X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
CONSTRUINDO SABERES DOCENTES EM ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO
DE TRIÂNGULOS
Ana Teresa de C. C. de Oliveira
Universidade Federal do Rio de Janeiro
[email protected]
Resumo: Neste minicurso pretende-se aplicar e discutir com professores (6º ao 9º anos e
ensino médio) uma seqüência didática visando desenvolver a habilidade de comunicar
idéias matemáticas no contexto do ensino de Geometria. As atividades são de construção
de triângulos com compasso, régua e esquadros, sem o uso da graduação. Como objetivos
principais destacam-se: estimular os professores a valorizar a resolução de problemas na
aprendizagem matemática; significar alguns objetos geométricos no contexto da
construção de triângulos como mediana, bissetriz, altura, ângulo adjacente, ângulo oposto;
permitir a revisão e o aprofundamento de conhecimentos geométricos pelos docentes;
incentivar o confronto e a comunicação, na forma oral e escrita, dos processos de
construção de triângulos usando o vocabulário adequado, visando uma prática que
contribua para o desenvolvimento da argumentação e do vocabulário geométrico dos
alunos; incentivar os docentes para a valorização dos registros escritos dos alunos e sua
análise como uma estratégia para elaborar modificações e adaptações necessárias à uma
aprendizagem significativa em Geometria; mobilizar os professores para a uma prática
reflexiva. Os professores participantes deverão ter compasso e esquadros.
Palavras-chave: Geometria; Terminologia; Comunicação; Argumentação.
INTRODUÇÃO
O objetivo deste texto é, brevemente, dar suporte teórico e metodológico a um
minicurso intitulado Construindo saberes docentes por meio de construção de triângulos,
a ser realizado com professores do 6º ao 9º anos e ensino médio, no X ENEM.
É certo que dominar os conteúdos matemáticos é fundamental para o bom
desempenho da profissão docente. Contudo, apesar de podermos afirmar que sobre este
domínio se constrói, também, o sucesso do ensino e aprendizagem de matemática, com a
mesma ênfase constatamos que, como nos diz Sztajn (2002), a relação entre o saber
disciplinar e a qualidade da aula de um professor não é direta e nem óbvia. Muitas outras
relações são constitutivas de uma rede complexa que envolve o ensino e a aprendizagem, o
que nos faz ter a clareza do quanto é difícil pensarmos sobre a questão da qual, atualmente,
se ocupam muitos pesquisadores da Educação Matemática: o que precisa saber um bom
professor de Matemática?
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Com semelhante complexidade se delineiam outras questões afins, como as que se
dirigem diretamente a qualificação do professor de Matemática, seja ela pré ou pósserviço. Que atividades de formação podem contribuir para a construção de um saber
pedagógico disciplinar do professor de Matemática? (BELFORT, 2003) Isto é, para a
construção de um saber que se estende para além do domínio dos conteúdos matemáticos,
que é o que podemos tratar por conhecimento do professor, de acordo com Shulman
(1986).
Vários pesquisadores, nacionais e internacionais, têm se debruçado sobre esta
questão e foge ao objetivo deste trabalho tratar dos diferentes aspectos que podem nortear a
reflexão em torno da formação e da prática docente em Matemática. Pretendemos, apenas,
voltar a atenção para a questão da comunicação eficiente de idéias matemáticas como uma
habilidade básica a ser desenvolvida nos alunos, e para algumas atividades didáticas a
serem realizadas com professores com vistas à motivá-los a objetivar o desenvolvimento
desta habilidade em seus alunos, nas aulas de Matemática.
REFLEXÕES TEÓRICAS
As contribuições teóricas e práticas nas quais nos apoiamos encontram-se,
expressivamente, no campo da formação dos professores, do desenvolvimento dos saberes
docentes, dos estudos da importância e influência da escrita como veículo da aprendizagem
matemática, além de outras que enfatizam a importância da aprendizagem significativa da
geometria e sua importância na educação básica. Nesse sentido, trazemos aqui idéias de
Sztajn (1997, 2002), Belfort (2003), Shulman (1986), D’Ambrósio (1993), Ball e seus
colaboradores (2009a, 2009b), Powell (2001), Rabelo (1996) e as orientações curriculares
propostas pelos documentos do NCTM (1990). Trazemos, também, Chevallard (2001), que
nos ajuda a sublinhar a importância de desenvolvermos nos alunos a capacidade de
validarem os procedimentos adotados e resultados que encontram para os problemas
matemáticos.
É preciso termos a clareza de que comunicar idéias matemáticas corretamente não
requer e não envolve, unicamente, competências em linguagem, mas a capacidade de
resolver problemas, a veiculação de conceitos tratados corretamente, o estabelecimento de
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relações entre os conceitos, relação lógica entre causa e conseqüência, capacidade de
validação de hipóteses e justificativa de respostas e de encaminhamentos, entre outras
muitas competências. Ao pensarmos em alinhar a formação de professores com esta visão
acerca do que se deve desenvolver nos alunos da educação básica ficamos, sem dúvidas,
diante de questões que, ao mesmo tempo que são relevantes e carentes de definições
urgentes, não são simples e nem imediatas.
Tem sido muito valorizada pelas pesquisas em Educação Matemática, e em
Didática, a estratégia que consiste em levar os alunos a atuarem atuem como resolvedores
de problemas, responsabilizando-se pelas suas respostas, pela validação, e pelos
procedimentos que adotam para solucionar os problemas propostos (SZTAJN, 1997;
NCTM, 1990; D’AMBRÓSIO, 1993).
Contudo, em diferentes níveis da escolaridade, os alunos tendem a colocar nos
professores a responsabilidade por validar as suas respostas, como se o fato de serem
alunos isentasse-os do compromisso com a coerência e validade dessas respostas. E como
se o professor fosse o único a ter a tarefa de corrigir os resultados obtidos pelos alunos para
as tarefas propostas.
Esta “irresponsabilidade matemática dos alunos” (CHEVALLARD, 2001), este
descompromisso pelo que apresentam como respostas e procedimentos a ponto de não se
interessarem por validá-los é, certamente, uma questão de razões diversas. Entre as muitas
razões para este fato poderíamos pensar que o descompromisso ao qual nos referimos pode
ser atribuído ao fato de que o aluno, em muitas práticas docentes, não é um sujeito ativo no
seu processo de aprendizagem, ou que o aluno não tem uma boa atitude diante da
Matemática ou, ainda, que não está motivado para aprender e desta forma não se interessa
pela validade de suas respostas, entre outras.
Apesar de não intencionarmos analisar estas possíveis razões e, tampouco,
apresentar soluções que dêem conta da complexidade das relações e processos envolvidos
no ensino e aprendizagem de Matemática, das singularidades envolvidas no trabalho com
os diferentes temas etc, não podemos deixar de enfatizar a importância de, como
professores, pensarmos em caminhos e estratégias que podem contribuir para um melhor
desempenho de nossos alunos.
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A formação pré-serviço e continuada de professores deve incorporar estas
discussões e outras, e levar os professores a refletirem sobre a prática docente visando
ampliar suas estratégias de ensino de Matemática. Indo ao encontro das idéias de Ball e
seus colaboradores (2009a, 2009b), as questões da prática devem estar no âmago da
formação profissional dos professores. Essa é a idéia que nos orienta nesse mini-curso - a
partir tarefas e atividades voltadas para situações de ensino na educação básica,
desenvolver saberes docentes que possibilitem aos professores enfrentar as dificuldades
matemáticas dos seus alunos. Acreditamos que essas experiências, a partir de atividades, e
as discussões sobre as questões conceituais envolvidas, são de grande contribuição para a
formação de professores.
A questão de nosso interesse específico nesse mini-curso é: De que maneira
podemos nós, professores, conduzirmos o processo didático em Matemática de forma a
desenvolvermos nos alunos a comunicação de idéias matemáticas e a validação de
respostas e procedimentos adotados na resolução de problemas?
No âmbito desta argumentação, a seqüência apresentada a seguir destina-se a
discutir com professores de Matemática a importância da escrita em Matemática
(POWELL, 2001; RABELO, 1996) para comunicar idéias, procedimentos adotados e
validar respostas, na realização de problemas que envolvem construções geométricas.
Nosso ponto de vista é que a resolução de problemas que compõem essa sequência é uma
estratégia de formação de professores, que possibilita colocá-los no lugar de seus alunos,
levando-os a refletirem acerca de sua prática, a aprofundarem seus conhecimentos
matemáticos, e desenvolverem recursos para favorecerem em suas aulas uma melhor
aprendizagem de geometria.
A SEQUÊNCIA DIDÁTICA
A elaboração de seqüências didáticas por professores, bem como a análise dos resultados
observados, é um dos caminhos que pode promover a construção do saber pedagógico
disciplinar do professor (SHULMAN, 1986), na medida em que implica a articulação das
dimensões disciplinar e didática no ensino dos diversos temas matemáticos. As
experiências destes professores com seqüências destinadas a eles em cursos de formação é
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fundamental para que conheçam diferentes estratégias que podem estar em questão, de
forma que possam criar seqüências para seus alunos.
A proposta desta seqüência envolve a construção de triângulos a partir de distintos
elementos básicos de construção com compasso, régua e esquadros não graduados. A
solução do problema consiste da construção da figura e da explicação acerca do modo de
realizá-la feita oralmente e por escrito. O problema será considerado resolvido se forem
apresentados o modo de construção utilizado e a justificativa que garanta que, realizandose as construções sugeridas, obtém-se, efetivamente, a figura com as características
pedidas.
Alguns pesquisadores do ensino e aprendizagem de Matemática defendem que a
escrita, além de possibilitar a captação do pensar matemático, pode também servir como
veículo de aprendizagem. É importante a busca de uma palavra adequada que corresponda
às percepções e ações de quem resolve um problema. À medida que o processo se repete,
adquire-se domínio do assunto e vocabulário técnico (POWELL, 2001; RABELO, 1996).
Destacamos como objetivos principais desta seqüência significar alguns objetos
geométricos no contexto da construção de triângulos como mediana, bissetriz, altura,
ângulo adjacente, ângulo oposto em atividades de construção para as quais estes objetos se
constituem em ferramentas; permitir a revisão e o aprofundamento de conhecimentos
geométricos pelos docentes; incentivar o confronto e a comunicação, na forma oral e
escrita, dos processos de construção de triângulos usando o vocabulário adequado, visando
uma prática que contribua para o desenvolvimento da argumentação e do vocabulário
geométrico dos alunos; desenvolver nos docentes a capacidade de valorização dos registros
escritos dos alunos e incentivar a análise destes registros como uma estratégia para
elaborar modificações e adaptações necessárias à uma aprendizagem significativa em
Geometria.
ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA
Problema 1: Construir um triângulo dados dois lados e o ângulo por eles compreendido.
Problema 2: Construir um triângulo dados um lado e os dois ângulos adjacentes.
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Problema 3: Construir um triângulo dados duas alturas e o ângulo de cujo vértice parte
uma das alturas dadas.
Problema 4: Construir um triângulo dados um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto
a este lado.
Problema 5: Construir um triângulo conhecendo a altura e a mediana relativas a um mesmo
lado (a) e a/b.
Problema 6: Construir um triângulo conhecendo dois lados e a altura relativa ao terceiro
lado.
Problema 7: Construir um triângulo conhecendo dois lados e a mediana relativa a um
deles.
Problema 8: Construir um triângulo conhecendo-se dois ângulos e a altura relativa ao lado
determinado pelos vértices destes ângulos.
Problema 9: Construir um triângulo conhecendo duas alturas e o lado correspondente a
uma delas.
Problema 10: Construir um triângulo conhecendo duas alturas e o lado correspondente a
terceira altura.
METODOLOGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA
Os alunos (professores) trabalharão cooperativamente, em grupos de três
componentes ou mais, dependendo da freqüência do número de inscritos. Cada grupo se
encarregará de determinada(s) construção(ões). O trabalho se desenvolverá em 4 etapas.
1a etapa: discussão com os docentes sobre as implicações da proposta de construção de
triângulos com compasso, régua e esquadros não graduados.
O objetivo específico desta etapa é levar os docentes a concluírem e formalizarem
suas conclusões sobre as possibilidades e limitações do uso dos instrumentos citados
acima. Isto é, que a régua não graduada como instrumento de construção geométrica
permite traçar uma reta qualquer, ou seja, uma reta que passa por um ponto ou uma reta
que passa por dois pontos e não permite transportar segmentos; o compasso como
elemento de construção geométrica permite descrever a partir de um centro uma
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circunferência de raio dado, construir um segmento em uma reta dada a partir de um ponto
dado e construir um ângulo dado; os esquadros não graduados substituem a régua nas
situações já mencionadas e permitem a construção de linhas paralelas. Levá-los ainda a
concluírem que, como conseqüência da construção com os referidos instrumentos, os
elementos dados para a construção dos triângulos devem ser fornecidos através de
desenho, como o que está fornecido a seguir como exemplo.
b
c
A
2a etapa: realização das construções pedidas.
3a etapa: apresentação das soluções dos problemas
Cada grupo deverá apresentar a solução de seu problema, justificando o
procedimento, fundamentando-se na justificativa escrita, permitindo a avaliação crítica do
procedimento, da clareza de idéias e pertinência do vocabulário geométrico utilizado na
justificativa dos passos da construção.
4a etapa: discussão de orientações didáticas
Motivar a reflexão sobre orientações didáticas que permitam um desempenho
profissional adequado para o ensino e aprendizagem de Geometria como a importância das
atividades de construção geométrica, da compreensão do processo do outro, da defesa do
método ou solução adotado contra diferentes proposições, das adaptações necessárias a
serem feitas nos livros para suprirem as carências conceituais dos alunos.
As questões norteadoras para estas reflexões serão: o que você acha que está
ensinando ao aplicar esta seqüência didática? Qual é para você a importância de escrever e
relatar para outros os passos da construção feita? Que conhecimentos devem estar
disponíveis para a resolução destes problemas? Que objetivos você desenharia como sendo
aqueles que esta seqüência poderia atingir? Estas possibilidades de construção de
triângulos são novas para você?
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RESULTADOS ESPERADOS
Intencionamos obter uma troca significativa de idéias sobre a importância das
competências de comunicação de idéias matemáticas e de argumentação. Tratam-se de
competências fundamentais a serem desenvolvidas na educação básica, nas aulas de
matemática. Pretendemos, ainda, nesse minicurso, evidenciar a relevância da geometria na
escola básica e das atividades de construção, visando o desenvolvimento das referidas
competências, estimulando os professores a inseri-las nas suas aulas de matemática.
REFERÊNCIAS
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BALL, D.L., HILL, H. (2009b). R and D: The curious - and crucial - case of mathematical
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BELFORT, E. Formação de Professores de Matemática: A Aritmética como Ferramenta
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CHEVALLARD, Y. Estudar Matemáticas- o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem.
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__________. O que precisa saber um professor de matemática? Uma revisão da literatura
americana dos anos 90. In: Educação Matemática em Revista, ano 9, nº 11A, abril de 2002,
p.17-28.
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