Colégio Adventista Portão – EIEFM
MATEMÁTICA – Geometria Analítica – 3º Ano
APROFUNDAMENTO/REFORÇO
Professor: Hermes Jardim
Disciplina: Matemática – Lista 1
Aluno(a):
Número:
1º Bimestre/2013
Turma:
1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB quando:
a)
b)
c)
d)
e)
A(1, 7) e B(11, 3)
A(- 2, 5) e B(- 4, - 1)
A(3, - 1) e B(- 2, 1)
A(1/2, 1) e B(5/2, - 4)
A(3, 1) e B(5, - 5)
f) A(- 6, 4) e B(- 2, 6)
g) A(- 1, 7) e B(5, - 9)
h) A(6, - 3) e B(0, 9)
i) A(3, 7) e B(9, - 1)
j) A(- 6, 4) e B(- 2, 6)
2) Sendo M(xM,yM) as coordenadas do ponto médio do segmento AB com A(xA,yA) e B(xB,yB),
B
determine em cada caso as coordenadas do ponto A.
a) M(2, 4) e A(1, 7)
b) M(5, 2) e A(0, 2)
c) M(- 1, - 3) e A(2, 5)
d) M(4, 0) e A(1, 3)
e) M(2, 0) e A(7, 5)
f) M(3, 9) e A(1, 1)
3) Sendo M(xM,yM) as coordenadas do ponto médio do segmento AB com A(xA,yA) e B(xB,yB),
B
determine em cada caso as coordenadas do ponto B.
a) M(1, 4) e B(2, 6)
b) M(2, 0) e B(- 1, 4)
c) M(1, 4) e B(1, 6)
d) M(1, 5) e B(2, 0)
e) M(2, 4) e B(1, 7)
f) M(5, 2) e B(3, 4)
4) Resolva os problemas:
a) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos
A(1, 2) e B( 2, 4)?
b) Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A(3, 2).Sendo M(- 1, 3) o ponto médio
desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento. B(- 5, 4)
c) Um triângulo ABC é tal que os pontos médios de seus lados são (- 1, 3), (1, 6) e (3, 5). Quais
são as coordenadas dos três vértices do triângulo?
d) Sejam R(2, - 1), S(1, - 2) e T(- 1, 3) os pontos médios dos lados de um triangulo. Determine
os vértices desse triangulo.
e) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(- 2, - 2). Sabendo que M(3, - 2) é o
ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y),que é a outra extremidade
do segmento.
f) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, sabendo que seus pontos
médios M(- 1, - 2), N(- 2, 3) e P(1, - 1). (0, 4), (2, - 6) e (- 4, 2)
5) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados
do triangulo são M(- 2, 1), N(5, 2) e P(2, - 3).
6) Num paralelogramo ABCD, M(1, - 2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD . Sabe-se que
A(2, 3) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao
melo, determine as coordenadas dos vértices C e D.
7) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices:
a)
b)
c)
d)
e)
A(3, 1), B(2, 6) e C(4, 2)
A(1, 0), B(- 2, 4) e C(3, - 5)
A(2, 3), B(5, - 1), e C(- 1, 4)
A(- 1, 0), B(2, - 3) e C(2, 3)
A(- 4, 2) B(5, - 1) e C(8, 14)
f) A(- 4, 1), B(8, - 2) e C(5, 4)
g) A(3/2, - 1), B(7/2, 1/2) e C(5/2, 4)
h) A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 6)
i) A(- 2, - 1), B(5, - 3) e C(4, 5)
j) A(9, 2), B(0, 0) e C(3, 4)
8) Resolva os problemas:
a) Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, - 2) e
C(4, 5).
b) Dados A(2, - 3), B(1, 2) e C(6, 4), determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC.
c) Quais as coordenadas do baricentro do triângulo PQO, dados P(- 4, 1), Q(1, - 4) e O(0, 0)?
d) Seja um triângulo cujos vértices são A (2, 4), B (5, 7), C (8, 1), calcule as coordenadas do
baricentro. G(5, 4)
e) Determine o baricentro de um triângulo ABC, sabendo que A(0, - 2) e que M(6, 7) é o ponto
médio de BC .
f) Calcule a soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (0, 0), B(4, 1) e
C(2, 8). 5
g) Dados os vértices A(1, 4) e C(2, - 1) e o baricentro G(2, 1) de um triângulo ABC, quais as
coordenadas do vértice B?
h) O triângulo ABC tem vértices A(2, 2), B(5, 2) e C(2, 5). Determine as coordenadas do seu
baricentro. G(3, 3)
i) No triângulo ABC, B(2, 4) é um dos vértices, G(3, 3) p seu baricentro e M(3, 4) o ponto
médio do lado BC . Calcule as coordenadas dos vértices A e C. A(3, 1) e C(4, 4)
j) O triângulo ABC tem vértices A(4, 1), B(5, 4) e C(3, 4). Considerando o triângulo MNP em
que M, N e P são pontos médios dos lados do triângulo ABC, determine o baricentro do triângulo
MNP. G(4, 3)
9) M(2, - 1), N(- 1, 4) e P(- 2, 2) são os pontos médios, respectivamente, dos lados AB , BC e AC de
um triângulo. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C e o baricentro G do triângulo ABC.
10) Sabendo que A(x, y), B(- 1, 8) e C(3, - 10) são vértices de um triângulo cujo o baricentro é o
ponto G(3, - 2), determine as coordenadas do ponto A.
11) O baricentro de um triângulo é G(5, 1) e dois de seus vértices são A(9, - 3) e B(1, 2). Determine o
terceiro vértice.
12) No triângulo ABC, B(2, 4) é um dos vértices, G(3, 3) é o baricentro e M(3, 4), o ponto médio de
BC . Calcule as coordenadas dos vértices A e C.
13) Os vértices de um triângulo são A(1, - 3), B(3, - 5) e C(- 5, 7). Determine os pontos médios M, N
e P, respectivamente, de AB , BC e AC , e os baricentros G1 e G2, respectivamente, do triângulo ABC
e do triângulo MNP.
14) Um triângulo ABC é tal que o seu baricentro é o ponto (2, 1). Sendo A(- 1, 2) e B(3, 3), calcule a
ordenada do ponto C. - 2
15) Dados os pontos A(2, 6), B(4, 2) e C(- 2, 4), vértices de um triângulo.
a) Represente os pontos A, B e C no plano cartesiano, e trace o triângulo e suas medianas.
b) Calcule o comprimento das medianas desse triângulo.
c) Determine as coordenadas do baricentro desse triângulo.
2
16) Calcule a distância entre os pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(2, 1) e B(5, 5)
A(0, 0) e B(- 1, 3)
D(- 4, - 2) e E(0, 7)
A(8, 11) e B(2, 3)
M(5, 2) e N(1, - 1)
f) L(3/2, 2) e P(- 1/2, 1/2)
g) A(1, 3) e B(9, 9) 10
h) A(- 1, 4) e B(3, 2)
i) A(1/2, - 1/3) e B(5/3, 1/3)
j) C( 4 3 , 5) e B( 6 3 , 3)
17) Calcule a distância entre os pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(3, 7) e B(1, 4)
E(3, - 1) e F(3, 5)
H(- 2, - 5) e O(0, 0)
M(0, - 2) e N( 5 , - 2)
P(3, - 3) e Q(- 3, 3)
f) C(- 4, 0) e D(0, 3)
g) R(0, 3) e S(5, 0)
h) P(2, 5) e T(- 1, 1)
i) A(4, 1) e B(2, 3)
j) A(- 3, 1) e B(5, - 14) 17
18) Resolva:
a) Calcule a distância do ponto M(- 12, 9) à origem. 15
b) Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B(2, - 6) e C(- 4, 2). Calcular os
comprimentos das medianas do triângulo.
c) A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.
d) Dados A(- 1, 7) e B(4, y), se a distância entre A e B for 5, determine o valor de y. 10
e) Calcule o ponto do eixo Ox equidistante dos pontos (0, - 1) e (4, 3). (3,0)
f) Ache o ponto pertencente ao eixo das abscissas que dista 13 unidades do ponto A(- 2, 5).
g) Calcule o valor de y, para qual e distância do ponto A(1, 0) ao ponto B (5, y) seja 5. y = 3
h) Determine a distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de
extremos (- 2, -7) e (- 4, 1). d = 3
i) Um triângulo equilátero tem vértices A(x, y), B(3, 1) e C(- 1, - 1). Calcular o vértice A.
j) Considere um triângulo com vértices A(5, - 6), B(4, - 2) e C(l, - 5). Mostre que este triângulo
é isósceles.
19) Resolva:
a) Dados os pontos A(2, y), B(- 8, 4) e C(5, 3), determinar y para que ABC seja um triângulo
retângulo com ângulo reto no vértice A.
b) Determine o ponto do eixo das abscissas equidistantes aos pontos P(- 2, 2) e Q(2, 6). 4
c) Calcule a área de um triângulo equilátero, sabendo que A(2, 5) e B(4, 9) são extremidades
da altura.
d) Uma das extremidades de um segmento é ponto A(- 2, - 2). Sabendo que M(3, - 2) é o ponto
médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do
segmento.
e) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(1, 1), B(5, - 2) e C(5, 4). 16 u. c.
f) Calcule o perímetro do triângulo ABC dados A(- 1, 1), B(4, 13) e C(- 1, 13). 30
g) Determine o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm coordenadas: A(1, 5),
B(- 2, 1) e C(4, 1). 16 u. c.
h) (MED-Itajubá-MG) Qual a distância entre os pontos A (m, 5) e B (7, n) pertencentes à
reta 4y - 3x = 11. 5 u. c.
i) Determine os valores de x para os quais a distância entre os pontos A(x + 2, - 3) e
B(3, x - 3) é 5.{- 3, 4}
j) Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o
ponto N(- 1, 1) médio do lado BC . Calcule o perímetro do triângulo ABC.
20) Um triângulo tem vértices A(0, 2), B(2, 1) e C(6,- 3). Determine:
a) os pontos médios dos seus lados. (4, - 1), (3, - 1/2) e (1, 3/2)
b) o comprimento da mediana que passa pelo vértice A. 5 u. c.
3
21) Conhecendo os pontos A, B e C, verifique, se pertencem à mesma reta:
a) A(3, -2), B(0, 1) e C(- 3, 4)
b) A(- 3, - 1), B(0, 5) e C(1, - 2)
c) A(- 2, 5), B(- 5, 6) e C(- 8, 7)
d) A(- 1, 2), B(2, 1/2) e C(3, - 3)
e) A(2, 1), B(3, 2) e C(0, - 1)
f) A(0, 0), B(1, 1) e C(2, - 2)
22) Verifique se os pontos A, B e C são colineares:
a) A(1, - 1), B(2, 1) e C(3, 2)
b) A(0, 2), B(1, 3) e C(- 1, 1)
c) A(- 1, 3), B(2, 4) e C(- 4, 10)
d) A(- 2, - 3), B(1, 2) e C(5, 4)
e) A(2, - 2), B(- 8, 4) e C(5, 3)
f) A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5)
23) Verifique se os pontos estão alinhados:
a) A(0, 2), B(- 3, 1) e C(4, 5)
b) D(- 2, 6), E(4, 8) e F(1, 7)
c) X(2, - 1), Y(0, 3) e Z(- 1, 5)
d) H(4, 2), C(2, 3) e M(0, 4)
e) M(6, 5), N(3, 4) e P(- 3, 2)
f) P(2,1), Q(0, - 3) e R(- 2, - 7)
24) Determine, em cada item, a abscissa xB do ponto B, de tal forma que A, B e C pertençam à
mesma reta.
a) A(3, 7), B(xB, 3) e C(5, - 1)
b) A(3, 5), B(xB, 1) e C(1,- 3)
25) Os pontos A(x, 3), B(- 2, - 5) e C(- 1, -3) são colineares. Determine o valor de x.
26) Determine o que se pede:
a) Verificar se os pontos estão alinhados.
b) Os pontos A(x, 3), B(- 2, - 5) e C(- 1, - 3) são colineares. Determine x.
c) Para que valores de m, os pontos A(0, m), B(- 2, 4) e C(1, - 3) estão alinhados?
d) Determine x de maneira que os pontos A(3, 5), B(1, 3) e C(x, 1) sejam os vértices de um
triângulo.
e) Determine x para que os pontos A(1, 3), B(x, 1) e C(3, 5) sejam os vértices de um triângulo.
f) Calcule o valor de m, para os pontos A(2m + 1, 2), B(- 6, - 5) e C(0, 1) sejam colineares.
g) Determine o valor de m para que os pontos A(3, - 1), B(4, 2) e C(m, - 2) sejam vértices de
um triângulo. m ≠ 8/3
h) Determine o valor de k, k ∈ R, de forma que A(8, - 2), B(2, 0) e C(- 4, k) sejam vértices de
um triângulo.
i) Obtenha o ponto em que a reta que passa por A(4, 2) e B(3, 1) intercepta o eixo Ox. (2, 0)
j) Encontre o ponto em que a reta que passa por A(1, 3) e B(2, 4) intercepta o eixo Oy. (0, 2)
27)
(PUC-MG) Determine t, sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(- 1, 6) são colineares.
28)
(FAAP-SP) Se os pontos A(2, - 1), B(x, 4) e C(4, 9) pertencem a uma mesma reta, determine x.
29) Sabendo-se que o ponto A pertence ao eixo das abscissas e à mesma reta que os pontos B(6, - 2) e
C(- 4, 3), determine a abscissa xA. xA = 2
30) Determine a ordenada yB do ponto B, sabendo que esse ponto também pertence ao eixo das
ordenadas e à reta que contém os pontos A(3, 2) e C(7, - 2). yB = 5
B
31) Seja P o ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas. Sendo r a reta determinada
pelos pontos A(- 1, -2) e B(4, 2), calcule as coordenadas do ponto P. (0, - 6/5)
32)
(Fatec-SP) Os pontos A(1, 2), B e C(5, - 2) estão numa mesma reta. Determine o ponto B, sabendo
que ele é do eixo Ox. (3, 0)
4
33) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(- 2, 3) e B(1, 4)
L(0, - 4) e M(- 5, 0)
A(1/2, 2) e B(- 5, 3/4)
A(3, 2) e B(2, 1)
A(- 1, 2) e B(- 3, - 2)
f) A(0, 2) e B(6, 0)
g) A(- 3, 2) e B(1, 4)
h) A(- 4, 5) e B(- 4, - 3)
i) P(3, - 1) e Q(5, - 1)
j) A(- 1, 6) e B(2, - 3)
34) Determine a equação da reta que passa pelos pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(- 1, 8) e B(- 5, - 1)
A(5, 0) e B(- 1, - 4)
A(3, 3) e B(1, - 5)
H(1, 3) e M(2, 4)
R(0,2; 1,2) e S(0,5; 0,2)
35) Resolva os problemas:
a) Verifique se o ponto A(2, 2) pertence à reta de equação 2x + 3y = - 10.
b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 1) e B(6, 3). 2x - 3y - 3 = 0
c) Dados os pontos A(- 1, 3) e B(4, - 2), determinar a equação geral da reta AB . x + y - 2 = 0
d) Dados A(5, 8) e B(- 1, 2), determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do
segmento AB e pela origem. 5x - 2y = 0
e) Qual a equação da reta que passa pelos pontos A(- 1, - 2) e B(5, 2)?
f) Determine a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
g) Determine a equação geral da reta determinada pelos pontos A (2, - 1) e B (- 3, 2).
h) Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 3) e B(4, 7).
i) Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2, 3), B(4, 1) e C(- 5, 7), determine uma
equação geral da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC.
j) O ponto M(3, - 1) é ponto médio do segmento AB , onde A(5, 2). Determine a equação da
reta AB .
36) Determine a equação da reta que contém a mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC, onde
A(2, 5), B(1, 3) e C(7, 9). x - 2y + 8 = 0
37) A reta que passa pelos pontos A (3, 3) e B (1, 5) corta o eixo x no ponto de abscissa igual a k.
Determine k. k = 6
38) O ponto (m, 2) pertence à reta que contém o ponto (6, 4) e a origem do sistema cartesiano. Determine m. m = 3
39) Dado os pontos A(1, 2), B(2, - 2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa por A e pelo
ponto médio do segmento BC .
40)
(FEI-SP) Os pontos (a, 1) e (2, b) pertencem à reta r: x + 2y = 0. Calcule a distância entre eles. 2 5
41) Como determinar retas suportes dos lados triangulo de um, cujos vértices são os pontos A(- 2, 1),
B(0, 3) e C(2, 0).
42) Os pontos A(1, 2),B (3, 1) e C(2, 4) são vértices de um triangulo. Determine a equação das retas
suportes dos lados desse triangulo.
43) Determine as equações das retas que formam o triângulo ABC de vértices A(2, 5), B(1, 3) e
C(7, 9). 2x - y + 1 = 0; 4x - 5y + 17 = 0 e x - y + 2 = 0
5
44) Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa por A e B, quando:
a)
b)
c)
d)
e)
A(- 1, 4) e B(3, 2)
A(4, 3) e B(- 2, 3)
A(4, - 1) e B(4, 4)
A(3, 2) e B(- 3, - 1)
A(2, - 3 e B(- 4, 3)
f) A(3, 2) e B(3, - 2)
g) A(- 1, 4) e B(3, 2)
h) P(5, 2) e Q(- 2, - 3)
i) A(- 1, 2) e B(- 1, 5)
j) A(3, 0) e B(4, 0)
45) Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(3, 7) e B(1, 2)
A(1, 2) e B(- 2, - 1)
M(3, 8) e N(6, 1)
M(- 3, - 6) e N(- 7, 2)
A(4, 1) e B(- 2, 5)
f) A(- 3, 7) e B(- 4, 7)
g) M(0, 0) e N(- 3/2, 2/3)
h) M(3/4, 1/2) e N(- 1/4, 3/2)
i) A(200, 100) e B(300, 80)
j) A( 2 , - 1/7) e B(0, 0)
46) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
(- 1, - 2) e (5, 2)
(2, - 1) e (- 3, 2)
(2, 3) e (8, 5)
(1, 4) e (2, 7)
(- 1, 2) e (0, - 2)
47) Determine a equação da reta que satisfaz as condições:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2, - 3).
A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4, 1).
Passa pelo ponto M(- 2, - 5) e tem coeficiente angular 0.
Passa pelos pontos A(3, 1) e B(- 5, 4).
Tem coeficiente angular - 1/2 e passa pelo ponto A(2, - 3).
Passa pelos pontos A(1, 1) e B(- 2, - 2).
A inclinação é de 150° e passa pela origem.
48) Resolva os problemas:
a) Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 7) e B(- 1, - 5).
b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(- 1, - 2) e B(5, 2).
c) Determine o coeficiente angular da reta que tem como equação 3x + 4y = 7.
d) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(- 1, 4) e tem coeficiente angular - 2.
e) Uma reta passa pelo ponto P(- 2, - 4) e tem coeficiente angular m = - 2/3. Determine a
equação dessa reta.
f) Uma reta passa pelo ponto P(- 1, - 5) e tem coeficiente angular m = 1/2. Escreva a equação
da reta na forma reduzida.
g) Determine a equação da reta de coeficiente angular m = 2 e que intersecta o eixo y no
ponto A(0, - 3).
h) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(- 2, - 1) e tem coeficiente angular 2.
i) O coeficiente angular de uma reta é m = - 2/3. Ache a equação dessa reta sabendo que ela
passa pelo ponto (4, - 2).
j) (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por
eles.
49) Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(- 1, - 4) é 45°.
50) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P = (3, 5) e que possua coeficiente
angular m = 4. y = 4x - 7
51) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(- 1, 2) e tem coeficiente angular - 3/2.
6
52) Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são:
a)
b)
c)
d)
e)
x + 2y - 3 = 0 e x - 2y + 7 = 0
2x + y - 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0
x + y - 5 = 0 e 3x - y - 3 = 0
5x - y = 3 e x + 5y = 11
x + 2y = 5 e 3x - 2y = 1
f) x - 5y = 14 e 3x + 2y = - 9
g) 3x - 4y + 9 = 0 e x + 3y - 10 = 0
h) 6x + 15y + 9 = 0 e 4x + 10y + 6 = 0
i) 12x - 6y + 15 = 0 e 8x - 4y + 10 = 0
j) 12x - 6y + 15 = 0 e 8x - 4y + 12 = 0
53) Determine as coordenadas do ponto P, intersecção das retas r e s, quando:
a)
b)
c)
d)
e)
r: 2x + y - 1 = 0 e s: 3x + 2y - 4 = 0
r: x + 2y - 3 = 0 e s: x - 2y + 7 = 0
r: x - y + 3 = 0 e s: 3x + y - 2 = 0
r: x + 2y = 1 e s: 2x - 3y = 0
r: 5x - 3y + 7 = 0 e s: 3x + 5y = 0
f) r: - x + 3y - 4 = 0 e s: 2x + 2y - 3 = 0
g) r: - 4x + 2y + 2 = 0 e s: 2x - y - 1 = 0
h) r: x + 4y - 7 = 0 e s: 3x + y + 1 = 0
i) r: 2x + y - 8 = 0 e s: x - 2y + 6 = 0 (2, 4)
j) r: 3x - 2y - 1 = 0 e s: x + 4y - 5 = 0
54) Determine a interseção das retas r e s abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
r: x - y + 3 = 0 e s: 3x + y - 2 = 0
r: x + 2y = 1 e s: 2x - 3y = 0
r: 5x - 3y + 7= 0 e s: 3x + 5y = 0
r: - x + 3y - 4 = 0 e s: 2x + 2y - 3 = 0
r: 2x - 3y - 8 = 0 e s: 3x +2y - 10 = 0
55) Determine o que se pede:
a) Encontre o ponto de intersecção entre as retas r: x + y - 2 = 0 e s: x - y - 4 = 0. (3, 1)
b) Calcule o ponto de interseção das retas r: 2x + 5y - 18 = 0 e s: 6x - 7y - 10 = 0.
c) Obtenha o ponto de interseção das retas 3x - y + 5 = 0 e 2x + 3y - 2 = 0.
d) Qual é a interseção das retas r: - 4x + 2y + 2 = 0 e s: 2x - y - 1 = 0.
e) Calcule o ponto de intersecção entre as retas de equações x - 2y + 1 = 0 e - x - 2y - 1 = 0.
f) Calcule a distância entre o ponto de interseção das retas x + y - 2 = 0 e x - y - 4 = 0 e a
10
origem do sistema de coordenadas.
g) Dadas as equações paramétricas de uma reta r na forma x = t - 1 e y = 2t - 3, determine o
ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas.
h) Calcule as coordenadas dos pontos sobre os eixos coordenados pelos quais passa a reta
y = - 4x + 1. (0, 1) e (1/4 , 0)
i) Determine o ponto de concorrência das retas r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x + 3y + 2 = 0. P(5, - 4)
j) Calcule a e b para que as retas ax + 5y - 7 = 0 e 4x + by - 5 = 0 sejam concorrentes no ponto
P(2, - 1). a = 6 e b = 3
56)
(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0 são,
respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r
com s.
57) Determinar os vértices do triângulo ABC cujos lados estão nas retas r: x - 2y = 0, s: 2x - y = 0 e
t: x + y - 6 = 0. (0, 0), (2, 4) e (4, 2)
58) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são as intersecções das retas r: x + y = 6, s: x = 1
e t: y = 1.
59) A(3, - 5), B(5, - 3) e C(- 1, 3) são vértices de um paralelogramo ABCD. Determine o ponto de
intersecção das diagonais e o 4º vértice.
60) Determine os pontos B e C de intercessão das retas com o eixo X:
a) r: x - y - 4 = 0 B(4, 0)
b) s: x + y + 2 = 0. C(- 2, 0)
7
Paralelismo:
61) Determine:
a) o valor de k para que as retas r: 2x - 3y + 1 = 0 e s: (k - 1)x - 3y + 2 = 0 sejam paralelas.
b) o valor de k para que as retas r: x + y - 3 = 0 e s: kx - 3y + 9 = 0 sejam paralelas.
c) o valor de k, de modo que r: (k + 2)x + 3y - 5 = 0 e s: (3k - 1)x + 2y + 3 = 0 sejam paralelas.
62) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta da equação dada:
a)
b)
c)
d)
e)
P(1, 2) e 8x + 2y - 1 = 0
P(2, 5) e x/2 + y/3 = 1
P(4, - 4) e x + y - 5 = 0
P(- 1, 3) e 2x - 5y + 7 = 0
P(- 4, 2) e y - 2 = 0
f) P(2, - 5) e x = 2
g) P(a - 3, 2) e 3x + 4y - 4 = 0
h) P(2, 6) e 2x - y + 3 = 0
i) P(1, 4) e x - y - 1 = 0
i) P(3, 5) e y - 4 = 0
63) Resolva o que se pede:
a) Se as retas de equações (a + 3)x + 4y - 5 = 0 e x + ay + 1 = 0 são paralelas, calcule o valor
de a.
b) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(- 2, 2) e é paralela à reta r: 2x - y + 5 = 0.
c) Determine a equação geral da reta r que passa pela origem do sistema cartesiano e é paralela
à reta de equação 5x - y + 2 = 0.
d) Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coordenadas (2, 3)
e (1, - 4) passando pela origem.
e) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, - 5) e é paralela à reta de equação
r: 8x - 2y + 1 = 0.
f) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e é paralela à reta da equação
s: 5x + 2y - 1 = 0 5x + 2y - 16 = 0
g) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (- 2, 3) e é paralela à reta w: 2x - y - 3 = 0.
h) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(- 2, 5) e é paralela à reta s: 3x - 2y + 1 = 0.
i) Qual é o valor de r para que a reta de equação x – 5y + 20 = 0 seja paralela à reta
determinada pelos pontos M(r, s) e N(2, 1)?
j) Determine a equação da reta que passa por P(- 3, 7) e é paralela à reta definida por
⎛2 4⎞
⎛ 1 1⎞
A ⎜ , ⎟ e B⎜ − , ⎟ .
⎝3 7⎠
⎝ 3 7⎠
64) Resolva:
a) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y - 3 = 0 sejam
paralelas.
b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(- 1, 2) e é paralela à reta r de equação
2x - 3y - 6 = 0.
c) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta r de equação
8x + 2y -1 = 0.
d) Qual é a posição da reta r, de equação 15x + 10 y - 3 = 0, em relação à reta s, de equação
9x + 6y - 1 = 0?
e) Determine a posição da reta r, de equação 2x - 4y - 2 = 0, em relação à reta s, de equação
y = x/2 + 3.
f) Determine a equação da reta que passa por P(5, 2) e é paralela à reta s: 3x - 4y + 2 = 0.
g) Determine a equação da reta que passa por P(4, 6) e é paralela à reta s: 2x - 3y - 1 = 0.
h) Determine a equação da reta t que passa pelo ponto P = (1, 2) e é paralela à reta de equação
- x + 3y - 5 = 0.
i) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, - 3) e é paralela à reta 2x - 3y - 6 = 0.
j) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x - y + 1 = 0.
65) Dados os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, - 1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo
ponto médio do segmento AB . 3x - 4y = 0
8
Perpendicularismo:
66) Determine:
a) a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 5) e é perpendicular à reta r: 2x - y + 5 = 0.
b) a equação da reta que passa pelo ponto P(5, - 1) e é perpendicular à reta s: 2x + 3y - 1 = 0.
c) a equação da mediatriz do segmento AB dados os pontos A(1, 3) e B(- 3, - 5).
d) a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é perpendicular à reta y = 2x - 1.
e) a equação da reta que passa pelo ponto A(- 1, 2) e é perpendicular à reta s: 2x - y = 5.
67) Sejam os pontos A(2, 3) e B(8, 5). Determine:
a) a equação da reta AB .
b) a equação da mediatriz do segmento AB .
68) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r:
a)
b)
c)
d)
e)
P(- 3, 2) e equação de r: 3x + 4y - 4 = 0.
P(2, 6) e equação de r: 2x - y + 3 = 0.
P(1, 4) e equação de r: x - y - 1 = 0.
P(3, 5) e equação de r: y - 4 = 0.
P(1, 5) e equação x + 3y - 12 = 0.
69) Determine:
a) a equação da reta que passa pelo ponto A(- 2, 2 ) e é perpendicular a reta de equação
s: x + 3y - 5 = 0. 3x - y + 8 = 0
b) a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 3) e é perpendicular à reta r: 3x - 2y + 4 = 0.
c) a equação geral da reta s que passa pelo ponto P (2, - 3) e é perpendicular à reta
r: x + 2y + 5 = 0. 2x - y - 7 = 0
d) a equação da reta que contém a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC em que
A(2, - 1), B(3, 3) e C(- 1, 2).
e) a equação da reta s que contém P(2, 1) e é perpendicular à reta 5x - 4y + 7 = 0
f) a equação da reta que passa pelo ponto P(- 1, 2) e é perpendicular à reta r de equação de
r: 2x + 5y - 4 = 0. 5x - 2y + 9 = 0
g) a equação da reta que passa pelo ponto A(- 3, 2) e é perpendicular à reta r de equação
3x + 4y = 4.
h) a equação da mediatriz do segmento que une os pontos A(0, 0) e B(2, 3).
i) a equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa pela intersecção das retas
2x - 3y - 1 = 0 e 3x - y - 2 = 0.
j) o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (- 2, - 1) e (8, 3).
70)
(Fuvest-SP) São dadas os pontos A(1, 5) e B(7, 1). Determine a equação de mediatriz de AB .
71) Resolva o que se pede:
a) Determine a equação da reta r perpendicular a s: 3x + 2y - 5 = 0 e que passa por P(1, - 1).
b) Determine a equação da mediatriz de AB, sabendo que A(0, 0) e B(2, 2).
c) Dada a reta r de equação y = 3x - 1 e o ponto P(- 3, 1), determine a equação da reta s que
passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
d) Seja r a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 0). Dê a equação da reta s que passa pelo
ponto (1, 2) e é perpendicular à reta r.
e) (UECE) Se r é a reta cuja equação é 2x - y + 1 = 0 e s é uma reta perpendicular a r e que
contém o ponto (1, 2), determine a equação da reta s.
f) São dados um ponto P(2, 6) e uma reta de equação x + y - 2 = 0. Determine as coordenadas
da projeção ortogonal de P sobre a reta r. (- 1, 3)
72) Sejam A(- 3, 1) um ponto de um plano e r a reta x + 2y - 4 = 0 contida no mesmo plano,
determine:
a) A reta s perpendicular a reta r e que passa pelo ponto A. 2x - y + 7 = 0
b) A projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r. (- 2, 3)
9
73) Determinar o ângulo agudo formado pelas retas: a) 2x - y + 1 = 0 e 3x + y - 2 = 0.
45º
74) Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto P (- 1, - 2) e é perpendicular à reta
que forma 135º com o sentido positivo do eixo Ox. y = x - 1
75) Qual é o valor do ângulo agudo formado pelas retas y = 3x - 7 e 4x + 2y - 1 = 0?
45°
76) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (2, 3) e que forma um ângulo de 45º com a
reta s, de equação 3x - 2y + 1 = 0. x - 5y + 13 = 0 ou 5x + y - 13 = 0
77) Sejam as retas r e s respectivamente 3x - y + 1 = 0 e 2x + y + 1 = 0, determine o ângulo β
existente entre elas. 45º
78) Se as retas r e s forem x - 3y + 2 = 0 e 3x + y + 3 = 0 qual seria o ângulo entre elas?
79) Determine o ângulo formado pelas retas r: x = 4 e s: 2 3 x + 2y - 3 = 0.
90º
30º
80) Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: 3x - y + 2 = 0 e s: 2x + y - 1 = 0. 45º
81)
(UFPB) Determine o menor angulo, em graus, entre as retas de equações r: 2x + 2y - 3 = 0 e
s: x - 4 = 0.
82) Calcule o ângulo agudo formado pelas retas 3x + y - 10 = 0 e -2x + y - 15 = 0. 45º
83) Determine o ângulo agudo formado pelas retas:
a) 6x - 2y + 5 = 0 e 4x + 2y - 1 = 0
b) x - 3 y + 1 = 0 e 3x + 2 = 0
c)
3 x - 3y - 1 = 0 e x - 2 = 0
84) A reta r, cujo coeficiente angular é m1 =
1
3
, faz um ângulo de 30º com a reta s, cujo coeficiente
angular é m2. Calcule m2.
85) Seja uma reta r que passa pelo ponto A(1, 1) e faz um ângulo de 45º com a reta s, de equação
x - 2y + 2 = 0. Determine a equação da reta r.
86) Ache a tangente do ângulo agudo formado pelas retas de equações x - 2 = 0 e y - 4x = 0.
87) Seja α o ângulo agudo formado pelas retas de equações x - 3y - 7 = 0 e x - l3y - 9 = 0. Calcule
cotg α.
x
2
88) São dadas no plano as duas retas: r : +
y
= 1 e a reta dada pela sua forma paramétrica:
3
⎧ x = −2 + λ
s: ⎨
. Determine a tangente do ângulo agudo formado por r e s. - 7/4
⎩ y = 1 + 2λ
89) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(- 1, 4) e forma ângulo de 45° com a reta
r: 4x + y + 2 + 0. 5x - 3y + 17 = 0 ou 3x + 3y - 17 = 0
90) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo positivo ox um
ângulo de 60°. 3x - y =
3 -1
10
91) Calcule a distância do ponto P à reta r:
a)
b)
c)
d)
e)
P(0, 3) e 4x + 3y + 1 = 0
P(1, - 5) e 3x - 4y - 2 = 0
P(3, - 2) e 2x + y + 6 = 0
P(0, - 2) e 5x + 3y + 6 = 0
P(2, 1) e 15x - 8y - 5 = 0
f) P(1, 2) e 2x + y + 3 = 0
g) P(3, 4) e x + y + 1 = 0
h) P(6, 4) e y - 2 = 0
i) P(1/2, 2) e 3x + 4y - 12 = 0
j) P(5, a - 3) e 8x - 6y + 4 = 0
92) Calcule a distância do ponto P à reta r:
a)
b)
c)
d)
e)
P(0, 3) e 4x + 3y + 1 = 0.
P(1, - 5) e 3x - 4y - 2 = 0.
P(3, - 2) e 2x + y + 6 = 0.
P(6, 4) e y - 2 = 0.
P(0, 0) e 3x + 4y - 4 = 0.
93) Resolva:
a) Determine a distância entre o ponto A(2, 1) e a reta r: x + 2y - 14 = 0.
b) Calcule a distância entre o ponto P(5, 7) e a reta r: 4x - 3y + 2 = 0.
c) Dado o ponto P(3, 2), determine a distância de P até a reta r: 3x + 4y + 1 = 0.
d) Calcula a distância do ponto P(1, 4) à reta de equação 4x + 3y - 6 = 0. d = 2 u. c.
e) Um triângulo tem os vértices A(2, 0), B(3, 1) e C(0, 2). Calcule a medida da altura do
triângulo relativa ao lado BC .
94) Resolva o que se pede:
a) A reta x - ky - 1 = 0 dista 1 do ponto P(- 1, 1). Determine k.
b) Qual a distância entre a origem e a reta r que passa pelos pontos A(1, 1) e B(- 1, 3)?
c) No triângulo ABC, os vértices são A = (1, 2), B = (- 2, 3) e C = (0, 5). Calcule o
comprimento da mediana AM , sendo M o ponto médio do lado BC.
d) Calcule a altura relativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices A(5, 8), B(2, 2) e
C(8, 2).
e) Dados A(2, 2), B(6, 2) e C(4, 5), qual a altura relativa ao vértice C do triângulo ABC?
f) Calcule o comprimento da altura AH , do triângulo de vértices A(- 3, 0), B(0, 0) e C(6, 8).
g) Calcule a altura do triângulo ABC, relativa ao vértice A. São dados que A(2, 5), B(0, 3) e
C(4, 0).
h) Dados A(- 1, 6), B(- 1, 2) e C(8, 3), calcule a medida da mediana relativa ao vértice B do
triângulo ABC.
i) Qual a altura relativa ao lado AC , no triângulo de vértices A(- 4, 5), B(9, - 2) e C(1, 6)?
j) O ponto A(- 1, - 2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC cujo lado BC está sobre a
reta de equação x + 2y - 5 = 0. Determine a medida da altura desse triângulo.
95) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). Determine:
a) a equação da altura do triangulo ABC pelo vértice C. x - 2y + 3 = 0
b) a medida da altura h.
96) Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0),
B(4, - 6) e C(- 1, - 3).
97) São dados os pontos A(4, 3), B(- 1, 2) e C(2, - 1). Se AM é mediana do triângulo ABC, obtenha
a distância entre A e M.
98) Obtenha o(s) ponto(s) da reta r: 2x - y + 1 = 0 que dista(m) 5 unidades do ponto P (4, - 1).
e (- 1, - 1)
11
(1, 3)
99) Resolva:
a) Calcule a distância entre as retas r: 3x + 4y - 13 = 0 e s: 3x + 4y + 7 = 0.
b) Qual a distância entre o ponto A(- 3, 7) e a reta r: y = - 2x + 10?
c) Determine as distâncias entre as retas de equações 3x - y - 2 = 0 e 3x - y - 5 = 0.
d) Obtenha a distância entre as retas paralelas 2x - 3y + 5 = 0 e 4x - 6y - 1 = 0.
e) Determine a distância entre as retas paralelas 12x + 5y + 10 = 0 e 12x + 5y - 16 = 0.
f) Sabendo que as retas de equações 4x - 3y + 9 = 0 e 4x - 3y - 6 = 0 são paralelas, determine a
distância entre as duas retas
g) Calcule a distância entre as retas 3x + y - 4 = 0 e 3x + y = 0. 2 √ 10 / 5
h) Obter a distância entre as retas r: 3x + 4y - 10 = 0 e s: 3x + 4y - 5 = 0.
i) Calcule a distância entre as retas r: 6x + 8y + 13 = 0 e s: 6x + 8y + 7 = 0.
j) Determine as equações das retas que estão a 8 unidades de distância de r: 3x + 4y + 1 = 0.
100) Determine a distância entre as retas r e s abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
r: 12x - 5y + 10 = 0 e s: 12x - 5y - 3 = 0.
r: y = 3x - 1 e s: y = 3x - 2.
r: 3x + 4y + 4 = 0 e s: 3x + 4y - 11 = 0.
r: 5x + 12y - 24 = 0 e s: 5x + 12y + 1 5 = 0.
r: x + 2y - 6 = 0 e s: 2x + 4y - 13 = 0.
101) Determine a distância entre as retas r e s:
⎧r : 2x + 3y = 15
a) ⎨
⎩s : 2x + 3y − 10 = 0
⎧ r : 3x − y + 7 = 0
b) ⎨
⎩s : − 3x + y + 7 = 0
⎧ r : 4x − 2y + 1 = 0
c) ⎨
⎩s : 8x − 4y + 6 = 0
⎧r : x + y − 1 = 0
d) ⎨
⎩s : 3x + 3y − 7 = 0
⎧r : y = 5x − 7
e) ⎨
⎩s : y = 5x + 3
⎧r : 2x + 3y − 6 = 0
f) ⎨
⎩s : 2x + 3y − 10 = 0
102) Os pontos A(2, 1), B(- 2, - 4) e C(0, 2) são os vértices de um triângulo ABC. Determine a
medida da altura relativa ao lado BC do triângulo.
103) Seja A o ponto de intersecção da reta r, de equação x + y - 2 = 0, com o eixo das abscissas.
Determine a distância do ponto A à reta s, de equação 3x - 4y + 10 = 0.
104) Calcule a distância entre as duas retas paralelas: 3x + 4y - 15 = 0 e 3x + 4y - 5 = 0.
105) Sabendo que as retas de equações 4x - 3y + 9 = 0 e 4x - 3y - 6 = 0 são paralelas, determine a
distância entre as duas retas.
106) Determinar a medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e
D(4, 3). h = 2 u. c.
107) Obtenha uma equação de uma reta s paralela à reta r: 3x - 4y = 0 cuja distância à reta r seja igual
a 3 unidades. 3x - 4y + 15 = 0 ou 3x - 4y - 15 = 0
108) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos A(1, 2), B(2, 4) e C(4, 1) são
vértices de um triângulo. Calcule a distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado
AC .
109) Dados o ponto P(1, - 1) e a reta r: 12x - 5y + 9 = 0, calcule a distância entre P e o ponto P',
simétrico de P em relação a r. d = 4 u. c.
12
110) Calcule as áreas dos triângulos de vértices:
a)
b)
c)
d)
e)
A(0, 0), B(4, 0)e C(4, 2)
A(0, 0), B(0, 6) e C(3, 3)
A(- 3, 2), B(2, 3) e C(5, - 2)
A(1, 1), B(1, 4) e C(6, 1)
A(- 3, - 1), B(0,5) e C(4, 2)
f) A(5, 2), B(3, 5) e C(1, 0)
g) A(- 1, 2), B(3, 1) e C(2, 0)
h) A(0, 0), B(0, 4) e C(- 5, 0)
i) A(4, 0), B(- 1, 1) e C(- 3, 3)
j) A(4, 0), B(6, 2) e C(0, 2)
111) Determine a área de um triângulo cujos vértices são os pontos:
a)
b)
c)
d)
e)
A(4, - 2), B(5, 1) e C(- 2, - 3).
R(0, 6), S(2, 2) e T(5, 4).
M(0, 2), N(- 3, 1) e P(4, 5).
A(1, 2), B(- 2, 4) e C(4, - 2).
P(2, 5), Q(0, 3) e RC(1, 1). S = 3 u. a.
112) Os pontos A(2, 4), B(- 6, 2) e C(0, - 2) são os vértices de um triângulo ABC. Calcule a área
desse triângulo.
113) Seja um quadrilátero com vértices em A = (2, 0), B = (0, 2), C = (-2, 0) e D = (0, -2). Qual é a
área do triângulo OMN, sendo M e N os pontos médios dos lados AB e BC , respectivamente?
114) Dada a equação geral da reta s: 3x - 4y + 1 = 0, determine:
a) as intersecções de s com os eixos coordenados.
b) a área do triangulo definido por s e pelos eixos coordenados.
115) Qual a área do quadrilátero cujos vértices são A(- 3, - 2), B(2, 0), C(1, 3) e D(- 2,1). 12 u. a.
116) Dados A(x;2), B(3;1) e C(-1; -2), determinar o valor de x, sabendo que a área do triângulo ABC
é igual a 4.
117) Os pontos (1, 2) e (- 5, 6) são dois vértices opostos de um quadrado. Determine a área do
quadrado.
118) Determine a área do triangulo definido pela origem e pelas intersecções da reta r: 2x + 3y - 6 = 0
com os eixos Ox e Oy.
119) Dados os vértices A(a - 2, 2), B(3, a - 3) e C(x, 7) de um triângulo, determine a abscissa x,
sabendo que a área desse triângulo é igual a 25 unidades e área.
120) Calcule a área de um triângulo, sabendo que as equações das retas-suporte de seus lados são
x + 2y - 1 = 0, x - 2y - 7 = 0 e y - 5 = 0.
121) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (- 2, 1) e (1, - 2), respectivamente,
conforme a figura, (imagem abaixo)
a) calcule a distância entre A e B. 3 2
b) sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são G = (2/3, 1),
calcule as coordenadas (x, y) do vértice C do triângulo. C(3, 4)
13
122) O ponto P = (0, 0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a
P sobre a reta x - 2y + 5 = 0. Qual é a área do quadrado?
123) O ponto A(4, 2) é um dos vértices de um quadrado. Sabendo que dois vértices adjacentes desse
quadrado estão sobre a reta s: x + y - 2 = 0, calcule sua área.
124) Determine a área os valores de x e y, sabendo que A(2, 4), B(x, 5) e C(5, y) são vértices de um
triângulo cujo o baricentro é G(2, 3).
125) Um triângulo tem como vértices os pontos A(5, 3), B(4, 2) e C(2, k). A área da região triangular
ABC mede 8 unidades. Nessas condições, calcule o valor de k.
126) No triângulo ABC, cujos vértices são A(0, 0), B(- 3, 1) e C(1, 5), determine:
a) a equação da reta que contém a altura relativa a BC . y = - x
b) a área do triângulo ABC.
127) Dois dos vértices de um triângulo são (3, - 5) e (- 1, - 1). A ordenada do terceiro vértice é 5. Qual
a sua abscissa se o triângulo tem área 16?
128) Calcule a área do pentágono de vértices A(0, 0), (3, 0), C(4, 1), D(4, 4) e E(0, 4).
129) Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1, 0), B(5, 0), C(4, 2) e D(0, 3).
130) Calcule a área do quadrilátero de vértices A(3, - 3), B(7, 5), C(1, 2) e D(- 3, 4).
131) Considere A(2, 4), B(8, 5) e C(5, 9) como vértice de um triângulo. Calcule:
a)
b)
c)
d)
o ponto médio de AB . (5, 9/2)
as coordenadas do baricentro. G(5, 6)
a equação da reta que passa por A e B. y = 1/6x - 1/3 + 4
a área do triângulo.
132) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(6, - 4) e define com os eixos coordenados,
no 1° quadrante, um triângulo cuja área mede 6. 4x + 3y - 12 = 0
133) Num triângulo ABC são dados A(2, 0), M(- 1, 4) ponto médio de AB , medida dos lados
AC = 10 e BC = 10. Determine:
a) o perímetro do triângulo.
b) os vértices B e C.
c) a área do triângulo ABC.
134) Considere as retas r: 3x + 2y - 1 = 0 e s: ax + 2y + 3 = 0, determine:
a) o valor de a para que as retas sejam paralelas.
b) distância entre r e s.
135) O ponto A, de intersecção das retas r e s de equação x - y - 4 = 0 e x + y + 2 = 0,
respectivamente, e os pontos B e C, de intersecção das mesmas retas com o eixo x, são os vértices do
triângulo ABC. Qual é a área desse triângulo?
136) Determine o que se pede:
a) Calcule a área do quadrilátero convexo de vértices A(2, 3), B(3, - 3), C(- 2, - 1) e D(- 2, 2).
b) Calcule a área do pentágono convexo de vértices A(1, - 1), B(3, - 1), C(5, 1), D(2, 5) e
E(1, 3).
c) Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(5, y), B(- 4, 3) e C(- 1, - 2) tenha
área igual a 25.
14
137) Dê as coordenadas do centro e do raio das circunferências representadas pelas equações:
a) x2 + y2 - 6x - 2y - 15 = 0 C(3, 1) e r = 5
f) x2 + y2 = 10 C(0, 0) e r = 10
b) x2 + y2 - 2x - 6y - 6 = 0 C(1, 3) e r = 4
g) x2 - 6x + y2 - 2y + 5 = 0 C(3, 1) e r = 5
c) x2 - 4x + y2 - 8y + 16 = 0 C(2, 4) e r = 2
h) x2 + y2 - 2x - 2y = 0 C(1, 1) e r =
2
2
d) x + y + 10x - 4y - 7 = 0 C(- 5, 2) e r = 6
e) x2 + y2 - 4x - 8y + 19 = 0 C(2, 4) e r = 1
2
2
2
i) x + y + 10x + 22 = 0 C(- 5, 0) e r = 3
j) (x - 3)2 + (y - 1)2 = 16 C(3, 1) e r = 4
138) Determine a equação geral das seguintes circunferências:
a)
b)
c)
d)
e)
(x - 1)2 + (y + 1)2 = 3 x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0
(x + 4)2 + y2 = 6 x2 + y2 + 8x + 10 = 0
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 16 C(5, 6) e r = 4
(x - 5)2 + (y + 6)2 = 8
(x + 2)2 + (y + 6)2 = 5 C(- 2, - 6) e r = 5
139) Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferências representadas pelas equações:
a)
b)
c)
d)
e)
(x - 5)2 + (y - 4)2 = 1.
(x + 2)2 + (y + 6)2 = 5.
(x - 2)2 + y2 = 4.
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 16.
x2 + y2 = 10.
140) Determine uma equação geral da circunferência que tem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Centro C(2, 5) e raio 3. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9
Centro C(- 1, - 4) e raio 2 . (x + 1)2 + (y + 4)2 = 2
Centro M(0, - 2) e raio 4. x2 + (y + 2)2 = 16
Centro P(- 1, 2) e raio 3. x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0
Centro C(4, 7) e r = 8. x2 + y2 - 8x - 14y + 1 = 0
Centro C(- 3, 2) e r = 5. x2 + y2 + 6x - 4y - 12 = 0
Centro C(- 2, 4) e r = 2 5 . x2 + y2 + 4x - 8y = 0
Centro C(1, 8) e r = 3. x2 + y2 - 2x - 16y + 56 = 0
Centro C(3, - 2) e r = 1 x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0
Centro C(1, 0) e r = 2. x2 + y2 - 2x - 3 = 0
141) Determine o que se pede:
a) Determine uma equação da circunferência que tem: centro em D(4, 0) e raio 5.
b) Determine a equação geral da circunferência de diâmetro cujas extremidades são pontos
A(3 ,4) e B(- 1 , 2). (x - 1)2 + (y - 3)2 = 5
c) Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto O(- 3, 1) e raio 3.
d) Escreva a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto A(1, 2) do plano cartesiano.
e) Determine o centro e o raio da circunferência (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25. C(2, - 3) e r = 5
f) (COVEST) Determinar a equação da circunferência que passa pela origem e tem centro em
(4, - 3). x2 + y2 - 8x + 6y = 0
g) Determine a equação da circunferência com centro no ponto A(1, - 2) e que passa pelo
ponto P(2, 3).
h) Sendo P(2, 8) e Q(4, 0) extremidades de um diâmetro de uma circunferência, calcule sua
equação. (x - 3)2 + (y - 4)2 = 17
i) Determine a área do círculo limitado por uma circunferência de centro (4, - 3) e que passa
pelo ponto (1, 1). 25π
j) Determine os pontos de interseção da reta y - x = 0 com a circunferência x2 + y2 - 2x = 0.
15
142) Seja C a circunferência que tem o centro no ponto (3, 4) e raio de medida 5. Determine:
a) os pontos onde a circunferência C intercepta o eixo das abscissas (eixo x). (0, 0) e (6, 0)
b) o valor de p para que o ponto (- 2, p), pertença a C. p = 4
143) O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB , sendo A(2, - 5) e B(- 2, - 3).
Se o raio dessa circunferência é
2 , determine sua equação. x2 + (y + 4)2 = 2
144) Resolva os problemas:
a) Determine a equação de uma circunferência, sabendo que os pontos A(- 1, 4) e B(3, 6) são
extremidades de um dos diâmetros. x2 + y2 - 2x - 10y + 21 = 0
b) Sabe-se que os pontos A(2, - 3) e B(- 4, 1) são extremos do diâmetro de uma circunferência.
Determine a equação desta circunferência. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0
c) Determine a equação do círculo que passa pelo ponto (5, 3) e tem mesmo centro que a
circunferência x2 + y2 + 8x - 10y - 8 = 0. x2 + y2 + 8x - 10y - 44 = 0
d) (UFPB) Calcule a distância entre o ponto P(4, - 6) e o centro da circunferência de equação
x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0. 5
e) Determine uma equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 e pelo ponto B(4 , 8). 3x - y - 4 = 0
f) Os pontos (- 6, 2), (3, - 1), e (- 5, - 5) pertencem a uma circunferência. Determine a medida
do raio dessa circunferência.
g) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 e é paralela à reta r, de equação 2x + 3y = 0 2x + 3y - 10 = 0
h) Os pontos A (4, - 2) e B (2, 0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de
centro C(a, b) e raio r. Determine a equação dessa circunferência. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 1
i) Determine a equação geral da circunferência que passa pelos pontos C(- 3, 0), D(2, 5) e
E(1, 6). x2 + y2 + 2x - 6y - 3 = 0
j) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2, 5), B(6, - 3) e
C(10, - 1). (x - 6)2 + (y - 2)2 = 25
145) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A(0, 0) e B é o centro da
circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Determine a equação de s. x + 2y - 6 = 0
146) Determine o ponto de intersecção entre a circunferência λ: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 e as retas:
a) r: 4x + 3y - 35 = 0.
b) s: x - y = 0.
c) t: x + y + 5 = 0
147) Determine os pontos de intersecção da reta e da circunferência, nos seguintes casos:
a) r: y = x e λ: x2 + y2 - 2x + 8y + 4 = 0 (- 1, - 1) e (- 2, - 2)
b) r: 2x + y - 5 = 0 e λ: x2 + y2 = 5 ( 2 , 1 )
148) A reta x = 4 intercepta a circunferência x2 + y2 = 25 nos pontos A e B. Calcular a medida da
corda AB .
6
149) A reta s: x - y = 0 é secante à circunferência (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9 nos pontos A e B. Determine
o valor da corda AB .
150) Qual a equação de uma circunferência concêntrica à circunferência x2 + y2 - 8x - 4y + 4 = 0 e
que é tangente à reta r de equação 4x + 3y + 13 = 0. x2 + y2 - 8x - 4y - 29 = 0
151) Qual a equação de uma circunferência de centro C(2, 1) e que é tangente à reta r de equação
2x + y - 20 = 0. x2 + y2 - 4x - 2y - 40 = 0
152) Determine a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x - 2y + 9 = 0 e que
passa pelos pontos (1, - 4) e (5, 2). (x + 3)2 + (y - 3)2 = 65
16
153) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo Ox, cujo centro é a intersecção das retas
r: y = x + 5 e t: y = - 2x + 8. (x - 1)2 + (y - 6)2 = 36
154) Resolva o que se pede:
a) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C(4, 7) e raio r = 2.
b) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 3) e que passa pelo ponto
P(- 1, 2). (x - 2)2 + (y - 3)2 = 10
c) Determine a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos
A(0, - 8) e B(6, 0). (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25
d) (PUC-SP) O ponto P(- 3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e de raio
r = 5 . Calcule o valor de b. b = - 1 ou b = 7
e) Determine a equação da circunferência em que os pontos (4, - 2) e (2, 0) são extremos de
um diâmetro. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 2
f) (PUC-SP) Determine as equações das circunferências de raio 2 que passam pelos pontos
(0, 0) e (2, 2). x2 + (y - 2)2 = 4 ou (x - 2)2 + y2 = 4
g) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 1) e B(1, 4) e tem
centro sobre a reta de equação x = 2. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 5
h) Determine a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x - 2y + 9 = 0 e
que passa pelos pontos (1,- 4) e (5, 2). (x + 3)2 + (y - 3)2 = 65
i) Determine a equação da circunferência λ que passa pelos pontos A(2, 1) e B(3, 0), cujo
centro C pertence ao eixo das abscissas. (x - 2)2 + y2 = 1
j) Uma circunferência tangência o eixo x e tem centro no ponto C(3, - 2). Determine a
equação dessa circunferência. x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0
155) Resolva os problemas:
a) Determine a equação de uma circunferência tangente aos dois eixos de coordenadas e à reta
de equação x = 4. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0
b) Determine, se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção da reta s: - x + y - 3 = 0
com a circunferência λ: x2 + y2 + 6x - 8y + 9 = 0. (1, 4) e (- 3, 0)
c) A reta r contém o centro da circunferência x2 + (y + 1)2 = 4 e é paralela à reta s: 3x - y = 0.
Determine a equação da reta r. r: = 3x - y - 1 = 0
d) Determine a equação da circunferência de centro no ponto C(1, - 2), tangente à reta de
equação 3x - 4y - 1 = 0. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
e) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(4, 2) e que é tangente ao
eixo y. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 16
f) Dadas as circunferências λ1: x2 + y2 - 2x - 10y + 22 = 0 e λ2: x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0,
determine os pontos de intersecção. (3, 5) e (1, 3)
g) A reta s, de equação x + y - 7 = 0, e a circunferência, de equação x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0,
são secantes nos pontos A e B. Calcule o comprimento da corda AB . 2 2
h) Qual o comprimento da corda determinada pela reta r de equação x - y = 0 sobre a circunferência
λ: (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9? 2 7
i) Determinar o comprimento da corda determinada pela reta r: x - y - 2 = 0 na circunferência
λ: x2 + y2 - 10x - 2y +16 = 0.
j) Calcule o comprimento da corda comum às circunferências λ1: x2 + y2 - 4x + 2y = 0 e
2
λ2: x2 + y2 - x - y = 0.
156) Encontrar uma equação da circunferência λ que passa pelos pontos A(8, 4) e B(1, - 3), cujo
centro pertence à reta r de equação y = x - 3. (x - 4)2 + (y - 1)2 = 25
157) Obtenha a equação da circunferência que passa por M(0, - 3) e N(- 4, 3) e tem centro sobre a reta
x - 2y + 1 = 0. (x + 5)2 + (y + 2)2 = 26
158) Determine as equações das retas paralelas à reta 3x + 4y + 1 = 0 e tangentes à circunferência
x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0.
17
3x + 4y + 14 = 0 ou 3x + 4y - 16 = 0
159) Unindo os pontos de intersecção da circunferência de equação x2 + y2 - 3y - 4 = 0 com os eixos coordenados Ox
e Oy, obteremos um quadrilátero. Qual é a área desse quadrilátero? 10 u. a.
160) No plano cartesiano, considere os pontos A(- 1, 2) e B(3, 4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo
de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. x + y - 1 = 0
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P,
determinado pela intersecção das retas r e s . P(0, 1)
c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(2, 1) e tangencia as
retas r e s . (x - 2)2 + (y -1)2 = 2
161) Sabendo que os pontos A(- 3, - 1), B(- 2, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado ABCD,
determine:
a) a área do quadrado. 50 u. a.
b) o vértice D. D(4, - 2)
c) o raio da circunferência que circunscreve o quadrado. r = 5 u. c.
d) a equação da reta suporte da diagonal BD. 4x + 3y - 10 = 0
e) o ponto de intersecção das diagonais do quadrado. P(1, 2)
162) Resolva:
a) O ponto Q(2, k) pertence à circunferência de centro C(1, 2) e de raio r = 5. Calcule o valor
de k. k = 0 ou k = 4
b) Determinar a posição relativa das circunferências x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0 e x2 + y2 - 2 = 0.
c) Determine os pontos em que a circunferência de equação (x - 4)2 + (y - 1)2 = 5 intercepta o
eixo Ox. (6, 0) e (2, 0)
d) Determine em que pontos a circunferência de equação (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 intercepta o
eixo Oy. (0, 3)
e) Determine a intersecção das circunferências λ1: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 2 e λ2: (x - 1)2 + y2 = 8.
f) Calcule os pontos de intersecção das circunferências de equações λ1: x2 + y2 - 2x - 3 = 0 e
λ2: x2 + y2 - 3x + y - 4 = 0. (1, 2) e (- 1, 0)
g) Determine a intersecção das circunferências de equações λ1: x2 + (y - 5)2 = 20 e
λ2: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 10. (4, 3) e (2, 1)
h) Determine os pontos de intersecção das circunferências de equações (x - 3)2 + (y - 3)2 = 10
e x2 + y2 = 4. (0, 2) e (2, 0)
i) Determine os pontos de intersecção da reta de equação x - y + 3 = 0 e o círculo de equação
x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0. {(- 2, 1), (2, 5)}
j) Determine os pontos P e Q onde a reta definida por 3x + 2y + 12 = 0 encontra a circunferência dada por x2 + y2 + 4x + 6y = 0. P(- 4, 0) e P(0, - 6)
163) Resolva:
a) (COVEST) Determine a equação da circunferência que tem um de seus diâmetros determinado pelos pontos A(5, - 1) e B(- 3, 7). x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0
b) (COVEST) Determinar a equação da circunferência que passa por A(- 1,6) e é tangente ao
eixo dos “y”, no ponto B(0, 3). x2 + y2 + 10x - 6y + 9 = 0
c) (COVEST) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação
(x + 3)2 + (y - 2)2 = 25 e é perpendicular à reta r: 3x - 2y + 7 = 0.
d) (FATEC-SP) Seja C a circunferência de equação x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0. Um quadrado,
cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos, está inscrito em C. Calcule o perímetro desse
quadrado. 8 2
e) As circunferências x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0 e x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 interceptam-se nos
suur
pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de raio menor à reta AB . 2
164) Determine a equação da(s) reta(s) que passa(m) pelo ponto P(- 1, -1) e tangencia(m) a circunferência λ: x2 + y2 - 8x + 2y - 3 = 0.
y = 2x + 1 ou y = - 2x - 3
18
165) Considere a circunferência λ, de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 8.
a) Qual a posição do ponto P(3, 4) em relação a λ?
b) Obtenha a(s) equação(ões) da(s) reta(s) que passa(m) pelo ponto P(3, 4) e tangencia(m) λ.
166) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (- 2, 4) e é concêntrica com a
circunferência de equação x2 + y2 - 5x + 4y - 1 = 0. x2 + y2 - 5x + 4y - 46 = 0
167) A figura abaixo representa um sistema de coordenadas cartesianas, onde são traçadas a circunferência λ e a reta r.
De acordo com a figura, responda:
a) a equação da circunferência λ. (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9
b) a equação da reta r. y = x - 3
c) o comprimento da circunferência. 6π u. c.
d) o comprimento da corda determinada pela intersecção de r e λ. 3 2 u. c.
168) A reta 3x + 4y - 5 = 0 é tangente à circunferência, de equação: (x - 4)2 + (y - 2)2 = r2. Calcule o
comprimento desta circunferência, em unidades de comprimento. 6π u. c.
169)
(UPF-RS) Determine a equação da circunferência com centro na origem do sistema cartesiano e
que passa pela interseção das retas r: x - y = 0 e s: x + y - 4 = 0. x2 + y2 - 8 = 0
170)
2
2
(UFRS) A circunferência C: x - 2x + y + 2y = 23 e a reta 3x + 4y = 24 são tangentes. Determine
a equação da reta perpendicular à reta r que contém o centro de C. 4x - 3y - 7 = 0
171) Sejam as circunferências de equações λl: x2 + y2 = 4 e λ2: x2 + y2 + 2x - 2y = 0. Determine:
a) a posição relativa de λ1 e λ2. secantes
b) os pontos de intersecção de λ1 e λ2. A(0, 2) e B(- 2, 0)
c) a reta que passa pelos pontos de intersecção de λ1 e λ2. y = x + 2
172) Seja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x e s, de equação y = 4x - 2. Se B e C são
intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, calcule a área do triângulo ABC.
173) Consideremos o triângulo cujos vértices são A(1,2), B(3,7) e C(6,3). Calcule:
a) a altura relativa ao lado BC .
b) a área do triângulo.
174) Num trapézio ABCD temos: A(2, 1), B(3, 4), C(5, 5) e D(12, 6). Determine:
a) a altura do trapézio.
b) a área do trapézio.
175)
(CEFET-RJ) Em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, considera-se a circunferên-
cia de centro sobre a reta x - y + 3 = 0 e que passa pelos pontos A(- 2, 4) e B(1, 7). Determine o
comprimento da corda que a bissetriz dos quadrantes ímpares determina sobre a circunferência.
19
1)
(USJT-SP) O valor de k para que o ponto P(4k - 1, 2k + 3) pertença à bissetriz dos quadrantes
ímpares é:
A) - 3
B) 2
C) 4
D) - 1
E) 0
2)
(FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (5, - 2) e ( - 1, - 4) são:
A) (3, 1)
B) (1, 3)
C) (- 3, 2)
XD (2, - 3)
E) (3, 3)
3)
(CESGRANRIO) A distância entre os pontos coordenados (- 3, - 5) e (- 3, 9) é:
A) 4
B) 9
C) 12
XD) 14
E)15
4) (FEI-SP) 0s pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8) e
(n, n + 3). Se Z é o ponto médio do segmento XY, então:
A) m = 2
B) m = 1
C) m = 5
D) n = 3
E) n = 2
5)
(UFRJ) Sejam M1 = (1, 2), M2 =(3, 4) e M3 = (1, - 1) os pontos médios dos lados de um triângulo.
Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. (- 1, - 3), (3, 7) e (3, 1)
6)
(UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (- 1, 2). Sabendo-se que as
coordenadas do ponto A são (2, 5), então as coordenadas de B são:
A) (4, 1)
B) (- 4, 1)
C) (4, - 1)
XD) (- 4, - 1)
7)
E) n.d.a.
(PUC-SP) Os pontos (0, 0), (1, 3) e (10, 0) são vértices de um retângulo. O quarto vértice do
retângulo é o ponto:
XA) (9, - 3)
B) (9, - 2)
C) (9, - 1)
D) (8, - 2)
E) (8, - 1)
8)
(FEI-SP) O simétrico do ponto A = (1, 3) em relação ao ponto P = (3, 1) é:
XA) B = (5, - 1)
B) B = (1, - 1)
C) B = (- 1, 3)
D) B = (2, 2)
E) B = (4, 0)
9) (UFAM) Um triângulo ABC tem como vértices os pontos A(2, 1), B(0, 3) e C(a - 1, 1). Determine as
coordenadas do baricentro (ponto de encontro das medianas) desse triângulo.
10)
(FEI-SP) Dado um triângulo de vértices (1, 1), (3, 1) e (- 1, 3), o baricentro é:
⎛ 3⎞
A) ⎜1, ⎟
⎝ 2⎠
11)
⎛3 ⎞
B) ⎜ , 1⎟
⎝2 ⎠
⎛3 3⎞
C) ⎜ , ⎟
⎝2 2⎠
⎛
⎝
XD) ⎜ 1,
5⎞
⎟
3⎠
⎛ 3⎞
E) ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
(Mack-SP) Os vértices de um triângulo ABC são A(2, 5), B(4, 7) e C(- 3, 6). O baricentro desse
triângulo tem como coordenadas:
A) (3, 6)
12)
XB) (1, 6)
⎛ 1 11 ⎞
C) ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
⎛3 ⎞
D) ⎜ , 9 ⎟
⎝2 ⎠
E) (9, 3)
(Mack-SP) Os vértices de um triângulo ABC são A(2, 5), B(4, 7) e C(a - 3, 6). O baricentro desse
triângulo tem como coordenadas o ponto:
⎛ 1 11 ⎞
A) (1, 6)
B) ⎜ − , ⎟
C) (9, 3)
⎝ 2 2⎠
D) (3, 6)
⎛3 ⎞
E) ⎜ , 9 ⎟
⎝2 ⎠
13) (UFOP-MG) O baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção de suas medianas. Sendo
assim, as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo de vértices (2, 2), (- 4, - 2) e (2, - 4) são:
4⎞
5⎞
3⎞
3⎞
⎛
⎛
⎛
⎛1
A) ⎜ 0, − ⎟
B) ⎜ 0, − ⎟
C) ⎜ 0, − ⎟
D) ⎜ , − ⎟
3⎠
4⎠
4⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
⎝2
20
14)
(Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4, - 5) e N(- 1, 7) do plano x0y vale:
XB) 13.
C) 12.
D) 9.
E) 8.
(FCC-SP) O triângulo cujos vértices são os pontos (1, 3), (- 2, - 1) e (1,- 2) é:
B) Escaleno
XC) Isósceles
D) Isósceles
E) Retângulo
A) 14.
15)
A) Eqüilátero
16)
(VUNESP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é:
A) eqüilátero.
B) isósceles, mas não eqüilátero.
C) escaleno.
D) retângulo.
E) obtusângulo.
17)
(CEFET-MG) A distância entre os pontos A = (m, 5) e B = (7, n) pertencentes à reta 4y - 3x = 11 é
igual a :
A) 5
18)
B) 7
C) 11
D) 25
5
E)
(UFF-RJ) Determine o(s) valor(es) que r deve assumir para que o ponto (r, 2) diste cinco unidades
do ponto (0, -2). {- 3, 3}
19) (UFU-MG) São dados os pontos A(2, y), B(1, - 4)e C(3, - 1). Qual deve ser o valor de y para que o
triângulo ABC seja retângulo em B?
20) (CEFET-AM) Dados os pontos A(- 1, - 1), B(5, - 7) e C(x, 2), determine x, sabendo que o ponto C
é equidistante de A e B.
A) x = 8
B) x = 6
C) x = 15
D) 12
E) x = 7
21)
(UFAM) A reta 4x - 3y = 24 intercepta o eixo dos x no ponto M e o eixo dos y no ponto N. Então,
a medida do seguimento MN é:
A) 5
B) 10
22)
C) 24
D) 100
(PUCCAMP-SP) Sabe-se que os pontos A = (0, 0), B = (1, 4) e C = (3, 6) são vértices consecutivos
do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da BD é:
A) 2
B) 3
C) 2 2
XD) 5
23)
E) 2 7
E) 5
(Mack-SP) O triângulo de vértices PQR, sendo P(2, 0), Q(4, 0) e R(3x, 4) é isósceles, com base
PQ . Logo, pode-se afirmar ser o valor de x:
A) 8
B) 4
C) 2
D) 1
E) 0
24)
(UNEB) A reta r de equação 6x + 8y - 48 = 0 intercepta os eixos coordenados cartesianos no ponto
P e Q. Desse modo, a distancia em u.c. de P e Q é igual a:
A) 4
B) 6
C) 8
XD) 10
E) 12
Condição de alinhamento entre três pontos
25) (PUC-SP) Os pontos A(3, 5), B(1, - 1) e C(x, - 16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a:
A) - 5
B) - 1
C) - 3
D) - 4
E) - 2
26)
(UFGO) Se os pontos A(1, 0), B(a, b) e C(0, 1) estão alinhados, então:
A) b = a + 1
27)
XB) a + b = 1
C) a - b = 2
D) ab = - 1
E)
a
=1
b
(PUC-SP) Os pontos A(k, 0), B(1, 2) e C(3, 4) são vértices de um triângulo. Então necessária-
mente:
XA) k ≠ - 1
B) k = - 2
C) k =
21
2
D) k ≠ - 2
E) k ≠ 2
28)
(UFAM) Sabendo que os pontos A(0, 1), B(1, 0) e C(x, y) pertencem à reta r, devemos ter:
A) x + y = 0
29)
B) x - y = 0
C) x - y = 2
D) x + y = 1
E) x + y = 5
A) 8.
(PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (- 2, 4), e (x, 0) do plano sejam colineares é:
B) 9.
C) 11.
XD) 10.
E) 5.
30)
(PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares. O valor de y é igual a:
A) 5
B) 6
XC)
17
3
D)
11
2
E) 5,3
31)
(FASP) A equação da reta suporte do segmento AB, dados A(7, 11) e B(15, - 1), é:
A) 2y - 3y - 24 = 0 B) 3y - 2x + 17 = 0 C) 3y - 2x + 7 = 0
XD) 2y + 3x - 43 = 0 E) Nenhuma.
32) (CEFET-AM) Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices
são os pontos A(1, 2), B(4, 5) e C(7, 4).
33)
(UFAM) A equação da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = - 1 é:
A) x - 3y - 1 = 0
34)
B) x - 3y - 3 = 0
C) x - 3y + 3 = 0
D) 3x - y - 1 = 0
(PUC-SP) Os pontos A = (- 1, 1), B = (2, - 1) e C = (0, - 4) são vértices consecutivos de um
quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD , desse quadrado, é:
A) x + 5y + 3 = 0. B) x - 2y - 4 = 0.
XC) x - 5y - 7 = 0.
D) x + 2y - 3 = 0.
35)
⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞
⎟ e ⎜ 0, ⎟ tem equação:
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
C) 2x + 2y - 5 = 0
D) x + y = 0
E) x - 3y - 5 = 0.
(Vunesp-SP) A reta que passa pelos pontos ⎜ 2,
A) x = y
36)
E) 3x + y + 1 = 0
B) x - y = 1
E) x - y - 2 = 0
(PUC-MG) Os pontos A(1, 3) e B(3, - 1) pertencem ao gráfico da função f(x) = ax + b. O valor
de a + b é:
A) - 7
B) - 2
C) 3
D) 5
37)
(UFAM) A equação da reta que passa pelos pontos A(2, 0), B(0, 2) e C(x, y) é:
A) x + y - 2 = 0
B) x + y + 2 = 0
C) x - y = 0
D) y = x - 1
E) x = y - 1
38)
(UEL-PR) São dados os pontos A = (- 2, 1), B = (0, - 3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da
mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:
XA) y = 1
B) x = 1
C) x = y
D) x - y = 1
E) x + y = 1
39)
(UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, estão representadas duas perpendiculares que são gráficos de y = f(x) e y = g(x).
O valor máximo da função h(x) = f(x).g(x) é:
5
9
A)
XB)
C) 3
D) 4
E) 2
4
4
22
40)
(UFAM) A reta determinada pelos pontos A(2, - 3) e B(- 1, 2) intercepta o eixo Ox no ponto:
⎛1 ⎞
A) ⎜ , 0 ⎟
⎝5 ⎠
⎛ 1⎞
B) ⎜ 0, ⎟
⎝ 5⎠
C) (5, 0)
⎛ 1
E) ⎜ − ,
⎝ 5
D) (0, 5)
⎞
0⎟
⎠
41) (CEFET-AM) Suponhamos que um facho de luz parte do ponto P(4, 10) do plano cartesiano e
atinge o eixo das abscissas no ponto Q(8, 0). A equação da reta, trajetória do raio incidente, é dada por:
XA) 5x - 2y - 40 = 0
B) 2x + 5y - 40 = 0
C) 5x + 2y - 4 = 0
D) y = 2x + 2
E) y = x - 8
42)
(UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, M = (a, a) é ponto médio do segmento AC , A = (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). A equação
da reta BC é:
A) 2y - 3x = 6
B) 2y + 3x = 6
XC) 3x + 4y = 12
D) 3x - 4y = 12
E) 4x + 2y = 9
43)
(PUC-SP) A equação da reta com coeficiente angular igual a −
4
, e que passa pelo ponto
5
P(2, - 5), é:
A) 4x + 5y + 12 = 0
B) 4x + 5y + 14 = 0
XC) 4x + 5y + 17 = 0
D) 4x + 5y + 16 = 0
E) 4x + 5y + 15 = 0
44) (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação ax + 2y - 2 = 0. Sabendo que
P = (1, - 1) é um ponto de r, determine:
A) O valor de a. a = 4
B) O coeficiente angular de r. m = - 2
45)
(OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A (- 3, 4), e cujo coeficiente angular é
A) x + 2y + 11 = 0 B) x - y + 11 = 0
46)
C) 2x - y + 10 = 0
1
, é:
2
XD) x - 2y + 11 = 0
⎧ x = 3 − 2t
. Então o coeficiente angular
⎩ y = 1 + 4t
(UFMA-MA) As equações paramétricas de uma reta r são: ⎨
da reta r é:
A) - 3
B) 1
XC) - 2
D) 4
E) 2
47)
(UFAM) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r e s.
48)
(UFAM) Determine o ponto de intersecção das retas 8x + y - 9 = 0 e x - y = 9.
49)
(UFAM) A reta que passa pelos pontos (- 1, 4) e (2, 1) intercepta a reta x = 2 no ponto:
A) (2, - 1)
B) (2, 4)
C) (2,
23
1)
D) (2, 3)
E) (2, 0)
50) (UDESC-SC) A soma das coordenadas do ponto de interseção das retas de equações 2x - 5y + 4 = 0
e 2x + 3y - 12 = 0 é:
A) 3
B) - 5
C) 2
XD) 5
E) - 3
51)
(PUC-SP) As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x + 3y - 3 = 0, x = - 1 e
x - 3y - 3 = 0. Esse triângulo é:
A) escaleno
B) equilátero
C) isósceles e não retângulo
D) retângulo e não isósceles
E) retângulo e isósceles
52)
(UFAL) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são:
A) coincidentes.
B) paralelas entre si.
C) perpendiculares entre si.
D) concorrentes no ponto (1, - 9).
E) concorrentes no ponto (3, 0).
53)
(PUC-RJ) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e 2x + y = 1 intersectam-se:
A) em nenhum ponto
B) num ponto da reta x = 0
C) num ponto da reta y = 0
D) no ponto (3, 0)
⎛1 ⎞
E) no ponto ⎜ , 0 ⎟
⎝2 ⎠
54)
(PUC-RS) As retas apresentadas pelas equações x - 2y = - 4, x + y = 5 e mx - y = 3 se interceptam
no ponto P. O valor de m é:
A) - 1
B) 0
C) 1
XD) 3
E) 6
55) (FGV-SP) A reta perpendicular à reta 2x - y = 5, e passando pelo ponto P(1, 2), intersecta o eixo
das abscissas no ponto:
⎛9 ⎞
⎛ 11 ⎞
⎛ 13 ⎞
A) ⎜ , 0 ⎟
B) (5, 0)
C) ⎜ , 0 ⎟
D) (6, 0)
E) ⎜ , 0 ⎟
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎝ 2
⎠
56)
(UFAM) As retas x - 2y + 6 = 0 e 2x - y + 3 = 0 intersectam-se:
A) sobre o eixo das abscissas
⎛ 3 ⎞
B) no ponto ⎜ − , 0 ⎟
⎝ 2 ⎠
C) na origem dos eixos coordenados
D) sobre o eixo das ordenadas
E) no ponto (2, - 4)
57)
(UFAM) Uma reta passa pelos pontos de intersecção das retas x - 3y + 1 = 0 e 2x + 5y - 9 = 0 e
pelo ponto (- 3, - 5). A equação dessa reta é:
A) 6x - 5y - 7 = 0 B) 5x - 6y - 15 = 0
C) 6x - 5y + 7 = 0
58)
D) 5x - 6y + 15 = 0
E) 2x + 3y - 5 = 0
(UECE) A reta r intercepta a reta s no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Se as equações
de r e s são, respectivamente, y = 2x - 4 e y = - 3x + 1, então AB mede:
A) 2
B)
5
2 5
C)
24
D) 3 5
E)
2 10
3
59)
(UFMG) Sejam t e s as retas de equações 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r
contém o ponto A = (5, 1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é:
XA) 5x - y - 24 = 0 B) 5x + y - 26 = 0
C) x + 5y - 10 = 0
D) x - 5y = 0
60) (PUC-RJ) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4, 4) e (2, 5) e a reta que passa por
(2, 7) e (4, 3) é:
⎛7 ⎞
⎛ 10 13 ⎞
A) (3, 5).
B) (4, 4).
C) (3, 4).
D) ⎜ , 4 ⎟ .
XE) ⎜
, ⎟.
⎝2 ⎠
⎝ 3 3⎠
61)
(ACAFE-SC) A equação da reta que passa pela intersecção das retas de equações 2x + 3y - 8 = 0 e
5x + 7y - 19 = 0 e é perpendicular à reta x - 3y + 2 = 0 é:
A) x + 3y + 15 = 0 B) 3x + y - 25 = 0
C) x - 3y +15 = 0
D) 3x - y - 25 = 0 XE) 3x + y - 5 = 0
62) (FEI-SP) As retas representadas pelas equações y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um
mesmo ponto. O valor de b é:
A) 1
B) 3
C) 5
XD) 7
E) 9
63)
(UFAM) A equação da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação
x - y + 2 = 0 é:
A) 3x - y + 4 = 0 B) 2x - 3y + 11 = 0 C) x - y + 7 = 0
D) x - y + 3 = 0
E) x - y - 3 = 0
64)
(UFAM) A reta 7x + 4y - 15 = 0 é paralela a:
A) 7x + 15y - 4 = 0 B) x + 4y - 15 = 0
C) y =
4x
7
D) 21x + 12y + 5 = 0 E)
x y
+ =1
7 7
65)
(UFBA) A equação da reta que passa pelo ponto P(- 3, 5) é paralela à reta de equações
paramétricas x = - t e y = 5t é:
A) 5x + y + 10 = 0 B) 5x - y - 10 = 0
C) 5x - y + 10 = 0
D) 5x - y - 10 = 0 E) 5x - y + 10 = 0
66)
(FESP) A equação geral da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas r: 3x - 2y - 1 = 0 e
s: x + 4y - 5 = 0 e que é paralela à reta t: x - 2y + 4 = 0 é:
A) - x - 2y + 1 = 0 B) x + 2y - 3 = 0
C) x - 2y +2 = 0
D) x - 2y + 1 = 0
E) x + 2y + 3 = 0
67)
(Mack-SP) A bissetriz dos quadrantes ímpares e a reta de equação r:x + 2 = 0 são concorrentes em
um ponto de coordenadas:
A) (- 3, - 3)
XB) (- 2, - 2)
C) (- 1, - 1)
D) (0, 1)
E) (1, 0)
68)
(PUC-PR)
As retas de equações 3x - 4y + 1 = 0 e 4x + 3y - 5 = 0 são:
C) concorrentes.
D) coincidentes.
XA) perpendiculares. B) paralelas.
E) Nenhuma.
69)
(PUC-SP) As retas 2x + 3y = 1 e 6x - ky = 1são perpendiculares. Então k vale:
A) 1
B) 2
C) 3
XD) 4
E) 6
70) (UFMG) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa - 1.
A equação da reta r é:
XA) x - 2y + 7 = 0 B) 2x + y - 7 = 0
C) - x + 2y + 7 = 0 D) 2x + y + 7 = 0
E) x + 2y - 1 = 0
71)
(UFAM) São dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5). Determine a equação da mediatriz de AB .
72)
(UFPA) Dados os pontos A(2, 6) e B(4, 3), determine a equação da mediatriz do segmento AB .
73)
(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y = 2x + 3 é:
XA) x + 2y - 5 = 0 B) 2x + y = 0
C) 2x + y - 4 = 0
D) x - 2y + 3 = 0
E) x + 3y - 7 = 0
25
74)
(UFMG) Sejam r e s duas retas perpendiculares que se interceptam em P(1, 2). Se Q(- 1, 6)
pertence a uma dessas retas, então a equação da outra reta é:
A) x + 2y - 5 = 0
B) x - 2y + 3 = 0
C) 2x - y = 0
D) 2x + y - 4 = 0
E) 2x + 2y + 7 = 0
75) (CEFET-AM) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da reta que passa pelo
ponto A(3, 4) e é perpendicular à reta 3x + 2y - 5 = 0 é:
A) y = 2x + 2
B) - 3x + 5y + 6 = 0
C) 2x - 3y + 6 = 0
D) 2x + 3y + 6 = 0
E) 5x - 3y + 8 = 0
76) (CEFET-AM) A equação da reta que passa pelo ponto A(- 1, - 3) e é perpendicular à reta de
equação x - y - 3 = 0 é:
A) - x - y + 3 = 0
B) x + y - 4 = 0
C) x + y + 3 = 0
D) x + y + 4 = 0
E) x + y - 1 = 0
77)
(CEFET-AM) No plano cartesiano, são dados os pontos A(- 1, 2), B(1, 3) e C(2, - 1). Determine a
equação da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
A) 2x + y - 3 = 0 B) 2x - y - 3 = 0
C) 2x - y - 7 = 0
D) x + 2y - 3 = 0
E) x - 2y - 3 = 0
78)
(CEFET-AM) A equação da mediatriz de AB , sendo A(1, - 2) e B(3, 5), é:
A) 14x + 4y - 29 = 0
B) 4x + 14y - 29 = 0
C) 7x + 2y - 5 = 0
D) 2x - 7y + 11 = 0
E) 4x - 14y + 25 = 0
79)
(UFMG) Sejam as retas t e s de equações 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r
contém o ponto A(5, 1) e o ponto de intersecção de t e s. A equação de r e:
XA) 5x - y - 24 = 0 B) 5x + y - 26 = 0
C) x + 5y - 10 = 0
D) x - 5y = 0
80)
(UNEB) Sabendo-se que as retas r e s são paralelas, r e t são perpendiculares e que suas equações
são r: 5x - 2y + 4 = 0, s: mx + 4y - 12 = 0 e t: nx + 3y - 9 = 0, pode-se afirmar que o valor de 5n + m é:
XA) - 4
B) - 2
C) 0
D) 2
E) 4
81)
(UFRR) A reta que passa pelo ponto de intersecção das retas x - 4y = 6 e 3x + 2y = 4 e é perpen-
dicular ao eixo das ordenadas OY tem por equação:
A) y = - 1
B) x = 2
C) x + y = 2
82)
D) x - y = 2
E) x + 2y = 4
(UEA) Seja r a reta que passa pelo ponto P(3, 2) e é perpendicular à reta s, de equação y = - x + 1.
Qual é a distância do ponto A(3, 0) à reta r?
83)
(UFAM) Se as retas 3x - 5y + 5 = 0 e bx + 3y - 7 = 0 são perpendiculares, então b vale:
A) - 5
B) 4
C) 5
D) - 4
26
E) 7
84)
(UFAM) São dadas as retas r: 2x - 4y - 5 = 0; s: - x + 2y - 3 = 0 e t: 4x + 2y - 1 = 0. É correto
afirmar que:
A) r // s e s // t
B) r ⊥ s e s ⊥ t
C) r // s e s ⊥ t
D) r // t e r ⊥ s
E) s // t e r ⊥ s
85)
(UNESP) A reta r é perpendicular à reta - 3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os
pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2). (- 2, 6) e (4, - 2)
86) (FATEC-SP) Se A = (- 1, 3) e B = (1, 1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz
dos quadrantes pares no ponto:
⎛
2
2⎞
⎛ 3 3⎞
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
XA) (- 1, 1)
B) ⎜ − , ⎟
C) ⎜ −
,
D) ⎜ − , ⎟
E) ⎜ − , ⎟
⎟
⎜
⎟
2 ⎠
⎝ 4 4⎠
⎝ 2 2⎠
⎝ 4 4⎠
⎝ 2
87)
(UNESP) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P = (2,-1), determine:
A) o coeficiente angular de r. m = - 2
B) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. x - 2y - 4 = 0
88)
2
(Cesgranrio-RJ) Os pontos M, N, P e Q do R são os vértices de um paralelogramo situado no
primeiro quadrante. Se M = (3, 5), N = (1, 2) e P = (5, 1), então o vértice Q é:
XA) (7, 4)
B) (6, 5)
C) (9, 8)
D) (8, 6)
89)
E) (6, 3)
(UFPI) A medida do ângulo agudo formado pelas retas 3x + y - 10 = 0 e - 2x + y - 15 = 0 é:
B) 30°
XC) 45°
D) 60°
E) 75°
A) 15°
90)
(UFPB) Determine o menor ângulo, em graus, entre as retas de equações 2x + 2y - 3 = 0 e x - 4 = 0.
91)
(UEA) Determine a distância do ponto O(1, 1) à reta t, cuja equação é x + y 3 = 0.
92)
(FGV-SP) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC
pelo vértice C tem equação:
XA) 2y - x - 3 = 0 B) y - 2x + 3 = 0
93)
C) 2y + x + 3 = 0
D) y + 2x + 9 = 0
E) 2y + x - 9 = 0
(UEL-PR) Considere os pontos A(0, 0), B(2, 3) e C(4, 1). O comprimento da altura do triângulo
ABC, relativa ao lado BC , é:
3 2
A) 2
B)
2
C) 2 2
XD)
5 2
2
E) 5 2
94) (UEA) O ponto A(- 1, - 2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre
a reta de equação x + 2y - 5 = 0. Determine a medida da altura h desse triângulo.
95)
(UFSC) Dados os pontos A(1, - 1), B(- 1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo
ABC relativa ao lado BC. 4 u. c.
96)
(Mack-SP) A distância do ponto médio do segmento de extremos (- 4, - 2) e (- 2, 2), à bissetriz dos
quadrantes ímpares é, em uL (unidade de medida linear):
2 2
3 2
A) 1
B)
C)
3
2
D) 5
E) 6
97) (CESCEA-SP) Seja r a reta que passa pelo ponto (3, 2) e é paralela a reta x - y + 2 = 0 . Então, a
distância do ponto (- 3, 0) à reta r é:
2
XD) 2 2
E) nda
A) 2
B) 4 2
C)
2
27
98)
(UFRS) A distância do ponto (2, m) à reta x - y = 0 é
A) - 12 ou 6
B) - 6
C) 2
8 . O valor de m é:
XD) - 2 ou 6
E) 2 ou - 6
99) (UEA) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x - 2, e a reta r2, de equação
3y = 4x + 8, sabendo que r1 // r2.
100) (Cefet PR) Considere as retas r: 4x - 3y + 17 = 0 e s: 4x - 3y - 8 = 0. A distância entre r e s é:
A)
17
.
9
101)
B)
25
.
3
C) 50.
D) 25.
XE) 5.
A) 4,5
(Cesgranrio) A área do triângulo cujos vértices são os pontos (1, 2), (3, 5) e (4, - 1) vale:
B) 6
XC) 7,5
D) 9
E) 15
102)
(CESGRANRIO) A área do triângulo cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, - 1) é igual a:
XA) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
103) (UNESP) O valor da área S, do triângulo de vértices A, B e C no plano cartesiano, sendo
A = (6, 8), B = (2, 2) e C(8, 4), é igual a:
A) 5,4
B) 12
C) 14
D) 28
E) 56,3
104)
(UEMA) O valor de k, de modo que a área do triângulo determinado pelos pontos A(0, 1),
B(- 2, 4) e C(k, k - 1) seja 10 unidades, pode ser:
A) k = 3
105)
XC) k = −
16
5
D) k = - 3
(UFAM) A área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 2), B(
A) 4 3
106)
B) k = 4
B) 3 2
C) 2 3
D) 3
E) k =
3
4
3 , 5) e C(0, 6) vale:
E)
3
2
(UFAM) Os vértices de um triângulo são A(5, - 3), B(x, 2) e C(- 1, 3), e sua área mede 5 cm . O
valor de x pode ser:
A) 1
107)
B) 0
C) 2
D)
5
3
E) 4
(UFAM) Dados os pontos A(- 1, 1), B(1, - 1), C(2, 1) e D(1, 2), a área do quadrilátero ABCD é
igual a:
A) 12
108)
A) 5
109)
A) 9
B) 10
C) 8
D)
9
4
E) 4
(UFAM) A área do pentágono de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (1, 3) e (0, 2), vale:
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
(UFAM) A área do hexágono de vértices (0, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3) e (0, 3) é igual a:
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
110)
(UEL-PR) Seja
111)
(Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, - 1), é igual a:
AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (- 2, 3) e C = (0, 5), a área de
ABCD, em unidades de área, é:
A) 4
B) 4 2
C) 8
D) 8 2
E) 16
XA) 6.
112)
XA) 36
B) 8.
C) 9.
D) 10.
E) 12.
(FGV-SP) As intersecções de y = x, y = - x e y = 6 são vértices de um triângulo de área:
B) 24 2
D) 12 2
C) 24
28
E) 12
113)
(UFMG) Observe a figura.
⎛ 1 ⎞
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto ⎜ − , 0 ⎟ , e a área do triângulo de
⎝ 2 ⎠
vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é:
20
31
A)
B)
C) 4
XD) 5
E) 6
11
11
114)
(UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C
têm coordenadas (- 1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N são pontos médios de AB e BC ,
respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a:
5
8
3
A) u. a.
B) u. a.
C) 1 u. a.
XD)
u. a.
3
5
2
115)
(UEL-PR) Seja
116)
(UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (- 2, 3) e C = (0, 5), a área de
ABCD, em unidades de área, é:
XA) 4
B) 4 2
C) 8
D) 8 2
E) 16
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo.
b) calcule a sua área. 8 u. a.
117)
(Unesp) Seja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e C
são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é:
1
XA) .
B) 1.
C) 2.
D) 3.
2
118)
(CEFET-PR) Seja o quadrilátero ABCM de vértices A(1, 2), B(- 3, 1), C(- 5, - 3), sendo o quarto
vértice o ponto médio do segmento de extremidades (5, - 2) e (- 1, 4). O valor da área do quadrilátero
ABCM é:
25
12
31
A)
B)
C)
D) 11
E) 20
2
2
2
119)
(UFRS) Um círculo com centro C = (2, - 5) tangencia a reta de equação x - 2y - 7 = 0. O valor
numérico da área da região limitada pelo círculo é:
A) 4π
XB) 5π
C) 6π
D) 7π
E) 8π
120)
(FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto Q(2, 1) e que passa pelo
ponto A(1, 1).
29
121)
(Unicamp-SP) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x - 5 e x - 2y + 5 = 0.
A) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?(3, 1), (- 3, 1) e (5, 5)
B) Qual é a área do triângulo ABC? 12 u. a.
122)
(Unifor-CE) A equação da circunferência de centro no ponto C(1, 2) e que passa pelo ponto
P(- 1, 5) é:
A) x2 + y2 + 2x + 4y = 44
B) x2 + y2 + 2x – 4y = 4
C) x2 + y2 – 2x + 4y = 48
2
2
XD) x + y - 2x - 4y = 8
E) x2 + y2 - x - y = 22
123)
(FGV-SP) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 e é paralela à reta r, de equação 2x + 3y = 0.
124)
2
2
(UNIMONTES-MG) A equação 2x + 2y - 12x + 8y - 6 = 0 é de uma circunferência:
A) de centro (- 3, 2) e raio 4.
B) de centro (- 3, - 2) e raio 16.
XC) de centro (3, - 2) e raio 4.
D) de centro (3, 2) e raio 2.
125)
(UNIFEI-MG) O triângulo retângulo ABC, de vértices A(3, 6), B(- 3, 6) e C(3, 14), está inscrito
numa circunferência. Determine a equação geral dessa circunferência. x2 + y2 - 20x + 75 = 0
126)
A) 3
127)
2
2
(UNESP-SP) A distância do centro da circunferência x + 2x + y - 4y + 2 = 0 à origem é:
XB)
5
C)
3
D)
2
2
E) 1
2
(Mack-SP) Considere a circunferência C definida por (x - 2) + (y - 1) = 25. Determine:
A) as coordenadas do centro de C e a área da região delimitada por C.
B) uma equação para a reta que passa pelo centro de C e pelo ponto (- 1, 5).
C) uma equação para a reta tangente à circunferência C no ponto (- 1, 5).
128)
(UFPA) Os pontos A(4, - 2) e B(2, 0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de
centro Q(a, b) e raio r. Determine a equação dessa circunferência.
129) (FATEC-SP) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de
equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
x
A) y = 2x + 1
B) y = 2x - 1
C) y =
XD) y = 2x
e) y = x
2
130)
2
2
(FUVEST-SP) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x + y = 10y. Se A é o
ponto (3, 1), então B é o ponto:
XA) (- 3, 9)
B) (3, 9)
C) (0, 10)
D) (- 3, 1)
E) (1, 3)
131) (FUVEST-SP) A reta s passa pelo ponto P(0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e
B é o centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é:
A) x- 2y = - 6
XB) x + 2y = 6
C) x + y = 3
D) y - x = 3
E) 2x + y = 6
132)
2
2
(UFJF-MG) Considere a circunferência λ: x + y - 4x - 6y - 3 = 0 e a reta r: x + y = 0.
A) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência λ e é perpendicular à reta r.
B) Determine a equação da circunferência concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
133) (UFRJ) Os pontos (- 6, 2), (3, - 1) e (- 5, - 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio
dessa circunferência.
30
134)
(PUC-SP) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses
pontos são os extremos de um diâmetro da circunferência —. A equação correspondente a — é:
A) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
2
2
XB) x + y - 2x + 4y = 0
2
C) 2x + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
D) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
E) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0
135)
(UEG-GO) Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem do sistema de
coordenadas e que é tangente à reta de equação 4x + 3y = 12.
136)
(UFPA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C(- 1, - 2), encontre a
coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos.
137) (ITA-SP) Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o
centro e o valor de seu raio, são:
A) (0, 5) e 6
B) (5, 4) e 5
C) (4, 8) e 5
XD) (4, 5) e 5
E) (4, 6) e 5
138) (FEI-SP) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0, 0) para que a reta
x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa circunferência?
A) 4 2
XB) 2 5
C) 20
D) 5 2
E) 4 5
139)
(UEL-PR) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0.
A equação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abscissas é:
A) x2 + y2 = 4
B) x2 + y2 + 4x = 0 XC) x2 + y2 + 4y = 0 D) x2 + y2 - 4x = 0 E) x2 + y2 - 4y = 0
140) (UEL-PR) Considere os pontos A(0, 0), B(2, 3) e C(4, 1). O segmento BC é um diâmetro da
circunferência de equação:
A) x2 + y2 + 6x + 4y + 11 = 0
2
2
XB) x + y - 6x - 4y + 11 = 0
2
2
C) x + y - 4x + 9y + 11 = 0
D) x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0
E) x2 + y2 - 4x - 9y + 9 = 0
141)
2
A reta que passa pelo centro do círculo e pela interseção das retas r e s é:
A) x - 3y - 2 = 0
B) x - y - 1 = 0
C) 2x - y - 3 = 0
D) x + 3y - 7 = 0
142)
2
(UEL-PR) Considere as retas r: x + 2y - 4 = 0, s: 2x + y - 5 = 0 e o círculo x + 2x + y - 4y = 0.
XE) x + 3y - 5 = 0
(UECE) Sejam Q(x, y) e Q1(x1, y1) os pontos de intersecção da reta de equação y + 2 = 0 com a
circunferência de centro no ponto P(- 4, 1) e raio r centímetros. Se x < x1 e QQ1 = 8 cm, então a
equação dessa circunferência é:
A) x2 + y2 + 8x - 2y - 7 = 0
2
2
XB) x + y + 8x - 2y - 8 = 0
2
2
C) x + y + 8x - 2y - 15 = 0
D) x2 + y2 + 8x - 2y - 19 = 0
143)
2
2
(FATEC-SP) Seja C a circunferência de equação x + y - 6x - 4y + 9 = 0. Um quadrado, cujos
lados são paralelos aos eixos cartesianos, está inscrito em C. O perímetro desse quadrado é:
A) 2 2
B) 4
C) 4 2
D) 8
XE) 8 2
144)
(PUC-RS) O ponto P(- 3, b) pertence à circunferência de centro C(0, 3) e raio = 5. Quais são os
valores de b?
A) - 14 e 20
B) - 20 e 14
C) 8 e 2
31
D) - 7 e 1
XE) 7 e - 1
145)
(UFOP-MG) A equação da circunferência de centro P(3, 1) e tangente à reta r: 3x + 4y + 7 = 0 é:
A) x2 + y2 + 6x - 2y - 6 = 0
2
2
XB) x + y - 6x - 2y - 6 = 0
C) x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
D) x2 + y2 + 2y - 6x - 6 = 0
E) x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0
146)
(CEFET-PR) A equação da circunferência com centro no ponto C(2, 3) e tangente à reta de
equação 3x + 4y + 7 = 0 é:
A) x2 + y2 - 2x + 3y - 6 = 0.
B) x2 + y2 + 2x - 3y + 6 = 0.
C) x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0.
2
2
XD) x + y - 4x - 6y - 12 = 0.
2
2
E) x + y - 4x + 6y + 12 = 0.
147)
2
(ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência
(x - 1) + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por:
A) y = 2x - 3
148)
B) y = x - 1
D) y =
XC) y = - x + 3
2
3x
−2
2
E) y = −
x
+2
2
2
(UFRS) A circunferência de equação C: x - 2x + y + 2y = 23 e a reta r: 3x + 4y = 24 são
tangentes. O ponto de tangência e a equação da reta perpendicular à reta que contém o centro de C são:
A) (4, 3) e 4x - 3y + 7 = 0
D) (4, 3) e 3x - 4y - 7 = 0
XB) (4, 3) e 4x - 3y - 7 = 0
E) (4, 3) e 4x - 3y - 9 = 0
C) (- 4, 3) e 4x - 3y - 7 = 0
149)
(UFSCar-SP) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3), vértices de um triângulo, o raio da
circunferência circunscrita a esse triângulo é:
10
2
10
10
A)
B)
C)
XD)
E) 10
3
2
2
3
150)
(UDESC) A Figura 4 apresenta o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O.
Analise as afirmativas abaixo de acordo com a Figura 4.
I – A área do triângulo ABC é igual a 2 3 unidades de área.
II – A equação da circunferência é dada por x2 + y2 + 4x = 0.
III – A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por y = 3x.
IV – A medida do ângulo ABC é igual a 60°.
Assinale a alternativa correta.
A) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
XC) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
D) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
E) Somente a afirmativa I é verdadeira.
32