimento em geral são feitas com o objeto entre as esperas 7 e 10 (Fig. 1). β’ As esperas 1 e 2 servem para medidas internas. β’ Medidas de profundidade se fazem entre o extremo do cursor 14 e a base da haste. β’ Conversor de polegadas em milímetros e vice-versa. CUIDADOS GERAIS β’ Não deixe o paquímetro cair e principalmente não force nem raspe as extremidades de medida 7 e 10, 1 e 2, e 14. β’ O objeto a ser medido deve ser tocado levemente pelas esperas, sob pena de prejudicar a medida, e possivelmente danificar o aparelho. 3.2. MICRÔMETRO O micrômetro (Fig. 4) ou Palmer é um instrumento para medir dimensões de objetos pequenos e tem aplicação na medida de diâmetros de fios, espessura de chapas, etc. O micrômetro consta essencialmente de um parafuso micrométrico. Num dos extremos do parafuso temos a espera móvel e esta, obviamente, não deverá pressionar fortemente o objeto medido. Portanto, no outro extremo existe uma catraca que é um dispositivo protetor e que também permite reprodutibilidade nas pressões aplicadas. Sobre o tambor temos a manga que possui uma escala circular normalmente gravada com traços correspondentes a 0,01 mm. Cada volta completa da manga corresponde ao avanço ou recuo de um passo do parafuso micrométrico. Observe que no micrômetro fornecido o passo é de 0,5 mm. Se o passo da rosca é de 0,5 mm e o tambor tem 50 divisões, a resolução será 25 Assim, girando o tambor, cada divisão provocará um deslocamento de 0,01 mm no fuso (Fig. 5). Em forma de arco temos uma peça com um dos extremos rosqueado ao tambor e com o outro extremo constituindo a espera fixa. Figura 4. Elementos do micrômetro. Figura 5. Passo do micrômetro. CUIDADOS GERAIS β’ Não permita que o micrômetro caia sobre a mesa e muito menos no chão. β’ Gire o parafuso micrométrico usando sempre a catraca para proteger tanto o instrumento quanto o objeto medido. β’ Segure sempre o micrômetro pela peça que tem formato de arco. β’ Nunca guarde o micrômetro com as esperas em contato. LEITURAS O objeto a ser medido deve ser encostado inicialmente na espera fixa e em seguida, girando a catraca, aproximando a espera móvel. Ao fazermos a leitura usamos como referência para a escala horizontal a borda da manga, e como referência para a escala circular usamos o risco horizontal que existe no tambor. 4. PARTE EXPERIMENTAL MATERIAIS UTILIZADOS 1. Esferas, cilindros e cubo metálicos; 2. Paquímetro e Micrômetro. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o diâmetro da esfera, a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo; 2. Calcular o valor mais provável para cada uma das medidas (para ambos os instrumentos); 3. Calcular o volume para cada uma das peças, para ambos os instrumentos. 27 CONCLUSÕES Através das seguintes questões, monte suas conclusões: 1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro e micrômetro? 2. Como você explicaria esta diferença encontrada? 3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas? 2. Vetores A Física lida com um amplo conjunto de grandezas. Dentro dessa gama enorme de grandezas existem algumas, cuja caracterização completa requer tão somente um número seguido de uma unidade de medida. Tais grandezas são chamadas grandezas escalares. Exemplos dessas grandezas são a massa e a temperatura. Outras grandezas requerem três atributos para a sua completa especificação como, por exemplo, a posição de um objeto. Não basta dizer que o objeto está a 200 metros. Se você disser que está a 200 metros existem muitas possíveis localizações desse objeto (para cima, para baixo, para os lados, por exemplo). Dizer que um objeto está a 200 metros é necessário, porém não é suficiente. A distância (200 metros) é o que denominamos, em Física, módulo da grandeza. Para localizar o objeto, é preciso especificar também a direção e o sentido em que ele se encontra. 2.1. Definição e representação de um vetor Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial. Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da letra, como π£ = ππ = O β P . O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representam módulo, | π£ | . Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples. Neste exemplo tempos um vetor que possui todas as informações necessárias. Veja: 29 β’ Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r, horizontal; β’ Sentido: Fica notável que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita, neste caso; β’ Módulo: O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é, graficamente representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nosso caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u. OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centímetros, o módulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o módulo do vetor possuiria 3 metros, etc. 2.2. Soma de vetores Quando executamos uma operação com vetores, chamados o seu resultado de resultante π . Dado dois vetores π = π΄ β π e π = π΅ β π , a resultante é obtida graficamente trançando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela ao outro. Em que π é o vetor soma. Como a figura formada é um paralelogramo, este método é denominado método do paralelogramo. A intensidade do vetor é dado por: π = π² + π² + 2πππππ πΌ E a partir desta equação basta substituir os valores do paralelogramo acima, para se obter a equação do método do paralelogramo. Quando temos um caso particular onde os vetores estão em posições ortogonais entre si, basta aplicar o teorema de Pitágoras. π = π² + π² 2.3. Decomposição de vetores Dado um vetor π, podemos encontrar outros dois vetores π! e π! tal que π! + π! = π . Vejamos a figura abaixo Nesse caso, como π! e π! são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal. Veja a figura abaixo: Na figura acima podemos deslocar o vetor para a extremidade do vetor de modo que o vetor e seus vetores componentes ortogonais e formem um triângulo retângulo. 31 Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes horizontal e vertical do vetor em função do ângulo ΞΈ. Dessa forma, do triângulo amarelo acima temos: π = π² + π² + 2πππππ πΌ π! = ππ πππ EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Um empregado do correio dirige um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na Figura abaixo. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante usando diagramas em escala. R:. 7,8km; 38° nordeste 2) Uma andarilha começa uma viagem de dois dias caminhando inicialmente 25 km na direção sudeste a partir de seu carro. Ela pára e monta sua barraca para a noite. No segundo dia ela caminha 40 km em uma direção 60º ao norte do leste., ponto em que ela descobre uma torre do guarda-florestal. a) Determine as componentes dos deslocamentos da andarilha no primeiro e segundo dias. b) O vetor deslocamento resultante para a viagem. R: a) Primeiro dia Ax= 17,7 km e Ay= -17,7 km; Segundo dia Bx= 20 km e By= 34,6 km; b) Rx= 37,7 km e Rx= 16,9 km 3) Calcular as componentes horizontal e vertical da força de 200 N aplicada na viga conforme a figura abaixo. R:. a) Fx= 173,2 N e Fy= 100 N 33 3. Força e Leis de Newton A relação que existe entre uma força e a aceleração produzida por ela foi descoberta por Isaac Newton (1642 β 1727), e é assunto desta parte da disciplina. O estudo dessa relação, da forma como foi apresentada por Newton, é chamado de mecânica newtoniana. A mecânica newtoniana não pode ser aplicada a todas as situações. São restrições: β’ Movimentos em que as velocidades dos corpos são muito grandes, comparáveis a velocidade da luz β Uso da teoria da relatividade restrita de Einstein. β’ Se as dimensões dos corpos envolvidos são muito pequenas, da ordem das dimensões atômicas (como os elétrons de um átomo) β Uso da mecânica quântica. A mecânica newtoniana é um caso particular destas duas teorias mais abrangentes, mesmo assim é um caso particular muito importante. Ela pode ser aplicada ao estudo do movimento dos mais diversos objetos, desde muito pequenos (quase dimensões atômicas) até objetos muito grandes (galáxias e aglomerados de galáxias). Força é um empurrão ou um puxão - a idéia que temos de um força é que ela é um empurrão ou um puxão. Iremos aperfeiçoar essa idéia mais adiante, mas por agora ela é bastante apropriada. Uma força representa uma ação sobre um objeto. Forças não existem isoladas dos objetos que as experimentam. Uma força requer um agente - algo que atua ou exerce poder, isto é, uma força possui causa específica e identificável. Uma força é um vetor - Se você empurra um objeto pode empurrá-lo suave ou fortemente, para a esquerda ou para a direita, para cima ou para baixo. Para qualificar um empurrão, você precisa especificar um módulo e uma orientação. Uma força pode ser de contato - Existem dois tipos básicos de força, dependendo se o agente toca ou não o objeto. Forças de contato são aquelas exercidas sobre um corpo através de um ponto de contato com algum ponto do mesmo. O bastão deve tocar a bola a fim de rebatê-la. Uma corda deve ser amarrada a um objeto para puxá-lo. A maioria das forças que abordaremos são de contato. Uma força pode ser de ação à distância - são as forças exercidas sobre um corpo sem contato físico. A força magnética é um exemplo. Sem dúvida você já viu um imã colocado acima de um clipe conseguir erguê-lo. Uma caneta solta de sua mão é puxada para a Terra pela força de ação a distância da gravidade. Observação: No nosso modelo de partícula, os objetos não podem exercer forças sobre si mesmos. Uma força sobre o objeto terá um agente externo ou uma causa externa ao objeto. Vetor Força Podemos usar um diagrama simples para visualizar como as forças externas são exercidas pelos corpos. Uma vez que estamos usando o modelo de partícula, no qual os objetos são considerados como pontos, o processo de desenhar um vetor força é direto. Eis como: 1 - Represente o objeto como uma partícula; 2 β Localize a cauda do vetor força sobre a partícula; 3 β Desenhe o vetor força como uma seta com a orientação apropriada e com um comprimento proporcional à intensidade da força; 4 β Denote o vetor adequadamente. 3.1. Curto catálogo de Forças Existem muitas forças com as quais trabalharemos repetidas vezes. Aqui introduziremos algumas delas. 35 FORÇA GRAVITACIONAL - Uma pedra em queda é puxada para baixo pela Terra através da força de ação à distância da gravidade. A gravidade β o único tipo de força de ação a distância que encontraremos nesta parte do curso - mantém você sobre uma cadeira, mantém os planetas em suas órbitas em torno do Sol e determina a forma da estrutura de larga escala do universo. O puxão gravitacional de um planeta sobre um corpo em sua superfície ou próximo dela é chamada de força gravitacional. O agente da força gravitacional é o planeta inteiro, que puxa o objeto. A gravidade é exercida sobre todos os corpos, estejam eles se movendo ou parados. O vetor força gravitacional sempre aponta verticalmente para baixo. FORÇA ELÁSTICA DE UMA MOLA - As molas exercem uma das forças de contato mais comuns. Uma mola pode empurrar (quando comprimida) ou puxar (quando esticada). Embora você possa estar pensando em uma mola como uma espiral metálica que pode ser esticada ou comprimida, isto é somente um tipo de mola. Existem outros. FORÇA DE TENSÃO - Quando um barbante, uma corda ou um arame puxa um objeto, ele exerce uma força de contato que chamamos de força de tensão, representada pela letra maiúscula . A orientação da força é a mesma do barbante ou da corda. Se usássemos um microscópio muito poderoso para olhar o interior de uma corda, βveríamosβ que ela é formada por átomos mantidos juntos por meio de ligações atômicas. As ligações atômicas não são conexões rígidas entre átomos. Elas se parecem mais com minúsculas molas mantendo os átomos juntos, como na figura abaixo. Puxando-se as extremidades de um barbante ou de uma corda, esticam-se ligeiramente as molas atômicas. A tensão dentro da corda e a força de tensão experimentada por um objeto em contato com uma das extremidades da corda são, de fato, a força resultante exercida por bilhões e bilhões de molas microscópicas. Esta visão da tensão em escala atômica introduz uma nova idéia: a de um modelo atômico microscópio para a compreensão do comportamento e das propriedades dos objetos macroscópicos. Trata-se de um modelo porque os átomos e ligações atômicas não são realmente pequenas bolas e molas. Estamos usando conceitos macroscópicos β bolas e molas para entender fenômenos em escala atômica que não podemos ver ou sentir diretamente. Este é um bom modelo para explicar as propriedades elásticas dos materiais, mas não seria necessariamente, um bom modelo para explicar outros fenômenos. Com freqüência usaremos modelos atômicos para obter uma compreensão mais profunda do que observamos. FORÇA NORMAL - Se você sentar num colchão de molas, estas serão comprimidas e, em conseqüência disso, exercerão uma força orientada para cima sobre você. Molas mais duras sofreriam menor compressão, mas ainda exerceriam forças orientadas para cima. Pode ser que a compressão das molas extremamente duras seja mensurável apenas por instrumentos sensíveis. Apesar disso, as molas seriam comprimidas ainda que ligeiramente e exerceriam uma força orientada para cima sobre você. Imagine um livro sobre o tampo de uma mesa. A mesa pode não flexionar ou encurvar-se visivelmente, mas β da mesma forma como você no colchão de molas - o objeto comprime as molas atômicas da mesa. O tamanho da compressão é muito pequena, mas não é nulo. Como conseqüência, as molas atômicas comprimidas empurram o objeto para cima. Dizemos que a mesa exerce uma força para cima, mas é importante que se compreenda que o empurrão é de fato, realizado pelas molas atômicas. Analogamente, um objeto em repouso sobre o solo comprime as molas atômicas que o mantêm íntegro e, conseqüentemente, o solo empurra o objeto para cima. 37 Podemos ampliar essa idéia. Suponha que você encoste a sua mão sobre uma parede e a empurre. A parede exercerá uma força sobre a sua mão? Quando você empurra, comprime as molas atômicas da parede e, como conseqüência, elas empurram a sua mão de volta. Logo, a resposta é sim, a parede realmente exerce uma força sobre você. A força exercida pelo tampo da mesa é vertical; a força que a parede exerce é horizontal. Em todos os casos, a força exercida sobre um objeto que pressiona uma superfície tem direção perpendicular à superfície. Os matemáticos se referem a uma reta perpendicular a uma superfície como sendo normal a esta. Assim, definimos como força normal, a força exercida por uma superfície (agente) contra um objeto que a está pressionando. O símbolo para força normal será π. FORÇA DE ATRITO - Certamente você já descobriu que pode deslizar mais sobre uma camada de gelo do que no asfalto. Você também já sabe que a maioria dos objetos ficam parados sobre uma mesa, sem deslizar para fora dela, mesmo se a mesa não estiver perfeitamente nivelada. A força responsável por esse tipo de comportamento é o atrito. O símbolo para o atrito é a letra minúscula π. O atrito, como a força normal, é exercido por uma superfície. Mas enquanto a força normal é perpendicular, a força de atrito é tangente à superfície. Ao nível microscópico, o atrito surge quando os átomos do objeto e da superfície movem-se uns em relação aos outros. Quanto mais rugosa for a superfície, mais estes átomos serão forçados a se aproximar e, como resultado, surgirá uma grande força de atrito. Devemos distinguir entre dois tipos de atrito: Atrito Cinético, denotado por π! , aparece quando um objeto desliza ao longo de uma superfície. É uma força oposta ao movimento, o que significa que o vetor força de atrito, π! , tem sentido oposto ao vetor velocidade. Atrito estático, denotado por π! é a força que mantém o objeto grudado sobre uma superfície e que o impede de se mover. Determinar a orientação de é um pouco mais complicado do que encontrar a de π! . O atrito estático aponta no sentido oposto àquele em o que o objeto se movimentaria se não existisse o atrito, ou seja, ele tem orientação necessária para impedir a ocorrência do movimento. 3.1. Combinação de Forças Imagine uma caixa sendo puxada por duas cordas, cada qual exercendo uma força sobre a caixa. Como a caixa reagirá? Quando várias forças agem sobre um objeto simultaneamente, elas se combinam para formar uma única força, a força resultante, dada pela soma vetorial de todas as forças: ! πΉ!"# = πΉ! = πΉ! + πΉ! +. . . +πΉ! !!! A força resultante também é chamada de força total. EXERCÍCIO PROPOSTO 1) Três lutadores profissionais estão lutando pelo mesmo cinturão de campeão. Olhando de cima, eles aplicam três forças horizontais sobre o cinturão, conforme a figura 39 abaixo. Os módulos das três forças são F1= 250N, o F2= 50N e o F3= 120N. Ache as componentes x e y da força resultante. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante. a) Três forças atuando sobre um mesmo ponto. b) A força resultante e suas componentes. R.: Fx= -100 N e Fy= 80 N, Ο΄ = -39° ou Ο΄ = 141° 3.1. Leis de Newton Antes de Newton formular sua mecânica, a maioria dos filósofos pensava que para a manter um corpo em movimento era necessária a ação de uma determinada influencia ou força. Achavam que quando um corpo estava em repouso, ele estava em seu βestado naturalβ. Para que um corpo se movesse com velocidade constante tinha que ser empurrado ou puxado de alguma forma, caso contrário, pararia βnaturalmenteβ. Essas idéias pareciam razoáveis! PRIMEIRA LEI DE NEWTON: Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não poderá sofrer uma aceleração. Em outras palavras: se um corpo está em repouso ele permanece em repouso. Se ele está em movimento, continua com a mesma velocidade (mesmo módulo e mesma orientação). SEGUNDA LEI DE NEWTON: A força resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. Em termos matemáticos: πΉ = ππ Em unidades do SI, a equação diz que: 1 N= (1 kg)( 1m/s2) Esta equação é simples, mas devemos usá-la com cautela. Primeiro devemos escolher o corpo ao qual vamos aplicá-la; deve ser a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo. Somente as forças que atuam nesse corpo devem ser incluídas na soma vetorial, não as forças que agem sobre outros corpos envolvidos na mesma situação. Por exemplo, se você disputa uma bola com vários adversários em um jogo de futebol, a força resultante que age sobre você é a soma vetorial de todos os empurrões e puxões que você recebe. Ela não inclui um empurrão ou puxão que você dá em outro jogador. Como outras equações vetoriais, a equação πΉ = ππ é equivalente a três equações para as componentes , uma para cada eixo de um sistema de coordenadas xyz: IMPORTANTE TERCEIRA LEI DE NEWTON: Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos contrários. Outra forma de dizer: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a partes opostas... 41 Exemplo1: A figura abaixo mostra um livro L apoiado em uma caixa C. O livro e a caixa interagem: a caixa exerce uma força horizontal sobre o livro e o livro exerce uma força horizontal sobre a caixa. A relação escalar: FLC = FCL (módulos iguais) Vetorialmente: πΉ!" = βπΉ!" (módulos iguais e sentidos opostos). Podemos chamar as forças entre dois corpos que interagem de par de forças da terceira lei. SEMPRE QUE DOIS CORPOS INTERAGEM EM QUALQUER SITUAÇÃO, UM PAR DE FORÇAS DA TERCEIRA LEI ESTÁ PRESENTE. Exemplo2: Imagine uma abóbora sobre uma mesa que se encontra apoiada no chão (na Terra). A abóbora interage com a mesa enquanto a mesa interage com a Terra. Inicialmente vamos nos concentrar nas forças que agem sobre a abóbora. é a força normal que a mesa exerce sobre a abóbora e a força é a força gravitacional que a Terra exerce sobre a abóbora. Elas formam um par de forças da terceira lei? Não, pois são forças que atuam sobre um mesmo corpo, a abóbora, e não sobre dois corpos que interagem. Exemplo3: Para encontrar um par da terceira lei precisamos nos concentrar na interação entre a abóbora e outro corpo. Assim, de acordo com a terceira lei: πΉ!" = βπΉ!" EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A figura abaixo mostra um bloco de massa m=15 kg, suspenso por três cordas. Quais são as trações em cada corda? 43 2) Um bloco de massa m=18 kg está preso por uma corda sobre um plano sem atrito e inclinado de 27 º. (a) Ache a tração na corda e a força normal exercida sobre o bloco pelo plano . (b) Analise o movimento depois da corda ser cortada. 3) A figura abaixo mostra um bloco de massa m1= 10kg sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado por uma corda de massa de desprezível que está ligada a outro bloco de massa m2= 18kg , pendurado nela. A corda passa por uma polia cuja massa é desprezível e cujo eixo gira com atrito desprezível. Ache a tração na corda e a aceleração. 4) Considere duas massas desiguais ligadas por uma corda que passa por uma polia ideal, como na figura abaixo. Suponha m2= 14kg e m1= 10kg . Encontre a tração nas cordas e a aceleração das massas. 5) A luminária de 100 N é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A. Determinar as forçasπ΄π΅ e π΄πΆ . Suponha que Ζ = 60º Exercícios s : força 45 6) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar as forças π΄π΅e π΄πΆ. 7) A figura abaixo, mostra três caixotes com massas m1 = 45kg, m2 =22 kg e m3 = 33 kg apoiados sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de intensidade 50 N empurra os caixotes para a direita. Determine: a) Qual a aceleração adquirida pelos caixotes? b) Ache a força exercida por m2 em m3 e por m1 em m2 3.2. Força de Atrito Quando um corpo está sobre uma superfície ou através de um meio viscoso como o ar ou a água, há resistência ao movimento, pois o corpo interage com sua vizinhança. Chamamos essa resistência de força de atrito. As forças de atrito são importantes em nossas vidas diárias. Elas nos permitem caminhar, correr e são necessárias para o movimento de veículos sobre rodas. O atrito causa desgaste e deformação e muito esforço técnico é feito para reduzi-lo. Queremos saber como expressar as forças de atrito em termos das propriedades do corpo e do seu meio. Imagine que você empurra uma lata pela superfície de concreto, como na figura abaixo. Essa é uma superfície real, não uma superfície idealizada sem atrito em um modelo de simplificação. Fig. 3.1 (a) A força de atrito estático π! entre uma lata de lixo e o piso de concreto é oposta à força aplicada πΉ. O módulo da força de atrito estático é igual ao módulo da força aplicada. (b) Quando o módulo da força aplicada ultrapassa o módulo da força de atrito cinético π! , a lata acelera para a direita. (c) Um gráfico do módulo da força de atrito contra o módulo da força aplicada. Em nosso modelo, a força de atrito cinético é independente da força de atrito da força aplicada e da velocidade relativa das superfícies. Observe que π!,!á# > π! . Se aplicamos uma força horizontal externa πΉ sobre a lata, agindo para a direita, a lata permanece estacionária se πΉ for pequena. A força que se opõe a πΉ e que impede a lata de se mover age para a esquerda e é chamada força de atrito estático π! . Enquanto a lata não está em movimento, fs= πΉ . Assim, se πΉ aumenta, π! também 47 aumenta. Da mesma forma, se πΉ diminui, π! também diminui. As experiências mostram que a força de atrito surge da natureza de duas superfícies; devido às suas asperezas, o contato só é feito em alguns pontos. Se aumentamos o módulo de πΉ, como na Figura 3.1 (b), a lata pode finalmente começar a deslizar. Quando a lata está quase começando a deslizar, fs tem um valor máximo. Quando F ultrapassa fs, máx , a lata se move e acelera para a direita. Quando a lata está em movimento, a força de atrito é menor que fs, máx. Chamamos a força de atrito para um corpo em movimento força de atrito cinético π! . Experimentalmente descobre-se que, com uma boa aproximação, quando um corpo está sobre uma superfície, tanto fs, máx quanto fk são proporcionais à força normal exercida pela superfície sobre o corpo β assim adotamos um modelo de simplificação no qual se supõe essa aproximação como exata. As suposições são resumidas: β’ O módulo da força de atrito estático entre duas superfícies quaisquer que estão em contato pode ter os valores π! β€ π! π em que a constante adimensional π! é chamada coeficiente de atrito estático e n é o módulo da força normal. A igualdade na equação anterior vale quando as superfícies estão quase começando a deslizar, isto é, quando π! = π!,!á# β‘ π! π . Essa situação é chamada movimento iminente. A desigualdade vale quando a componente da força aplicada paralela às superfícies é menor que esse valor. β’ O módulo da força de atrito cinético agindo entre duas superfícies é dado por π! = π! π em que π! é o coeficiente de atrito cinético. β’ Os valores de π! e π! dependem da natureza das superfícies, mas π! é geralmente menor que π! . β’ A direção da força de atrito sobre um corpo é oposta ao movimento real (atrito cinético) ou ao movimento iminente (atrito estático) do corpo em relação à superfície com a qual está em contato. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Você está tentando mover um engradado de 500 N sobre um piso plano. Para iniciar o movimento, você precisa aplicar uma força horizontal e módulo igual a 230 N. Depois da βquebra de vínculoβ e de iniciado o movimento, você precisa aplicar uma força horizontal de módulo igual a 200N para manter o movimento com velocidade constante. Qual é o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético? 2) No exemplo anterior, suponha que você tente mover o engradado amarrando uma corda em torno dele e puxando a corda para cima com um ângulo de 30° com a horizontal. Qual é a força que você deve fazer para manter o movimento com 49 velocidade constante? O esforço que você faz é maior ou menor do que quando aplica uma força horizontal? Suponha p = 500N e π! = 0,40. 3) O bloco B na figura abaixo pesa 712N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco B e a mesa é 0,25. Encontre o peso máximo do bloco A para o qual o sistema permanecerá em equilíbrio. 3. Temperatura, calor e transmissão de calor A termodinâmica β a ciência da energia no contexto mais amplo β surgiu lado a lado com a revolução industrial em decorrência do estudo sistemático sobre a conversão de energia térmica em movimento e trabalho mecânico. Daí o nome termo + dinâmica. De fato, a análise de motores e geradores de vários tipos permanece sendo o foco da termodinâmica para a engenharia. Porém, como ciência, a termodinâmica agora se estende a todas as formas de conversão de energia, incluindo as que envolvem os organismos vivos. Por exemplo: β’ Motores convertem energia dos combustíveis em energia mecânica de pistões, engrenagens e rodas de movimento; β’ Células de combustível convertem energia química em energia elétrica; β’ Células fotovoltaicas convertem energia eletromagnética da luz em energia elétrica; β’ Organismos convertem energia química dos alimentos em uma variedade de outras formas de energia, incluindo energia cinética, energia sonora e energia térmica. 3.2. Temperatura e equilíbrio térmico O conceito central da termodinâmica é a temperatura. Estamos tão familiarizados com essa palavra que temos a tendência de sermos excessivamente confiantes. Começaremos com a idéia do senso comum de que a temperatura seja uma medida de quão "quente" ou "frio" está um sistema. Essa "sensação de temperatura" nem sempre é confiável. Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrimão de ferro parece estar mais frio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de ambos estarem a mesma temperatura. Por quê? Esse erro na nossa percepção ocorre porque o ferro remove energia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira. Portanto, vamos entender o conceito de temperatura mais profundamente. Suponha que tivéssemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato com o outro e 51 isolados de influências externas. Você poderia perceber que o corpo mais quente iria se esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, você perceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partir desse momento, as temperaturas dos corpos não sofrerão alterações, isto é, eles atingirão uma situação final, denominada estado de equilíbrio térmico. LEI ZERO DA TERMODINÂMICA - Se cada um dos sistemas A e B está em equilíbrio térmico com um terceiro sistema C, então A e B estão em equilíbrio térmico entre si. Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero é: "Todo corpo possui uma propriedade chamada temperatura". A lei zero surgiu no século XX, na década de 1930, muito depois da primeira e segunda leis da termodinâmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito de temperatura, a qual é fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um número de ordem menor para designá-la. A lei zero surgiu no século XX, na década de 1930, muito depois da primeira e segunda leis da termodinâmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito de temperatura, a qual é fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um número de ordem menor para designá-la. 3.2. Escalas de Temperatura A temperatura é uma das sete grandezas básicas do S.I. e está relacionada à energia térmica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma grandeza física, é necessário que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito quantitativo desta grandeza. Esta medida é feita com termômetros. 3.2.1 Escala Kelvin A escala universalmente adotada em física é a escala kelvin, na qual o zero da escala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absoluto da temperatura. A escala Kelvin é calibrada no chamado ponto tríplice da água, na qual o gelo, água líquida e vapor d'água coexistem em equilíbrio térmico e vale exatamente: π! = 273,16 K 3.2.1 Escala Celsius O grau Celsius (β¦C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701β1744), que foi o primeiro a propô-la em 1742. Esta é utilizada em quase todos os países do mundo para as medidas do dia a dia e comerciais. Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibração: β’ o ponto de congelamento da água corresponde β 0 β¦C β’ o ponto de ebulição da água - 100 β¦C Enquanto que os valores de congelação e evaporação da água estão aproximadamente corretos, a definição original não é apropriada como um padrão formal: ela depende da definição de pressão atmosférica padrão, que por sua vez depende da própria definição de temperatura. A definição oficial atual de grau Celsius define 0,01 °C como o ponto triplo da água, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da diferença de temperatura entre o ponto triplo da água e o zero absoluto. Esta definição garante que 1 grau Celsius apresenta a mesma variação de temperatura que 1 kelvin. A temperatura na escala Celsius Tc em termos da escala Kelvin é dada pela equação: π! = π β 273,15 °C 3.2.1 Escala Fahrenheit A escala Fahrenheit também foi originalmente baseada em dois pontos fixos: β’ o ponto de congelamento da água corresponde - 32°F 53 β’ o ponto de ebulição da água - 212 °F A Fig. 3.1 mostra as relações entre as essas três escalas de temperatura. Fig. 3.1: Escalas de Temperatura Transformando °F para °C: π! β 0 π ! β 32 = 100 β 0 212 β 32 π! π ! β 32 = 100 180 π! = 5 π β 32 9 ! Transformando °F para K: π β 273 π ! β 32 = 373 β 273 212 β 32 π β 273 π ! β 32 = 100 180 π β 273 = π = 5 π β 32 9 ! 5 π β 32 + 273 9 ! EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem? R.: -40 2) A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem? R: 574,25 3) A resistência de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entre o ponto tríplice da água e o ponto de ebulição da água na pressão atmosférica. Qual a temperatura medida por este termômetro para o ponto de ebulição normal da água? R.: 380,2K 4) Você deve se preocupar se o seu médico lhe disser que a sua temperatura é de 310 K? Explique sua resposta. R.: 36,85 °C 5) A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit é igual a: a) duas vezes a da escala Celsius? R.: 320 °F b) metade da escala Celsius? R: -12 °F 6) Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71 °C. Que temperatura é esta na escala Fahrenheit e Kelvin? R.: 202,15 K; -95,8 °F 55 3.3. Dilatação Térmica Praticamente todas as substâncias, sejam sólidas, líquidas ou gasosas, dilatam-se com o aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura é diminuída e o efeito da variação de temperatura, especialmente a dilatação, tem muitas implicações na vida diária. A dilatação térmica de um sólido sugere um aumento da separação média entre os átomos do sólido. Você já deve ter notado um espaçamento nos blocos de concreto das ruas e avenidas, bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse espaçamento é necessário justamente por causa da dilatação que os materiais sofrem. Também em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo, para abrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma. O controle da temperatura feito através de termostatos com lâminas bimetálicas, utilizadas no ferro elétrico e em termopares que são os dispositivos que constam em automóveis e outros tipos de termômetros, ocorre com base na dilatação de certos materiais. Fig 3.2. Trilhos ferroviários deformados por causa de uma expansão térmica. 3.3.1 Dilatação Linear Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L0 for elevada de uma quantidade ΞT, verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade βπΏ = πΏ! πΌβπ onde Ξ± é uma constante chamada de coeficiente de expansão linear de um dado material. Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quando aquecido de 0°C a 30 °C? Dado: Ξ±Ferro= 12x10-6 (°C)-1. R.: 3,6 mm 3.3.2 Dilatação Superficial e Volumétrica Como as dimensões lineares de um corpo mudam com a temperatura, a área da superfície e o volume também mudam. A alteração no volume é proporcional ao volume inicial V0 e à mudança de em temperatura de acordo com a relação βπ = π! π½βπ onde Ξ² é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para encontrar a relação entre Ξ± e Ξ², suponha que o coeficiente de expansão linear do sólido seja o mesmo em todas as direções, isto é, que o material seja isotrópico. Desta maneira Ξ² = 3Ξ±. Da mesma forma, a variação na área é dada por βπ΄ = π΄! 2πΌβπ 3.3.3 Comportamento incomum da água Líquidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e têm coeficientes médios de expansão de volume dez vezes maiores do que dos sólidos. A água fria é uma exceção à regra, como você pode ver a partir da curva de densidade versus temperatura, mostrada na Fig. 3.3. Conforme a temperatura aumenta de °C a 4°C, a água se contrai e, então, sua densidade aumenta. Acima de 4°C, a água se expande com o aumento de temperatura e, então, sua densidade diminui. Portanto, a densidade da água atinge um valor máximo de 1 g/cm3 a 4°C. Podemos usar esse comportamento incomum de expansão térmica da água para explicar por que uma lagoa começa a congelar na superfície em vez de no fundo. Quando a temperatura do ar cai de, por exemplo, 7°C para 6°C, á agua da superfície também esfria e, 57 consequentemente, diminui em volume. A água da superfície é mais densa que abaixo da superfície, que não esfriou e diminui em volume. Como resultado, a água da superfície afunda, e a mais quente do fundo se move para a superfície. Quando a temperatura do ar está entre 4°C e 0°C, no entanto, a água da superfície se expande à medida que esfria, ficando menos densa que a abaixo da superfície. O processo de mistura para, e eventualmente a água da superfície congela. À medida que a água congela, o gelo permanece na superfície, porque é menos denso que a água. O gelo continua a se acumular na superfície, enquanto a água perto do fundo permanece a 4°C. Se não fosse esse o caso, peixes e outras formas de vida marinha não sobreviveriam. Fig 3.3. Variação na densidade da água à pressão atmosférica com a temperatura EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Uma régua métrica está para ter a sua marcação gravada e deseja-se que os intervalos de milímetros apresentem uma exatidão de 5x10-5 a uma determinada temperatura. Qual é a variação máxima da temperatura que pode ocorrer durante a gravação? Dado: Ξ±Fe=11 x10-6 / °C; R: 4,55 °C 2) Uma barra feita com uma liga de alumínio mede 10 cm a 20 °C e 10,015 cm no ponto de ebulição da água. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamento da água? (b) Qual é a sua temperatura, se o seu comprimento é de 10,009 cm? R: (a) 9,99625cm; (b) 68°C 3) Um furo circular em uma placa de alumínio possui um diâmetro de 2,725 cm a 12 °C. Qual o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada até 140 °C? Dado: Ξ±Al=23x10-6 /°C R: 2,733cm 4) Um cubo de latão tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua área superficial, se a temperatura subir de 20 para 75 °C? Dado: Ξ± latao= 19x10-6 / °C-1. R: 11, 29 cm2 3.4. Calor Calor (Q) é a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhança devido a uma diferença de temperatura entre eles. Calor não é uma propriedade dos sistemas termodinâmicos, e por tal não é correto afirmar que um corpo possui mais calor que outro, e tão pouco é correto afirmar que um corpo "possui" calor. O conceito de calor utilizado pela população, em senso comum, de forma não científica, geralmente é apegado à ideia do calórico. Assim, costuma-se ouvir casos como: ``que calor!", ``que frio!" e outros. Percebemos que isso é errado uma vez que o termo "calor" é a transição de energia de um corpo mais quente para um corpo mais frio. Podemos transferir energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de Trabalho W por meio de uma força atuando sobre um sistema. Calor e trabalho, diferentemente da temperatura, da pressão e do volume, não são propriedades intrínsecas de um sistema. Eles possuem significado apenas quando descrevem a transferência do ambiente para o sistema. O calor é positivo quando energia se transfere do seu ambiente para uma energia térmica do sistema (dizemos que o calor é absorvido). O calor é negativo quando se transfere energia de uma energia térmica do sistema para o seu ambiente (dizemos que o calor é liberado ou perdido). Essa transferência de energia é mostrada na figura 3.4. 59 Antes dos cientistas se darem conta de que o calor é energia transferida, o calor era medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da água. Assim, a caloria (cal) foi definida como a quantidade de calor que elevaria a temperatura de 1 g de água de 14,5 °C para 15,5 °C . Em 1948, a comunidade científica decidiu que já que o calor é energia transferida, a unidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o joule (J). As relações entre as várias unidades de calor são: 1 cal = 3,969 10-3 Btu =4,186 J Fig 3.4. Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), o sistema perde Calor (Q) para o ambiente até que se estabeleça um equilíbrio térmico (b). (c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistema absorve calor até se estabelecer o equilíbrio térmico. 3.4.1 Absorção de calor Capacidade Calorífica Quando certa quantidade de calor é transmitida para um corpo, na maioria dos casos sua temperatura aumenta. A propriedade física que define a quantidade de calor Q necessária para aquecer determinado material ΞT é chamada capacidade térmica, sendo definida matematicamente como: ! πΆ = β! ou π = πΆβπ Desse modo poderemos calcular a capacidade térmica de 1 litro de água, de 2 litros de água, 1 litro de azeite, etc. A capacidade térmica caracteriza o corpo, e não a substância que o constitui. Dois corpos de massas e de substâncias diferentes podem possuir a mesma capacidade térmica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma substância possuem capacidades térmicas diferentes. A grandeza que caracteriza uma substância é o calor específico. Calor Específico É definido como sendo a quantidade de calor Q necessária para elevar em 1ºC a massa de 1g de determinado material, ou seja: π = π πβπ π = ππβπ A unidade no SI é J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor específico é cal/(g.°C). 61 Calor de Transformação Como foi mencionado, uma substância altera a sua temperatura quando ela troca calor com a sua vizinhança. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de calor e manter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 °C é retirada do congelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 °C. Esse material irá absorver calor da sua vizinhança e transformar-se em água a uma temperatura de 0°C. No exemplo acima não houve mudança de temperatura, mas houve mudança de estado físico, do estado sólido para o líquido. A propriedade física que define a quantidade de calor (Q) necessária para uma mudança de fase de uma massa m de determinada substância é chamada calor latente, e é definida como πΏ = π π π = πΏπ A unidade do calor latente é cal/g. Calor latente de fusão Lf é o termo usado quando a mudança de fase é do sólido para o líquido (fundir significa ``combinar por derretimento"), e o calor latente de vaporização Lv é o termo usado quando a mudança de fase é do líquido para o gasoso ( o líquido ``vaporiza"). O calor latente de várias substâncias varia consideravelmente. Calor sensível Provoca apenas variação na temperatura do corpo, sem que aconteça mudança no seu estado de agregação, ou seja, se o corpo é sólido continua sólido e o mesmo acontece com os estados líquidos e gasosos. Também chamado de calor específico, o calor sensível, determinado pela letra c (minúscula), é avaliado da seguinte forma: cal/g°C. Essa relação informa a quantidade de calor que um grama de substância deve receber ou ceder para que nela aconteça a variação de um grau de temperatura. Essa é uma unidade prática, ou seja, a que é mais utilizada no dia a dia. Contudo, no Sistema Internacional de Unidades (SI) o calor específico pode ser dado de duas formas: J/kgK ou em J/kg°C. A - Calor sensível B - Calor latente de fusão C - Calor sensível D - Calor latente de vaporização E - Calor sensível Fig 3.5. Gráfico da variação da temperatura da água em função do tempo. Sem escalas. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Em um episódio de gripe, um homem de 80 kg tem 39°C de febre (cerca de 2 °C acima da temperatura normal de 37 °C). Considerando que o corpo humano é constituído essencialmente de água, qual seria o calor necessário para produzir essa variação de temperatura? Dado: c =1,00 cal/g °C R: 160 kcal. 2) Calcule a energia necessária para elevar a temperatura de 0,500 kg de água por 3 °C. R: 1500 cal 3) Qual o calor específico da água no S.I.? R: 4190 J/kg K 4) A temperatura de uma peça de metal de 0,0500 kg é elevada para 200,0 °C e então é colocada em um béquer isolado contendo 0,400 kg de água inicialmente a 20 °C. Se a temperatura final de equilíbrio do sistema combinado for 22,4 °C, descubra o calor específico do metal. Despreze as trocas de calor com o béquer. R: 0,108 cal/ g °C Qagua + Qmetal = 0 5) Qual a energia total transferida para a água no exercício anterior? R: 960 cal 6) Um estudante faz uma refeição que contém 2000 kcal de energia. Ele deseja realizar uma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0 kg. 63 Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia? Considere que ele levanta o peso a uma distância de 2,00 m cada vez. W = P h= mgh 7) Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m=720 g a -10°C para levá-la ao estado líquido a 15 °C? 3.5. Mecanismos de transferência de calor A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três processos diferentes: convecção, radiação e condução. Fig. 3.6. Exemplos dos mecanismos de transferência de calor. A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convecção. Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por um fluido mais frio, o que gera naturalmente correntes de convecção. O borbulhar da água fervente em uma panela é o resultado de correntes de convecção. A radiação transfere calor de um ponto a outro através da radiação eletromagnética. A radiação térmica é emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode aquecê-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aproveitamento da radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação térmica e aquece a região que o rodeia. A condução de calor só pode acontecer através de um meio material, sem que haja movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios sólidos sob o efeito de diferenças de temperatura. Condução Considere um bloco cujo material tem espessura Ξx e um corte transversal de área A com as faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2, onde T2 > T1. T2 A Fluxo de energia T2>T1 T1 !x O bloco permite que a energia seja transferida da região de alta temperatura para a de baixa temperatura por meio da condução térmica. A taxa de transferência de energia pelo calor (P) π= π βπ é proporcional à área do corte transversal do bloco e à diferença de temperatura e inversamente proporcional à espessura do bloco: π= π βπ βπ΄ βπ βπ₯ Como cada material tem uma condutividade térmica específica, introduzimos a constante k na equação, assim: 65 π = π Ξ βπ Watts . βπ₯ Radiação Radiação térmica é a radiação eletromagnética emitida por um corpo em qualquer temperatura. A radiação é uma forma de transmissão de calor pela qual um segundo corpo pode absorver as ondas que se propagam pelo espaço em forma de energia eletromagnética aumentando sua temperatura. A taxa de emissão de energia de um corpo por meio da radiação térmica a partir de sua superfície é proporcional à quarta potência de sua temperatura superficial absoluta. Este princípio é conhecido como a Lei de Stefan e é expressa por: π = ππ΄ ππ ! sendo: P é a potência irradiada pelo corpo (W); Ο é a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5,66961×10-8 W/(m2K4); A é a área da superfície do corpo (m2); e é a emissividade; T a temperatura da superfície do corpo (K). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Uma janela cuja área é de 2,0m2 é envidraçada com vidro de espessura de 4,0mm. A janela está na parede de uma casa e a temperatura externa é 10 β. A temperatura no interior da casa é 25 β. Quanta energia é transferida através da janela pelo calor em 1h? Dados: kvidro=0,8W/(mβ) 2) O filamento de tungstênio de uma lâmpada de 100W irradia 2W de luz (os demais 98W são carregados para fora por convecção e condução). O filamento tem área superficial de 0,250mm2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura do filamento. 3) Uma barra de ouro está em contato térmico com uma barra de prata de mesmo comprimento e área. Uma extremidade da barra composta é mantida a 80β e a extremidade oposta está a 30 β. Quando a transferência de energia atinge o estado estacionário, qual a temperatura da junção? Dados: kAu=314W/(m β ) e kAg = 427W/(mβ) 67