Licenciatura Plena em Ciências
Naturais e Matemática-UFMT
Módulo VIII
Habilitação: Matemática
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
Professores:
Demilson, Geraldo, Gladys,
Luzia, Vinicius e William
CUIABÁ/JANEIRO/2007
SEQÜÊNCIAS
Na linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência
significa uma sucessão de coisas em uma ordem
determinada (cronológica, de tamanho, ou
lógica).
Ex. dias da semana, meses do ano, figuras
semelhantes.
Em Matemática, seqüência é usada para denotar
uma sucessão de números cuja ordem é
determinada por uma lei ou função (cujo domínio
é o conjunto dos números naturais).
Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7.
(ANTON, 2000, p. 38 e 40)
SEQÜÊNCIAS
As seqüências numéricas podem ser:
Finita
a) A seqüência dos quatro primeiros números
naturais múltiplos de 5:
(0, 5, 10, 15)
(a1, a2, a3, a4)
b) A seqüência dos números de dias dos 12
meses de um ano bissexto:
(31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12)
SEQÜÊNCIAS
Infinita
a) A seqüência dos números naturais ímpares:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...)
b) A seqüência dos números quadrados
perfeitos:
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)
SEQÜÊNCIAS
Seqüência ou Progressão Aritmética (PA)
a) (2, 7, 12, 17, ...)
Crescente
7 – 2 = 5;
12 – 7 = 5;
17 – 12 = 5; ...
ou
a2 = 7 = 2 + 5; a3 = 12 = 7 + 5; a4 = 17 = 12 + 5; ...
Decrescente
b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...)
10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10; ...
ou
a2 = 10 = 20 + (– 10);
a4 = –10 = 0 + (– 10); ...
a3 = 0 = 10 + (– 10);
SEQÜÊNCIAS
PA é toda seqüência de números na qual:
I. a partir do segundo termo, a diferença
entre cada termo e o seu precedente
(anterior) é CONSTANTE;
ou
II. Cada um de seus termos, exceto o
primeiro, é igual ao precedente, somado a
um número CONSTANTE.
Essa constante chama-se RAZÃO (r ).
SEQÜÊNCIAS
Seqüência ou Progressão Geométrica (PG)
a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes
iguais. Repetir esse processo 4 vezes.
(1, 3, 9, 27)
(a1, a2, a3, a4)
Crescente
3 9 27
= =
=3
1 3 9
SEQÜÊNCIAS
Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda
notar que:
a2 = 3 = 1 . 3; a3 = 9 = 3 . 3; a4 = 27 = 9 . 3
b) (512, 128, 32, 8, 2, ...)
128 32
8 2 1
=
=
= =
512 128 32 8 4
1
1
128 = 512 • ; 32 = 128 • ;
4
4
Decrescente
SEQÜÊNCIAS
PG é toda seqüência de números não-nulos na
qual:
I. a partir do segundo termo, o quociente da
divisão de cada termo pelo seu precedente é
CONSTANTE;
ou
II. Cada um de seus termos, exceto o
primeiro, é igual ao precedente, multiplicado
por uma CONSTANTE.
Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO
(q) da progressão geométrica.
SEQÜÊNCIAS
Seqüência formada por uma lei ou função
n+1
f (n) = ( –1)
(
n
•
n +1
1 2 3 4 5
,– , ,– , , ...)
2 3 4 5 6
SEQÜÊNCIAS: Representações

Numericamente: (2, 4, 6, ...)

Geometricamente
SEQÜÊNCIAS: Representações

Graficamente
y
6
Termo Valor do termo
a1 = 1
2
a2 = 2
4
a3 = 3
6
(3,6)
4
2
(2,4)
(1,2)
1
2
3
x
SEQÜÊNCIAS: Representações
Algebricamente
f(n) = an = 2n, para n  lΝ/n  1


Por Chaves
+
2n
n=1
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA
Observe as figuras abaixo formadas por palitos.
No de triângulos No de palitos
1
2
3
4
..
.
3
5
7
?
..
.
20
..
.
?
..
.
n
a1 = 3 = 3 + 0
a2 = 5 = 3 + 2
a3 = 7 = 3 + 4
a4 = 9 = 3 + 6
= 3 + 0.2
= 3 + 1.2
= 3 + 2.2
= 3 + 3.2
an = ?
= 3 + (1–1).2
= 3 + (2–1).2
= 3 + (3–1).2
= 3 + (4–1).2
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA
a20 = 3 + (20 – 1) . 2 = 3 + 38 = 41
..
.
an = 3 + (n – 1) . 2  termo geral dessa PA
O termo geral também pode ser expresso
como função
f(n) = an = 3 + (n – 1) . 2
f(n) = 2n + 1
Generalizando – o termo geral de uma PA:
an = a1 + (n – 1) . r
SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA
1) Observe a tabela parcial de
pontos de um campeonato paulista.
a) Qual é a razão dessa progressão?
b) Se na semana seguinte da
apresentação da tabela os 5
primeiros colocados ganham 2
pontos cada um, determine a nova
seqüência de pontos desses times.
Qual é a razão dessa nova
seqüência?
Colocação
Pontos
1. Palmeiras
2. Santos
3. São Paulo
4. Araçatuba
5. Guarani
6. Juventus
7. Corinthians
/Portuguesa
8. XV de Jaú
9. Ferroviária
28
25
22
19
16
13
10
7
4
P1: Se somarmos um número aos termos de uma
progressão aritmética, o resultado será, ainda, uma
progressão aritmética, com razão igual à da original.
SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA
2) Maria comprou uma esteira ergométrica para
fazer caminhadas em casa. Seu médico
recomendou que não passasse de 10 minutos por
dia. No 1º dia, ela manteve uma média de 2,28
km/h e, em 10 minutos, conseguiu andar apenas
380 m. No 2º dia conseguiu caminhar, um pouco
mais depressa e nos mesmos 10 minutos andou
400 m.
a) Se ela continuar nesse ritmo quanto ela
conseguirá andar no 5º dia?
b) Qual é a razão da seqüência de metros
caminhados?
SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA
c) Depois de 1 mês, Maria já estará com melhor
preparo físico e dobrará sua marcas da 1ª semana.
Assim sendo, determine a seqüência de metros
caminhados, dobrando os termos da progressão
citado no item (a).
d) Quantos metros ela andou no quarto dia após
esse mês?
e) Qual é a razão dessa nova seqüência?
P2: Se multiplicarmos todos os termos de uma
progressão aritmética por uma constante,
encontraremos outra progressão aritmética. A
razão da nova seqüência será igual à razão da
anterior multiplicada pela mesma constante.
SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos
de uma PA finita
Quantos casulos são necessários
para montar o triângulo abaixo?
O número de casulos
em
cada
linha
representa um termo
de uma seqüência
aritmética.
(1, 2, 3, 4, 5, 6)
SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos
de uma PA finita
S6=[(1 + 6).6]/2
= 21
Sn = [(a1 + an).n]/2
SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos
de uma PA finita
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
a 1 + an
a1 + an
a1 + an
n
Sn = (a1 + an).
2
Parcelas iguais
a a1 + a2
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG
Voltando à divisão da folha de papel, fazendo
agora inúmeras vezes essa divisão.
Estágios da divisão No de regiões
Original E0 :
E1 :
E2 :
E3 :
..
.
0
1
2
3
En :
n
E12: 12
..
.
an = 1 . 3n-1
a1 = 1 = 1 . 30 = 1 . 30
a2 = 3 = 1 . 30.3 = 1 . 31
a3 = 9 = 1 . 31.3 = 1 . 32
a4 = 27= 1 . 32.3 = 1 . 33
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 9
a4 = 27
..
.
?
..
.
an = ?
= 1 . 31-1
= 1 . 32-1
= 1 . 33-1
= 1 . 34-1
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG
an = 1 . 3n-1  Termo geral da PG para esse exemplo
dado
Generalizando:
Como nesse exemplo tínhamos a1 = 1 e q = 3, então
an = a1 . qn-1
Onde:
an = termo geral;
a1 = 1o termo da seqüência;
n = no de termos da PG (até an);
q = razão.
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG finita
Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27)
S = 1 + 3 + 9 + 27 ou
3 = 1.3
9 = 3.3
27 = 9 . 3
81 = 27 . 3
Assim, 3 . S =
3 + 9 + 27 + 81
–
S = 1 + 3 + 9 + 27
3 . S – S = 81 – 1  S = 80 : 2 = 40
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG finita
Generalizando: consideremos uma PG finita
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an) de razão q  1.
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
(I)
Multiplicamos ambos os membros por q:
Sn.q = a1q + a2q + a3q + ... + an-1q + anq
a2
a3
a4
an
Sn.q = a2 + a3 + ... + an-1 + an + an+1
Como an+1 = a1qn, fazemos (II) – (I):
(II)
Sn.q – Sn = a1qn – a1  (q – 1)Sn = a1(qn – 1)


a1 q  1
Sn 
q 1
n
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG finita
Perceba que nessa expressão devemos ter : q  1.
Podemos ainda, a partir dessa expressão, obter
outra:


a1  q  a1
a1 q  1
Sn 
 Sn 
q 1
q 1
n
n
n
Perceba que q é o mesmo que q
a1  q n1  q1  a1
Sn 
q 1

n -1
1
.q :
an  q  a1
Sn 
q 1
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG infinita
Observe os termos da seqüência
(1, 1/2, 1/4, 1/8, ...)
Perceba que, nesse caso, temos uma PG de
a1 = 1 e q = 1/2
1 = 1
1/2 = 0,50
1/4 = 0,25
1/8 = 0,12
Perceba que na medida que o número de
termos aumenta, o último termo se aproxima
de ZERO.
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG infinita
Toda PG cuja razão tem valor absoluto
menor que 1, apresenta essa característica.
Generalizando esse conceito temos:
Quando n → ∞ (n tende ao infinito)
Teremos que an → 0 (an tende a ZERO)
Voltando a fórmula da soma dos n primeiros
termos de uma PG:
an  q  a1
Sn 
q 1
Perceba que: an . q → 0 (an . q tende a ZERO)
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de
uma PG infinita
Desta forma, teremos que:
 a1
Sn 
q 1
Que também pode ser escrito como:
a1
Sn 
1 q
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

HISTÓRICO
Números Figurados  nos quadrados
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)
( 1, 4, 9, 16, ..., n2, ...)
ou
1
1+3
1+3+5 1+3+5+7
...
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

BIOLOGIA
(1, 2, 4, 8, ...)
2 4 8
= = =2
1 2 4
Divisão
das
amebas
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

MÚSICA
Os sons musicais se escrevem por meio de
sinais chamados notas
Semibreve ............. 
Semicolcheia .........

Mínima .................. 
Fusa .......................
Semínima .............. 
Semifusa ...............


Colcheia ................ 
A unidade de valor rítmico é a semibreve.
= 1•
2
2
1 1
SEQÜÊNCIAS: Diferentes 1Contextos
= •
4 2 2
Podemos representar esses valores pela
1
1
1
1
1
seqüência finita: = 1•
= •
2
2
8 4 2
1 1 1 1 1 1
1 1
1, , ,1 , 1 , 1 , 1
• 32 64 = •
2 4 48=16
2 2
16 8 2
1 1 1
1
1 1
1
1
= •
= 1•
=
•
2
2
8 4 2
32 16 2
1 1 1
1 1 1
1
1 1
= •
=
•
=
•
4 2 2
16 8 2
64 32 2
1 1 1
1
1 1

y

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos



GEOMETRIA E ÁLGEBRA
x2
Área sob a curva y =
intervalo [1,4].



no


Dividindo esse intervalo em 6 partes
iguais e construindo retângulos cuja
altura são os valores de x tomados à
extrema direita, podemos formam
uma seqüência com as áreas desses
6 retângulos:







(R1, R2, R3, R4, R5, R6)



(
9
25 9 49
,2,
, , ,8)
8
8 2 8
    




















y

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos



1 32 1 9 9
R1 = • 2 = • =
2 2
2 4 8
1 2 1
1 16 16
R2 = • 2 = • 4 = •
=
2
2
2 4
8

Será
que
há
algum
padrão
nessa seqüência
das áreas dos
retângulos?





1 52 1 25 25
R3 = • 2 = •
=
2 2
2 4
8
1 2 1
1 36 36
R4 = • 3 = • 9 = •
=
2
2
2 4
8







R5

















R6

1 72 1 49 49
= • 2= •
=
2 2
2 4
8
1 2 1
1 64 64
= • 4 = • 16 = •
=
2
2
2
4
            8



SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
9
R1 = ⇒
8
16
R2 =
⇒
8
25
R3 =
⇒
8
36
R4 =
⇒
8
49
R5 =
⇒
8
64
R6 =
⇒
8
R1 =
R2 =
R3 =
R4 =
R5 =
R6 =
(3)2
8
⇒ R1 =
(4)2
⇒ R2 =
8
(5)2
⇒ R3 =
8
(6)2
⇒ R4 =
8
(7)2
⇒ R5 =
8
(8)2
⇒ R6 =
8
(1 + 2)2
8
(2 + 2)2
8
(3 + 2)2
8
(4 + 2)2
8
(5 + 2)2
8
(6 + 2)2
8
Rn =
(n + 2)2
8
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

FRACTAIS
Waclaw Sierpinski (1882-1969) foi um grande
matemático polonês. Em 1916, criou uma curva
muito interessante chamada triângulo de
Sierpinski. Sua construção consiste em:
Original
Estágio 1
Estágio 2
Estágio 3
Considerando apenas os triângulos brancos obtidos
temos a seqüência (1, 3, 9, 27, ...). Essa seqüência é
geométrica de razão q = 3.
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Observando o nascimento de coelhos
 Casal JOVEM
 Casal ADULTO
No de No de
meses casais
início
1
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
2
3
4
..
.
3
5
..
.
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
A seqüência que fornece o no de casais de coelhos é
obtida da seguinte forma:
1
1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão
que dá o no de Fibonacci de ordem n)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...) é chamada
de seqüência de Fibonacci.
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
Retângulo áureo  número de ouro  Seqüencia de
Fibonacci
A
P
B
1
1
1
D
x –1
x
Q
AD CQ 1 x – 1
⇒x2 – x – 1 = 0
=
⇒ =
CD BC x
1
1+ 5
'
x ==
= 1,6180339887...
2
C
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
Em 1611, Kepler notou que a divisão entre um
número de Fibonacci e seu precedente leva ao
número  quando se avança para valores cada
vez maiores na seqüência.
Em termos matemáticos, temos que:
f(n)/f(n – 1)   quando n  infinito
De modo inverso, os números de Fibonacci
podem ser gerados a partir de potências de 
segundo a expressão:
n
n
 – (– )
f (n) =
5
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
Nos Estados Unidos há uma sociedade
matemática chamada Sociedade Fibonacci,
que publica artigos trimestralmente e que
dirige um centro bibliográfico e de pesquisa
sobre aplicações da seqüência de Fibonacci.
O matemático Edouard A. Lucas (18421891) apresentou a seqüência (2, 1, 3, 4, 7,
11, 18, ...), que possui o mesmo padrão que
a de Fibonacci.
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

QUADRADOS MÁGICOS
O primeiro registro, de origem antiga e
desconhecida, de um quadrado mágico
apareceu na China.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Um quadrado numérico é
mágico se ele possui n2
números inteiros positivos
e diferentes entre si tais
que a soma dos n números
que figuram nas linhas,
colunas e diagonais é
constante.
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
Toda sucessão de n números distintos
compreendidos entre 1 e n2 e cuja soma é a
constante
mágica
chama-se
seqüência
mágica.
No quadrado ao lado, a
constante mágica é 15 e as
seqüências mágicas são:
(4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, 6);
(4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 7, 6);
(4, 5, 6) e (2, 5, 8).
4
9
2
3
5
7
8
1
6
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
Considere um quadrado
mágico que possui 16
(42) números naturais
diferentes (1, 2, ..., 16).
Se a constante mágica é
34,
complete
o
quadrado mágico ao
lado
e
escreva
as
seqüências mágicas.
1
12
7
16
15
14
SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos
1
12
7
14
8
13
2
11
10
3
16
5
15
6
9
4
REFERÊNCIAS



ANTON, Howard. Cálculo: um novo
horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e
Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto
Alegre: Bookman, 2000.
CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões
numéricos e seqüências. São Paulo:
Moderna, 1997.
DANTE, Luiz R. Contextos e Aplicações.
V. Único, São Paulo: Ática, 2000.