UNIVERSIDADE FEDERAL DE S€O CARLOS
Departamento de Estat•stica – CCET
IPAEE
Lista 2
1.
Prof. Estela/Paulo/Silvia/Danilo/Patr•cia - 01/2013
Colesterol é uma substância gordurosa que é uma parte importante da ligação (membrana) externa das células do
corpo de animais. Sua faixa normal para um adulto é 120-240 mg/dl. O Instituto de Alimentos e Nutrição das Filipinas
encontrou que o nível de colesterol total para adultos filipinos tem uma média de 159,2 mg/dl e 84,1% dos adultos
têm um nível de colesterol abaixo de 200 mg/dl. Suponha que o nível de colesterol total seja distribuído normalmente.
a)
b)
c)
d)
Determine o desvio-padrão dessa distribuição.
Quais são os quartis dessa distribuição?
Qual é o valor do nível de colesterol que excede 90% da população?
Um adulto tem risco moderado se o nível de colesterol for maior do que um, porém menor de dois desvios-padrão
acima da média. Qual é a porcentagem da população com risco moderado de acordo com esse critério?
e) Um adulto tem risco alto se seu nível de colesterol for maior do que dois desvios-padrão acima da média. Qual é a
porcentagem da população com risco alto?
f) Um adulto tem baixo risco se seu nível de colesterol for um desvio-padrão, ou mais, abaixo da média. Qual é a
porcentagem da população que tem baixo risco?
2.
O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas de bebidas gasosas é
distribuído normalmente, com uma média de 12,4 onças fluidas e um desvio-padrão de 0,1 onça fluida.
a) Qual é a probabilidade do volume de enchimento ser menor que 12 onças fluidas?
b) Se todas as latas menores que 12,1 ou maiores que 12,6 onças fluidas forem rejeitadas, que proporção de latas
será rejeitada?
c) Determine as especificações que sejam simétricas em torno da média e incluam 99% de todas as latas.
d) Qual tem de ser o desvio-padrão para que a companhia estabeleça que 99,9% de suas latas excedam 12 onças?
3.
No exercício anterior, suponha que a média da operação de enchimento possa ser ajustada facilmente, porém o
desvio-padrão permaneça 0,1 onça.
a) Qual o valor da média que deveria ser estabelecida, de modo que 99,9% de todas as latas excedessem 12 onças?
b) Qual o valor da média que deveria ser estabelecida, de modo que 99,9% de todas as latas excedessem 12 onças, se
o desvio-padrão pudesse ser reduzido para 0,05 onça fluida?
4.
Suponha que amostras de tamanho n = 25 sejam selecionadas, ao acaso, de uma população normal, com média igual a
100 e desvio-padrão igual a 10. Qual é a probabilidade de que a média amostral caia no intervalo de  X  1,8  X a
 X  1,0  X ?
5.
Uma população normal tem média igual a 100 e variância igual a 25. Quão grande tem de ser a amostra aleatória, se
quisermos que o erro-padrão da média amostral seja igual a 1,5?
6.
A elasticidade de um polímero é afetada pela concentração de um reagente. Quando baixa concentração é usada, a
elasticidade média verdadeira é 55, e quando alta concentração é usada, a elasticidade média é 60. O desvio-padrão
da elasticidade é 4, independentemente da concentração. Se duas amostras aleatórias de tamanho 16 forem
retiradas, encontre a probabilidade de X alta  X baixa  2 .
1
7.
Seja X 1, X 2 , , X 7 uma amostra aleat€ria proveniente de uma popula•‚o tendo mƒdia  e vari„ncia  . Considere
2
os seguintes estimadores de :
ˆ 1 
X1  X 2    X 7
7
e
ˆ 2 
2 X1  X 6  X 7
2
a) Os dois estimadores s‚o n‚o-viesados?
b) Qual ƒ o melhor estimador? Em que sentido ele ƒ melhor?
8.
 
ˆ  10 e
Suponha que ̂1 e ̂2 sejam estimadores n‚o-viesados do par„metro θ. Sabemos que Var 
1
 
Var ˆ 2  4 . Qual ƒ o melhor estimador e em que sentido ele ƒ melhor?
9.
Dados sobre a for•a (libra-for•a) de remo•‚o de conectores usados em um motor de autom€veis s‚o os seguintes:
79,3
75,1
78,2
74,1
73,9
75,0
77,6
77,3
73,8
74,6
75,5
74,0
74,7
75,9
72,9
73,8
74,2
78,1
75,4
76,3
75,3
76,2
74,9
78,0
75,1
76,8
a) Calcule a estimativa pontual da for•a mƒdia de remo•‚o de todos os conectores na popula•‚o. Estabele•a que
estimador voc† usou e por qu†.
b) Calcule a estimativa pontual da for•a de remo•‚o que separa os 50% conectores mais fracos da popula•‚o dos 50%
conectores mais fortes.
c) Calcule as estimativas pontuais da vari„ncia e do desvio-padr‚o da popula•‚o.
d) Calcule o erro-padr‚o da estimativa pontual encontrada no item (a). Forne•a uma interpreta•‚o do erro-padr‚o.
e) Calcule uma estimativa pontual da propor•‚o de todos os conectores na popula•‚o cuja for•a de remo•‚o ƒ menor
do que 73 libras-for•a.
10. Suponha que uma amostra de tamanho n = 100 por•‡es de ˆgua proveniente de um lago com ˆgua fresca foram
retiradas, sendo medida a concentra•‚o (miligramas por litro) de cˆlcio. Um IC de 95% para a concentra•‚o mƒdia de
cˆlcio ƒ 0,49    0,82.
a) Um IC de 99% calculado a partir dos dados da amostra seria maior ou menor?
b) Considere a seguinte afirma•‚o: hˆ uma chance de 95% de que  esteja entre 0,49 e 0,82. Essa afirma•‚o ƒ
correta? Explique sua resposta.
c) Considere a seguinte afirma•‚o: se uma amostra de tamanho n = 100 de por•‡es de ˆgua proveniente do lago
forem tomadas e o IC de 95% para  for calculado e se esse processo for repetido 1000 vezes, 950 dos ICs
conter‚o o valor verdadeiro de . Essa afirma•‚o estˆ correta? Explique sua resposta.
11. O rendimento de um processo qu‰mico estˆ sendo estudado. De experi†ncias prƒvias com esse processo, sabe-se que
o rendimento ƒ normalmente distribu‰do e  = 3. Os Šltimos cinco dias de opera•‚o da planta resultaram nos
seguintes rendimentos percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3.
Encontre um intervalo com 95% de confian•a para o rendimento mƒdio real.
Um artigo investigou mƒdias do teor de prote‰na do gr‚o cru de trigo (CP) e o nŠmero de queda de Hagberg (HFN)
pesquisados no Reino Unido. A anˆlise usou uma variedade de aplica•‚o de fertilizante de nitrog†nio (kg N/ha),
o
temperatura ( C) e a quantidade mensal total de chuva (mm). Os dados mostrados a seguir descrevem temperaturas
para o trigo crescido na Faculdade de Agricultura Harper Adams, entre 1982 e 1993. As temperaturas medidas em
junho foram obtidas como se segue (considere que o desvio-padr‚o seja conhecido,  = 0.5)
15,2 14,2 14,0 12,2 14,4 12,5 14,3 14,2 13,5 11,8 15,2
a) Construa um intervalo de confian•a de 99% para a temperatura mƒdia.
b) Construa um intervalo de confian•a de 95% para a temperatura mƒdia.
c) Suponha que quisƒssemos estar 95% confiantes de que o erro na estima•‚o da temperatura mƒdia fosse menor do
que 2 graus Celsius. Que tamanho da amostra deveria ser usado?
2
d) Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que a largura total do intervalo de confiança para a
temperatura média fosse 1,5 graus Celsius. Que tamanho da amostra deveria ser usado?
12. Um artigo descreveu um estudo em que todas as refeições foram fornecidas para 14 meninos magros durante três
dias, seguidas por um estresse (uma tarefa de videogame). A pressão sanguínea sistólica (PSS) média durante o teste
foi 118,3 mm Hg, com um desvio-padrão de 9,9 mm Hg. Encontre um limite superior que separe 99% das médias
amostrais de PSS.
13. Uma marca particular de margarina dietética foi analisada para determinar o nível (em porcentagem) de ácidos graxos
insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 16,8 17,2 17,4 16,9 16,5 e 17,1.
a) Teste a suposição de que o nível de ácido graxo poliinsaturado é normalmente distribuído.
b) Calcule um intervalo de confiança de 95% para a média . Forneça uma interpretação prática desse intervalo.
c) Calcule um limite que separa 95% das médias amostrais acima dele. Compare esse limite com o limite inferior do
intervalo de confiança de 95% e discuta por que eles são diferentes.
14. A porcentagem de titânio em uma liga usada na fundição de aeronaves é medida em 51 peças selecionadas
aleatoriamente. O desvio-padrão amostral é s = 4,8 miligramas. Calcule um intervalo de confiança de 95% para .
15. Um artigo determinou o nível essencial da composição do aminoácido (Lisina) de refeições à base de soja, conforme
mostrado a seguir (g/kg): 22,2 24,7 20,9 26,0 27,0 24,8 26,5 23,8 25,6 23,9.
a)
b)
c)
d)
Construa um intervalo de confiança de 99% para 2.
Calcule um limite inferior que separa 99% dos desvios padrão amostrais acima dele.
Calcule um limite inferior que separa 90% dos desvios padrão amostrais acima dele.
Compare os intervalos que você calculou.
16. Um artigo apresenta os resultados de uma investigação do nível de hemoglobina de jogadores de hóquei no gelo nas
Olimpíadas do Canadá. Os dados reportados (em g/dl) são mostrados a seguir: 15,3 16,0 14,4 16,2 16,2 14,9
15,7 15,3 14,6 15,7 16,0 15,0 15,7 16,2 14,7 14,8 14,6 15,6 14,5 15,2.
a) Construa o gráfico de probabilidade dos dados. Qual é a suposição lógica acerca da distribuição básica dos dados?
b) Explique por que essa verificação da distribuição baseando-se nos dados amostrais será importante se quisermos
construir um intervalo de confiança para a média.
c) Baseando-se nesses dados amostrais, um intervalo de confiança de 95% para a média é [15,04; 15,62]. É razoável
inferir que a média verdadeira poderia ser 14,5? Explique sua resposta.
d) Explique por que essa verificação da distribuição baseando-se nos dados amostrais será importante se quisermos
construir um intervalo de confiança para a variância.
e) Baseando-se nesses dados amostrais, um intervalo de confiança de 95% para a variância é [0,22; 0,82]. É razoável
inferir que a variância verdadeira poderia ser 0,35? Explique sua resposta.
f) É razoável usar esses intervalos de confiança para inferir sobre a média e a variância dos níveis de hemoglobina
i. de doutores canadenses? Explique sua resposta.
ii. de crianças canadenses de 6 a 12 anos? Explique sua resposta.
17. Um artigo reportou que a toxicidade do oxigênio no sistema nervoso central (SNC) pode aparecer em humanos
quando expostos a pressões de oxigênio maiores que 180 kPa. A toxicidade de oxigênio no SNC pode ocorrer como
convulsões (similares a ataques epiléticos, grande mal) e perda de consciência, sem qualquer sintoma de alerta. A
toxicidade de oxigênio no SNC é um risco encontrado em vários campos de atividade humana, tais como mergulho de
combate com aparelho para respiração com circuito fechado e mergulho com misturas de nitrogênio e oxigênio
(nitrox) ou nitrogênio, oxigênio e hélio (trimix) em mergulhos profissionais e por esporte para profundidades maiores
que 30 m. O risco de toxicidade por oxigênio é sempre considerado quando mergulho profundo é planejado. Os dados
3
mostrados a seguir demonstram latências encurtadas em atmosfera seca (< 10% de umidade) em 11 ratos com O2 de
507 kPa. Os dados coletados são: 22 26 19 27 37 27 14 19 23 18 18.
a) Construa o gráfico de probabilidade dos dados. Qual é a suposição lógica acerca da distribuição básica dos dados?
b) Explique por que essa verificação da distribuição que suporta os dados é importante se quisermos construir um
intervalo de confiança para a média.
c) Encontre o intervalo de confiança de 95% para a média.
d) Explique por que essa verificação da distribuição que suporta os dados é importante se quisermos construir um
intervalo de confiança para a variância.
e) Encontre o intervalo de confiança de 95% para a variância.
18. (Bussab e Morettin, E. 3 p. 337). Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, H0 , aquela que leve a um erro tipo
I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso.
a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela,
ele deve decidir entre as hipóteses:
1. está começando um ataque;
2. tudo bem, apenas uma leve interferência.
b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são:
1. o acusado é inocente;
2. o acusado é culpado.
c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra o resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de
laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançaará ou não a vacina no
mercado. As hipóteses que podem testar são:
1. a vacina é eficaz;
2. a vacina não é eficaz.
19. Cinco operadores de certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e B. Mediu-se o
tempo que cada um deles gasta para realizar uma mesma tarefa e os resultados estão na tabela abaixo. Com nível de
significância de 10%, poderíamos afirmar que a tarefa realizada na máquina A demora mais tempo que na máquina B?
Operador
1
2
3
4
5
Marca A
80
72
65
78
85
Marca B
75
70
60
72
78
20. Uma máquina está produzindo peças de metal com formato cilíndrico. Uma amostra é retirada e seus diâmetros (cm):
1,01 0,97 1,03 1,04 0,99 0,98 0,99 1,01 e 1,03.
a) Determine um intervalo de confiança de 99% para o diâmetro médio das peças dessa máquina, assumindo uma
distribuição aproximadamente normal.
b) Há uma suspeita de que a máquina está produzindo diâmetros maiores que 1 cm o que traria problemas para a
produção. Ao nível de significância de 1% verifique se a suspeita é confirmada.
c) A verificação do item (b) poderia ser realizada com o intevalo de confiança do item (a)? Por quê?
21. Um estudo das propriedades de resistência à tensão de um certo tipo de rosca está sendo realizado e de informações
anteriores sabe-se que seu desvio padrão é de 5,6 quilogramas. Assumindo uma distribuição normal dê o tamanho
mínimo de amostra para que um erro amostral de 2 kg seja superado apenas com probabilidade de 0,03.
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