Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
- Mestrado - Doutorado
CONTROLE VETORIAL DE UM MOTOR DE
INDUÇÃO TRIFÁSICO APLICADO EM SISTEMAS
DE POSICIONAMENTO
Por
Amanda Guerra de Araújo
Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da
Paraíba para obtenção do grau de Mestre
João Pessoa – Paraíba
agosto, 2011
ii
AMANDA GUERRA DE ARAÚJO
CONTROLE VETORIAL DE UM MOTOR DE
INDUÇÃO TRIFÁSICO APLICADO EM SISTEMAS
DE POSICIONAMENTO
Dissertação apresentada ao curso de
Pós-Graduação
em
Engenharia
Mecânica da Universidade Federal da
Paraíba, em cumprimento às exigências
para obtenção do Grau de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Isaac Soares de Freitas
João Pessoa - Paraíba
agosto, 2011
iii
A663c
UFPB/BC
Araújo, Amanda Guerra de.
Controle vetorial de um motor de indução trifásico aplicado
em sistemas de posicionamento / Amanda Guerra de Araújo.João Pessoa, 2011.
102f. : il.
Orientador: Isaac Soares de Freitas
Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT
1. Engenharia Mecânica. 2.Controle de posição. 3.Controle
vetorial. 4. Motor de indução. 5.Processador Digital de Sinais
(DSP).
CDU: 621(043)
iv
v
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho e esta conquista aos meus pais, Antonio e Aliete, pelo
apoio em todos os momentos e incentivo constante ao meu crescimento
pessoal e profissional.
vi
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus pela saúde e força para superar os obstáculos.
Ao meu orientador, professor Isaac Soares de Freitas pela atenção, apoio e
conhecimentos adquiridos.
Aos meus pais, pelo amor, exemplo de vida e esforço constante em garantir a melhor
formação possível para mim.
A Danilo, que me deu muita força e ânimo para concluir este trabalho.
Ao meu amigo companheiro de laboratório, Alexander Patrick pela ajuda e paciência
durante o desenvolvimento do trabalho.
Aos meus amigos Paulo César e Carlos Alberto pela enorme ajuda durante o
cumprimento das disciplinas.
A Àtila, Flávio e Jairo pela montagem da bancada de experimental utilizada e Altemir
e Pedro pelos últimos ajustes.
Aos professores das disciplinas cumpridas, pelo válido conhecimento recebido.
Aos demais amigos que contribuíram direta ou indiretamente para execução deste
trabalho.
À CAPES pelo suporte financeiro.
vii
CONTROLE VETORIAL DE UM MOTOR DE INDUÇÃO
TRIFÁSICO APLICADO EM SISTEMAS DE POSICIONAMENTO
RESUMO
Este trabalho consiste no desenvolvimento de um sistema de controle de posição de um
motor de indução trifásico para sistemas de posicionamento, utilizando a técnica de
controle vetorial em quadratura com o fluxo rotórico. Várias aplicações se utilizam deste
controle, como robôs manipuladores para máquinas de pintura e soldagem, mesas de
coordenadas e posicionadores de um modo geral. Por muito tempo a máquina mais
utilizada nestes sistemas era a de corrente contínua pela sua simplicidade de controle, até
que foram desenvolvidas e aprimoradas as técnicas vetoriais, e avanços significativos na
eletrônica de potência permitindo um acionamento de alto desempenho e menor custo
utilizando máquinas de corrente alternada. Para implementar o acionamento com
velocidade variável, a máquina assíncrona deve ser alimentada através de uma fonte de
tensão trifásica de frequência e amplitude variáveis, fonte esta que é obtida por meio de
conversores estáticos. O conversor empregado neste trabalho utiliza a configuração com
três braços, cada um contendo duas chaves com disparo e bloqueio controlados, sendo um
braço para cada fase do motor. Um processador digital de sinais (DSP) foi utilizado para
receber os sinais de tensão, corrente, posição e gerar a modulação por largura de pulso
(PWM).
Palavras chave: controle de posição, controle vetorial, motor de indução e DSP.
viii
VECTOR CONTROL OF A THREE-PHASE INDUCTION MOTOR
APPLIED TO POSITIONING SYSTEMS
ABSTRACT
This work consists of developing a system for position control of a three phase induction
motor for positioning systems, using the technique of vectorial control in quadrature with
the rotor flux. Several applications make use of this control, such as robot manipulators for
welding and painting machines, tables and positioners coordinates in general. For a long
time the machine most used in these systems was the DC for its simplicity of control, until
the vector techniques were developed and improved, and significant advances in the power
electronics allowing a drive high performance and lower cost using AC machines. To
implement the drive with variable speed the asynchronous machine should be powered
from a three-phase voltage source with variable frequency and amplitude, this source is
obtained by static converters. The converter employed in this work uses the configuration
with three arms, each containing two keys with controlled trigger and block, with one arm
for each motor phase. A digital signal processor (DSP) was used to receive signals of
voltage, current, position and generate the pulse width modulation (PWM).
Keywords: position control, vectorial control, induction motor and DSP.
ix
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
1
INTRODUÇÃO GERAL ...................................................................................................1
1.1 MOTIVAÇÕES E OBJETIVOS ..........................................................................1
1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO....................................................................4
CAPÍTULO II ..................................................................................................................6
SISTEMA DE ACIONAMENTO COM MÁQUINA DE INDUÇÃO TRIFÁSICA ...........6
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................6
2.2 MODELO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO .........................................................6
2.2.1
Representação complexa dq da máquina de indução trifásica ........................7
2.3 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
TRIFÁSICA .................................................................................................................8
2.3.1
Controle em quadratura com o fluxo rotórico .............................................. 11
2.4 SISTEMA DE ACIONAMENTO ...................................................................... 13
2.4.1
Inversor trifásico ......................................................................................... 13
2.4.2
Estratégia de Controle por Largura de Pulso (PWM)...................................16
2.5 CONCLUSÃO ....................................................................................................19
CAPÍTULO III............................................................................................................... 20
SISTEMA DE CONTROLE DE POSIÇÃO .....................................................................20
3.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................20
3.2 MODELO PARA PROJETO DOS CONTROLADORES ............................... 22
3.3 CONTROLE ....................................................................................................... 25
3.3.1
Equação utilizada para controle do fluxo ..................................................... 25
3.3.2
Cálculo do escorregamento ......................................................................... 26
3.3.3
Equação utilizada para controle do torque ................................................... 26
3.4 PROJETO DOS CONTROLADORES ............................................................. 29
3.4.1
Controlador de corrente .............................................................................. 29
3.4.2
Controlador de corrente e velocidade .......................................................... 32
x
3.4.3
Controlador de velocidade e posição utilizando controlador proporcional
puro............. ............................................................................................................. 36
3.4.4
Controlador de velocidade e posição utilizando controlador PD .................. 40
3.5 CONCLUSÃO ....................................................................................................43
CAPÍTULO IV ............................................................................................................... 44
RESULTADOS DE SIMULAÇÃO ................................................................................. 44
4.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................44
4.2 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS ELÉTRICOS .................................44
4.2.1
Ensaios realizados no motor de indução ...................................................... 46
4.3 SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE POSIÇÃO............................................... 47
4.3.1
Parâmetros utilizados para simulação .......................................................... 47
4.3.2
Resultados de simulação ............................................................................. 48
4.4 CONCLUSÕES ..................................................................................................53
CAPÍTULO V ................................................................................................................ 54
RESULTADOS EXPERIMENTAIS ................................................................................ 54
5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................54
5.2 DESCRIÇÃO DO HARDWARE ....................................................................... 54
5.2.1
Processador Digital de Sinais (DSP) embarcado.......................................... 58
5.2.2
Condicionamento e Aquisição das correntes e tensões de fase ..................... 60
5.3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS .................................................................63
5.3.1
Gráficos de resposta do sistema ..................................................................64
5.4 CONCLUSÕES ..................................................................................................68
CAPÍTULO VI ............................................................................................................... 69
CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS ............................... 69
6.1 CONCLUSÕES ..................................................................................................69
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .............................................. 70
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 71
APÊNDICE A ................................................................................................................ 74
A.1 EQUAÇÕES GERAIS DAS MÁQUINAS TRIFÁSICAS ......................................... 74
A.2 REPRESENTAÇÃO odq DA MÁQUINA ...................................................... 81
A.2REPRESENTAÇÃO COMPLEXA OU VETORIALdq .................................85
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Configuração básica dos inversores de frequência com diodos em
antiparalelo.......................................................................................................................
14
Figura 2.2 – Inversor trifásico de ponte completa...........................................................
15
Figura 2.3 – Sinais de referência para um conversor CA/CA trifásico...........................
17
Figura 2.4 – Sinal triangular............................................................................................
18
Figura 2.5 – Sinal de saída do modulador.......................................................................
18
Figura 2.6 – Representação do tempo morto nos gráficos de tensão das chaves............
19
Figura 3.1 – Malha de controle de conjugado...................................................................
21
Figura 3.2 – Malha de controle de velocidade com malha interna de conjugado.............
21
Figura 3.3 – Malha de controle de posição com malhas internas de controle de
velocidade e conjugado.....................................................................................................
22
Figura 3.4 – Diagrama de blocos utilizado para projeto dos controladores.....................
30
Figura 3.5 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de velocidade do
tipo PI................................................................................................................................
35
Figura 3.6 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de posição do tipo
PI........................................................................................................................................ 38
Figura 3.7 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de posição do tipo
PI........................................................................................................................................ 42
Figura 4.1 – Representação do circuito no ensaio em vazio............................................
46
Figura 4.2 – Representação do circuito no ensaio em rotor bloqueado...........................
46
Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controle completo...................................................
49
Figura 4.4 – Simulação para uma referência de 10 rad: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente........................................
50
Figura 4.5 – Simulação para uma referência de 30 rad: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente........................................
51
xii
Figura 4.6 – Simulação para uma referência seno: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente.......................................
52
Figura 4.7 – Simulação para uma referência cosseno: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente.......................................
53
Figura 5.1 – Hardware montado para o acionamento do motor.......................................
56
Figura 5.2 – Esquemático do hardware do sistema experimental....................................
56
Figura 5.3 – Inversor montado com módulos da Semikron®...........................................
56
Figura 5.4 – Foto do driver SKHI 23/12 (R) da Semikron®.............................................
57
Figura 5.5 – Bancada com motor de indução acoplado ao encoder.................................
58
Figura 5.6 – Encoder incremental utilizado para medição da posição.............................
58
Figura 5.7 – Kit de desenvolvimento eZdsp
TM
F28335com placa de proteção................
59
Figura 5.8 – Diagrama esquemático do circuito transdutor e condicionador de corrente
62
Figura 5.9 – Diagrama esquemático do circuito transdutor e condicionador de tensão.... 63
Figura 5.10 – Resultado experimental pequenos passos: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente .......................................
65
Figura 5.11 – Resultado experimental grande valor de posição: (a) Posição, (b)
Velocidade, (c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente ...................
66
Figura 5.12 – Resultado experimental referência rampas: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente q de corrente ........................................................................................
67
Figura 5.13 – Resultado experimental referência senoidal: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente q de corrente .........................................................................................
68
Figura 5.14 – Resultado experimental com referência senoidal - controlador PD:
(a) Posição, (b) Velocidade, (c) Componente q de corrente.............................................
69
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Valores das resistências estatóricas do motor.........................................
47
Tabela 4.2 – Valores obtidos no ensaio em vazio........................................................
47
Tabela 4.3 – Valores obtidos no ensaio com rotor bloqueado.....................................
47
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
PWM – Pulse Width Modulation (Modulação por Largura de Pulso)
CC – Corrente Contínua
CA – Corrente Alternada
DSP – Digital Signal Processor
MIT – Motor de Indução Trifásico
A/D – Analógico-Digital
FTMA – Função de transferência em malha aberta
FTMF – Função de transferência em malha fechada
IGBT - Insulated Gate Bipolar Transistor (Transistor Bipolar de Porta Isolada)
θm- Ângulo mecânico
θr- Ângulo elétrico
F - coeficiente de atrito viscoso (N.m.s)
Ce - conjugado eletromagnético (N.m)
C m - conjugado resistente ou de carga (N.m)
2
J - momento de inércia (kg.m )
Rs - resistência estatórica (Ω)
Rr - resistência rotórica (Ω)
ls - indutância cíclica estatórica (H)
lr - indutância cíclica rotórica (H)
lm - indutância cíclica mútua (H)
P - número de pares de pólos
 g - frequência de rotação do referencial arbitrário (rad/s)
r - frequência de rotação do rotor (rad/s)
xv
v - frequência de rotação do vetor tensão estatórica (rad/s)
i - frequência de rotação do vetor corrente estatórica (rad/s)
a - frequência de rotação do vetor fluxo estatórico (rad/s)
b - frequência de rotação do vetor fluxo rotórico (rad/s)
br - frequência de escorregamento do vetor fluxo rotórico (rad/s)
 g - posição angular do referencial arbitrário
 r - posição angular do eixo magnético do rotor
 v - posição angular do vetor tensão estatórica
 i - posição angular do vetor corrente estatórica
 a - posição angular do vetor fluxo estatórico
 b - posição angular do vetor fluxo rotórico
v sg - vetor tensão estatórica com referencial genérico
v rg - vetor tensão estatórica com referencial genérico
i gs - vetor corrente estatórica com referencial genérico
i gr - vetor corrente rotórica com referencial genérico
λ gs - vetor fluxo estatórico com referencial genérico
λ rg - vetor fluxo rotórico com referencial genérico
 s - módulo do fluxo estatórico (Wb)
r - módulo do fluxo rotórico (Wb)
 s - módulo da corrente estatórica (Wb)
r - módulo da corrente rotórica (Wb)
 - coeficiente de dispersão da máquina
v 0 N - diferença de tensão do intermediário da fonte “0” para o neutro da máquina
v ss10 , v ss20 , v ss30 - tensões de pólo
v ss1 , v ss2 , v ss3 - tensões de fase nos terminais da carga trifásica
E - tensão contínua de entrada ou barramento CC
 r - constante de tempo rotórica
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO GERAL
1.1 MOTIVAÇÕES E OBJETIVOS
O setor industrial pode ser traduzido como um ambiente onde estão presentes
inúmeros sistemas e processos que devem funcionar de forma eficiente, rápida e confiável,
com o objetivo de evitar desperdícios de matéria prima ou produtos defeituosos, buscando
ainda a diminuição de custos para ampliar a competitividade no mercado. No caso de
processos operados manualmente, existe a necessidade de conhecimento e experiência por
parte do operador, caso contrário as chances de falha humana, quebras do equipamento e
danos físicos podem aumentar. Para evitar estas situações a automação dos processos
industriais tem se desenvolvido de forma expressiva, unindo a eletrônica e mecânica para
solucionar questões, seja criando novos sistemas ou desenvolvendo equipamentos que se
adaptem às máquinas já presentes na linha de produção.
Os sistemas posicionadores vão dos mais cotidianos como leitores de CD e DVD,
máquinas fotográficas e filmadoras, até os mais complexos aplicados em telescópios,
aeronaves e robôs manipuladores utilizados em cirurgias à distância. Industrialmente, estes
sistemas são utilizados em processos de pintura, usinagem, soldagem, entre outros, que
exigem alta precisão nos movimentos, rapidez e segurança. São possíveis várias
alternativas de atuadores aplicados no controle de posição, sendo comum o acionamento
por meio de dispositivos hidráulicos, pneumáticos ou de motores elétricos, devendo a
escolha ser feita a partir de fatores técnicos e financeiros.
2
As mesas de coordenadas XY são máquinas utilizadas em muitas aplicações na área
industrial como em máquinas de fresagem, soldagem, furadeiras, entre outros. Sua
principal desvantagem reside no fato de que o correto posicionamento da peça a ser
trabalhada depende exclusivamente da habilidade e da experiência do operador. Neste
caso, a ausência de um operador experiente compromete decisivamente a produtividade,
uma vez que a experiência no manuseio da mesa é de fundamental importância para a boa
execução da tarefa a ser realizada.
Como alternativa às mesas de posicionamento manual, têm-se uma grande
variedade de estruturas acionadas por motores elétricos. Neste caso, são utilizados motores
de passo, de corrente contínua, de indução e síncronos (XAVIER, 2008).
Na sociedade moderna industrial os motores elétricos possuem um importante papel
e estão presentes em diversos setores, desde a própria indústria, agricultura e comércio,
entre outros. Tal idéia é confirmada ao se observar que eles utilizam quase 50% de toda
energia consumida no mundo (MORENO et al., 1997).
A máquina de corrente contínua (CC) apresenta características dinâmicas e de
operação bastante favoráveis para a realização de acionamentos elétricos à velocidade
variável, pois possuem ampla faixa de controle de velocidade, torque e posição, além de
contarem com métodos de controle mais baratos, realizados por meio da variação da tensão
ou resistência de armadura ou de campo. Por possibilitarem a utilização de um modelo
linearizado, a aplicação de motores CC para sistemas de controle de posição foi
predominante durante décadas. Entretanto, por possuir algumas limitações construtivas,
principalmente a existência do comutador mecânico de corrente, que aumenta a
necessidade de manutenção e causa faíscamento, torna o motor de CC não indicado para o
uso em atmosferas perigosas. A preferência é por máquinas de corrente alternada (CA),
que dispensam esse tipo de comutador, são de 20% a 40% mais leves que os motores CC
equivalentes, construtivamente mais simples e robustos, tem menor custo e necessitam de
manutenção mínima.
Com relação ao acionamento e controle da velocidade, houve uma significativa
redução dos custos do acionamento CA, graças ao desenvolvimento da eletrônica de
potência que possibilitou o aprimoramento das chaves eletrônicas para diversas tensões de
bloqueio, correntes de condução e frequência de comutação, desenvolvimento dos
microprocessadores,
em
especial
o
DSP’s (processador
digital de
sinais)
e
microcontroladores capazes de desenvolver aplicações em tempo real, transformando-os
3
em preferência para uma série de aplicações onde o controle da velocidade seja necessário
(SALERNO, 2003).
Várias pesquisas estão sendo desenvolvidas nesse contexto, como: o estudo de um
algoritmo para controle de um sistema multifuncional acionado por servomecanismo que
garante posicionamento em duas coordenadas de uma superfície plana de digitalização
(GELEŽEVIUS, BLAŽIŨNAS, 2006); utilização de DSP para acionamento de um sistema
CA de indução robusto para controle de movimento com alto desempenho (TZOU, 1996);
controle inteligente do acionamento de um motor linear para alimentação de ferramentas
em uma máquina CNC (XIAO et al, 2008), entre outros.
Dentre os trabalhos de posicionamento encontra-se o acionamento de forma
automática de uma mesa de coordenadas XY alimentada por motores de indução trifásicos
através de lógica fuzzy para acompanhamento de trajetória (JULIO, 2010) e a
implementação deste sistema utilizando redes neurais, desenvolvido por SOBRINHO
(2011).
No entanto, a análise da máquina de corrente alternada é complexa, pois exige o
estudo de um sistema multivariável, fortemente acoplado e não linear, observando as
considerações do modelamento dinâmico completo.
Os primeiros acionamentos eram do tipo escalar, baseados em modelos de regime
permanente e na variação da frequência aplicada ao motor, através da manutenção da
relação tensão/frequência (V/F) em um valor constante, objetivando manter constante o
fluxo do estator, resultando em fraco desempenho dinâmico. Para desenvolver sistemas de
acionamento de alto desempenho, tem sido investigadas estratégias de controle que
garantam o desacoplamento entre o controle do fluxo e do conjugado. Este desacoplamento
pode ser conseguido através do estudo do modelo da máquina e de abordagens ditas
vetoriais (JACOBINA, 2005).
Com o desenvolvimento de inversores de potência com operação em altas
frequências de chaveamento, juntamente com os dispositivos de processamento de sinais
cada
vez
mais
velozes
e
de
maior
capacidade
de
processamento
(DSP’s,
microcontroladores), o controle por orientação de campo, além de se tornar objeto de
vários estudos, recebeu um grande impulso na sua utilização para acionamentos industriais
(HERNÁNDEZ, 1999).
Os acionamentos utilizam uma fonte trifásica de frequência e amplitude variáveis,
com características mais próximas possíveis de uma fonte trifásica senoidal. A estrutura da
4
fonte estatórica mais largamente empregada nos acionamentos é dada por um inversor
trifásico que utiliza chaves com abertura e fechamento comandados (transistores bipolares,
igbts, etc), sinal de comando utilizando técnica PWM, aquisição de variáveis, controle e
comando do sistema de acionamento, realizados por um microcomputador dotado de
placas dedicadas com conversores A/D e temporizadores programáveis.
O sistema de acionamento padrão em CA é constituído por um retificador de
entrada, um banco de capacitores para fornecer o barramento CC, um inversor da fonte de
tensão, uma máquina elétrica e um sistema de controle baseado em um microcomputador.
O controle utilizado neste trabalho foi desenvolvido através do estudo de malhas
de controle existentes na literatura e propondo uma malha iniciando pelo projeto do
controlador de corrente, em seguida de velocidade e chegando por fim, ao controle de
posição do motor de indução trifásico.
1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A estrutura geral deste trabalho é descrita nos parágrafos a seguir:
Na introdução é apresentada a importância do correto posicionamento das
diferentes máquinas em ambiente industrial, bem como a justificativa da utilização de
motores de corrente alternada como alternativa ao posicionamento manual, suas
dificuldades iniciais de aplicação e soluções atualmente empregadas.
No segundo capítulo é abordado o sistema de acionamento da máquina. Iniciando
com o modelo odq da máquina de indução trifásica, passando para as estratégias de controle
existentes, chegando ao controle em quadratura com o fluxo rotórico que será empregado
neste estudo e por fim o modelo do conversor utilizado.
O sistema responsável pelo controle da posição está descrito no terceiro capítulo,
contando com o seu modelo completo e em seguida todo o projeto dos controladores de
corrente, velocidade e posição.
O quarto capítulo apresenta o procedimento para identificação da máquina
utilizada no estudo, de forma a obter os parâmetros necessários à simulação do projeto e os
resultados obtidos através desta.
5
O quinto capítulo conta com uma descrição do protótipo experimental utilizado,
incluindo a máquina, o conversor e seus circuitos de acionamento, sensores e o DSP. Os
resultados obtidos experimentalmente são apresentados em seguida.
As conclusões gerais da dissertação e propostas para trabalhos futuros serão
comentadas no sexto e último capítulo, seguidas pelas referências e apêndice contendo o
modelamento da máquina e sua transformada de variáveis.
6
CAPÍTULO II
SISTEMA DE ACIONAMENTO COM MÁQUINA DE INDUÇÃO
TRIFÁSICA
2.1 INTRODUÇÃO
O motor de indução trifásico (MIT) é a máquina elétrica mais utilizada no setor
industrial uma vez que possui robustez de operação, baixo custo de aquisição e
manutenção quando comparada a outros tipos de máquinas, o que satisfaz as atuais
necessidades dos processos produtivos. Em oposição à sua robustez, é de constituição
extremamente simples, em especial a máquina com rotor em gaiola de esquilo, devido ao
aproveitamento do princípio da indução eletromagnética.
Neste capítulo é apresentado o modelamento matemático da máquina de indução,
os modelos para controle desta e o modelo de conversor utilizado, estes conceitos serão a
base para o acionamento do motor.
2.2 MODELO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
O objetivo da modelagem de um processo é alcançar um equacionamento
matemático que se aproxime do seu comportamento real. A forma mais rigorosa de
representar matematicamente uma máquina de corrente alternada é através da utilização
das equações diferenciais. Este tipo de modelamento tornou-se uma ferramenta muito
7
precisa e confiável para a avaliação das variações das tensões, correntes, fluxos
concatenados, conjugado eletromagnético e posição angular.
As máquinas trifásicas, tendo em vista a análise dinâmica de seu desempenho
elétrico, podem ser representadas de maneiras distintas: o modelo trifásico é representado
através de seis enrolamentos, onde três são centrados nos eixos magnéticos das fases do
estator, e outros três são centrados nos eixos magnéticos das fases do rotor. De forma
simplificada, no modelo bifásico (odq) o motor é representado através de quatro
enrolamentos, onde tanto os do estator como do rotor, são postos aos pares sobre eixos
magnéticos hipotéticos ortogonais entre si. Neste tipo de análise, se o sistema for
equilibrado ou sem conexão com o neutro, a denominada fase “o” será eliminada,
resultando num sistema de duas coordenadas (dq). Contudo, os melhores avanços com
relação aos servossistemas de corrente alternada foram obtidos com o uso de variáveis
complexas, no chamado modelo vetorial. Esta técnica é definida com base no modelo
bifásico (odq), porém impondo-se que este plano configura um plano complexo, com um
eixo real e outro imaginário (LLERENA, 2006).
A simulação do desempenho das máquinas trifásicas, a princípio, pode ser
realizada por qualquer um dos modelos anteriores indistintamente, pois eles são
equivalentes entre si. Contudo, o movimento relativo entre estator e rotor faz com que o
acoplamento magnético entre seus circuitos, origine coeficientes variáveis com o tempo
nas equações diferenciais não lineares, que compõem o modelo trifásico.
2.2.1
Representação complexa dq da máquina de indução trifásica
A máquina trifásica pode ser representada por um modelo mais simples que o
trifásico convencional utilizando-se de uma transformação de variáveis. Tais variáveis dq
podem ainda serem representadas como vetores no plano dq onde as partes real e
imaginária correspondem à suas coordenadas cartesianas (JACOBINA, 2005). Obtendo
então as seguintes expressões:
λ gs  ls i sg  lm i gr
(2.1)
λ rg  lr i gr  lm i sg
(2.2)
8
dλ sg
v Ri 
 jg λ sg
dt
g
s
g
s s
dλ rg
0 Ri 
 j g - r  λ rg
dt
g
r r
ce  Pis s sen( i   a )  P
lm
is s sen( i   b )
lr
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Onde:
v gs - vetores de tensão estatórica
λ sg - vetores de fluxo estatórico
λ rg - vetores de fluxo rotórico
ce - conjugado eletromagnético
O detalhamento de tal modelo está contido no apêndice para eventuais consultas.
2.3 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE DA MÁQUINA DE INDUÇÃO
TRIFÁSICA
As máquinas de corrente contínua (CC) são bastante utilizadas para acionamento
por possuírem características construtivas que fazem com que os eixos associados ao
conjugado e ao fluxo sejam desacoplados, permitindo o acionamento através do controle
da corrente de armadura. Na máquina de corrente alternada (CA), este desacoplamento não
existe, tornando as interações dinâmicas bastante complexas.
A partir desta problemática, vários esquemas de controle foram propostos
baseados em modelos de regime permanente da máquina de CA, porém nenhum deles se
comparava ao desempenho dinâmico da máquina de CC. Surgiram então estudos utilizando
uma nova metodologia apoiada no modelo vetorial da máquina de corrente alternada.
BLASCHKE (1972) utilizando-se de conceitos matemáticos conseguiu formular uma
teoria geral para o comportamento dinâmico das máquinas de indução e como desacoplar a
9
planta de controle, controlando as correntes do estator representadas por um vetor e
levando o comportamento dinâmico da máquina CA o mais próximo possível ao de uma
máquina de CC, mas este modelo é complexo e não-linear.
Quando os primeiros microcontroladores digitais tornaram-se acessíveis, as
funções complexas necessárias ao controle puderam ser implementadas, levando ao
desenvolvimento das técnicas de acionamento das máquinas de CA (STEINDORFF,
2003).
Este tipo de controle baseia-se em projeções que transformam um sistema
trifásico em um sistema composto por duas coordenadas, ou seja, transformando o modelo
da máquina de indução em um modelo similar ao de corrente contínua, alcançando o
desacoplamento entre o controlador de fluxo e o de torque, tornando o controle mais eficaz
e simplificado tanto para altas quanto baixas rotações.
Um dos métodos de controle vetorial mais utilizado para acionamentos CA de alto
desempenho, é o controle vetorial por orientação de fluxo (LEONHARD, 1985). Este
encontra-se fundamentado no conhecimento da posição espacial do vetor fluxo para o qual
se deseja a orientação, ou seja, fluxo de entreferro, de estator ou de rotor, podendo ser
classificada ainda em direta ou indireta (LORENZ, 1994).
Os controladores vetoriais possuem a necessidade do conhecimento do valor exato
da magnitude e posição do campo girante, o que cria a exigência do uso de sensores de
fluxo colocados no interior da máquina (controle direto), inviabilizando sua utilização em
determinados sistemas, seja pela dificuldade de acesso, já que necessitariam de
modificações na sua estrutura para a adaptação e/ou pelo alto custo dos sensores.
Uma forma de contornar estas limitações consiste na utilização de estimadores de
fluxo baseados no modelo vetorial da máquina (controle indireto).
No caso de orientação indireta no fluxo do rotor, a velocidade de rotação utilizada
é medida por meio de um encoder e é feita a estimação da constante de tempo elétrica do
rotor e da frequência angular de escorregamento, esta sendo feita a partir das correntes do
estator no sistema síncrono. Este método é de simples implementação, possui
desacoplamento entre as componentes do fluxo do rotor, fazendo com que o motor de
indução alcance um desempenho igual ou superior ao motor de corrente contínua. Por
outro lado, possui uma grande sensibilidade à variação dos parâmetros elétricos da
máquina, em especial a constante de tempo elétrica do rotor, sendo esta sua principal
desvantagem. Desde que as correntes e a velocidade de rotação sejam medidas com boa
10
exatidão, uma vez que são entradas do sistema de controle, o desempenho do sistema fica
sensível apenas à variação da constante de tempo elétrica do rotor.
Os parâmetros do motor de indução variam principalmente com a temperatura e o
nível de fluxo no entreferro. Os fenômenos que provocam esta variação são a temperatura
e o efeito pelicular que fazem variar as resistências do estator e do rotor e a saturação
magnética que afeta as indutâncias mútuas e próprias do motor.
Na orientação direta podem ser utilizadas bobinas auxiliares ou as medidas das
grandezas terminais do motor, geralmente as tensões e correntes do estator. Tem como
vantagem sua robustez, uma vez que a posição do fluxo é determinada a partir das tensões
e correntes medidas, ao contrário do método indireto, onde é utilizado um valor estimado
do escorregamento. A complexidade de operação a baixas velocidades de rotação é sua
desvantagem, uma vez que nesta região, a força contraeletromotriz apresenta magnitudes
comparáveis à queda de tensão na resistência do estator, além das dificuldades resultantes
do processo de integração dos sinais em baixa frequência (HERNÁNDEZ, 1999).
O conjugado eletromagnético pode ser controlado por meio da frequência de
escorregamento
da
variável escolhida
para
excitar
a máquina
(controle
por
escorregamento), ou pela componente de uma segunda variável (variável de conjugado) em
quadratura com a variável de excitação (controle em quadratura). O controle por
quadratura é eminentemente do tipo vetorial e utiliza normalmente controladores no
referencial do fluxo a ser controlado, já a estratégia de controle por escorregamento pode
ser implementada também na forma escalar e o referencial para implementação dos
controladores pode ser qualquer um (JACOBINA, 2005).
Modelos representados em coordenadas de campo do estator e do entreferro são
precisos e permitem a estimação de fluxo e da velocidade de rotação mecânica utilizando a
leitura das correntes e tensões dos enrolamentos da máquina, mas exigem um grande
esforço computacional devido ao elevado número de equações presentes neles. Já a escolha
do vetor no fluxo do rotor leva a uma representação através de número reduzido de
equações sem perdas significativas de exatidão, necessitando apenas das correntes de fase
do estator e da velocidade de rotação mecânica (SANTISTEBAN, 2001).
Analisando estas características, o controle escolhido para este trabalho foi do tipo
em quadratura com o fluxo rotórico e sua definição está apresentada a seguir. Já os demais
tipos de controle, em caso de consulta, são facilmente encontrados na literatura atual.
11
2.3.1
Controle em quadratura com o fluxo rotórico
A escolha do referencial no fluxo rotórico (b) implica em:  g   b  g  b ,
logo,
rb  r , chegando ao seguinte modelo da máquina:
v bs  Rs i bs 
0  Rr i br 
dλ bs
 jb λ bs
dt
(2.6)
dλ r
 j (b  r )λ r
dt
(2.7)
λ bs  ls i bs  lm ibr
(2.8)
λ r  lm i bs  lr i br
(2.9)
1
l
λ r  m i bs
lr
lr
(2.10)
i br 
C e  2 Plm Im( i bs i br )  Pis  s sen ( i   a )  P
lm
is r sen ( i   b )
lr
(2.11)
Separando as equações nas componentes d e q, tem-se, para as tensões do estator:
(vsdb  jvsqb )  Rs (isdb  jisqb ) 
d (sdb  jsqb )
vsdb  Rsisdb 
vsqb  Rs isqb 
dt
 jb (sdb  jsqb )
d sdb
 b sqb
dt
d sqb
dt
 b sdb
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Tensões no rotor:
0  Rr (irdb  jirqb ) 
d r
 jbr λ r
dt
(2.15)
12
d r
dt
(2.16)
0  Rr irqb  br λr
(2.17)
0  Rr irdb 
Para os fluxos:
(sdb  j sqb )  ls (isdb  j sqb )  lm (irdb  jirqb )
(2.18)
sdb  ls isdb  lm irdb
(2.19)
sqb  ls sqb  lm irqb
(2.20)
r  lm (isdb  isqb )  lr (irdb  jirqb )
(2.21)
r  lm isdb  lr irdb
(2.22)
0  lm isqb  lr irqb  irqb  
lm b
isq
lr
(2.23)
Através da Eq. (2.16) é possível perceber que o fluxo do rotor é definido pela
componente d ( irdb ):
d r
  Rr irdb
dt
(2.24)
E a corrente irdb por sua vez é definida através da Eq. (2.22):
irdb 
1
l
 r  m isdb
lr
lr
(2.25)
Derivando a Eq. (2.25) e substituindo em (2.24), tem-se:
dirdb
l di b
r
  r irdb  m sd
dt
lr
lr dt
(2.26)
13
Portanto, o fluxo do rotor é imposto pela corrente irdb que é definida completamente
por isdb . Por outro lado, através da Eq. (2.17) nota-se que o escorregamento,
b
b
consequentemente o torque, depende de irq e esta é definida através de isq conforme a
Eq.(2.23). Tal comportamento caracteriza o desacoplamento no controle do fluxo face ao
controle do conjugado.
2.4 SISTEMA DE ACIONAMENTO
Inversores de frequência são utilizados em aplicações que necessitam de uma
tensão senoidal com amplitude e frequência ajustáveis, assim como ocorre no acionamento
de máquinas elétricas de corrente alternada, que representa uma grande parte de suas
aplicações e cujos estudos contribuem significativamente para o avanço das configurações
e controle do inversor.
A seguir é apresentado, de forma resumida, o funcionamento do inversor e as
características gerais da modulação por largura de pulso, uma vez que estes conhecimentos
são necessários para o entendimento geral do trabalho, embora não seja o objetivo
específico deste e qualquer informação além das descritas podem ser encontradas na
literatura.
2.4.1
Inversor trifásico
Os conversores estáticos ou inversores possuem a tarefa de adequar a potência
elétrica disponível para outra forma estável desejada, utilizando estratégias de comando
para abertura e fechamento de suas chaves semicondutoras de potência, são capazes de
elevar ou abaixar um determinado nível de tensão ou corrente contínua, transformar uma
tensão alternada em contínua ou uma tensão contínua em alternada com a amplitude e
frequência desejadas. Podem também operar em modo de tensão ou corrente. No modo de
tensão, a variável é a tensão de saída e o inversor opera como uma fonte de tensão. No
modo corrente, a variável de controle é a corrente de saída e o conversor opera como uma
fonte de corrente equivalente.
14
O inversor tipo fonte de tensão é capaz de converter uma tensão de CC de entrada
em uma tensão de CA de saída, sendo a tensão de entrada proveniente de um circuito
retificador (conversor CA/CC), de uma bateria ou de um conversor CC/CC.
Os elementos básicos que compõem este circuito são apresentados na figura 3.1 e
para sua análise, a tensão contínua de entrada ou barramento de CC, é apresentada apenas
por uma fonte de CC com tensão constante E, independente de qual for sua origem.
Dois capacitores de mesmo valor são conectados conforme ilustrado e dividem a
tensão do barramento igualmente entre os pontos superior e inferior e o ponto central “o”.
As chaves q a e qb conectadas em série formam o comumente chamado por “braço”
do inversor, sendo representadas por dispositivos fictícios de disparo e bloqueio
controlados e unidirecionais em corrente. Para garantir a passagem em ambos os sentidos
da corrente, é adicionado um diodo em antiparalelo com cada chave, conforme
representado na Fig. 2.1.
Figura 2.1 – Configuração básica dos inversores de frequência com diodos em antiparalelo.
A tensão de saída senoidal com, amplitude e frequência ajustáveis, objetivada ao
utilizar o inversor, é alcançada comandando apropriadamente os estados de bloqueio e
condução das chaves que formam o braço do inversor, de modo que a tensão de pólo (entre
o ponto a e o ponto o) tenha o padrão senoidal desejado.
A configuração do inversor de frequência mais utilizada na alimentação de cargas
trifásicas, ou seja, para o acionamento de máquinas trifásicas, sistemas ininterruptos de
tensão, filtros ativos etc., consiste num arranjo com três braços, denominado inversor de
ponte completa, representado na Fig. 2.2.
15
Figura 2.2 – Inversor trifásico de ponte completa
Na Fig. 2.2 é representado o sistema composto de uma fonte contínua de
alimentação, um inversor trifásico de tensão e a máquina assíncrona, ligada em Y com
neutro não interligado. A fonte de tensão contínua é obtida pela retificação e filtragem do
sistema trifásico de alimentação (380V, 60Hz), na qual é definido um ponto intermediário
utilizado para referencial de tensão, ponto “0”.
O inversor trifásico é composto por seis chaves, q 1, q2, q 3, q4, q 5, q 6 e seus
respectivos diodos, tendo as chaves q 4, q5, q 6 funcionamento complementar à q1, q 2, q3,
respectivamente. Atribuindo valores binários às chaves, sendo qk  0 chave aberta ou
q k  1 chave fechada, tem-se que q4  1  q1 , q5  1  q2 e q6  1  q3 . A configuração das
chaves irá definir as tensões que serão aplicadas à carga, uma vez que estas podem assumir
valores binários (apenas 0 ou 1), com oito combinações possíveis:
 q1  0, q2  0, q3  0  q1  0, q2  0, q3  1  q1  0, q2  1, q3  0  q1  0, q2  1, q3  1
 q1  1, q2  0, q3  0  q1  1, q2  0, q3  1  q1  1, q2  1, q3  0  q1  1, q2  1, q3  1
As tensões de fase nos terminais da carga trifásica são dadas por:
vss1  vss10  v0 N
(2.27)
vss2  vss20  v0 N
(2.28)
vss3  vss30  v0 N
(2.29)
16
Onde:
v0 N = diferença de tensão do intermediário da fonte “0” para o neutro da máquina
vss10 , vss20 , vss30 = tensões de pólo
As tensões de pólo são dadas por:
vss10  q1
E
E
E
 q4   2q1  1
2
2
2
(2.30)
vss20  q2
E
E
E
 q5   2q2  1
2
2
2
(2.31)
vss30  q3
E
E
E
 q6   2q3  1
2
2
2
(2.32)
Substituindo as tensões de pólo em (2.27)-(2.29):
2.4.2
vss1  q1
E
E
E
 q4  v0 N   2q1  1  v0 N
2
2
2
(2.33)
vss2  q2
E
E
E
 q5  v0 N   2q2  1  v0 N
2
2
2
(2.34)
vss3  q3
E
E
E
 q6  v0 N   2q3 1  v0 N
2
2
2
(2.35)
Estratégia de Controle por Largura de Pulso (PWM)
Existem formas diferentes de comando das chaves do inversor, sendo utilizada
neste trabalho a técnica de modulação por largura de pulso, do inglês Pulse-Width
Modulation (PWM), cujo objetivo é alimentar a máquina com tensões trifásicas variáveis a
partir de um inversor trifásico de tensão.
O processo consiste na comparação de dois sinais de tensão, um de baixa
frequência (referência) e outro de alta frequência (portadora), resultando um sinal alternado
com frequência fixa e largura de pulso variável. Podendo ser explicado em duas fases:
modulação do sinal de tensão fundamental de referência segundo a alta frequência da
17
portadora, obtida pelo chaveamento do inversor; demodulação ou recuperação do sinal
fundamental da tensão através da corrente da máquina.
Os parâmetros da modulação PWM são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
Sinal de referência
Sinal de portadora
Modulador
Geração de sinal complementar
Tempo morto
Sinal de referência
Sinal de referência
Para obter um sinal na saída do acionamento da forma desejada, se faz necessária
a comparação com um sinal de tensão que é chamado de sinal de referência, este sendo a
imagem da tensão de saída buscada.
Nos conversores CA/CA o sinal de referência é senoidal, pois é objetivada na
saída uma tensão alternada. Se é desejada uma frequência de 60Hz na saída, deve-se
aplicar um sinal de referência que possua as mesmas características. Já em conversores
trifásicos existe a necessidade da utilização de três sinais senoidais com defasagem de
120º, conforme mostrado na Fig. 2.3.
Figura 2.3 – Sinais de referência para um conversor CA/CA trifásico
2.
Sinal de portadora
É um sinal de alta frequência, da ordem KHz que é responsável por definir a
frequência de chaveamento e a razão cíclica, devendo ser, no mínimo, duas vezes maior que
o sinal de referência (Teorema de Nyquist), mas na prática, se faz necessário pelo menos 10
18
vezes para que a reprodução do sinal na saída do conversor seja boa. Este sinal é
responsável pela frequência de chaveamento dos interruptores presentes no circuito de
potência do acionamento.
Em conversores CC/CC é utilizado como portadora um sinal tipo dente-de-serra, já
em conversores CA/CA, normalmente o sinal utilizado é o triangular, conforme mostrado
na Fig. 2.4.
Figura 2.4 – Sinal triangular
3.
Modulador
É o circuito responsável pela comparação do sinal de referência com a portadora,
sendo o pulso na sua saída, variável de acordo com a amplitude do sinal de referência em
comparação com a portadora. Alcançando então a modulação por largura de pulso – PWM.
Para conversores trifásicos, são utilizados 3 moduladores PWM e neste trabalho a
comparação é feita através do DSP.
As formas de onda nas entradas e na saída do comparador, para um conversor
CC/CA estão mostradas na Fig. 2.5.
Figura 2.5 – Sinal de saída do modulador.
19
4.
Geração do sinal complementar
Ao utilizar dois interruptores configurados em braço, onde o acionamento das
chaves é feito de maneira inversa, se faz necessário o sinal complementar, este sendo o
sinal modulador invertido gerado pelo DSP.
5.
Tempo morto
Ao configurar interruptores em braço, é necessário também, assegurar que dois
interruptores de um mesmo braço não sejam acionados ao mesmo tempo, o que provocaria
a queima dos mesmos. Para evitar um curto-circuito no braço do acionamento, um tempo
morto Tm deve ser introduzido. Este é medido desde o instante em que uma chave comuta
para seu estado bloqueado até o instante em que a chave oposta comuta para seu estado de
condução (Fig. 2.6).
Figura 2.6 – Representação do tempo morto nos gráficos de tensão das chaves.
2.5 CONCLUSÃO
Neste capítulo foram descritos os conceitos necessários para que o acionamento
do motor de indução seja realizado, iniciando pela modelagem da máquina e sua
representação odq, em seguida pelas estratégias de controle existentes e a de quadratura
com o fluxo rotórico que foi a utilizada, finalizando com o sistema de acionamento através
de um inversor e sua modulação por largura de pulso.
20
CAPÍTULO III
SISTEMA DE CONTROLE DE POSIÇÃO
3.1 INTRODUÇÃO
O acionamento para sistemas de posicionamento pode ser de dois tipos: em malha
aberta ou em malha fechada. Para acionamento de servomecanismos, utilizam-se
controladores em malha aberta, compostos de motores de passo e para controle em malha
fechada são empregados, principalmente, motores de corrente contínua e de indução, sendo
a posição de seus eixos medida por meio de circuitos sensores de posição e velocidade de
rotação.
Segundo RAMESH et al (2005), os controladores do tipo malha fechada podem
ainda ser subdivididos em controle ponto a ponto e controle de contorno. No primeiro,
tanto o caminho da ferramenta de um ponto de origem ao ponto de referência desejado
quanto a velocidade, não são relevantes, importando apenas a exatidão com que a
ferramenta atinja a referência, uma vez que a ferramenta não entra em contato com a área
de trabalho. São exemplos de sistemas que utilizam o controle ponto a ponto, os sistemas
de envasamento, robôs de soldagem, etc.
No controle de contorno o caminho traçado pela ferramenta é de grande
importância, sendo então a variável controlada. Para trabalhos de corte, pintura, entre
outros, este tipo de controle é muito utilizado.
Será utilizado neste trabalho um controle de malha fechada do tipo ponto a ponto,
importando então que o sistema atinja a posição de referência desejada, uma vez que se
deseja rápida resposta dinâmica é essencial o controle em malha fechada exigindo sinais de
realimentação precisos.
21
A princípio pode-se analisar o diagrama de blocos mostrado na Fig. 3.1 de um
acionamento em malha fechada com controle de conjugado, controle este que é essencial
para sistemas de tração além de ser o bloco básico em acionamentos de alto desempenho
com controle de velocidade de rotação ou posição.
Uma tensão de CC representa a referência de conjugado sendo comparado com
seu sinal de realimentação, que pode ser obtido por meio de um transdutor de conjugado ou
através das medidas de corrente e fluxo. Um sinal de erro é gerado e alimenta o
controlador que irá aplicar uma função de transferência de compensação, usualmente
agindo de maneira a zerar o erro, mas devendo ser projetado corretamente de modo a ter
bom desempenho tanto em regime permanente quanto no transitório.
Figura 3.1 – Malha de controle de conjugado
Alcançado o controle de conjugado satisfatório pode ser adicionada uma malha de
controle de velocidade externa, como apresentado na Fig. 3.2. Novamente o sinal de
referência é um valor de tensão, cuja polaridade e magnitude representam direção e
velocidade desejadas, sendo comparada com o sinal de realimentação através de um sensor
de velocidade, por exemplo, um encoder. O erro gerado é aplicado no controlador de
velocidade que ao ser compensado passa a ser o sinal de comando da malha interna de
conjugado.
Figura 3.2 – Malha de controle de velocidade com malha interna de conjugado
22
Ao buscar um acionamento com posição controlada é adicionada uma terceira
malha externa ao sistema, como representado na Fig. 3.3. Para sistemas em cascata como
este, a saída de cada sistema de controle atua como sinal de comando para a próxima
malha interna e a malha externa possui uma resposta mais lenta, que vai tornando-se mais
rápida nas malhas internas.
Figura 3.3 – Malha de controle de posição com malhas internas de controle de velocidade e
conjugado
3.2 MODELO PARA PROJETO DOS CONTROLADORES
O modelo da máquina no referencial do fluxo rotórico definido pelas equações
(2.6-2.9) pode ser trabalhado para alcançar a função de transferência que será utilizada no
projeto dos controladores.
Substituindo a Eq. (2.10) em (2.7):
1
 dλ
l
0  Rr  λ r  m i bs   r  j (b   r ) λ r
lr  dt
 lr
dλ r Rr lm b 
R 

i s   j (b  r )  r  λ r
dt
lr
lr 

(3.1)
(3.2)
Em seguida substituindo a Eq. (2.10) na Eq. (2.8), tem-se:
1

l
λ bs  ls i bs  lm  λ r  m i bs 
lr 
 lr
l m2 b
lm
λ  l i  λr  is
lr
lr
b
s
b
s s
(3.3)
(3.4)
23
Substituindo a Eq. (3.3) na Eq. (2.6):
 b lm
l m2 b 
l m2 b 
d  b lm
v  R i   ls i s  λ r  i s   jb  ls i s  λ r  i s 

dt 
lr
lr 
lr
lr 

b
s
b
s s


l2
v bs   Rs  jb  ls  m


lr


Seja uma variável  
 b 
l m2

i

l

 s  s

lr


 di bs lm dλ r
l

 jb m λ r

lr
 dt lr dt
(3.5)
(3.6)
1
ls lr  lm2

l2
 ls  m
lr

 lslr  l m2
1

 
lslr
lr

(3.7)
Substituindo a Eq. (3.7) em Eq. (3.6):

1  b
1 d i bs lm d λ r
l
v bs   Rs  j b
i


 jb m λ r
 s
lr  
lr dt lr dt
lr

(3.8)

1 d i bs
1  b lm d λ r
l
   Rs  j b
 j b m λ r  v bs
 is 
lr dt
lr  
lr dt
lr

(3.9)
Substituindo a Eq. (3.2) em Eq. (3.9) e desenvolvendo, tem-se:

1 dibs
1  b lm
   Rs  jb
 is 
lr dt
lr 
lr

 Rr lm b 
R  
l
i s   j (b  r )  r  λ r   jb m λ r  vbs

lr  
lr

 lr
(3.10)

l Rl
1 di bs
   Rs  m r m
lr dt
lr lr

 b  b lm 
Rr 
lm
1 b 
is 
 i s   v s   j (b  r )   λ r  jb λ r  jb
lr 
lr 
lr
lr 


(3.11)
Seja

l 
R
vsb '   v bs  m  j (b  r )  r
lr 
lr


lm
1 b 
is 
 λ r  jb λ r  jb
lr
lr 

(3.12)
24
A Eq. (3.11) pode ser escrita da seguinte forma:

1 di bs
l Rl
   Rs  m r m
lr dt
lr lr

di bs
  lr 
dt

l m Rr l m
 Rs 
l r lr

Sendo a constante de tempo rotórica  r 
 b
b'
 i s  vs

(3.13)
 b
b'
 i s  lr  vs

(3.14)
lr
:
Rr

di bs
l l 
  lr  Rs  m m  i bs  lr vsb '
dt
lr  r 


 l m2
di bs
   lr Rs 

dt
r

 b
b'
 i s  lr vs

(3.15)
(3.16)
Simplificando
di bs
 i bs  lr vsb '
dt
Onde:
 lm2
  lr Rs 
r
r 
lr
Rr

1
ls lr  lm2
vsb '  vsb  usb
u sb 
lm 
Rr 
lm
1 b
is
 j (b   r ) 
 λ r  jb λ r  j b
lr 
lr 
lr
lr 
(3.17)
25
Aplicando Laplace na Eq. (3.17):
sI sb   I sb  lr Vsb '
(3.18)
(s  ) I sb  lrVsb'
(3.19)
Chegando finalmente a função de transferência corrente/tensão utilizada para o
projeto dos controladores:
I sb 
lr
Vsb '
(s   )
(3.20)
3.3 CONTROLE
O sistema de controle funcionará da seguinte forma: o valor de referência da
velocidade de rotação será informado ao controlador de velocidade e o valor de referência
do fluxo poderá ser definido ou calculado por meio de um controlador de fluxo, sendo
estes valores que definirão as correntes de referência. Com estas correntes é possível
chegar às tensões de referência utilizando a função de transferência corrente/tensão
anteriormente apresentada. O escorregamento é definido, o ângulo é calculado para
converter as tensões do referencial rotórico para o estatórico e em seguida é feita a
conversão para o modelo trifásico.
3.3.1
Equação utilizada para controle do fluxo
Substituindo a Eq. (2.25) em (2.24), tem-se a equação a ser utilizada para o
controle do fluxo:
1

d r
l
  Rr  r  m isdb 
dt
lr
 lr

(3.21)
d r
R
Rl
  r r  r m isdb
dt
lr
lr
(3.22)
26
Ou em regime permanente:
0
Rr
Rl
r  r m isdb
lr
lr
1
r
lm
(3.24)
r  lmisdb
(3.25)
isdb 
3.3.2
(3.23)
Cálculo do escorregamento
Substituindo a Eq. (2.23) na Eq. (2.17), tem-se:
b
lm isq
br  Rr
lr r
(3.26)
Podendo ser reescrita da seguinte forma:
b
Rr 1 isq
br  lm
lr lm isdb
b
1 isq
br 
 r isdb
(3.27)
(3.28)
Através do escorregamento é possível obter a frequência síncrona:
b  r  br
3.3.3
(3.29)
Equação utilizada para controle do torque
b
Considerando que isq  is sen   i   b  a Eq. (2.11) que define o conjugado
eletromagnético pode ser escrita da seguinte forma:
ce  P
lm
r isqb
lr
(3.30)
27
Pode-se então substituir e simplificar a equação mecânica que será utilizada para o
projeto do controlador de velocidade:
dr
F
P l
P
   r  P m r isqb  cm
dt
J
J lr
J
Como
r 
(3.31)
d r
, tem-se:
dt
d  d r

dt  dt
P 2lm r b P
F

isq  cm
   r 
J
Jlr
J

d 2 r
P 2lm r b P
F




isq  cm
r
dt 2
J
Jlr
J
(3.32)
(3.33)
Utilizando a forma matricial com o objetivo de alcançar as funções de
transferências necessárias ao controle de posição:
 x1   r


d r
 x2  dt
1   r   0
   0
d  r  
 2
d r  
F   d r    P lm r

0  
dt
J   dt   Jlr
 dt  
d
dt
 0
1 
0

 r  


r
 2
F      P lm r
   
 r  0   r  
J

 Jlr
0  b
  isq 
P  

c
J   m 
(3.34)
0  b
  isq 
P  

c
J   m 
(3.35)
0  b
  I sq 
P 

C
J   m 
(3.36)
Aplicando Laplace:
 0
1 
0

r  


r
 2
s  
F      P lm r
 r  0    r  
J

 Jlr
28
1
r   s
   
 r  0

r 
1

J 0
s ( sJ  F )  2
 P lm r
1

J   Jlr
sJ  F

0  b
  I sq 
P  

C
J   m 
1

1
P 2 lm r I sqb 
PC m
s ( sJ  F )
lr
s ( sJ  F )

1
1

1
r  
P 2lm r I sqb 
PCm 
s  ( sJ  F )
lr
( sJ  F )

(3.37)
(3.38)
(3.39)
Chegando às seguintes funções de transferência utilizadas nos controladores:
r 
1

1
P 2 lm r I sqb 
PC m
sJ  F
lr
sJ  F
1
r  r
s
(3.40)
(3.41)
Que podem ser simplificadas da seguinte forma:
Onde:
Giq 
1

P 2 lm r
sJ  F
lr
Giqcm 
1
P
sJ  F
G 
1
s
 r  Giq I sqb  Giqcm Cm
(3.42)
 r  G  r
(3.43)
29
3.4 PROJETO DOS CONTROLADORES
Será apresentado a seguir o projeto dos controladores de corrente, velocidade de
rotação e posição, nos dois primeiros sendo utilizado um controlador Proporcional-Integral
(PI) e no último um controlador proporcional puro inicialmente e, posteriormente, um
Proporcional-Derivativo (PD). O diagrama de blocos utilizado para projeto dos
controladores é representado na Fig. 3.4, estando em destaque à fonte de tensão e o
diagrama próprio da máquina representada pelo referencial do fluxo rotórico.
3.3.4
Controlador de corrente
Na malha de controle da corrente tem-se a função de transferência em malha
aberta (FTMA):
GiMA  Gid Gv Gidvd
(3.44)
O controlador utilizado é um PI, cuja função de transferência é a seguinte:
Gid  k pi 
kii

s
k pi s  kii
s
(3.45)
Para a função da planta, a partir da Eq. (3.20), tem-se:
Gidvd  Giqvq 
lr b '
Vs
s 
(3.46)
lr
s 
(3.47)
1
Tv s  1
(3.48)
Gidvd 
E por fim para a fonte de tensão:
Gv 
30
Figura 3.4 – Diagrama de blocos utilizado para projeto dos controladores
31
Substituindo na Eq. (3.44):
GiMA 
GiMA
k pi s  kii
s
1
lr 
Tv s  1 s  
(3.49)

ki 
k pi  s  i 

k pi 

 lr
s Tv s  1 s   
(3.50)
Utilizando a razão dos ganhos do controlador para cancelar o pólo mais lento da
função de transferência em malha aberta, ou seja, fazendo  
GiMA  lr
kii
k pi
 kii   k pi , tem-se:
k pi
s Tv s  1
(3.51)
Observando o diagrama de blocos pode-se definir a função de transferência em
malha fechada (FTMF):
GiMF 
lr 
GiMF 
GiMA
1  GiMA
(3.52)
k pi
k pi
s Tv s  1
 lr
k pi
Tv s 2  s  lr k pi
1  lr
s Tv s  1
GiMF  lr
k pi
lr k pi 

1
Tv  s 2  s 

Tv
Tv 

GiMF  lr
k pi
Tv  s  s1  s  s2 
(3.53)
(3.54)
(3.55)
32
s1,2  
1
1

2Tv 2Tv
1 4T l  k 
v r
(3.56)
pi
Para pólos reais e idênticos:
1  4T l  k   0
v r
pi
k pi 
1
4Tvlr
(3.57)
Logo,
GiMF  lr
1
4Tvlr

1 
Tv  s 

2Tv 

2
1


1 
4T  s 

2Tv 

2
(3.58)
2
v
Finalmente a função de transferência em malha fechada para o controlador:
GiMF 
3.4.1
1
 2Tv s  1
(3.59)
2
Controlador de corrente e velocidade
O controlador de velocidade será do tipo PI igualmente ao anterior, portanto:
G  k p 
ki
s

k p s  ki
s
(3.60)
Através do diagrama pode-se perceber que o controle de velocidade incluirá o
controle de corrente previamente projetado, então teremos a FTMA:
33
G M A  G G iM F G iq
G MA 
G MA
k p s  ki
1
s
 2Tv s  1

ki
k p  s  

k p


 P 2 lm r
lr
s
2
(3.61)
1

P 2 lm r
sJ  F
lr



1
1
 2Tv s  1
2
F

J s 
J 

De forma a cancelar o pólo mais lento da FTMA, tem-se
G MA  P 2 lm
2
Seja   P lm
(3.62)
r k p
1
1
2
lr s  2Tv s  1 J
ki
k p

(3.63)
F
F
 ki  k p :
J
J
(3.64)
1 r
, tem-se a função em malha aberta:
J lr
G MA  k p 
1
s  2Tv s  1
2
(3.65)
Pode-se então definir a FTMF:
G MF 
G MA
1  G MA
(3.66)
Cujos pólos serão as raízes de 1  G MA , observando então a Eq. (3.64) chega-se a
dois pólos em malha aberta: s  
1
e s  0 . Traçando o lugar das raízes da equação,
2Tv
34
percebe-se que existe um ponto no qual os ramos das raízes deixam o eixo real, neste ponto
tem-se pólos reais e múltiplos que serão utilizados para definir a malha fechada.
A equação característica é
1  G MA  0
1
k p 
s  2Tv s  1
k p  
2
0
1
2
s  2Tv s  1

(3.67)
(3.68)
(3.69)
Figura 3.5 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de velocidade do tipo PI
Derivando e desenvolvendo temos a equação e suas raízes:
 1
2
d  s  2Tv s  1 
dk p

   2T s  1  6Tv s  1
 
 v 
ds
ds


12 2 2 8
1
s Tv  sT   0



(3.70)
(3.71)
35
Onde a solução é

1  
1 
s  
 , s  

2Tv  
6Tv 

Já que o ponto s  
1
não se encontra sobre o lugar das raízes, conclui-se que
2Tv
a separação ocorrerá em s  
k p
1
e o valor de k p na Eq. (3.68) para isto é:
6Tv
1 1
  
  6Tv

 1  
  2Tv  
  1 

 6Tv  
k p 
Com o valor de
2
2
27  Tv
(3.72)
(3.73)
k p definido, a função de transferência em malha aberta será:
G MA 
GMA 
2

27  Tv
s  2Tv s  1
(3.74)
2
2
27Tv s  2Tv s  1
2
(3.75)
Já a função de transferência em malha fechada será:
2
2
G MF
G MF 
27Tv s  2Tv s  1

2
1
2
27Tv s  2Tv s  1
2
108Tv3 s3  108Tv2 s 2  27Tv s  2
(3.76)
(3.77)
36
Desenvolvendo e simplificando pode-se encontrar os pólos:
G MF 
2
2
v
3
v

108T 2 27Tv
2 
108T  s 3 
s 
s


108T
108Tv3
108Tv3 

3
v
G MF 
(3.78)
2

1
1
1 
108T  s 3  s 2 
s

2
Tv
47Tv
54Tv3 

(3.79)
3
v
2
G MF 
 3Tv s  2  6Tv s  1
G MF 
3.4.2
(3.80)
2
1
2
3

 Tv s  1  6Tv s  1
2

(3.81)
Controlador de velocidade e posição utilizando controlador proporcional puro
O controlador de posição será do tipo proporcional, portanto:
G  k p
(3.82)
O controle de posição incluirá o controle de velocidade previamente projetado,
então tem-se a FTMA:
G M A  G G MF G
G MA  k p
(3.83)
1

2 
1  s
108Tv3  s 
s



3Tv 
6Tv 

G MA 
2
2
2 k p
s  3Tv s  2  6Tv s  1
2
(3.84)
(3.85)
37
G MA 
k p
(3.86)
2
3

s  Tv s  1   6Tv s  1
2

Pode-se definir a FTMF:
G MF 
G MA
1  G MA
(3.87)
E seus pólos serão as raízes de 1  G MA :

2 
2 
2
3

1  s  Tv s  1  6Tv s  1  s  s 
 s 

3Tv  
6Tv 
2


1  s4 
1 3
1
s
s  2
Tv
4Tv 54Tv3
2
(3.88)
(3.89)
Na Fig. 3.6 apresenta-se o lugar das raízes da Eq. (3.88) e o objetivo é encontrar o
ponto de separação do eixo real para fazer a escolha dos pólos.
Figura 3.6 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de posição do tipo P
A equação característica é
1  G MA  0
(3.90)
38
1  k p
k p
1
1
0
2
3
54Tv 
2 
1 
ss 
 s 

6Tv 
 3Tv 

2 
1 
 54T s  s 
 s 

3Tv  
6Tv 

(3.91)
2
3
v
(3.92)
Desenvolvendo-a é possível encontrar a seguinte solução e consequentemente os
pólos de separação:

1  
1 7  33  
1 7  33 
s  
 , s 
 , s 

6Tv   24
Tv
Tv

  24


Escolhendo primeiro  s  

k p
 1
 54T  
 6Tv
3
v
1 
 na Eq. (3.92):
6Tv 
 1  2  1  1
   
   


   6Tv  3Tv    6Tv  6Tv



2
(3.93)
k p  0

1 7  33 
Para s 
 na Eq. (3.92):
Tv

 24
k p
7 1
7 1



 
33     
33 

1 8 8
2
3 1
8
8
 54Tv 


3
T
3
T
3
v
v

  
 Tv



k p 
Para este valor de

7 1

   1  8  8 33  1


Tv
   3
 6Tv


69  11 33
256Tv
2


 (3.94)


(3.95)
k p a FTMA é:
G MA  
1
69  11 33
128 Tv s  3Tv s  2  6Tv s  12
(3.96)
39
A FTMF será:
G MF 
 69  11 33
13824T s  13824T s  3456Tv2 s 2  256Tv s  69  11 33
4
v
4
(3.97)
3 3
v
E seus pólos são:
13824Tv4 s 4  13824Tv3 s 3  3456Tv2 s 2  256Tv s  69  11 33  0
5 1
1

 
33 

1 7  33  
1 7  33  
24
24
12
s 
 , s 
 , s 
Tv
Tv
Tv
 24
  24
 

1
(3.98)
5 1
1
 
33    
33 
24
24
12
 , s 
Tv
 
 

1

33 



1 7  33 

Escolhendo agora s 
 na Eq. (3.92):
Tv

 24
k p
 1 7  33    1 7  33  2
 54Tv3 
  
 
Tv
Tv
 24
   24
 3Tv
k p 
Para este valor de
   1 7  33  1
  
 
Tv
 6Tv
   24
69  11 33
256Tv
2

 (3.99)

(3.100)
k p a FTMA é:
G MA 
1
69  11 33
128 Tv s  3Tv s  2  6Tv s  12
(3.101)
A FTMF será:
G MF 
69  11 33
13824T s  13824T s  3456Tv2 s 2  256Tv s  69  11 33
4 4
v
3 3
v
(3.102)
Seus pólos são:
13824Tv4 s 4  13824Tv3 s 3  3456Tv2 s 2  256Tv s  69  11 33  0
(3.103)

40
 0.53102   0.53102   3.1023 102  0.18152i   3.1023 102  0.18152i 
s 
 s 
 s 
 s 

Tv  , 
Tv  , 
Tv
Tv

, 

Observando os pólos para este valor de
k p , pode-se perceber que dois deles
levam o sistema a uma condição instável por se localizarem no semi-plano direito do lugar
das raízes, portanto o valor escolhido foi k p 
3.4.3
69  11 33
.
256Tv
Controlador de velocidade e posição utilizando controlador PD
Agora será projetado um controlador de velocidade do tipo proporcional
derivativo sendo omitida a constante de tempo para o projeto:
G  k p  sk d
(3.104)
Então a FTMA através da Eq. (3.97) será:
G MA   k p  skd 
G MA
2
1

2 
1  s
108Tv3  s 
 s 

6Tv 
 3Tv 
k 

kd  s  p 
kd 
2


2
3
108Tv 
2 
1 
s
 s 
 s
6Tv 
 3Tv 
G MA
k

k p  d s  1
k

 p

2
2
s  3Tv s  2  6Tv s  1
2
(3.105)
(3.106)
(3.107)
41
k

k p  d s  1
k

 p

G MA  2
3
T
2


2s  v s  1  6Tv s  1
 2

G MA  k p
 k d

s  1


 k p

2
 3Tv

s
s  1  6Tv s  1
 2

(3.108)
(3.109)
É possível cancelar o pólo mais lento através de:
kd 3Tv
3T

 kd  k p v
k p
2
2
(3.110)
Substituindo na Eq. (3.109), tem-se a seguinte FT:
G MA  k p
1
s  6Tv s  1
2
(3.111)
Traçando o lugar das raízes para:
2
s  6Tv s  1  36s3Tv2  12s2Tv  s
(3.112)
Figura 3.7 – Lugar das raízes utilizado para projeto do controlador de posição do tipo PD
42
A equação característica é
1  G MA  0
1  k p
1
s  6Tv s  1
2
(3.113)
0
k p   s  6Tv s  1
(3.114)
2
(3.115)
A solução é:

1  
1 
s  
 , s  

6Tv  
18T v 


Escolhendo primeiro  s  

k p
1 
 na Eq. (3.115):
6Tv 
 1
 
 6Tv

 1
  6Tv  

 6Tv
 
  1
 
2
(3.116)
k p  0

Para  s  

1 
:
18Tv 
k p
 1
 
 18Tv

 1  
  6Tv  
  1
18
T


v 

(3.117)
2
81Tv
(3.118)
2
1
81Tv s  6Tv s  12
(3.119)
k p 
Para este valor de
2
k p a FTMA é:
G MA 
G MA 
2
81Tv s  6Tv s  1
2
(3.120)
43
Já a FTMF será:
2
2
G MF
G MF 
81Tv s  6Tv s  1

2
1
2
81Tv s  6Tv s  1
2
2916 s T  972s 2Tv2  81Tv s  2
3
3
v
(3.121)
(3.122)
Cujos pólos são:
2916s3Tv3  972s 2Tv2  81Tv s  2  0
(3.123)

2  
1  
1 
s  
 , s  
 , s  

9Tv  
18T v  
18T v 

Sendo escolhido então k p 
2
.
81Tv
3.5 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado o modelo da máquina no referencial rotórico que
foi adotado para o controle, sua descrição, diagrama de blocos e equacionamento para
obtenção do fluxo, escorregamento e controle de torque. Finalizando com o projeto dos
controladores utilizados: de corrente, de corrente e velocidade e de velocidade e posição,
sendo este último possibilitando empregar um controle proporcional puro ou um
proporcional derivativo.
44
CAPÍTULO IV
RESULTADOS DE SIMULAÇÃO
4.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é apresentada a simulação do sistema de controle de posição que
foi projetado de forma a avaliar o funcionamento do mesmo. Para a simulação foi
necessário obter dados da máquina e alguns destes exigiram uma etapa de estimação que
será apresentada previamente.
Para homologar a estimação, faz-se necessário realizar uma simulação do motor
em operação a fim de observar o funcionamento dinâmico e checar possíveis erros,
aperfeiçoando o algoritmo antes de serem feitos testes reais na bancada. O algoritmo de
simulação foi desenvolvido no programa C++ Builder produzido pela Borland™, e os
resultados simulados traçados usando o Matlab™.
4.2 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS ELÉTRICOS
Para
que
a
simulação
seja
condizente
com
a
máquina
utilizada,
experimentalmente, e possibilite a comparação dos resultados obtidos foi necessário ter
conhecimento dos parâmetros elétricos do motor de indução e alguns destes necessitam
passar por um processo de estimação utilizando os ensaios clássicos de laboratório.
Com o objetivo de implementar um sistema de controle de alto desempenho
baseado no motor de CA é necessário conhecer o modelo estrutural da planta e o valor dos
45
seus parâmetros, que no caso do motor de indução são: resistências estatórica (Rs) e
rotórica (Rr), indutâncias estatórica (Ls) e rotórica (Lr) e indutância de magnetização (Lm).
Ensaios tradicionais de laboratório possibilitam a medição direta e indireta dos
parâmetros elétricos do motor de indução mediante ensaios em vazio e a rotor bloqueado
(MURPHY, TURNBULL, 1988).
No ensaio em vazio o motor é alimentado por tensão nominal e o eixo gira
livremente (sem carga), portanto o escorregamento é próximo de zero ( s  0 ) e são feitas
as medidas da tensão aplicada ( Vvz ), corrente de estator ( I vz ) e a potência trifásica ( Pvz ),
que na prática, representa as perdas rotacionais do motor ( Pvz ). A figura a seguir apresenta
o modelo do circuito e a condição de ensaio em vazio.
Figura 4.1 – Representação do circuito no ensaio em vazio
Já no ensaio a rotor bloqueado, o eixo é travado e o circuito estatórico é
alimentado com uma tensão definida de forma a forçar correntes com valores nominais,
tendo o valor do escorregamento igual a um ( s  1 ), são medidas a tensão aplicada ( Vbl ),
corrente de estator ( I bl ) e a potência trifásica ( Pbl ), em um tempo que não provoque
aquecimento excessivo do motor.
Figura 4.2 – Representação do circuito no ensaio em rotor bloqueado
46
Sendo importante lembrar que os parâmetros elétricos que serão calculados
através destes ensaios apresentam valores aproximados e que os cálculos e formulações
para tal são facilmente encontrados na literatura, não sendo objeto de estudo neste trabalho.
4.2.1 Ensaios realizados no motor de indução
Primeiramente é feita a medição das resistências estatóricas diretamente no
terminal de conexão utilizando um multímetro e calculado um valor médio entre elas, seus
valores estão apresentados na tabela a seguir.
Resistência
R1
R2
R3
Média
Valor (Ω)
5,12
5,11
5,08
5,1
Tabela 4.1 – Valores das resistências estatóricas do motor
Pode-se observar os resultados dos ensaios em vazio e com rotor bloqueado nas
tabelas seguintes, onde V é a tensão em Volts, I é a corrente em Ampères, P é a potência
ativa em Watts e S é a potência aparente em VA:
ENSAIO EM VAZIO
R
S
T
V1
I1
P1
S1
V2
I2
P2
S2
V3
I3
P3
S3
(V)
(A)
(W)
(VA)
(V)
(A)
(W)
(VA)
(V)
(A)
(W)
(VA)
221.3
1.693
38
374
48
410
40
379
224.1 1.832
219.9 1.727
Tabela 4.2 – Valores obtidos no ensaio em vazio
ENSAIO COM ROTOR BLOQUEADO
R
S
T
V1
I1
P1
S1
V2
I2
P2
S2
V3
I3
P3
S3
(V)
(A)
(W)
(VA)
(V)
(A)
(W)
(VA)
(V)
(A)
(W)
(VA)
37.6
2.438
59
91
39.1
2.605
64
101
38
2.541
59
96
Tabela 4.3 – Valores obtidos no ensaio com rotor bloqueado
47
Com os valores obtidos em ambos os ensaios e utilizando os modelos dos
circuitos foi possível chegar aos seguintes parâmetros, uma vez que o neutro foi utilizado
desconectado, assumimos
ls  lr :
Rs  5,1
Rr  4, 4578
ls  lr  0,334 H
lm  0,3185H
4.3 SIMULAÇÃO DO CONTROLE DE POSIÇÃO
4.3.1
Parâmetros utilizados para simulação
O algoritmo de simulação foi desenvolvido em linguagem C que resultará em um
arquivo de dados através dos quais são gerados gráficos no Matlab™. Os parâmetros
utilizados para a máquina foram:
Rs  5,1
Rr  4, 4578
ls  lr  0,334 H
lm  0,3185 H
P2
F  0,0041Nms
J  0, 041kgm 2
Os parâmetros dos controladores de corrente, velocidade e posição foram
ajustados entre o valor calculado anteriormente e zero. Observando as respostas
48
encontradas, os parâmetros calculados ofereceram os melhores resultados, sendo aplicados
neste trabalho sendo para o controle de posição utilizado o controlador proporcional puro.
Na Fig. (4.3) é apresentado o diagrama de blocos completo do controle de posição.
Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controle completo
4.3.2
Resultados de simulação
Vários testes foram realizados através de simulações, seguidos de ajustes na
programação e escolha dos parâmetros dos controladores, para que fosse então concluído
que o controle é eficiente, está funcionando da forma desejada e finalmente serem
implementados os testes experimentais.
No primeiro teste foi informado o valor da posição de referência igual a 10 rad
elétricos e utilizado tempo de simulação de 1 segundo. Gráficos das variáveis de posição,
velocidade, componentes d e q da corrente foram traçados para análise e estão presentes
nas Fig. 4.4. Pode-se perceber que o tempo de resposta é muito rápido, chegando à regime
permanente (critério de 2% do valor desejado) após aproximadamente 0,16s, conforme
mostrado na Fig. 4.4 (a). A comparação da velocidade de referência e a simulada é
apresentada na Fig. 4.4 (b), bem como as componentes d e q da corrente, na Fig. 4.4 (c) e
Fig. 4.4 (d), respectivamente.
49
Figura 4.4 – Simulação para uma referência de 10 rad: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
Em seguida, a referência utilizada foi de 30 rad elétricos, com um tempo
aproximado de estabelecimento igual a 0,31s, fornecendo os seguintes gráficos:
50
Figura 4.5 – Simulação para uma referência de 30 rad: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
Entradas de referência de seno e cosseno também foram testadas com um tempo
de simulação de 15 segundos e a resposta do controle foi considerada satisfatória apesar da
presença de um pequeno erro de fase que já era esperado, devido à utilização do
controlador do tipo PI.
51
Primeiramente é apresentada a resposta do sistema à referência senoidal, tendo a
comparação da posição atingida com a referência na Fig. 4.6 (a), onde nota-se a existência
de um erro de fase que já era esperado pela natureza do controlador empregado. Em
seguida tem-se a velocidade alcançada na simulação e sua referência na Fig. 4.5 (b) e as
componentes de corrente nas Fig. 4.6 (c) e Fig. 4.6 (d).
Figura 4.6 – Simulação para uma referência seno: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
52
A seguir são apresentadas as curvas de resposta à uma referência do tipo cosseno,
sendo observadas as variáveis de posição, velocidade e componentes de corrente na Fig.
4.7. Tal referência causa também um erro de fase na resposta de posição do controle pelo
mesmo motivo da referência do tipo seno.
Figura 4.7 – Simulação para uma referência cosseno: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
53
4.4 CONCLUSÕES
Por meio de simulações foi possível concluir que o controle de posição atendeu às
expectativas, com um tempo de resposta rápido, sem erro em estado estacionário, pois
atinge a posição de referência e sem sobressinal inclusive para variações sequenciais de
posição, como seguir uma função seno ou cosseno. Apresenta erro de fase para estas
referências devido ao controlador PI e não possui, entretanto, erro de magnitude para estas
condições.
Uma vez que os testes simulados comprovaram a eficácia do controle, este foi
aprovado para aplicação na bancada experimental de forma a coletar os dados
experimentais, apresentados a seguir.
54
CAPÍTULO V
RESULTADOS EXPERIMENTAIS
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentadas as descrições dos equipamentos utilizados para
montagem da bancada de testes e, em seguida, os resultados experimentais obtidos com a
implementação do algoritmo de controle de posição no DSP e com alimentação através de
um inversor de frequência. Após o acionamento do motor, controle de posição e por fim, a
aquisição dos dados das variáveis que se deseja visualizar. Os resultados experimentais
foram plotados no Matlab™ e são apresentados no decorrer do capítulo.
5.2 DESCRIÇÃO DO HARDWARE
Na Fig. 5.1 tem-se a foto do hardware utilizado para o acionamento do motor e na
Fig. 5.2 está esquematizada a estrutura de todo hardware utilizado.
O protótipo construído para o estudo experimental contém dois inversores
trifásicos, implementados através do módulo Three Phase Inverter SKS 25F B6U + B6CI
09 V12 do fabricante Semikron®. A alimentação do módulo foi realizada através de um
variador de tensão trifásico conectado a rede elétrica, com uma tensão de 380 V de linha. A
Fig. 5.3 mostra as diversas partes constituintes do inversor de frequência implementado.
55
Figura 5.1 – Hardware montado para o acionamento do motor
Figura 5.2 – Diagrama esquemático do hardware do sistema experimental
Figura 5.3 – Inversor montado com módulos da Semikron®
56
Para o acionamento dos interruptores IGBTs foram especificados os circuitos de
comando (drivers) SKHI 23/12 (R), fabricados pela Semikron®. O funcionamento do
driver é simples: pares de pulsos de controle são aplicados em pinos dos conectores de
entrada e eles são repassados aos terminais dos gates e dos emissores dos IGBTs.
Geralmente os circuitos do drivers possuem proteção no caso de aplicação de dois
pulsos ao mesmo tempo em nível alto nas entradas de comando de dois IGBTs na mesma
fase da ponte. Os pulsos são bloqueados e é gerada uma sinalização de erro.
Outra proteção comumente existente é para quando a tensão de alimentação do
sistema está reduzida, nesta condição, os IGBTs são bloqueados e é gerada uma
sinalização.
Os drivers também possuem uma configuração para inserir tempos de retardo
(tempo morto) entre o início de um pulso de ativação de um IGBT e o bloqueio do outro da
mesma fase.
As características de destaque dos drivers SKHI 23/12 (R) são: o módulo
comanda dois transistores de forma independente; prevê o intertravamento para a operação
em um único braço; comanda IGBTs com tensões (VCE) até 1200V; gera o tempo morto
desejado dentre um número de opções, compatível com tensões de entrada de 5V e 15V;
proteção de curto circuito através do monitoramento de VCE; possui isolação através de
transformadores e monitora tensões para que o valor permaneça acima de 13V.
Os drivers foram ajustados para operar com um tempo morto de 2,5μs, que
representa 2,5% do tempo de comutação. A foto da Fig. 5.4 mostra o driver utilizado.
Figura 5.4 – Foto do driver SKHI 23/12 (R) da Semikron®
57
O motor de indução com rotor em gaiola escolhido para compor a bancada é da
linha W21 Alto Rendimento Plus da WEG®, com 1,5 HP 220/380V, 4 pólos, 1715 RPM,
corrente nominal de 4,42/2,56 A, conjugado nominal de 6,13 Nm e momento de inércia de
0,00328 kgm² sendo apresentado na Fig. 5.5.
Figura 5.5 – Bancada com motor de indução acoplado ao encoder
Para aquisição da posição do eixo do motor e para calcular a sua velocidade de
rotação foi utilizado um encoder incremental de eixo rígido série 02 do fabricante
Hohner ®, referência 0210-0612-5000. Possui um eixo de 10x19mm, fixação radial,
alimentação de 5V a 28V e saída proporcional a esta, seis canais sendo canal A, B, 0 e seus
complementares e resolução de 5000 pulsos por giro. Na Fig. 5.6 é apresentada a foto do
encoder utilizado.
Figura 5.6 – Encoder incremental utilizado para medição da posição
58
5.2.1
Processador Digital de Sinais (DSP) embarcado
Neste trabalho foi utilizado um kit de aplicação chamado “eZdsp TM F28335
Starter Kit” fabricado pela empresa Spectrum Digital contendo o DSP TMS320F28335 da
Texas Instruments®, com interface pela porta USB para comunicação com o computador.
A eZdsp TM F28335 é uma placa stand alone que permite ao desenvolvedor testar e
utilizar o DSP TMS320F28335. Diversas portas de expansão estão presentes na placa
permitindo assim a sua integração ao resto do sistema.
A placa conta ainda com interface USB para conexão com computador e conector
JTAG para interface com emuladores para Debug rápido.
Na Fig. 5.7 está mostrada uma vista geral da placa de desenvolvimento utilizada,
onde no centro, em maior tamanho pode-se observar o soquete do DSP.
Figura 5.7 – Kit de desenvolvimento eZdsp TM F28335com placa de proteção
A placa será utilizada de forma independente do computador (stand-alone code), o
qual deve ser utilizado para instalação do ambiente de programação e compilação.
59
O software Code Composer Studio TM IDE versão 3.3 foi utilizado para edição do
programa, compilação, gravação do software na memória RAM, verificação de erros, e
aquisição dos dados com os resultados das simulações/implementações.
Para escrita do programa de simulação e posterior implementação, a linguagem
escolhida foi C/C++, pois existem bibliotecas fornecidas pelo fabricante para realização de
operações em ponto flutuante, agilizando o processo de programação.
A eZdsp TM F28335 está montada sobre uma placa que apresenta um circuito de
proteção para cada porta do conversor analógico-digital (ADC) limitando a tensão de
entrada às especificações do DSP. Nesta mesma placa são disponibilizados conectores para
testes e conectores de comunicação de I/O.
O DSP TMS320F28335 possui tecnologia CMOS estática de alta performance,
com 150MHz (tempo de ciclo: 6,67ns), tensão do núcleo de 1,9V/1,8V, tensão das I/O de
3,3V.
Abaixo são descritas as características mais relevantes para a aplicação deste
trabalho:

CPU 32 bits de alta performance: unidade de ponto flutuante (FPU); arquitetura
Harvard de barramento; resposta rápida de interrupções e processamento; modelo
unificado de programação da memória.

Seis canais de controlador para ADC, ePWM, XINTF, McBSP e SARAM.

Interface externa de 16 ou 32 bits.

Memória interna ao chip (256K x 16 Flash, 34K x 16 SARAM).

64 pinos que podem ser conectados em uma das seis interrupções de externas.

Periféricos: até 6 módulos de PWM; até 6 entradas de captura de eventos; módulo
ADC; até dois módulos de controle de rede; até três módulos de comunicação
serial.

Três timers de CPU de 32 bits.

Comunicação serial e/ou USB.

16 canais ADC (12 bits): entrada analógica de 0 a 3,3V; velocidade de conversão
de 80ns, 12,5 MSPS; 2x8 canais de multiplexador de entrada; dois sample-andhold; conversões únicas ou simultâneas; referência interna ou externa.

O PWM possui contador dedicado de 16 bits com controle de período e frequência.
Cada canal completo de PWM é composto por duas saídas EPWMxA e EPWMxB:
60
estas podem ser utilizadas nas seguintes configurações: duas saídas independentes
com operação de borda única, duas saídas com borda dupla e operação simétrica ou
uma saída independente com borda dupla e operação assimétrica; controle de fase
programável para atraso ou avanço da operação relativa a outros módulos de
ePWM; geração de tempo morto com controle de atraso da borda de subida ou
descida independentes; todos os eventos podem provocar interrupções de CPU e
inicio de conversão do ADC (SOC) .

Até 88 pinos programáveis individualmente de I/O com filtragem de entrada.
Como descrito anteriormente, as entradas dos conversores do DSP são projetadas
para uma faixa de tensão específica, requerendo, portanto, o condicionamento dos sinais de
saída dos transdutores das correntes e tensões de fase para esta faixa. Estes transdutores
introduzem um nível CC, que podem prejudicar a estratégia de estimação proposta.
5.2.2
Condicionamento e Aquisição das correntes e tensões de fase
Para a leitura das correntes de fases do motor foram utilizados três sensores de
efeito Hall. Foram realizados ensaios para verificar a relação entre os valores eficazes das
correntes de fase e as tensões correspondentes dos transdutores, constatando-se que a
relação é aproximadamente linear.
A corrente fornecida nos pinos de entrada dos sensores é transformada em tensão
através de uma resistência na saída. Desta forma, é transmitida ao DSP a tensão
proporcional à corrente com fator de transformação conhecido.
O circuito integrado ACS712, consiste em um sensor de corrente linear totalmente
integrado com isolamento de tensão e baixa resistência no condutor de corrente. O
dispositivo é formado por um sensor Hall linear de baixo offset com um condutor de cobre
perto da superfície do chip. A corrente flui pelo condutor, gerando um campo que é
sensoriado pelo CI Hall integrado.
61
Figura 5.8 – Diagrama esquemático do circuito transdutor e condicionador de corrente
(LEIAM-UFCG)
62
Figura 5.9 – Diagrama esquemático do circuito transdutor e condicionador de tensão
(LEIAM-UFCG)
63
Para ajuste fino do ganho da tensão gerada no sensor utilizou-se um circuito com
amplificador operacional e para deslocamento da curva senoidal para o semiciclo positivo,
um circuito que utiliza o princípio da superposição, montado com amplificador
operacional.
A Fig. 5.8 apresenta o diagrama esquemático do circuito transdutor e
condicionador do sinal de corrente de fase.
Para aquisição das tensões de rede foi necessário a redução destas para valor
aproximado às especificações das entradas do DSP (3,3V).
Os circuitos montados para o condicionamento dos sinais de tensão trazem na
entrada um circuito divisor de tensão ajustável, acompanhado de um seguidor de tensão,
filtragem de ruídos e isolador. Porém, mesmo reduzida em termos de amplitude, o sinal de
tensão ainda permanece com a frequência da rede assumindo alternadamente valores
negativos e positivos, tornando-se indispensável à confecção de um circuito que possa
proporcionar um deslocamento do eixo de base da curva senoidal.
Semelhantemente aos circuitos montados na aquisição de corrente, amplificadores
operacionais são utilizados para ajuste fino do ganho e para deslocamento da curva para o
semiciclo positivo.
A Fig. 5.9 apresenta o diagrama esquemático do circuito transdutor e
condicionador do sinal de tensão de fase.
5.3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
O controle projetado e testado por meio de simulação, foi implementado no DSP
em linguagem C++ utilizando programação com ponto flutuante, possibilitando testes
experimentais, que foram repetidos até que os valores fossem ajustados adequadamente à
bancada prática. Seus resultados foram coletados através de pontos armazenados em
arquivos de dados para cada variável analisada, para então através do programa
computacional Matlab™ serem gerados os gráficos apresentados a seguir.
64
5.3.1
Gráficos de resposta do sistema
Inicialmente foram testadas pequenas mudanças no valor da posição, criando
passos reduzidos (2π, 0, -2π, 0, 2π, 0). A resposta teve um tempo de estabelecimento por
volta de 7,5s e ausência de sobressinal conforme constatado na Fig. 5.10 (a). As curvas de
resposta da velocidade e das correntes são apresentadas em seguida.
Figura 5.10 – Resultado experimental pequenos passos: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
65
O segundo teste foi feito utilizando um valor maior de referência para a posição,
igual a 500rad e voltando a zero em seguida. Aumentando assim o tempo necessário para
atingir o valor desejado, sendo este próximo a 16s e também não apresentando sobressinal.
Figura 5.11 – Resultado experimental grande valor de posição: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente d de corrente, (d) Componente q de corrente
66
Referências em rampa também foram aplicadas ao controle de posição,
primeiramente uma rampa positiva, seguida de uma rampa negativa. Resultando em um
comportamento coerente com o esperado, apresentando um pequeno erro de fase
observado na Fig. 5.12 (a).
Figura 5.12 – Resultado experimental referência rampas: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente q de corrente
67
Em seguida foi aplicada uma referência senoidal ao controle e coletados seus
dados de resposta que foram traçados nos gráficos a seguir. O seno utilizado como
referência também provoca um erro de fase na resposta além de ser possível perceber um
erro de magnitude através da Fig. 5.13 (a).
Figura 5.13 – Resultado experimental referência senoidal: (a) Posição, (b) Velocidade,
(c) Componente q de corrente
Um controlador do tipo PI modificado, apresentado por JACOBINA et al (2001)
também passou por testes experimentais, apresentando um período transitório com erro de
magnitude e fase, mas seguindo a trajetória em regime permanente, implicando na futura
análise de suas possíveis aplicações.
68
Figura 5.14 – Resultado experimental com referência senoidal - controlador PD:
(a) Posição, (b) Velocidade, (c) Componente q de corrente
5.4 CONCLUSÕES
Através dos testes experimentais realizados na bancada apresentada anteriormente
e da utilização de um processador digital de sinais (DSP), foi possível avaliar o controle
com diversas situações de referência, desde valores únicos de posição, passos com
posições variadas, rampa e por fim, referência senoidal. O controlador comportou-se
conforme o desejado, atingindo os valores de referência de forma satisfatória, apenas
apresentando erro de fase e magnitude para referências do tipo rampa ou seno, exigindo
então uma análise sobre possíveis utilizações destas trajetórias.
69
CAPÍTULO VI
CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS
6.1 CONCLUSÕES
Este trabalho teve por objetivo principal o projeto e desenvolvimento
experimental do controle de posição de um motor de indução trifásico, alimentado por
inversor com modulação por largura de pulso (PWM), utilizando um processador digital de
sinais (DSP).
As vantagens da utilização de motores de indução em aplicações que necessitem
um controle de posição, como maior custo-benefício, robustez e simplicidade de
construção, foram apresentadas inicialmente justificando o estudo feito neste trabalho.
Uma bancada de testes experimental para acionamento do motor foi montada
contendo o DSP com entradas de sensores de corrente e tensão oriundas do motor, um
inversor de frequência e um computador para programação e análise das respostas.
Após o estudo do modelo matemático da máquina e dos tipos existentes de
controle, foi definido o controle em quadratura com o fluxo rotórico, feita a elaboração da
modulação do inversor, estimação de parâmetros e por fim, projeto dos controladores
utilizados na malha.
Um diagrama de controle foi desenvolvido sendo no controle de corrente e
velocidade de rotação utilizados controladores do tipo PI e aplicado ao controle de posição
um proporcional puro.
Testes simulados permitiram a análise do controle de forma a escolher os
parâmetros ideais para os controladores, corrigir erros de programação além de validar o
70
projeto para a aplicação prática e análise das respostas, para posteriormente ser testado na
bancada experimental.
Os experimentos realizados na bancada apresentaram bons resultados para
entradas de posição ou sequência de degraus com tempo de resposta rápido e ausência de
sobressinal. Já em casos de entrada do tipo rampa ou senoidal o controle proporcional puro
apresentou erros de fase e/ou magnitude, erros estes que já eram esperados pela própria
natureza do controlador. Uma vez que o acompanhamento de trajetórias deste tipo não é o
objetivo deste trabalho, estes erros foram considerados aceitáveis e o controlador concluído
como eficaz.
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Para trabalhos futuros são feitas as seguintes sugestões:




Estudo das aplicações possíveis para o controlador do tipo PI modificado e
formas de correção do erro em estado transitório;
Aplicação do controle de posição para acionamento simultâneo de dois
motores responsáveis pela movimentação de uma mesa de coordenadas
com dois graus de liberdade;
Utilização de redes neurais ou lógica fuzzy para estimação do fluxo;
Estudo e projeto de um sistema com número reduzido de componentes.
71
REFERÊNCIAS
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motor de indução, com orientação de fluxo do estator utilizando DSP. Dissertação de
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72
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Pergamon Press, 1st Edition.
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in CNC servo systems. International Journal of machine tools and manufacture.
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motor de indução trifásico utilizando microcontroladores para aplicações em baixa
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por motores de indução trifásicos, 2011. Dissertação de mestrado. Universidade Federal da
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XIAO, S., ZHENG, G., CHEN, S., Intelligent control of the linear motor direct drive feed
system for CNC machine tools, 2008, International Conference on Computational
Intelligence and Security, IEEE.
74
APÊNDICE A
MODELO DA MÁQUINA DE CORRENTE ALTERNADA
A.1 EQUAÇÕES GERAIS DAS MÁQUINAS TRIFÁSICAS
Para o correto desenvolvimento de um modelo é necessário impor condições e
hipóteses, a máquina trifásica estudada neste capitulo obedece às seguintes considerações:
a) Máquina simétrica trifásica composta por três fases no estator
idênticas de índices s1, s2 e s3, e três fases no rotor idênticas de índices r1, r2 e r3.
b) Ângulos elétricos entre bobinas de estator ou rotor igual a 2π/3
radianos elétricos.
c) Correntes “positivas” criam fluxos positivos no sentido do eixo,
observar a Fig. (A.1b).
d) Convenção receptor.
e) Entreferro constante: o comprimento do circuito magnético aplicado
ao cálculo da indutância é independente do ângulo mecânico θm, ou seja,
máquinas a pólos lisos.
f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é
radial e senoidal; sem perdas magnéticas quaisquer. A máquina será considerada
bipolar (número de par de pólos P=1, no caso multipolar θr=Pθm).
75
Uma vez considerado que o circuito magnético da máquina não está saturado, a
curva de magnetização reduz-se a uma reta e o fluxo concatenado é diretamente
proporcional à corrente. A energia(W) e a co-energia, apesar de serem funções de variáveis
diferentes, tomam neste caso o mesmo, ou seja:
3
3
t    si   ri
i 1
i 1
=
As indutâncias próprias de todos os enrolamentos são constantes, ou seja, não
existirá torque de relutância.
Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig.
A.1a e na Fig. A.1b está ilustrada a convenção utilizada para o modelamento.
Figura A.1 – Máquina simétrica trifásica (a) e convenções utilizadas para as grandezas da
máquina em uma bobina (b).
76
As notações utilizadas são apresentadas a seguir:
vss , vrr , iss , irr , ss , rr : tensões, correntes e fluxos nas bobinas do estator e rotor,
respectivamente. O expoente indica o referencial utilizado: estator (s) e rotor (r).
Como as bobinas das fases do estator são idênticas, suas indutâncias próprias são
iguais, assim como as resistências:
Ls  Ls1  Ls 2  Ls3
Rs  Rs1  Rs 2  Rs 3
Analogamente para o rotor:
Lr  Lr1  Lr 2  Lr 3
Rr  Rr1  Rr 2  Rr 3
Uma vez que as defasagens das bobinas também são iguais, as indutâncias mútuas
entre bobinas de mesmo enrolamento também serão iguais, tanto no estator quanto no
rotor:
M s  M s1  M s 2  M s 3
M r  M r1  M r 2  M r 3
A indutância mútua entre uma bobina estatórica e uma rotórica, é função
trigonométrica do deslocamento angular:
M sr cos i 
A.1.1Expressões do fluxo
Para um circuito magnético no qual existe uma relação linear entre a indução e a
intensidade de campo, devido à permeabilidade constante do material ou à predominância
do entreferro, podemos relacionar o fluxo concatenado λ com a corrente i, através da
indutância L:
  Li
(A.1)
77
Aplicando o princípio da superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas
expressões Eq. (A.2), Eq. (A.3) e Eq. (A.4).
2 
4 


ss1  Lsiss1  M siss2  M siss3  M sr cosr irr1  M sr cosr  irr2  M sr cosr  irr3
3 
3 


(A.2)
4 
2 


ss 2  M s iss1  Ls iss2  M s iss3  M sr cos r  irr1  M sr cosr irr2  M sr cosr  irr3
3 
3 


(A.3)
2 
4 


ss3  M s iss1  M s iss2  Ls iss3  M sr cos r  irr1  M sr cos r  irr2  M sr cos r irr3
3 
3 


(A.4)
Os fluxos por armadura representados pelas expressões Eq. (A.2), Eq. (A.3) e Eq.
(A.4) podem ser escritos em forma matricial, obtendo-se a seguinte representação:
cos  r 
ss1   Ls M s M s  iss1 

 s  
 s 

s 2    M s Ls M s  is 2   M sr cos  r  4 3
s   M M L  i s 
cos   2
s
s   s3 
 s3   s
r
3




cos  r  2


3

3

cos  r 

cos  r  4

cos 
cos  r  4


 r
3  ir1 
2  i r 
r 
3  r2
 irr3 
cos  r 

(A.5)
Aplicando os mesmos princípios para os enrolamentos rotóricos e compactando as
representações matriciais, obtêm-se as expressões:
ss 123  Lss iss 123  Lsr irr 123
(A.6)
rr 123  Lrr irr 123  Lrs iss123
(A.7)
onde:
iss123
iss1 
ss1 
irr1 
rr1 
 
 
 
 
 iss2  irr123  irr2   ss 123  ss 2  rr123  rr 2 
i s 
i r 
s 
r 
 r3 
 r3 
 s3 
 s3 
78
 Ls M s M s 
 Lr M r M r 


Lss   M s Ls M s  Lrr   M r Lr M r 
 M s M s Ls 
 M r M r Lr 
cos  r 

Lsr  M sr cos  r  4
3

cos   2
r

3


cos  r 

Lrs  M sr cos  r  2
3

cos   4
r

3



3


3


3
2 
r 
3

cos  r 


3

cos  r  2
3

cos  r  2


cos  r 
cos  r  4
cos  r  4


cos  r 

cos  r  2
cos  r  4

cos 



cos 



3
4 
r 
3

cos  r 

As submatrizes ( Lss e Lrr ) de indutância estator-estator e rotor-rotor (indutâncias
próprias) são matrizes simétricas. As submatrizes ( Lsr e Lrs ) de indutância estator-rotor
T
(indutâncias mútua) são circulantes, e uma matriz é a transposta da outra, isto é, L sr  Lrs .
A.1.2 Expressões das tensões
As orientações das bobinas, por convenção apresentada na Fig.(A.1b), são de tal
forma que uma corrente positiva cria um fluxo positivo (sentido do eixo). Assim, pode-se
escrever:
vi 
d
dt
(A.8)
A substituição da Eq. (A.1) na Eq. (A.8) leva o fenômeno da indução
eletromagnética a ser escrita da seguinte forma:
vi  L
di
dt
(A.9)
79
Considerando a bobina como ideal (sem resistência), adicionando um resistor
externo apropriado ao dispositivo em análise – sistema conservativo e observando a
escolha da convenção receptor, pode-se escrever para a máquina trifásica na representação
matricial compactada:
vss123  Rsiss123 
dss123
dt
(A.10)
vrr123  Rrirr123 
drr123
dt
(A.11)
onde:
v ss123
v ss1 
vrr1 
 Rs 0 0
 Rr 0 0
 s  r
 r 


 v s 2  v r 123  vr 2  R s  0 Rs 0 Rr  0 Rr 0
v s 
v r 
0 0 Rs 
0 0 Rr 
 r3 
 s3 
Derivando-se as expressões dos fluxos Eq. (A.6) e Eq. (A.7) e substituindo nas
expressões Eq. (A.10) e Eq. (A.11), obtêm-se as expressões das tensões:
v ss123  Rs iss123  Lss
 dL 
di ss123
di r
 Lsr r 123   r  sr  irr 123
dt
dt
 d r 
(A.12)
vrr 123  Rr irr 123  Lrr
 dL 
di rr 123
di s
 Lrs s 123   r  rs  iss123
dt
dt
 d r 
(A.13)
onde  r  d r
de rotação.
dt
é a velocidade do rotor e o termo associado é a tensão induzida
80
A.1.3 Expressão do conjugado eletromagnético
A expressão geral para energia é dada por:
ce 
sendo  m 
1
W  i T Li
2
(A.14)
dW 1 T dL
 i
i
d m 2 d m
(A.15)
r
,
P
ce 
P T dL
i
i
2 d r
(A.16)
Como as sub-matrizes Lss , Lrr de L independem de r , temos:
ce 
P s T  d Lsr  r
P
T  dL 
is 123 
ir 123  irr123  rs  iss123

2
2
 d r 
 d r 
(A.17)
Como ce é um número, ceT = ce e como para duas matrizes A e B quaisquer
(ABC)T=CTBTAT, então:
P s T  d Lsr  r
P
T  dL 
is 123 
ir 123  irr 123  rs  iss123

2
2
 d r 
 d r 
(A.18)
Sendo Lsr  LTrs , obtêm-se:
T  dL 
ce  Pi ss123  sr  irr123
 d r 
T  dL 
ce  Pi rr 123  rs  iss123
 d r 
(A.19)
(A.20)
81
A.2 REPRESENTAÇÃO odq DA MÁQUINA
Quando é considerado que o sistema de tensões de alimentação é trifásico
simétrico, o que usualmente é válido quando se trata de alimentação por inversores de
frequência, é possível a aplicação da transformação de variáveis (transformação odq) sobre
o modelo trifásico. Através desta transformação, os parâmetros variáveis com o tempo são
expressos em relação a eixos ortogonais, ou mutuamente desacoplados, sendo direto (d) e
em quadratura (q).
A transformação odq representa cada armadura trifásica original do estator e do
rotor por uma armadura bifásica dq, mais uma bobina isolada de índice o, eliminando o
acoplamento magnético mútuo entre os bobinados de fase, tornando o fluxo concatenado
num eixo independente do outro. Na Fig. A.2a é representado o sistema trifásico de três
eixos defasados 120º elétricos entre si, e na Fig. A.2b, o sistema equivalente bifásico de
dois eixos defasados entre si de 90º elétricos, onde se observa um par de bobinas em cada
eixo, e mais duas bobinas isoladas, ditas homopolares.
Figura A.2 – Representação esquemática da transformaçãoodq
Esta transformação linear consiste matematicamente em diagonalizar as matrizes
circulantes simétricas que aparecem nas fórmulas dos modelos da máquina alternada,
82
introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas. Apesar da transformação, a máquina
bifásica possui a mesma potência mecânica, mesmo conjugado, mesma velocidade e
mesmo números de pólos, que a máquina trifásica.
A transformação das variáveis trifásicas da referência estacionária para uma
referência arbitrária pode ser expressa como:
x ss123  P  g x sg odq
(A.21)
x rr 123  P  g   r x rg odq
(A.22)
Onde: x ss 123 representa as variáveis estatóricas trifásicas (corrente, tensão ou
fluxo) e x sg odq representa as variáveis equivalentes na nova base odq. Sendo x rr 123 e x rg odq
as variáveis rotóricas trifásicas e odq, respectivamente. As matrizes de transformação para
o estator e rotor, são respectivamente, P ( g ) e P( g   r ) e  g é o ângulo de
transformação genérico, função da escolha particular da base odq.
O expoente g introduzido indicará o referencial genérico dos eixos dq, podendo
ser adotado no estator g  s , no rotor g  r ou no campo girante g  e .
Adotando um ângulo de transformação genérico  p , onde  p   g para as
 
grandezas estatóricas e  p   g   r para as grandezas rotóricas, define-se a matriz P  p ,
na forma conservativa de potência, como:
P  p  



2
3



1
2
1
2
1
2
cos p 

cos

 2 
3
cos  p  2
p



2


 sen  g 
3

 sen  g  2 
3
 sen  p 
3




(A.23)
83
A.2.1 Expressões do fluxo odq
Dada a Eq. (A.6) e as equações de transformação Eq. (A.21) e Eq. (A.22), obtêmse a expressão odq para o fluxo estatórico:
gs odq  Lss odqisg odq  Lsr odqirg odq
(A.24)
onde:
Lss odq
lso 0 0
0 0 0 


 0 ls 0  Lsr odq  0 lm 0
0 0 ls 
0 0 lm 
com lso  Ls  2M s , ls  Ls  M s e lm 
3
M sr .
2
Para o rotor, de forma análoga obtêm-se:
rg odq  Lrr odq irg odq  Lrs odq isg odq
(A.25)
onde
Lrr odq
lro 0 0
0 0 0 


 0 lr 0  Lsr odq  Lrs odq  0 lm 0 
0 0 lr 
0 0 lm 
com lro  Lr  2M r , lr  Lr  M r e lm 
3
M sr .
2
Observa-se que todas as novas matrizes indutâncias são diagonais constantes
independentes dos ângulos  r e g . As indutâncias ls, lso, lr, lro e lm são denominadas
indutâncias cíclicas.
84
A.2.2 Expressões das tensões odq
Segundo a expressão das tensões estatóricas Eq. (A.10) e as equações de
transformação Eq. (A.21) e Eq. (A.22), obtêm-se a seguinte expressão em odq após
simplificação:
g
s odq
v
g
s s odq
Ri

0 0 0 
 g 0 0  1sg odq
0 1 0 
(A.26)
0 0 0 
  g   r 0 0  1 gr odq
0 1 0 
(A.27)
dgs odq
dt
Analogamente para o rotor:
v
g
r odq
g
r r odq
Ri

dgr odq
dt
onde g  d g dt é a frequência de rotação do referencial arbitrário.
A.2.3 Expressão do conjugado eletromagnético odq
Utilizando a equação do conjugado eletromagnético Eq. (A.20) e as equações de
transformação Eq. (A.21) e Eq. (A.22), obtêm-se após simplificação matemática a
expressão:

ce  Pl m isqg irdg  isdg irqg

(A.28)
Nota-se que a expressão do conjugado tornou-se independente do ângulo elétrico
e a componente homopolar da corrente é matematicamente eliminada, dependendo apenas
do valor de lm  3M sr 2 e das correntes dq.
85
A.2.4 Escolha da posição ou referencial para os eixos dq
Segundo Jacobina (2005), as possibilidades de interesse para localização do par de
eixos dq são:
• No estator ( g  s ), com o eixo d ligado ao estator segundo a fase s1, fazendose δg= 0 (ωg= 0). Ocasionando em regime permanente, variáveis dq senoidais de frequência
igual a das correntes estatóricas.
• No rotor ( g  r ), com o eixo d ligado ao rotor segundo a fase r1, fazendo-se
δg= θr(ωg= ωr). Implicando, em regime permanente, em variáveis dq senoidais com a
mesma frequência das correntes rotóricas.
• No campo girante ( g  e ) fazendo-se ωg= ωs, que implica, em regime
permanente, em variáveis dq contínuas.
A.2REPRESENTAÇÃO COMPLEXA OU VETORIALdq
A notação vetorial permite a transformação de valores instantâneos num sistema
trifásico sobre um plano complexo. Neste plano, o fasor de espaço gira com uma
velocidade angular equivalente à frequência angular do sistema trifásico da fonte.
As correntes homopolares não criam indução no entreferro, não contribuindo para
o conjugado eletromagnético. Os componentes dq caracterizam a máquina ativa e os
componentes homopolares traduzem os desequilíbrios de sequência zero criados pela
alimentação desequilibrada.
r
r
r
A máquina de indução possui tensões rotóricas iguais vr 1  v r 2  v r 3 .
Aplicando-se a matriz de transformação e considerando o modelo homopolar do rotor,
g
g
r
r
r
r
obtêm-se que vro  0 . Observa-se, portanto que vr 1  vr 2  vr 3  0 e v rd  v rq  0 .
86
Para notação vetorial, introduz-se uma variável complexa x gpara representar os
vetores fluxo, tensão, ou corrente do estator ou rotor no plano dq, definida como:
xg 
1 g
xd  jxqg 

2
(A.29)
A partir das equações odq da máquina desconsiderando a componente homopolar
e utilizando a definição da Eq. (A.29) obtém-se o modelo complexo equivalente ao modelo
bifásico dq:
dλ sg
v Ri 
 jg λ sg
dt
g
s
g
s s
dλ rg
0 Ri 
 j g - r  λ rg
dt
g
r r
(A.30)
(A.31)
As relações entre os fluxos magnéticos concatenados do estator e do rotor, são
expressas em relação às indutâncias cíclicas e correntes:
λ gs  ls isg  lm i gr
(A.32)
λ rg  lr i gr  lmisg
(A.33)
A partir da Segunda Lei de Newton temos:
P (ce  cm )  J
d r
 Fr
dt
(A.34)
Sendo a expressão do conjugado no referencial genérico:
ce  2 Plm Im  i sg i rg*   2 Plm Im  i sg* i rg 
 Pis s sen( i   a )  P
lm
is s sen( i   b )
lr
(A.35)
(A.36)
87
Onde o símbolo * em expoente indica os valores de referência.
Na Fig. A.3 é apresentado o diagrama vetorial instantâneo dos vetores tensão
estatórica ( vss ), corrente estatórica ( i ss ), fluxo estatórico ( λss ) e fluxo rotórico ( λsr ) da
máquina, vistos do referencial estatórico (fase s1). Também, neste diagrama é indicado o
eixo magnético rotórico (fase r1) e o eixo d.
Figura A.3 – Diagrama vetorial instantâneo da máquina