UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
NÚCLEO DE FORMAÇÃO DOCENTE
FÍSICA-LICENCIATURA
Sobre a precisão de experimentos didáticos utilizados para medição da
aceleração da gravidade
Renato Felix Rodrigues
Orientador: Paulo Henrique Ribeiro Peixoto
CARUARU
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
NÚCLEO DE FORMAÇÃO DOCENTE
FÍSICA-LICENCIATURA
Sobre a precisão de experimentos didáticos utilizados para medição da
aceleração da gravidade
Renato Felix Rodrigues
Monografia
apresentada
como
Trabalho
de
Conclusão do Curso de Física-Licenciatura, para
obtenção do título de Licenciado em Física pela
Universidade Federal de Pernambuco.
Orientador: Paulo Henrique Ribeiro Peixoto
Caruaru
2014
DEDICATÓRIA
A todos aqueles qυе dе alguma
forma
estiveram
е
estão
próximos dе mim, fazendo esta
vida valer cada vеz mais а pena.
AGRADECIMENTOS
Família, professores e colegas.
RESUMO
Com o objetivo de analisar o quão precisos são os experimentos utilizados
pedagogicamente para medir a aceleração da gravidade, três experimentos que
utilizam materiais de fácil aquisição foram reproduzidos e tiveram seus resultados
comparados entre si e com a previsão teórica. Este estudo apontou os prós e os
contras de cada uma das abordagens investigadas, mas de modo geral todos os
modelos alcançaram resultados compatíveis com a precisão esperada para uma
atividade de ensino.
PALAVRAS CHAVE: aceleração da gravidade, gravímetro, precisão, queda livre,
pêndulo simples.
SUMÁRIO
p
INTRODUÇÃO .................................................................................................................
08
CAPÍTULO 1 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...............................................................
10
CAPÍTULO 2 – METODOLOGIA ......................................................................................
18
CAPÍTULO 3 – RESULTADOS E DISCUSSÕES.............................................................
25
CAPÍTULO 4 – CONCLUSÃO...........................................................................................
32
REFERÊNCIAS ................................................................................................................
34
8
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, serão analisados alguns dos métodos mais utilizados para
medir o valor da grandeza que é provavelmente a mais conhecida das constantes
físicas, pelo menos entre os alunos de ensino médio: a aceleração da gravidade.
Uma vez que este trabalho se disponha a analisar experimentos, é
preciso identificar o grau de sofisticação tecnológica dos experimentos que serão
considerados. Assim sendo, o principal critério adotado para a seleção dos
experimentos escolhidos foi a reprodutibilidade de cada método.
Se a seguinte pergunta fosse feita a um aluno de ensino médio: como
você faria para medir a aceleração da gravidade? A resposta mais provável, entre
aqueles que conseguissem dar uma resposta satisfatória, seria algo como: deixaria
um corpo cair próximo à superfície da Terra e, desprezando a resistência do ar,
consideraria que o corpo descreve um movimento uniformemente variado cuja
aceleração corresponde à aceleração da gravidade. E este cálculo seria feito
utilizando-se alguma(s) equação(ões) da cinemática, dependendo de quais são as
grandezas que possuem valores conhecidos, entre distância percorrida, tempo de
queda e velocidades finais e iniciais.
Do ponto de vista teórico a resposta está correta. Mas vamos analisar
algumas possibilidades.
Δv
Usando a seguinte equação: g= Δt .
Do
ponto
de
vista
teórico/matemático: esta seria a forma mais simples. A gravidade, como qualquer
aceleração em um movimento uniformemente variado, é igual à variação da
velocidade dividida pela variação do tempo. O problema poderia ser simplificado
ainda mais fazendo-se o corpo partir do repouso (velocidade inicial igual a zero).
Mas o que estamos procurando não é só um modelo teórico simples.
Estamos interessados em uma forma de medir o valor da aceleração da gravidade e,
nesse caso, precisaríamos medir os valores do intervalo de tempo de queda e
também a velocidade final do corpo. Se a ideia é medir os intervalos de tempo com
um cronômetro é bom pensar no modo de acionamento do cronômetro. Uma pessoa
disparando e pausando o cronômetro pode gerar uma grande imprecisão na medida.
Já o uso de sensores e de um sistema computadorizado poderia resolver esse
9
problema, mas a sofisticação causada poderia dificultar a reprodução do
experimento. Isso sem falar em como a velocidade final da partícula seria medida, o
que poderia se tornar um belo desafio do ponto de vista experimental.
Este exemplo simples ilustra alguns dos problemas que surgem ao se
tentar efetuar tal medida e na sequência desse trabalho serão analisados alguns dos
métodos mais utilizados para se medir o valor desta grandeza, destacando as
principais características de cada um e o quão precisos eles são.
10
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Os instrumentos utilizados para se medir a aceleração da gravidade
são chamados de gravímetros. Estes instrumentos podem ser classificados como:
 Gravímetros absolutos: medem simultaneamente os valores de posição e
tempo ao longo do movimento de um corpo sujeito a um campo gravitacional
para obter o valor da aceleração da gravidade.
 Gravímetros relativos: medem apenas um desses parâmetros, geralmente a
posição, e calculam a variação da gravidade com relação a um valor de
referência.
Os gravímetros absolutos, que são o objeto de estudo deste trabalho,
podem ser divididos em dois grupos:
1. Experimentos que utilizem o movimento de corpos em queda livre.
2. Experimentos utilizando pêndulos.
Começando com os experimentos que utilizam o movimento de queda livre,
foram selecionados dois exemplos dentre as propostas existentes que utilizam este
princípio para avaliar a precisão de instrumentos didáticos comumente utilizados
com a finalidade de medir a aceleração da gravidade. Segue abaixo o procedimento
matemático que costuma ser utilizado nestas atividades.
O ponto de partida é a função horária da posição do movimento
uniformemente variado
y ( t )=y 0+v 0 t+
Considerando y−y 0=Δy
gt 2
.
2
e que o objeto parte do repouso, a expressão
comumente utilizada para medir a aceleração da gravidade nesta situação é:
2Δy
g= 2 .
t
Nesses casos é necessário medir a distância que o corpo percorre durante a
queda e o tempo em que essa distância é percorrida. A partir daí, encontrar uma
forma de medir essas grandezas depende da criatividade do experimentador e dos
11
equipamentos disponíveis. A seguir, são ilustradas duas propostas que buscam
atender a esse objetivo.
Experimento 1: Tempo medido através da captação do som do impacto de
corpos com o solo.
Adaptada a partir do modelo proposto por Peruzzo(2010), neste modelo
duas porcas são soltas simultaneamente a partir do repouso e de alturas diferentes
com relação ao solo. O que é medido aqui é o intervalo de tempo que transcorre
entre a colisão dos dois corpos com a superfície.
Considerando que o corpo 1 seja solto de uma altura h1 e que o corpo 2
seja solto de uma altura h2 , onde h2 > h1
(Figura 1), e que ambos comecem a
se mover simultaneamente, temos as relações:
h1 =
gt 21
2
e
h 2=
em que t 1
gt 22
2
,
e t 2 são os tempos de queda dos corpos 1 e 2, respectivamente.
h2
h1
Figura 1 - corpos soltos simultaneamente de alturas distintas
Para obter uma expressão que relacione a aceleração da gravidade ao
tempo entre colisões, já que é isto que o experimento se propõe a medir, isolamos o
tempo nas duas equações e calculamos a diferença entre eles. Fazendo isso temos:
t1 =
√
2h1
g
e t 2=
Δt = t 2−t 1=
√
√
2h2
g
;
2
h− h .
g ( √ 2 √ 1)
(1)
(2)
12
Com esta última equação, basta conhecer os valores de h2
e h1 e
realizar a medição de Δt para ser possível obter um valor para a aceleração da
gravidade.
A razão para que o intervalo de tempo considerado seja o que transcorre
entre o impacto das porcas com o solo é devida ao modo como o tempo é medido: a
ideia do autor foi colocar um microfone próximo à região onde as porcas atingem o
solo e gravar o som utilizando um programa de computador gratuito de edição de
áudio chamado Audacity (versão 2.0.2). Enquanto grava, este programa produz um
gráfico de intensidade sonora X tempo, proporcionando que a medição do tempo
seja feita a partir da distância dos picos localizados no gráfico, como expresso na
figura 2.
Figura 2 - exemplo de gráfico produzido com o Audacity
A discussão que segue foi proposta no artigo original como uma alternativa
adicional que o experimento possibilita ao se utilizar um número maior de porcas.
Ela será utilizada nesse trabalho por fornecer uma equação matemática mais
simples para o problema.
Comparando a equação (1) com a equação (2) é visível que a expressão
matemática que relaciona o tempo de queda de uma única porca com a aceleração
da gravidade (equação (1)) é mais simples que a equação matemática que relaciona
a gravidade com a diferença entre os tempos de queda (equação (2)). Este fato
pode ser utilizado para simplificar a equação (2), dependendo de como h1 e h2
se relacionem.
13
Fazendo Δt=t1 :
√ √
2h1
g
=
√
2
( √ h2−√ h1 ) ⇒
g
√h 2=2 √h1 ⇒
√
2
2
h1 =
h− h
√
g
g (√ 2 √ 1)
h2= 4h1 .
Esse raciocínio pode ser estendido para n corpos (figura 3) desde que o iésimo corpo esteja a uma altura hi em relação ao solo, que se relacione com a
altura do primeiro objeto segundo esta equação:
hi= i2 h1 .
(3)
O artigo que propõe este modelo tenta explorar a característica decorrente
desta equação aplicada a um conjunto de corpos que caem de alturas diferentes,
resultando que o intervalo de tempo de queda entre corpos consecutivos seja
constante.
Neste trabalho, esta relação entre as distâncias será utilizada para que o
tempo que transcorre entre a queda dos dois corpos (o tempo medido) possa ser
igualado ao tempo de queda do primeiro corpo e, assim, a relação matemática entre
as grandezas medidas e a aceleração da gravidade possa ser simplificada.
t=
√
g=
2h
,
g
2h
.
t2
(4)
No capítulo que descreve a metodologia (o próximo) este modelo voltará a
ser explorado mais detalhadamente.
h3
h2
h1
Figura 3 – corpos com alturas em relação ao solo de acordo com a equação (3)
14
Experimento 2: tempo de queda medido a partir da filmagem do movimento.
Adaptada de Corvelone (2009), uma segunda forma de medir o valor da
aceleração da gravidade através de uma situação que envolva corpos em queda
livre é descrita a seguir.
É feita a filmagem da região onde um corpo, inicialmente em repouso, é
solto a partir de uma altura h1 em relação ao solo. É importante que dentro do
mesmo quadro onde o movimento ocorre haja algo que possua um comprimento
conhecido para que, através da contagem do número de pixels correspondentes ao
comprimento conhecido, possa ser estabelecida uma relação entre a distância entre
dois pontos na imagem e o número de pixels que os separa.
No artigo onde a ideia é proposta, foi utilizada a função multi-burst de uma
câmera digital para tirar uma sequência de fotos com um curto intervalo de tempo
entre elas (30 fotos por segundo). Depois as fotos foram analisadas para produzir
um gráfico relacionando deslocamento X tempo e o valor da aceleração da
gravidade é calculado a partir da comparação da função polinomial que aproxima a
curva produzida com a função horária da posição de um movimento uniformemente
variado.
Na reprodução deste experimento o modo como as imagens foram obtidas
foi alterado. O uso da função multi-burst, que não é encontrada em todas as
câmeras digitais, foi substituído pela filmagem do deslocamento do corpo e as
imagens foram obtidas através da decomposição do filme em sequência de quadros
utilizando o pré-processador de vídeos gratuido VirtualDub.
15
Experimento 3: pêndulo simples.
Já o método que utiliza o pêndulo simples é provavelmente o mais
comumente utilizado. O experimento consiste em deixar um fio inextensível e
flexível, de comprimento l, com uma de suas extremidades fixa e prender na outra
um corpo de massa m (figura 4).
Figura 4 - pêndulo simples
Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
O movimento pendular é provocado pela ação da força restauradora
causada pela gravidade quando a massa é deslocada de sua posição de equilíbrio.
Nesse modelo, ao desconsiderar as forças dissipativas (como a resistência
do ar) e considerar que o pêndulo oscile sobre um plano vertical, as forças atuando
sobre o corpo são a tensão do fio e o peso da massa m.
Figura 5
Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
16
⃗
P
Psen (θ )
é decomposta numa componente radial Pcos ( θ ) e na componente
que é tangente à trajetória da partícula (Figura 5). Esta componente
tangencial é a força restauradora, escrita como:
F=−Psen ( θ ) .
Como o radiano é definido como a razão entre o comprimento de um arco
(x) e seu raio (l), o ângulo θ
(medido em radianos) pode ser substituído na
expressão anterior por θ = x , resultando em:
l
F = −Psen
()
x
.
l
(5)
É fácil notar que esta força não leva a um movimento harmônico simples
(MHS), já que a força não é proporcional ao deslocamento, mas sim ao seno dele.
É aqui que é feita uma importante aproximação deste modelo, conhecida
como aproximação harmônica1. Para ângulos suficientemente pequenos, θ ≤ π /8,
o valor do seno do ângulo, em radianos, é aproximadamente igual ao valor do
próprio ângulo. Utilizando esta aproximação, a equação (5) pode ser escrita como:
F =−
mgx
.
l
(6)
Vamos obter agora a relação entre o valor da aceleração da gravidade e o
período do pêndulo simples, usando o fato de que dentro do limite de validade desta
aproximação o movimento do pêndulo pode ser considerado um MHS.
Para um movimento periódico desse tipo é válida a seguinte função horária:
(7)
x ( t )=xm cos ( ωt+ϕ )
Onde x m
ϕ
é a amplitude do movimento, ω
é sua frequência angular e
é uma constante de fase (três parâmetros constantes).
A aceleração é obtida derivando a euquação (7) duas vezes em relação ao
tempo.
1 - A dedução de uma expressão geral para o período do pêndulo não será realizada neste trabalho
por estar além de seu objetivo. Esta dedução, que utiliza o princípio da conservação da energia
mecânica e resulta no cálculo da integral eliptica completa do primeiro tipo pode ser encontrado em
Carvalhaes(2009).
17
a ( t )=−ω 2 x m cos ( ωt+ϕ ) ⇒ a ( t )=−ω2 x .
Portanto,
F=−mω 2 x .
(8)
Igualando as equações (6) e (8):
−mω2 x=
−mgx
,
l
que resulta em:
ω=
√
g
.
l
Como a frequência angular se relaciona com o périodo (T) pela expressão
T=2π /ω , o período de oscilação do pêndulo é dado por:
T=2π
√
l
.
g
Esta é a equação comumente utilizada para medir o valor da aceleração
da gravidade utilizando um pêndulo simples.
Termina aqui a apresentação dos três modelos que terão suas precisões
avaliadas. Para realizar esta análise, os experimentos serão reproduzidos e serão
calculados média, desvio-padrão e erro relativo para cada um deles. De posse
destes parâmetros, os resultados serão comparados entre si e também com a
previsão teórica.
18
CAPÍTULO 2
METODOLOGIA
Para avaliar a precisão dos valores que serão medidos para a aceleração da
gravidade através do uso de cada um dos três métodos, cada experimento será
submetido a análise composta por duas etapas:

Como os erros nas medições são propagados pelo modelo.

Obtenção de valor médio, desvio-padrão amostral e erro relativo para
um conjunto de 50 repetições das medidas.
Cada experimento passará por essa análise individualmente e depois seus
resultados serão comparados com os obtidos pelos outros métodos e com o valor
previsto teoricamente.
2.1 Precisão dos experimentos
O erro propagado durantes as medidas será calculado por meio da equação
(9), que fornece, através de uma expansão em série de Taylor, a incerteza ( Δy )
propagada no cálculo de uma grandeza y que é medida indiretamente a partir das
grandezas x 1 e x2 :
Δy=∣
∂y
∂y
∣Δx1+∣
∣Δx2 +... ,
∂ x1
∂ x2
(9)
x 1 , x 2=̄
x 2 , ... .
onde as derivadas são calculadas no ponto x 1=̄
Este cálculo será feito com o uso da seguinte expressão:
g=
onde x = 2h
x
,
t2
(10)
para os dois primeiros métodos e x = 4π2 l para o pêndulo
simples.
Assim, relaciona-se a incerteza propagada pelo cálculo de g às incertezas
relativas à medida de t e de h conforme a equação (9), obtendo-se:
19
Δg=∣
∂g
∂g
∣Δt+∣
∣Δx .
∂t
∂x
Calculando estas derivadas:
2x
1
Δg= 3 Δt+ 2 Δx, com x=̄
x ,t=̄t .
t
t
(11)
No capítulo 3 a equação (11) será utilizada para calcular como os erros são
propagados por cada experimento.
Outro parâmetro que será utilizado para avaliar o resultado é o cálculo do
desvio-padrão amostral para um número N de medidas:
σ x=
√
N
∑ ( x i−̄x )2
i=1
N−1
,
que indica o quanto os valores medidos estão dispersos em relação à média.
Este desvio-padrão será utilizado para calcular o desvio-padrão da média:
σ ̄x =
σx
√N
.
O desvio-padrão da média costuma ser utilizado para representar a medida
de uma grandeza:
x=̄
x ±σ ̄x ,
e os resultados obtidos serão escritos dessa forma.
E por fim mas não menos importante, com o desvio-padrão da média será
σx̄
, "que caracteriza a precisão de um resultado, é uma
calculado o erro relativo
∣̄x∣
indicação da qualidade de um experimento." (Santoro 2008).
A tabela a seguir resume os parâmetros utilizados:
Parâmetro
símbolo
média
̄x
desvio-padrão amostral
σx
desvio-padrão da média
σ ̄x
erro relativo
σx̄
∣̄x∣
Tabela 1 - parâmetros estatísticos
20
2.2 Reprodução dos experimentos:
EXPERIMENTO 1
 Material utilizado:
- Duas porcas (de 2,3 cm de diâmetro aproximadamente)
- Fio (linha)
- Microfone
- Computador com o software Audacity
- Uma superfície plana de madeira
- Grampeador para madeira
- Trena
- Toalha
 Procedimento experimental:
Uma das extremidades da linha foi grampeada à superfície de madeira e na
outra extremidade foi presa uma porca, de modo que sua superfície inferior ficasse a
50 cm de distância da base quando a linha estava esticada. Nesta porca foi preso
um outro pedaço de fio que também tinha uma porca presa à sua extremidade
oposta e com comprimento tal que a distância entre as bases das duas porcas fosse
150 cm quando o fio era esticado, como indica a figura 6.
150 cm
50 cm
Figura 6 - distância entre as porcas
A superfície de madeira foi escolhida para intensificar o som emitido ao ser
atingida pelas porcas e o grampeador foi utilizado para fixar uma das extremidades
21
do fio à superfície, para manter a primeira porca à mesma altura em cada repetição.
Já a toalha foi colocada ao redor da região onde o impacto das porcas com a
superfície ocorria a cerca de 5 cm do ponto central, para diminuir o ruído causado
por impactos sucessivos da primeira porca.
Para realizar as medições, o fio com as porcas foi esticado verticalmente e o
microfone foi colocado próximo à região de impacto das porcas com a superfície. O
fio foi solto e o som das colisões foi gravado pelo Audacity. O intervalo de tempo a
ser utilizado na equação (4) foi obtido a partir da análise de gráficos como o da
figura 7.
Figura 7 – gráfico produzido pelo Audacity
De posse de um gráfico como este, basta colocar o cursor do programa
sobre a posição correspondente ao pico no gráfico para que o instante de tempo
correspondente seja indicado pelo programa.
EXPERIMENTO 2

Material utilizado:
- Fita adesiva
- Trena
22
- Câmera digital (samsung ES 65)
- 1 bola com cerca de 7,5 cm de diâmetro
- Computador
 Procedimento experimental:
Uma câmera foi colocada sobre um apoio a uma altura de 1,45 m em
relação ao solo e a 2,25 m de distância de uma parede. Nesta parede, foram
colocados pedaços de fita adesiva de modo que o topo de cada pedaço de fita
estivesse a 10 cm de distância do topo dos pedaços imediatamente acima e abaixo
dele.
10 cm
Figura 8 – região percorrida pelo corpo durante a queda livre
Uma bola foi solta estando sua base à mesma altura que o topo da fita mais
acima, a 1,92 m do solo, e foi feita a filmagem do seu movimento durante a queda.
A segunda etapa do experimento consistiu em decompor este video, com
taxa de 30 quadros por segundo, em uma sequência de imagens. Para cada uma
dessas imagens em que foi identificado que a bola estava em movimento foi
contado, utilizando o editor de imagens Paint (Windows) no seu modo de ampliação
máxima (800%), o número de pixels entre a posição atual da bola e uma posição de
referência (figura 9).
23
Figura 9 – bola X quadros após o inicio do movimento ser detectado
A partir da contagem do número de pixels entre as fitas, foi obtido que a
relação entre o número de pixels e o comprimento foi a seguinte: 1 pixel = 0,40 cm,
ou que 1 cm = 2,50 pixels.
Com esta relação, a distância medida pelo número de pixels foi
transformada em metros e foi feito o gráfico entre posição e tempo (figura 10).
O valor da aceleração da gravidade foi obtido através de ajuste polinomial
dos pontos desse gráfico (o programa utilizado foi o OriginPro®).
Figura 10-a – gráfico Distância X Tempo
Figura 10-b – parâmetros do ajuste polinomial
EXPERIMENTO 3
 Material utilizado:
- Fio (linha)
- Porca (mesma do experimento 1)
- Cronômetro
24
 Procedimento experimental:
O experimento foi realizado pendurando um pedaço de fio em um gancho
preso no teto. Na outra extremidade foi presa uma porca e o comprimento
considerado para o pêndulo foi a distância entre o gancho e o centro de massa da
porca,no seu centro, medido com uma trena. O comprimento medido foi de
150,0±0,1 cm .
O pêndulo foi visualizado de baixo para cima para garantir que realizasse o
movimento o mais próximo possível de um plano, ao invés de um movimento
circular, e um cronômetro com 0,01 s como menor divisão da escala foi utilizado
para medir o tempo de dez oscilações. Este artifício é comumente utilizado nas
atividades que envolvem o pêndulo para minimizar a imprecisão gerada pelo
experimentador ao disparar e pausar o cronômetro. Após a medição, o intervalo de
tempo é dividido por 10 e obtêm-se um valor para o período do pêndulo.
25
CAPÍTULO 3
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os dados experimentais serão apresentados através de gráficos onde o eixo
horizontal representa o número da medida e o eixo vertical indica o valor medido
para a aceleração da gravidade.
EXPERIMENTO 1:
Os resultados para este experimento estão expressos no gráfico a seguir:
Figura 11 - gráfico de medições do experimento 1
Os seguintes parâmetros estatísticos foram obtidos ao se analisar estes
dados:
Parâmetro
valor (m/s²)
x
̄
10,057
σx
0,369
σ ̄x
0,052
σ̄x
0,005
∣̄x∣
Tabela 2 - parâmetros do experimento 1
26
 Discutindo o experimento 1
O momento de analisar o gráfico para determinar os instantes em que as
colisões acontecem é o mais delicado deste experimento. Foi observado que a
primeira porca quicava duas vezes antes da segunda chegar ao solo e esse ruído
dificultava a identificação do pico correspondente à chegada da segunda porca. Para
solucionar este problema, uma toalha foi colocada em torno da região onde os
impactos ocorreram para amortecer os sucessivos impactos da primeira porca. O
resultado pode ser observado na figura 12.
Figura 12-a - medida sem a toalha
Figura 12-b - medida com a toalha
Mesmo utilizando a toalha para abafar os ruídos externos, é difícil determinar
o instante de cada impacto com precisão maior que 0,003 s; e ao se somar ou
subtrair esta quantidade do valor médio medido para o tempo o valor da aceleração
da gravidade varia de 10,25 m/s² a 9,87 m/s².
Esta imprecisão gera a possibilidade de que dois experimentadores
considerem valores distintos para o intervalo de tempo fornecido por um mesmo
gráfico e, como indicado no exemplo acima, uma divergência como esta pode
influenciar consideravelmente o resultado.
Um outro ponto que foi observado é que na primeira vez que as medições
foram realizadas, todos os (50) valores obtidos para a aceleração da gravidade
foram maiores que o valor conhecido teoricamente, o que significa que os intervalos
de tempo medidos foram menores que o valor que seria obtido para o intervalo de
tempo se o cálculo inverso fosse efetuado. Depois de refazer o experimento, foi
observado que quando a linha estava totalmente esticada o intervalo de tempo
medido era menor que o resultado da medição feita se a linha estivesse um pouco
27
relaxada. A explicação encontrada para isto foi que quando o fio era esticado e solto,
além da força de atração gravitacional puxando as porcas para baixo havia também
uma força restauradora devido à propriedade elástica do fio.
Portanto, como na prática o fio utilizado não era inextensível como o fio ideal
considerado no modelo, na hora de determinar os comprimentos dos fios estes
deveriam ser medidos com o fio não totalmente esticado, principalmente para a
porca mais abaixo. Depois destas constatações, o experimento foi refeito e foram
obtidos os valores presentes na figura 11.
 Propagação de erros no experimento 1
A medida do comprimento dos fios foi feita utilizando uma trena. Com este
instrumento, foi possível realizar medições com precisão milimétrica, ±0,001 m .
Mas devido principalmente à elasticidade do fio utilizado, as medições sucessivas
indicam que uma imprecisão de ±0,002 m é mais condizente com as condições de
realização do experimento.
Para a medida do tempo, como argumentado anteriormente, mesmo com as
adaptações realizadas detectar o ponto no gráfico correspondente ao instante de
contato de cada porca com o solo se tornava incerto para intervalos menores que
0,003 s.
Considerando estas incertezas para as medidas, que o intervalo de tempo
médio foi de 0,315 s e que o comprimento médio era 0,5 m, o valor de Δg
calculado ao se aplicar a equação (11) equação deste modelo foi de:
Δg=
4h
2
Δt+ 2 Δx
3
t
t
Δg=0,23 m / s2 .
A principal contribuição para este valor é oriunda da incerteza associada à
medição do tempo (aproximadamente 0,19 m/s²), e este fato se deve à combinação
de dois fatores: a gravidade ser proporcional a 1/t² e a proximidade entre a ordem de
grandeza do valor medido e da incerteza dos instrumentos utilizados.
28
EXPERIMENTO 2.
Os resultados das medições realizadas para este experimento estão no
gráfico a seguir:
Figura 12 – medições do experimento 2
Os parâmetros obtidos ao se analisar esses dados foram:
Parâmetro
valor (m/s²)
x
̄
9,841
σx
0,280
σ ̄x
0,040
σ̄x
0,004
∣̄x∣
Tabela 3 - parâmetros do experimento 2
 Discutindo o experimento 2
Um fator que influencia o resultado obtido através desse método é a
distância que a câmera está com relação à linha vertical percorrida pelo corpo em
queda livre. Se a câmera estiver perto demais, a relação entre comprimento e
número de pixels não é constante para toda a imagem devido a efeitos de
perspectiva. E se a câmera se afasta dessa linha, a posição do objeto se torna
menos nítida já que a imagem deste se torna menor.
29
Além disso, como o vídeo é gravado com uma taxa de 30 imagens por
segundo, cada imagem registra o deslocamento sofrido pela bola durante um
intervalo de 0,0333 s. Como a bola está acelerando, com o passar do tempo ela
percorre uma distância cada vez maior durante este intervalo, ficando cada vez mais
difícil identificar sua posição com boa precisão. Devido a isso, cerca de 15 quadros
após o início da queda o corpo já está rápido o suficiente para que determinar sua
posição tenha uma alta imprecisão, a não ser que fosse utilizado um equipamento
que registrasse um número maior de quadros por segundo. Então as medidas foram
realizadas utilizando 12 quadros, em média, para produzir cada gráfico.
 Propagação de erros no experimento 2
O cálculo da propagação de erros para este experimento não é similar ao
cálculo feito para os demais, já que neste modelo o valor da aceleração da
gravidade só é obtido após o ajuste de um gráfico. Se ao invés de utilizar o gráfico o
valor da aceleração da gravidade fosse obtido, por exemplo, medindo seu valor para
cada uma das imagens pertencentes a uma mesma sequência e em seguida fosse
calculada a média, então o erro propagado poderia ser calculado através da
equação (4). Mas ainda assim haveria o problema de estimar a incerteza associada
à medição do tempo entre dois quadros consecutivos.
Este cálculo não será realizado aqui.
30
EXPERIMENTO 3
Os resultados das medições realizadas para este experimento estão na
figura a seguir:
Figura 13 - medições do experimento 3
Com estas medidas foram calculados os seguintes parâmetros estatísticos:
Parâmetro
valor (m/s²)
x
̄
9,865
σx
0,072
σ x̄
0,010
σ̄x
∣̄x∣
0,001
Tabela 7 - parâmetros do experimento 3
 Discutindo o experimento 3
O experimento é de fácil reprodução e proporciona a obtenção de bons
resultados desde que a medida do comprimento seja feita de forma meticulosa e a
restrição com relação à amplitude do ângulo inicial seja respeitada, para que a
aproximação harmônica possa ser utilizada.
 Propagação de erros no experimento 3
Para a realização destes cálculos, será utilizado como valor médio para o
comprimento do pêndulo 1,5 m com uma incerteza associada de 0,001 m. E para o
31
valor do tempo será utilizada a média para o período de oscilação medido, 2,45 s,
com uma incerteza de 0,01 s associada.
Para estes valores,
g=4π
Δg=
2
l
T2
4π 2
l
Δl+8π2 3 ΔT .
2
T
T
Substituindo os valores,
Δg=0,09 m / s2 .
Mais uma vez o termo que fornece a maior contribuição para este valor é a
incerteza associada à medição do tempo (aproximadamente 0,08 m/s²). O que torna
este resultado menor que os demais é o fato de que este método possibilita a menor
razão entre incerteza associada e valor médio para a medida do tempo.
PREVISÃO TEÓRICA
O cálculo da previsão teórica foi feito utilizando a mesma equação utilizada
por Corvelone(2009),
g=
9,7803267714⋅[ 1+0,00193185138639sen ( 2μ ) ]
√ 1−0,00669437999013sen2 ( μ)
−0,000003086h ,
(12)
onde μ e h correspondem, respectivamente, à latitude e à altitude (em metros) do
ponto para o qual a gravidade está sendo calculada.
Utilizando o site geografos.com.br , os valores obtidos para estes
parâmetros correspondentes à cidade de Caruaru - PE foram: altitude = 554 m e
latitude = 08° 17' 00'' sul.
Substituindo estes valores em (12) o resultado teórico previsto para a
aceleração da gravidade em Caruaru é:
g=9,78 m / s2 .
32
CAPÍTULO 4
CONCLUSÃO
Comparando inicialmente os dois experimentos que utilizam a queda livre
para medir o valor da aceleração da gravidade entre si, os resultados obtidos no
capítulo 3 (tabela 5) indicam que o experimento 2 é o mais eficaz por obter um valor
médio mais próximo da previsão teórica e apresentar um desvio-padrão menor. O
principal problema encontrado na reprodução destes experimentos é o modo como
os dados são obtidos, o tempo no experimento 1 e a posição no experimento 2,
dando margem para que a subjetividade do experimentador interfira nos resultados.
Ao incluir o experimento 3 nesta comparação, através dele também foram
obtidos resultados mais satisfatórios que os obtidos através do experimento 1, e os
experimentos 2 e 3 também possuem a vantagem de que cada um deles dispõe de
um artifício que minimiza a imprecisão de suas medidas, fazer o gráfico para o
experimento 2 e medir o tempo de 10 oscilações para o experimento 3.
Ao comparar os experimentos 2 e 3, o experimento 2 alcançou um valor
médio mais próximo do valor teórico, enquanto que o desvio-padrão do experimento
3 foi menor. O experimento 2 tem a vantagem de ser mais intuitivo para alunos
menos experientes, enquanto que o experimento 3 tem a vantagem de ser o de
reprodução mais simples e o menos suscetível à interferência do experimentador.
experimento
média para a desvio-padrão
gravidade (m/s²)
Desviopadrão da
média
valor esperado
experimento 1
10,06
0,37
0,05
g=10,06±0,05
experimento 2
9,84
0,28
0,04
g=9,84±0,04
experimento 3
9,86
0,07
0,01
g=9,86±0,01
Tabela 5 - comparando os resultados
Por fim, embora o experimento 1 seja uma maneira criativa de medir o
intervalo de tempo, o método oferece a maior imprecisão dentre os experimentos
33
utilizados e as medições indicaram que é o mais suscetível à ocorrência de erros
sistemáticos, além do fato de que a tarefa de determinar os comprimentos exija
destreza e paciência. Mas uma boa utilização para este modelo é mostrar, em
especial qualitativamente, que o intervalo de tempo entre corpos sucessivos em
queda livre a partir de alturas que obedeçam a equação (3) é constante.
A diferença entre o valor teórico e o valor médio obtido pelo experimento foi
de menos de 1% tanto para o experimento 2 quanto para o experimento 3, e de
pouco menos de 3% para o experimento 1. Assim sendo, conclui-se que todos os
resultados estão dentro de um intervalo aceitável por se tratarem de atividades de
ensino e dada a simplicidade
dos materiais utilizados para medir o valor da
aceleração da gravidade.
Vale salientar que existem ainda outros experimentos que podem ser
utilizados para medir a aceleração da gravidade de forma didática, como através do
uso de molas, sensores de movimento ou planos inclinados.
34
REFERÊNCIAS
CARVALHAES, C. G.; SUPPES, P. O cálculo de alta precisão do período do
pêndulo simples. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, V. 31, n. 2,
p. 2701 a 2701-6, 2009.
COORDENADAS
geográficas;
Caruaru.
Disponível
em:
<http://www.geografos.com.br/cidades-pernambuco/caruaru.php>. Acesso em:
17/02/14.
CORVELONE, E. P. M, GOMES, E. S.; SAMPAIO, A. R.; MENDES, A. F.;
COSTA, V. L. L.; VISCOVINI, R. C. Utilização de máquina fotográfica digital
(multi-burst) para aulas experimentais de cinemática - queda livre. Revista
Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, V. 31, n. 3, p. 3504 a 3404-4, 2009.
HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J., Fundamentos de física. 7ª edição,
vol. 1, São Paulo: editora LTC, 2006.
PÊNDULO
simples,
Só
Física.
Disponível
em:
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php>. Acesso em:
11/02/2014.
PERUZZO, J. Determinação de g através da captação do som de impacto de corpos
com o solo. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 27, n. 1, p. 159168, 2010.
SANTORO, A.; et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 2.ed. Rio de
Janeiro: EdUERJ, 2008. 132 p. - (Coleção Comenius)