Matemática
Exame Nacional 2007 – 2.ª Chamada
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Prova 23 – 2.ª Chamada
1
Duração da prova: 90 minutos
O Paulo tem dois dados, um branco e um preto, ambos equilibrados e com a forma de um cubo.
As faces do dado branco estão numeradas de 1 a 6, e as do dado preto estão numeradas de – 6 a
–1.
O Paulo lançou uma vez os dois dados e adicionou os valores registados nas faces que ficaram
voltadas para cima.
Qual é a probabilidade de essa soma ser um número negativo?
Apresenta o resultado na forma de fracção.
AREAL EDITORES – Vamos a Exame! – Matemática – 9.º ano
Mostra como obtiveste a tua resposta.
2
Considera um segmento de recta [AB] com 4 cm de comprimento.
2.1. Efectuou-se uma redução do segmento de recta [AB].
O segmento de recta obtido tem 0,8 cm de comprimento.
Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?
0,2
0,3
0,4
0,5
Exame Nacional 2007 – 2.ª Chamada
4
x e y são duas grandezas inversamente proporcionais.
Das quatro afirmações que se seguem, apenas uma é sempre verdadeira. Qual?
Se x aumenta 2 unidades, então y também aumenta 2 unidades.
Se x aumenta 2 unidades, então y diminui 2 unidades.
Se x aumenta para o dobro, então y também aumenta para o dobro.
Se x aumenta para o dobro, então y diminui para metade.
5
Na figura ao lado, estão representados um quadrado
[ABCD] e quatro triângulos geometricamente iguais.
Em cada um destes triângulos:
• um dos lados é também lado do quadrado;
• os outros dois lados são geometricamente iguais.
5.1. Quantos eixos de simetria tem esta figura?
Resposta:
5.2. A figura anterior é uma planificação de um sólido.
Relativamente ao triângulo [ABF], sabe-se que:
• a altura relativa à base [AB] é 5;
—
• AB = 6
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Qual é a altura desse sólido?
Começa por fazer um esboço do sólido, a lápis, e nele desenha o segmento de recta correspondente à sua altura.
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
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6
[
[
Considera o intervalo – π, 1 .
3
Escreve todos os números inteiros relativos pertencentes a este intervalo.
Resposta:
7
Explica, por palavras tuas, como se deve proceder para determinar o número médio de chamadas telefónicas feitas, ontem, pelos alunos da turma do Paulo.
8
Para efectuar chamadas do seu telemóvel, para duas redes (A e B), o preço, em cêntimos, que o
Paulo tem a pagar por cada segundo de duração de uma chamada é o seguinte:
Rede
Preço por segundo
A
B
0,5
0,6
(em cêntimos)
8.1. O Paulo tem 80 cêntimos disponíveis para efectuar chamadas do seu telemóvel.
Após ter iniciado uma chamada para a rede A, o dinheiro disponível foi diminuindo, até ser
gasto na sua totalidade.
Qual dos quatro gráficos que se seguem representa esta situação?
Gráfico A
Gráfico B
Gráfico C
Gráfico D
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8.2. Ontem, o Paulo só efectuou chamadas do seu telemóvel para as redes A e B.
A soma dos tempos de duração dessas chamadas foi de 60 segundos e, no total, o Paulo gastou
35 cêntimos.
Qual foi o tempo total de duração das chamadas efectuadas pelo Paulo, para a rede A?
Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na tua resposta, indica a unidade.
9
Escreve um número, compreendido entre 5000 e 5999, que seja simultaneamente divisível por
2 e por 3.
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Resposta:
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2.2. Na figura abaixo, está desenhado o segmento de recta [AB] numa malha quadriculada em que a
unidade de comprimento é um centímetro.
Existem vários triângulos com 6 cm2 de área.
Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângulos, em que um dos lados é o segmento de recta [AB].
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
3
O Paulo e o seu amigo João foram comprar telemóveis.
O Paulo gostou de um modelo que custava 75 euros e comprou-o com um desconto de 20%.
O João comprou um telemóvel, de um outro modelo, que só tinha 15% de desconto.
Mais tarde, descobriram que, apesar das percentagens de desconto terem sido diferentes, o valor
dos dois descontos, em euros, foi igual.
Quanto teria custado o telemóvel do João sem o desconto de 15%?
Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na tua resposta, indica a unidade monetária.
44
Exame Nacional 2007 – 2.ª Chamada
10
Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas
de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena.
No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43°,
parte da sombra da antena estava projectada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia
ser medida.
Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m
de distância da antena.
Na figura que se segue, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende
ilustrar a situação descrita.
Qual é a altura (h) da antena?
Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida.
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo,
duas casas decimais.
Soluções
Exame Nacional de 2007 – 2.ª Chamada
1.
Se pretendemos determinar a probabilidade da soma dos valores das faces ser um número negativo, elaboramos uma tabela com essa soma.
Dado branco
Dado preto
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
0
–1
–2
–3
–4
2
1
0
–1
–2
–3
3
2
1
0
–1
–2
4
3
2
1
0
–1
5
4
3
2
1
0
P(Soma dos valores das faces ser um número negativo) =
(6 pontos)
15
5
=
36 12
0,8
= 0,2.
4
R: A razão de semelhança desta redução é 0,2.
2.1. A razão de semelhança da redução é r =
(5 pontos)
base * altura
e a medida da área do triângulo pre2
2
tendido é 6 cm , podemos considerar como base do triângulo o seg-
2.2. Como Atriângulo =
mento [AB] que tem de medida de comprimento 4 cm e determinar
a altura respectiva, a.
4*a
12
= 6 § 4a = 6 * 2 § 4a = 12 § a =
§ a = 3 cm
2
4
(5 pontos)
3.
Processo 1:
Começamos por determinar o desconto que o Paulo obteve: 75 * 0,2 = 15 euros
O João teve também um desconto de 15 euros.
100 * 15
= 100 euros
15
Processo 2:
Se o Paulo e o João obtiveram descontos de igual valor, basta resolver uma equação.
15
0,15x = 0,2 * 75 § 0,15x = 15 § x =
§ x = 100 euros
0,15
R: O telemóvel do João custou, sem desconto, 100 euros.
(6 pontos)
4.
(6 pontos)
Se x e y são grandezas inversamente proporcionais então a expressão que as relaciona é do tipo
y = kx, em que k é a constante de proporcionalidade.
Fazendo k = 2 obtém-se, y = 2x.
Resposta correcta: Se x aumenta para o dobro, então y diminui para metade.
Soluções
5.
5.1.
R: A figura tem 4 eixos de simetria.
(5 pontos)
5.2.
(2 pontos)
Para determinar a altura h da pirâmide aplica-se o Teorema de Pitágoras.
(3 pontos)
h2 + 32 = 52 § h2 = 52 - 32 § h2 = 16 § h = œ16 §
(1 ponto)
§h=4
R: A altura do sólido é de 4 unidades de comprimento.
6.
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(5 pontos)
R: Os números inteiros relativos pertencentes ao intervalo são: – 3, – 2, – 1 e 0.
(5 pontos)
7.
(6 pontos)
8.
8.1. Se o Paulo tem 80 cêntimos diponíveis para efectuar a chamada o ponto inicial é (0, 80). Se ele
efectuou a chamada para a rede A então a sua duração foi de 80 : 0,5 = 160 segundos.
Resposta correcta: Gráfico C.
Para determinar o número médio de chamadas telefónicas adicionamos o número de chamadas
feitas ontem por todos ao alunos da turma e dividimos esse resultado pelo número total de alunos da turma.
Soluções
8.2. Considerando: a – duração das chamadas da rede A; b – duração das chamadas da rede B.
A soma dos tempos de duração das chamadas é de 60 s : a + b = 60.
No total o Paulo gastou 35 cent: 0,5a + 0,6b = 35.
a + b = 60
50,5a + 0,6b = 35 §
(4 pontos)
§
§
a = 60 - b
a = 60 - b
50,5(60 - b) + 0,6b = 35 § 530 - 0,5b + 0,6b = 35 §
a = 60 - b
a = 60 - b
§
§
- 0,5b + 0,6b = 35 - 30
0,1b = 5
5
5
a = 60 - b
5b = 50
a = 60 - 50
5b = 50
a = 10
5b = 50
§
(1 ponto)
R: A duração das chamadas efectuadas pelo Paulo para a rede A foi de 10 segundos.
Um número é divisível por 2 se o seu algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8 e é divisível por 3
se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 3. 5310 é par e 5 + 3 + 1 + 0 = 9 é divisível por 3.
R: Por exemplo, 5310.
(5 pontos)
10.
(2 pontos)
(1 ponto)
Para determinar a altura da antena começamos por calcular a medida da sombra da vara (x) utilizando a trigonometria.
1,8
tg (43º) =
x
1,8
x=
§ x 9 1,93 m
tg (43º)
A medida da sombra da antena é 14 + 1,93 = 15,93 m.
h
tg (43º) =
15,93
h = 15,93 * tg (43º) § h 9 15 m
(2 pontos)
(1 ponto)
(1 ponto)
(2 pontos)
R: A altura da antena era de 15 metros.
11.
x 1 - 2x x
+
≤ § 6x + 2 - 4x ≤ 3x §
1
3
2
(6)
(2)
(3)
(2 pontos)
§ 6x - 4x - 3x ≤ - 2 §
§ -x≤-2 § x≥2 §
(2 pontos)
S = [2, + ?[
(2 pontos)
12.
13.
14.
(6 pontos)
2
12
1
9
R:
(5 pontos)
(6 pontos)
§
§
5
b=
0,1
(3 pontos)
9.
§
5
a = 60 - b
9 0,0123;
12
1
9
1
œ9
9 0,3333;
1
9
9 0,0556;
2
2
= 18
1
9
2
O ângulo ACB está inscrito no arco AB e, por isso, tem 90º de amplitude. O triângulo [ABC] não
pode ser equilátero, porque os triângulos equiláteros não têm ângulos internos com 90º de amplitude.