 RESUMO TEÓRICO 
Conhecendo uma “base” e uma “altura”
1
 Base  Altura
2
Área 
Área 
1
 BC  AH
2
Conhecendo dois lados e o ângulo formado por eles
Área 
1
 a  b  sen
2
Triângulo Equilátero de lado “a”
Área 
lado2
3
4
Área 
a2 3
4
Conhecendo os três lados – Fórmula de Herão
Calcula-se primeiro o semi-perímetro p :
p
Área 
a bc
2
p   p  a    p  b   p  c 
1
Quadrado de lado “a”
Área  lado2
Área  a 2
Retângulo
Área  Base  Altura
Área  a  b
Paralelogramo
Área  lado  altura relativa ao lado
Área  a  h1
Área  b  h2
Trapézio
Área 
1
Base Maior  Base Menor  Altura
2
1
Área  B  b   h
2
Losango
Área 
1
Diagonal Maior   Diagonal Menor 
2
1
Área  D  d
2
Ângulos Notáveis

30o
45o
60o
120o
135o
150o
sen 
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
2
Circunferência  Comprimento
Comprimento  2    Raio
C  2   R
Círculo  Área
Área    Raio2
A    R2
Coroa Circular
Área  ÁreaCírculo Maior  ÁreaCírculo Menor
A    R2    r2
Setor Circular  Regra de Três
Área
ÁreaSetor
  R2
Área 
 Ângulo


α
360o
α
2



R
360o
Segmento Circular (para α  180o )
Primeiro calcule as áreas do setor e do triângulo
Área  ÁreaSetor  ÁreaTriângulo
3
 ATIVIDADES 
 PARTE A – Triângulos 
1) Obtenha a área das figuras a seguir:
a)
b)
4m
c)
8m
13m
6m
13m
20m
d)
24m
e)
f)
6m
4m
o
30
6m
o
o
45
60
10m
20m
10m
g)
h)
10m
10m
i)
10m
8m
7m
6m
5m
9m
7m
2) Obtenha a área de um triângulo que tem um lado medindo 10cm e a altura relativa a esse lado
medindo 4cm.
3) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm.
4) Um triângulo tem dois lados que formam ângulo de 30o e que medem 6cm e 8cm. Calcule a medida
da área desse triângulo.
5) Calcule a área de um triângulo cujos lados medem 10cm, 10cm e 12cm.
6) Nos triângulos eqüiláteros ABC a seguir é indicada uma altura. Obtenha a área de cada um deles.
a)
b)
A
A
10m
5 3
B
C
B
C
4
7) Obtenha a área de cada um dos paralelogramos a seguir:
a)
b)
10m
3m
o
30
4m
o
60
8m
8) Calcule a medida da área de um triângulo eqüilátero cuja:
b) altura mede 1m .
a) altura mede 2 3m .
9) Dado um triângulo cujos lados medem 9cm, 10cm e 11cm.
a) Determine a medida de sua área.
b) Determine a medida da altura relativa ao maior dos lados.
c) Determine a medida da altura relativa ao menor dos lados.
 PARTE B – Quadriláteros 
10) Obtenha a área das figuras a seguir:
a)
b)
c) Losango
7m
15 m
4m
7m
4m
10 m
d) Trapézio
e) Trapézio
f) Paralelogramo
10m
3m
5m
4m
8m
7m
10 m
11) Obtenha a área de um retângulo cujo perímetro vale 80cm e um lado mede o triplo do outro.
12) Obtenha o perímetro de um quadrado cuja área mede 81cm2.
13) Obtenha a área de um losango cujas diagonais medem 10cm e 12cm.
14) Obtenha a área de um trapézio de lados paralelos medindo 10cm e 20cm e cuja distância entre eles
mede 8cm.
15) Obtenha a área dos quadrados abaixo sendo indicada uma diagonal de cada um deles:
a)
b)
5
2
m
10m
5
16) Obtenha a área dos retângulos abaixo sendo indicado uma diagonal de cada um deles:
a)
b)
13
m
5m
4m
10
m
17) Obtenha as áreas dos losangos conforme as medidas indicadas:
a)
b)
10m
10m
6m
10m
6m
10m
6m
16 m
6m
18) Obtenha a área de cada trapézio a seguir conforme as medidas indicadas
a)
b)
12m
5m
15m
10m
17m
10m
28m
19) Obtenha a área dos quadriláteros sombreados a seguir:
a)
b)
3m
1m
1m
3m
3m
1m
1m
3m
20) Obtenha a medida:
a) da área de um retângulo onde a medida de uma diagonal é 20 cm e um dos lados mede 12cm.
b) da área de um quadrado cuja diagonal mede 6cm.
c) do perímetro de um retângulo sabendo que seus lados são proporcionais a 3 e 4 e ele é equivalente
a um quadrado que possui uma diagonal com 6 6 cm de medida.
21) Calcule a área de um losango:
a) cujo perímetro mede 20cm e uma das diagonais mede 6cm.
b) cujo perímetro mede 8m e uma dos ângulos mede 120o.
22) Calcule a área de um trapézio isósceles, cujas bases medem, respectivamente, 14m e 6m e o seu
perímetro 30m.
6
 PARTE C – Polígonos Regulares 
23) Calcule a área de um hexágono regular:
a) cujo lado mede 10cm.
b) cujo lado mede 5cm.
c) cuja medida de uma das diagonais maiores é 4cm.
d) cuja medida de uma das diagonais menores é 6 3cm .
24) Calcule a área de um octógono regular inscrito em uma circunferência de raio 10cm.
25) Calcule a área de um dodecágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10cm.
 PARTE D – Círculo e suas Partes 
26) Uma circunferência tem raio r, comprimento C e, área A para o círculo correspondente. Determine:
a) C e A dado r  5 cm ;
b) C e A dado r  10 cm ;
c) C e A dado r  3 cm ;
d) r e A dado C  6 cm ;
e) r e A dado C  14 cm ;
f) r e A dado C  10 2 cm ;
g) r e C dada A  16 cm 2 ;
h) r e C dada A  36 cm2 ;
i) r e C dada A  5 cm 2 ;
j) r e C dada A  12 cm 2 .
27) As circunferências abaixo têm raio igual a 10 cm. Determine as áreas das partes sombreadas,
conforme cada caso:
a)
b) Ângulo do setor: 20O
c) Ângulo do setor: 120O
28) Calcule a área de uma coroa determinada por duas circunferências de raios 15 cm e 12 cm.
29) Dada uma circunferência de comprimento igual a 16 π cm:
a) Calcule a área do círculo correspondente.
b) Calcule a área do setor circular com ângulo de 90o .
30) Dada uma circunferência de comprimento igual a 12 π cm:
a) Calcule a área do círculo correspondente.
b) Calcule a área do setor circular com ângulo de 60o .
7
31) Dado um círculo de área igual a 16 π cm2 :
a) Calcule o comprimento da circunferência correspondente.
b) Calcule a área do setor circular com ângulo de 45o .
32) Calcular as áreas da partes sombreadas conforme as figuras abaixo:
a)
b)
c)
2m
3m
3m
Quadrado de lado 8cm
2m
Quadrado de lado 6cm
33) Na figura a seguir temos um quadrado de lado 4m com quatro circunferências internas tangentes,
cada uma, a dois lados do quadrado e a duas circunferências. Calcule a área pintada de preto.
34) A área do setor indicado a seguir mede 25 π cm2 . Determine o raio da circunferência.
35) Um jardineiro deseja plantar grama em torno de um chafariz de tal forma que a grama preencha
uma coroa circular conforme mostrado na figura. Determine quanto custará a grama necessária para o
plantio sabendo que d  4m , D  10 m e que 1m2 de grama custa R$10,00. (considere   3,14 )
Gr
am
a
Chafariz
am
Gr
Gra ma
a
Gra m
a
d
D
8
36) Deseja-se plantar grama em um campo de futebol que tem as dimensões indicadas abaixo. As
gramas utilizadas serão de dos tipos “A” e “B”. A grama tipo “A” será plantada na região das “grandes
áreas” (junto às traves) e no “círculo central”. A grama tipo “B” será plantada no restante do campo.
Sabendo que a grama tipo “A” custa R$10,00 o metro quadrado e, a grama tipo “B”, custa R$8,00 o
metro quadrado, pergunta-se:
a) Qual o valor aproximado a ser gasto com a grama tipo “A”? (considere   3,14 )
b) Qual o valor aproximado a ser gasto com a grama tipo “B”? (considere   3,14 )
8m
40m
10m
6m
90m
37) Na figura a seguir temos três círculos tangentes. Sabendo que os diâmetros, medem 12m, 8m e
4m, respectivamente, calcule a área pintada de preto.
38) Uma pista de atletismo foi construída com o formato e as dimensões dadas na figura.
200 m
Parte Interna
300 m
400 m
Considerando   3,14 , determine o valor aproximado, da:
a) área da parte interna da pista.
b) área da parte destinada para corrida.
39) Sabendo que o raio da circunferência indicada mede 5 cm, e que a figura circunscrita é um
quadrado, determine a área da parte sombreada.
9
40) Determine a área da figura a seguir sabendo que está inscrita num quadrado de lado 2cm e que as
semi circunferências que a determinou têm centro nos pontos médios dos lados do quadrado.
41) Uma casa cuja planta tem o formato de um quadrado está construída em um terreno gramado e
plano. Numa extremidade da casa (vértice do quadrado) é amarrada uma cabra a uma corda flexível e
inextensível. A cabra comerá toda grama que estiver ao seu alcance. Considerando a casa com a área
de 100m2:
a) Desenhe e calcule a área da região de grama que a cabra comerá se a corda tiver 5m de comprimento.
b) Desenhe e calcule a área da região de grama que a cabra comerá se a corda tiver 15m de comprimento.
Corda
Casa
Gramado
42) Sabemos que para o cálculo da área da superfície total de uma lata, no formato de um cilindro
circular reto, de raio da base R e altura H, podemos “planificá-la” como mostra a figura abaixo, obtendo
então dois círculos (tampa e fundo da lata) e um retângulo (lateral da lata), cujas dimensões estão
indicadas. Calcule a área superfície total de uma lata com raio da base R=10cm e altura H=30cm
considerando   3,14 .
R
R
2pR
H
H
H
2pR
R
R
10
43) Para o cálculo da área do setor circular com ângulo α num círculo de raio R podemos estabelecer
uma “regra de três” relacionando área e ângulo ou, utilizar a fórmula Asetor 
α
o
 π  R 2 obtida por
360
meio da mesma regra de três.
a) Para um círculo de raio R = 6cm calcule a área do setor circular com ângulo α  45o .
b) Para um círculo de raio R = 6cm e setor circular com área 3π cm2 calcule a medida do ângulo α .
44) Calcular a área da parte sombreada sabendo que mede 2cm o lado do triângulo eqüilátero inscrito
no círculo.
 PARTE E – Vestibulares – Exercícios Gerais 
45) (UNICAMP 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados
estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2
b) 2,0 m2
c) 1,5 m2
d) 3,5 m2.
46) (PUCRJ 2013) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 120m e 60m.
Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show:
a) 20 banheiros b) 36 banheiros c) 60 banheiros
d) 72 banheiros
e) 120 banheiros
47) (PUCRJ 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro
cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas
linhas pontilhadas.
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos.
c) Determine o volume da caixa formada.
48) (ENEM 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade.
Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água
existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura
elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma
redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
(Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.)
11
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam
30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%
b) 20%
c) 36%
d) 64%
e) 96%
49) (PUCRJ 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação y 
x 2 11
 x  3 e dois
6
6
vértices no eixo x, como na figura abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
50) (UERJ 2014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm.
Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e
ˆ  30°, conforme ilustrado a seguir:
ˆ  45° e BAC
AC, de modo que DAE
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3  1,7, a área, em cm2 , do triângulo
CAE equivale a:
a) 80
b) 100
c) 140
d) 180
51) (UERJ 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel
com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:
12
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do
segmento MN:
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a:
a) 25 4  3
b) 25 6  3
c) 50 2  3







d) 50 3  3

52) (ENEM 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y
centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área
máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
a)
N
9
b)
N
6
c)
N
3
d) 3N
e) 9N
53) (UPE 2014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em
centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a
área do triângulo UPE?
a) 15 cm2
b) 25 cm2
c) 125 cm2
d) 150 cm2
e) 300 cm2
54) (FUVEST 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três
hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em
comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é
de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2
13
55) (INSPER 2013) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento l , é possível
determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.
Se a área do triângulo T1 é o triplo da área do triângulo T2, então o valor de cosθ é igual a
a)
1
.
6
b)
1
.
3
c)
3
.
3
d)
1
.
2
e)
6
.
6
56) A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 12 cm por
25 cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm.
A área da peça é igual a
a) 240 cm2
b) 250 cm2
c) 260 cm2
d) 270 cm2
e) 280 cm2
57) (G1 - UTFPR 2013) Seja α a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e β a
circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada. A medida do
segmento AB é igual à medida do segmento BC e o comprimento da circunferência α mede 12π cm.
Então a área do anel delimitado pelas circunferências α e β (região escura) é, em cm2, igual a:
a) 108π.
b) 144π.
c) 72π.
d) 36π.
e) 24π.
58) (ESPM 2014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de
largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por m2 ,
podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente:
a) 70 mil
b) 60 mil
c) 40 mil
d) 30 mil
e) 50 mil
14
59) (G1 - IFSP 2014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e possui
uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.
Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a
a) 148
b) 152
c) 156
d) 160
e) 164.
60) (UPE 2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo
cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do
hexágono.
Considere: π  3 e 3  1,7
Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada?
a) 2,0 cm2
b) 3,0 cm2
c) 7,2 cm2
d) 8,0 cm2
e) 10,2 cm2
61) (IBMECRJ 2013) Uma emissora de TV, em parceria com uma empresa de alimentos, criou um
programa de perguntas e respostas chamado “UM MILHÃO NA MESA”. Nele, o apresentador faz
perguntas sobre temas escolhidos pelos participantes. O prêmio máximo é de R$ 1.000.000,00 que fica,
inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50 pacotes com 1.000 cédulas de R$ 20,00 cada um.
Cada cédula de R$ 20,00 é um retângulo de 14cm de base por 6,5 cm de altura. Colocando todas as
cédulas uma ao lado da outra, teríamos uma superfície de:
a) 415m2
b) 420m2
c) 425m2
d) 455m2
e) 475m2
15
62) (UEL 2013) Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um quadrado inscrito
em um círculo de raio R, conforme a figura a seguir.
A área da região sombreada é dada por:
a) A  R2 ( π  2)
b) A 
R2 ( π  2)
2
c) A 
R2 ( π 2  4)
2
d) A 
R2 ( π  2)
4
e) A 
R2 ( π 2  2)
4
63) (UNICAMP 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo
isósceles ABC, conforme a figura abaixo.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S  φ e T  φ , podemos
afirmar que a razão S  φ T  φ , quando φ  π 2 radianos, é
a) π 2.
b) 2π.
c) π.
d) π 4.
16
64) (ESPM 2012) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os
quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três
quadrados se alterem.
Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a:
a) 18 cm2
b) 15 cm2
c) 17 cm2
d) 19 cm2
e) 16 cm2
65) (INSPER 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de
octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”.
Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondoo, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e
isósceles.
A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”.
Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale
a) S(2 2  1).
b) S( 2  2).
c) 2S( 2  1).
d) 2S( 2  2). e) 4S( 2  1).
66) (UERJ 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo
comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta.
Observe o esquema:
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20
m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.
17
67) (UFRGS 2013) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com
medidas a e b.
A área da região sombreada é
a) 2ab.
b) a2  b2 .
c) a2  2ab  b2 .
d) a2  2ab  b2 .
e) a2  b2 .
68) (UECE 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas
linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas
diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m2, é
a) 80
b) 90
c) 108
d) 1182
69) (UFG 2013) Alguns agricultores relataram que, inexplicavelmente, suas plantações apareceram
parcialmente queimadas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir,
correspondendo às regiões internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos centros são os
vértices de um triângulo com lados medindo 30, 40 e 50 metros.
Nas condições apresentadas, a área da região queimada, em m2, é igual a:
a) 1100π
b) 1200π
c) 1300π
d) 1400π
e) 1550π
70) (INSPER 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB  b e AD  h, que foi
dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.
suur suur
suur
As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE  x e AF  y, a razão
a)
2 2
.
3
b)
2
.
2
c)
3
.
2
d)
6
.
4
x
é igual a
b
e)
6
.
3
18
71) (INSPER 2013) Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo,
conforme a figura abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
— as medidas s e t sejam diferentes;
— a área da piscina seja 50 m2;
— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;
— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.
Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água
que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a
terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a
a) 10,00 m
b) 13,33 m
c) 16,67 m
d) 20,00 m
e) 23,33 m
72) (UPE 2013) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como
mostra a figura abaixo:
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse
paralelogramo?
a) 12 cm2
b) 16 cm2
c) 24 cm2
d) 32 cm2
e) 36 cm2
73) (G1 - CFTRJ 2013) Em uma parede retangular de 12m de comprimento, coloca-se um portão
quadrado, deixando-se 3m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao redor do portão é 39m2
(figura abaixo). Qual é a altura da parede?
a) 3m
b) 3,9m
c) 4m
d) 5m
19
74) (UFRGS 2013) Observe a figura abaixo.
No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região
sombreada é
π
4
a) 3  .
b) 4 
π
.
2
c) 3  π.
d) 4  π.
e) 3 
π
.
2
75) (UEPB 2013) Sabendo que a área do triângulo acutângulo indicado na figura é 100 3 cm2 , o ângulo
β é:
a)
π
6
b)
π
4
c)
π
3
d)
π
8
e)
π
5
76) (UNICAMP 2013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:
AB  20, BC  15 e AC  10.
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD  3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC.
Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD
relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.
77) (FUVEST 2013)
20
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo
do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo
comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de
modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que AB  4 e que a distância
de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB’C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.
78) (UFG 2013) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como ilustra a
figura a seguir.
Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha,
determine a área da região varrida por essa palheta.
Dado: π  3,14
79) (FUVEST 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA  OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a
ˆ
medida do ângulo AOB,
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
a) 14  θ  28
b) 15  θ  60
tg 14  0,2493 , tg 15  0,2679
tg 20  0,3640 , tg 28  0,5317
c) 20  θ  90
d) 25  θ  120
e) 30  θ  150
80) (G1 – CFTMG 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta pela
justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm2, é igual a
a) 12
b) 18
c) 22
d) 24
81) (G1 - IFCE 2014) O plantio da grama de um campo de futebol retangular foi dividido entre três
empresas. A primeira empresa ficou responsável por
4
da área total, a segunda empresa ficou
7
3
da área total e a última empresa pelos 900 m2 restantes. Sabendo--se que o
10
comprimento do campo mede 100 m, sua largura é
responsável por
a) 66 m
b) 68 m
c) 70 m
d) 72 m
e) 74 m
21
82) (G1 - EPCAR (CPCAR) 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e
AB  BC  CD  DE  EA são arcos de circunferência cujo raio mede a.
Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a
a)
5a2  π
3 
 

2 3
2 
π
b) 5a2 
3

3

2 
c)
a2
4π  5 3
4



d) a2 4π  5 3

83) (G1 - CFTMG 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25m2. Sabendo-se que o
metro linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade
instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de
a) 420,25
b) 450,00
c) 500,00
d) 506,75
84) (G1 - CPS 2014) A Jornada Mundial da Juventude (JMJ) aconteceu no Rio de Janeiro, em julho de
2013, e atraiu visitantes do Brasil e de vários outros países.
Segundo a Prefeitura do Rio, 3,2 milhões de pessoas compareceram à cerimônia de encerramento da
JMJ, que ocorreu na Praia de Copacabana.
(folha.uol.com.br/poder/2013/07/1318073-calculo-oficial-de-3-milhoes-de-pessoasem-copacabana-esuperestimado-diz-datafolha.shtml Acesso em: 16.08.2013. Adaptado)
A área da superfície ocupada pelas pessoas que compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ
equivale à área da superfície de cerca de N campos de futebol do estádio do Maracanã.
Sabendo-se que o campo de futebol do Maracanã tem forma retangular com dimensões de 105 metros
por 68 metros e adotando-se que, em uma concentração de grande porte como essa, um metro
quadrado é ocupado por 4 pessoas, em média; então, considerando os dados apresentados, o número
inteiro positivo mais próximo de N será
a) 45
b) 57
c) 112
d) 136
e) 144
86) (G1 - UTFPR 2014) A área do círculo, em cm2, cuja circunferência mede 10π cm, é:
a) 10π.
b) 36π.
c) 64π.
d) 50π.
e) 25π.
87) (UFRGS 2013) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices
opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo.
Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede
a) 3  2 2.
b) 6  4 2.
c) 12  4 2.
d) π  3  2 2  .
e) π   6  4 2  .
22
88) (G1 - CFTMG 2013) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está dividido em quatro partes de
bases paralelas e com a mesma altura, como representado na figura abaixo.
A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja área, em cm2, é
a)
3
.
16
b)
5 3
.
32
c)
7 3
.
64
d)
9 3
.
128
89) (INSPER 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos
menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a
sua área aumentará
XY 
a)  X  Y 
 %.

XY
b)  XY 
 %.
100 

X  Y  XY 
c) 
 %.
100 

100
d) (X  Y)%.
e) (XY)%.

90) (IBMECRJ 2013) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 1. A razão
entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é
igual a
a)
1
.
2
b)
1
.
3
c)
3
.
5
d)
5
.
7
e)
5
.
8
91) (UFSC 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada
por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura.
Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo
ABC é igual a 27 3 cm2 , determine a medida do raio desta circunferência em centímetros.
23
92) (G1 - IFCE 2014) Um terreno retangular mede 270 m2 de área, cujo comprimento está para sua
largura, assim como 6 está para 5. A sua largura e o seu comprimento são, respectivamente,
a) 18m e 16m
b) 19m e 17m
c) 18m e 15m
d) 17m e 14m e) 20 m e 18 m
93) (ENEM - PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja
instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O
valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é
(Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.)
a) 30
b) 34
c) 50
d) 61
e) 69
94) (UFG 2012) Uma chapa retangular com 170 cm2 de área é perfurada, por etapas, com furos
triangulares, equiláteros, com 1 cm de lado, como indica a figura a seguir.
O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e não há
interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, aproximadamente,
Dado: 3  1,7
a) 10%
b) 30%
c) 70%
d) 80%
e) 90%
95) (UEA 2014) Admita que a área desmatada em Altamira, mostrada na fotografia, tenha a forma e as
dimensões indicadas na figura.
Usando a aproximação 3  1,7, pode-se afirmar que a área desmatada, em quilômetros quadrados, é,
aproximadamente,
a) 10,8
b) 13,2
c) 12,3
d) 11,3
e) 15,4
24
96) (ESPM 2014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 24cm2 . M e N são pontos
médios de BC e CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a:
a) 20 cm2
b) 16 cm2
c) 12 cm2
d) 15 cm2
e) 18 cm2
97) (UERJ 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro 3R,
conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) R2
b)
R2
4
c)
R2
2
d)
3R2
2
98) (ACAFE 2014) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida
do lado do quadrado é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm2, é igual a:
a) 4  π  2  .
b) 8  π  4  .
c) 8  π  2 .
d) 4  π  4  .
99) (UEMG 2013) Para a construção de uma caixa sem tampa, foi utilizado um pedaço retangular de
papelão com dimensões de 35 cm de comprimento por 20 cm de largura. De cada um dos quatro cantos
desse retângulo, foram retirados quadrados idênticos, de lados iguais a 5 cm de comprimento. Em
seguida, as abas resultantes foram dobradas e coladas.
Para revestir apenas a parte externa da caixa construída, foram necessários
a) 600 cm2 de revestimento
b) 615 cm2 de revestimento
c) 625 cm2 de revestimento
d) 610 cm2 de revestimento
100) (CEFET-MG 2013) Na figura seguinte, representou-se um quarto de circunferência de centro O e
raio igual a 2 .
25
Se a medida do arco AB é 30°, então, a área do triângulo ACD, em unidades de área, é
a)
3
.
2
b)
3
.
4
c)
2.
d)
3.
e)
6.
101) (FGV 2014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$400,00.
O Sr. Joaquim possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a diferença entre a
medida do lado maior e a do menor é 22 metros. O valor do terreno do Sr. Joaquim é:
a) R$ 102 600,00 b) R$ 103 700,00 c) R$ 104 800,00 d) R$ 105 900,00 e) R$ 107 000,00
102) (PUCRS 2014) A área ocupada pela arena do Grêmio, no bairro Humaitá, em Porto Alegre, é de
200 000m2, e o gramado do campo de futebol propriamente dito tem dimensões de 105m por 68m. A
área de terreno que excede à do campo é, aproximadamente, de _________ m2.
a) 7000
b) 70000
c) 130000
d) 193000
e) 207000
103) (G1 - CFTMG 2014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões,
conforme a figura seguinte.
Sabe-se que:
- AOB representa o setor circular de raio 2 m com centro no ponto O.
- CDEF é um quadrado de área 1 m2 .
π
- a área da região II é igual a 
3

3 2
m .
2 
- a região IV é reservada para o plantio de flores.
A área, em m2, reservada para o plantio de flores é
a)
π
.
3
b)
π
.
2
c)
2π
.
3
d)
3π
.
2
104) (UFG 2014) Na figura a seguir, as circunferências C1, C2, C3 e C4, de centros O1, O2, O3 e O4 ,
respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à circunferência C de
centro O e raio R.
Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os centros
O1, O2 , O3 e O4 .
26
105) (MACKENZIE 2013) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas
constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a
área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede
a) 5 m
b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m
106) (UFRGS 2014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos
pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.
A área da região sombreada é
a) 4 π  8  8 2 .
b) 4 π  8  4 2 .
c) 4 π  4  8 2 .
d) 4 π  4  4 2 .
e) 4 π  2  8 2 .
107) (G1 - CFTRJ 2014) Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a
sua área, em cm2, é um número:
a) no máximo igual a 9 b) no máximo igual a 8 c) no máximo igual a 7 d) no máximo igual a 6
108) (UFMG 2013) Um quadrado Q tem área igual à área de n quadrados de área unitária de 1cm2,
mais a área de um quadrado K.
Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos.
a) Suponha que n  19 e que a área do quadrado Q é de 100 cm2. CALCULE a medida do lado do
quadrado K.
b) Suponha que o lado do quadrado K mede 8 cm e que n  57. CALCULE a medida do lado do
quadrado Q.
109) (UPF 2014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os
gráficos das funções reais f e g, com f(x)  x 2 e g(x)  x.
Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é:
a) 2
b) 1,5
c) 2
d) 1
e) 0,5
110) (UNIOESTE 2013) Uma empresa de cerâmica desenvolveu uma nova peça (de cerâmica) para
revestimento de pisos. A peça tem formato de hexágono não regular na forma do desenho da figura. Na
figura, os segmentos AB e DC são paralelos entre si, bem como os segmentos AF e DE e os segmentos
BC e EF. Também o ângulo BAF mede 90° e o ângulo DEF mede 45°. A empresa fabrica esta peça
com todos os lados de mesma medida l . A área desta peça, em função do lado l , é
27
a) 2l 2 .
b) l 2 2.
c) 6l 2.
d)
l2 2
.
2
e)
l2
.
2
111) (INSPER 2013) Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo,
conforme a figura abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
— as medidas s e t sejam diferentes;
— a área da piscina seja 50 m2;
— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;
— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.
Para ajudar Suzana a minimizar seus custos com revestimento, seu sobrinho, estudante de
Administração, montou o gráfico abaixo, que representa a função C(t) 
O valor de s para que esse custo seja mínimo é
a) 10,5m
b) 11,0m
c) 11,5m
4800
 75t.
t
d) 12,0m
e) 12,5m
28
$  30, pode-se
112) (FGV 2014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC  5 e ABC
afirmar que a área do triângulo ABC é:
a) 3,025 3
b) 3,125 3
c) 3,225 3
d) 3,325 3
e) 3,425 3
113) (PUCRJ 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como
apresentado na figura abaixo.
µ
a) Calcule o ângulo AOB.
b) Calcule a área da região hachurada.
c) Calcule a área do triângulo ABC.
114) (FGV 2014) A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro
semicírculo de diâmetro 2R e centro O.
a) Calcule o perímetro da parte sombreada.
b) Calcule a área da parte sombreada.
115) (IFSC 2014) Ao fazer uma figura, através da técnica de Kirigami (arte tradicional japonesa de
recorte com papel, criando representações de determinados seres ou objetos), uma pessoa precisou
recortar uma folha A4 no formato da figura a seguir (um triângulo retângulo e três quadrados formados a
partir dos lados do triângulo). Sabe-se que a soma das áreas dos três quadrados é 18 cm2.
Em relação aos dados acima, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S).
01) A área do quadrado 2 é 8 cm2.
02) Com as informações dadas, podemos determinar os valores dos lados dos quadrados 1 e 3.
04) A soma das áreas dos quadrados 1 e 3 é 9 cm2.
08) O lado do quadrado 2 vale 3 cm.
16) Os lados dos três quadrados apresentados estão relacionados pelo teorema de Pitágoras.
29
116) (PUCRJ 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo
6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando
por B. Veja a figura abaixo.
a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D
custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca?
b) Calcule a área da região hachurada ABDE.
c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui
cateto BB’  2BC, calcule a área do triângulo BB’D’.
117) (UEMA 2014) Analise a situação a seguir: Um arquiteto foi contratado para decorar a entrada de
um templo religioso, no formato de um triângulo equilátero, com uma porta de madeira, cujas dimensões
medem 1,05m por 2,5m, inserida neste triângulo. Sabe-se ainda que a altura do triângulo mede 4,25m
e que a área da porta não receberá decoração. A área, em metros quadrados, a ser decorada é igual a
(use 3  1,7).
a) 10,0
b) 9,5
c) 8,5
d) 8,0
e) 7,0
118) Um quadrado e um losango têm o mesmo perímetro. Determinar a razão entre a área do quadrado
e do losango sabendo que as diagonais do losango estão entre si como
3
e que a diferença entre elas
5
é igual a 40 cm.
119) Determine a área de um quadrado cujo lado é igual ao lado de um octógono regular inscrito em um
círculo cujo raio mede 1 m.
120) Determine a área de um triângulo eqüilátero:
a) em função do raio R da circunferência circunscrita a esse triângulo;
b) em função do raio r da circunferência inscrita nesse triângulo.
121) Determine o perímetro de um triângulo retângulo sabendo que sua área é igual a 9cm2 e que a
hipotenusa é o dobro da altura relativa a ela.
30
 PARTE A – Triângulos 
1) a) 12m 2
b) 80m2
c) 60m2
d) 10m2
g) 25 3m 2
h) 6 6 m2
i) 12 5m 2
2) 20cm2
3) 9 3cm2
2
4) 12m
5) 48cm2
6) a) 25 3m 2
b)
8) a) 4 3m2
b)
f) 30 2m 2
100 3 2
m
3
7) a) 12m
3 2
m
3
2
9) a) 30 2cm 2
e) 15 3m2
b) 20 3m2
b)
60 2
cm
11
c)
20 2
cm
3
 PARTE B – Quadriláteros 
10) a) 60m 2
b) 49m 2
c) 20m2
11) 300cm 2
12) 36m
13) 60cm2
14) 120cm2
15) a) 25m2
b) 50m2
16) a) 60m2
b) 8 21m 2
17) a) 96m2
b) 18 3m2
18) a) 99m2
b) 120m 2
19) a) 10m2
b) 6 4  5 3 cm 2
21) a) 24cm2
b) 2 3 m 2


d) 25m2
e) 120m 2
20) a) 192cm 2
f) 40m2
b) 18cm 2
c) 42cm
22) 30 m 2
 PARTE C – Polígonos Regulares 
23) a) 150 3cm2
24) 200 2cm 2
b)
75 3 2
cm
2
c) 6 3cm2
d) 54 3cm2
25) 300cm2
 PARTE D  (Círculo e suas partes)
26)
a) C  10 cm e A  25 cm 2
b) C  20 cm e A  100 cm 2
c) C  2 3 cm e A  3 cm 2
d) r  3 cm e A  9 cm 2
e) r  7 cm e A  49 cm 2
g) r  4 cm e C  8 cm
f) r  5 2 cm e A  50 cm 2
h) r  6 cm e C  12 cm
i) r  5 cm e C  2 5 cm
j) r  2 3 cm e C  4 3 cm
31
27) a) A  75 cm 2
b) A 
50
 cm 2
9
c) A 
100
 cm 2
3
28) A  81 cm 2
29) a) A  64 cm 2 b) A  16 cm 2
30) a) A  36 cm 2 b) A  6 cm 2
31) a) C  8 cm
b) A  2 cm 2
32) a) A  64  16  cm 2
b) A  9  18 cm 2
c) A  4 cm 2
33) A  16  4 m 2
34) r  10 cm
35) R $ 2.637,60
36) a) R $ 1.702,40
b) R $ 27.438,08
37) A  28 m 2
38) a) A  111.400 m 2
b) A  79.250 m 2
39) A  25  2  m 2
40) A  2  2  m 2
42) A  2.512 cm 2
41) a) A 
43) a) A 
75
 m2
4
9
 cm 2
2
b) A 
725
 m2
4
4
3


44) A     3  cm 2
b)   30o
 PARTE E – Vestibulares – Exercícios Gerais 
45) Alternativa C.
Solução: Sejam x, x  r e x  2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r  0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x  3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem
3r  4r  5r  6  r 
1
.
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
2
3r  4r
 1
 6     1,5 m2 .
2
2
46) Alternativa D.
Solução:
Como a área do terreno mede 120  60  7200 m2 , segue que havia no show
7200
 72 banheiros.
100
47) Soluções:
a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é
2  [(23  6)  (14  6)]  8  3  74 u.c.
Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c.
b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por
23  14  4  32  322  36
 286 u.a.
c) A caixa formada tem dimensões 17  8  3. Portanto, seu volume é igual a
17  8  3  408 u.v.
32
48) Alternativa C
Solução:
Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por
1  0,82  1  0,64  0,36  36%.
49) Soluções:
a) Sabendo que D  (3, 0), vem x A  xD  3. Além disso, como A pertence à parábola, temos
y A  f(x A )
32 11
 3  3
6
6
 1.

b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yB  y A  1. Assim,
x 2C 11
 x C  3  1  xC2  11x C  24  0
6
6
 xC  8
e, portanto, C  (8, 0).
c) A área do retângulo ABCD é dada por
(x C  xD )  | f(x A ) |  (8  3)  | 1|  5 u.a.
50) Alternativa C
Solução:
Do triângulo ABC, obtemos
µ  BC  BC  1  40  20 cm
senBAC
2
AC
e
µ  AB  AB  3  40  34 cm.
cosBAC
2
AC
µ  45, segue que AD  DE  BC  20 cm.
Além disso, como DAE
Portanto, a área do triângulo ACE é dada por
(ACE)  (ADC)  (ADE)
34  20 20  20


2
2
 140 cm2 .
51) Alternativa B.
33
h2  52  102
h2  100  25
h2  75
h  5 3cm
Portanto, a área da bandeirinha será:
A  10.15 
10.5 3
 150  25 3  25(6  3 )cm2
2
52) Alternativa A
Solução: Seja S ' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como S  N  y 2 , S'  X 9y 2 e S '  S,
temos
X 9y 2  N  y 2  X 
N
.
9
53) Alternativa D
Solução: Sejam l , l  5 e l  10 as medidas dos lados do triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de
Pitágoras, vem
( l  10)2  l 2  (l  5)2  l 2  20l  100  l 2  l 2  10l  25
 l 2  10l  75  0
 l  15 cm.
Logo, o resultado pedido é
15  20
 150cm2 .
2
54) Alternativa A
Solução: Seja l a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina.
Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do
hexágono, obtemos
l  25  tg30 
25 3
m.
3
Desse modo, a área da piscina é dada por
2
3
3l 2 3 9  25 3 
 
  3
2
2  3 
1875

 3
2
 1.623,8 m2
e, portanto, 1.600 m2 é o valor que mais se aproxima da área da piscina.
55) Alternativa A
Solução:
1 2
1
 l  sen , enquanto que a área de T2 é igual a  l 2  sen 2. Logo, sabendo
2
2
que a área de T1 é o triplo da área de T2, vem
A área de T1 é dada por
1 2
1
 l  sen   3   l 2  sen2  sen   3  2  sen   cos 
2
2
1
 cos   .
6
34
56) Alternativa D.
Considere a figura.
Sabendo que BE  25 cm, DE  12cm e CE  5cm, obtemos
(ABCD)  (ABED)  (CDE)
CE  DE
2
5  12
 25  12 
2
 BE  DE 
 270cm2 .
57) Alternativa A
CB  AB  x
2πx  12 π
x6
Logo a área será
A  π.(122  6 2 )  108 π
58) Alternativa C
Solução:
O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja,
1500  18  1,5  40500  40.000.
59) Alternativa C.
Dimensões da praça:
15 + 2 + 2 = 19m
20 + 2 + 2 = 24m
Portanto, sua área total será 19  24  456 m2 .
Área da parte interna será 15  20  300 m 2 .
Logo, a área da calçada será 456  300  156 m2 .
60) Alternativa C.
Solução: O resultado pedido é dado por
3  22  3
 π  12  6  1,7  3  7,2cm2 .
2
61) Alternativa D
Solução:
Temos 50  1000  50000 cédulas. Logo, a área da superfície ocupada por essas cédulas é dada por
35
50000  14  6,5  4550000 cm2
 455 m2 .
62) Alternativa B
Solução:
Sabendo que o lado do quadrado é igual R 2, segue que a área da região sombreada é dada por
1
R 2 (p  2)
[ pR2  (R 2)2 ] 
.
2
2
63) Alternativa A.
Solução:
Sejam φ  π 2  90, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.
2
x 2  x 2   2R   x 2  2.R2
1
 π  R2
S(φ) 2
π  R 2 π  R2 π



 2
1
T(φ)
x2
2R2
xx
2
64) Alternativa A
Solução: Considere a figura.
A área do polígono P é dada por
(ABCDEG)  (ABFG)  (CDEF)
 AG  FG  CF  EF
 (x  1)  (7  x)  (8  x)  (2x  8)
 3  (x 2  10x  19)
 3  [(x  5)2  25  19]
 18  3  (x  5)2 .
Portanto, a área do polígono P é máxima para x  5, e seu valor é 18cm2 .
36
65) Alternativa C
Solução:
Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135, segue-se que os quatro triângulos,
resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a
a 2
. Logo,
2
como a área do quadrado destacado no centro do octógono é S  a 2 , tem-se que o resultado pedido é


4   1  a 2  a 2  a  a 2   S  a 2  2 2a2  S
2
2 
2 2
 2S 2  2S
 2S( 2  1).
66) Solução: Sejam hA e hB , respectivamente, as alturas dos trapézios A e B.
Como A e B são trapézios, e as frentes dos terrenos têm o mesmo comprimento, segue que a lateral
maior do terreno A (ou lateral menor do terreno B) é a base média do trapézio maior formado por A e B.
Daí, hA  hB  h e, portanto,
x  20
2 h
1
x  60
1
2
 

x  20
2
3x  20 2
x
2
h
2
 x  100 m.
20 
67) Alternativa D
Solução:
A área da região sombreada corresponde à área do quadrado de lado a  b, ou seja,
(a  b)2  a2  2ab  b2 .
68) Alternativa C
Solução:
Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos:
h2  122  152  h  9m.
(15  9)  9
A
 108m2
2
37
69) Alternativa D
Na figura A, B e C são centros das circunferências de raios x, y e z respectivamente.
De acordo com as informações do enunciado, temos:
 x  z  50 (I)

 x  y  40 (II)
 y  z  30 (III)

Fazendo (I) – (II) – (III), temos 2y  20 , logo:
y  10, x  30 e z  20
Portanto, a área pedida será dada por:
A  π.x 2  π.y2  π.z2
A  π.(302  102  202 )
A  1400 π
70) Alternativa E
Solução: Seja (AEF)  2S. Pela simetria da figura, temos (EBDF)  (BDHG)  S. Além disso, os triângulos
AEF e ABD são semelhantes por AA.
Portanto, como
(ABD)  (AEF)  (EBDF)  3S,
tem-se
2
(AEF)  x 
2S  x 
  
 
(ABD)  b 
3S  b 

2
x
6

,
b
3
que é o resultado pedido.
71) Alternativa E.
Solução:
Considere a figura.
38
Sabendo que BE  DF  7 m e BF  DE m  3, segue que AE  t  7 e CF  s  3. Logo, como os triângulos
AED e DFC são semelhantes, vem
CF DF
s 3
7



3
t7
DE AE
3t
s
.
t7
Além disso, como a área da piscina é 50 m2 e s  t, encontramos
s  t  100 
3t
 t  100
t7
 3t 2  100t  700  0
 t  23,33.
72) Alternativa E
Solução:
Considere a figura, com CF  DE  8cm.
Como BF é hipotenusa do triângulo retângulo BCF, segue que BF  CF  8cm. Logo, AB  4,5cm e a
área pedida é dada por
AB  CF  4,5  8  36 cm2 .
73) Alternativa C
Solução:
h = altura da parede.
L = medida do lado do portão (L = 12 – 6 – 3 = 3m)
A = área total (parede ao redor do portão + portão).
A1 = área da parede ao redor do portão.
A2 = área do portão;
Considerando os dados acima, escrevemos:
A = A1 + A2
12.h = 39 + 32
12h = 48
h= 4m
Portanto, a altura da parede é de 4m.
74) Alternativa E
Solução:
Considere a figura.
39
2
 1. Assim, a
2
área da região sombreada corresponde à diferença entre o triplo da área do quadrado PFCG, e a área
do semicírculo de raio 1, ou seja,
Traçando EG P AD e FH P AB, dividimos o quadrado ABCD em quatro quadrados de lado
3  12 
π  12
π
3 .
2
2
75) Alternativa C
Solução:
A área do triângulo é tal que
1
3
 16  25  sen β  100 3  sen β 
.
2
2
π
Portanto, como o triângulo é acutângulo, segue que β  rad.
3
76) Soluções:
a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:
H 15

 5.
h
3
b) H é a altura relativa ao lado AC.
Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:
p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2
A
45  45
  45
  45

.
 20  . 
 15  . 
 10 
2  2
2
2



A
45 5 15 25
 

2 2 2 2
A
32.5.5.3.5.52
4
A
3.5.5. 15
4
AC.H 75 15

2
4
10.H 75 15

2
4
H
15 15
4
40
77) Soluções:
a) A = 4  3 = 12.
3
x
b) No triângulo ADE, senθ  .
Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:
1
1
3
 2x  4  senθ   2x  4   12.
2
2
x
3
c) Considerando que senθ  sen(180  θ)  .
x
A
S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)
S(A’B’C’D’) =
1
1
1
1
.2x.4.sen(θ)  .2.4x.sen(180  θ)  .2x.4.sen(θ)  .2.4x.sen(180  θ)  12
2
2
2
2
S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12
S(A’B’C’D’) = 60
78) Solução:
A
135 π(50 2  (50  40)2 )
 900 π  900  3,14  2826cm2
360
79) Alternativa E
Solução:
Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.
41
Do triângulo retângulo OMB, obtemos
µ  BM  MO  AB .
tgMOB
θ
MO
2 tg
2
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB  1. Assim,
(AOB) 
AB  MO

2
1
4 tg
θ
2
.
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se
(ABCD)  (AOB)  12 
1
4 tg
θ
2
θ 1
  0,25.
2 4
Logo, como tg15  0,2679  0,25 e 0  θ  180, vem que 30  θ  180. Note que ]30, 150[  ]30, 180[.
 tg
80) Alternativa D
Solução:
A área pedida é dada por
 1 2  2 1 2  11
2
4 
 
  4  6  24cm .
2
2
2 2 
81) Alternativa C
Solução:
Seja l a largura do campo. Tem-se que
61 9
4 3 
1  
 1

.

70 70
 7 10 
Portanto,
9
 100  l  900  l  70 m.
70
82) Alternativa A
Solução:
Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas, sim,
cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo.
Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do segmento
circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida.
 π  a2  60 a2  3  5  a2
A T  5.


 360
4 
2

π
3
 

2 
3
83) Alternativa C
Solução:
Lado do quadrado: 5m
Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m
Valor pedido: 20  (23,25  1,75)  20  25  R$500,00
42
85) Alternativa C
Solução:
3.200.000  N  105  68  4  N 
3.200.000
 N  112,0448179
105  68  4
Ou seja, N é aproximadamente 112.
86) Alternativa E.
Solução:
2π  r  10 π cm,
Logo, r = 5 cm. Portanto, sua área será dada por: A  π  52  25π cm2 .
87) Alternativa A
Solução:
É fácil ver que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro dos círculos. Logo, se r é a medida do raio
dos círculos, então 2r  2 2  r  2. Daí, segue que AB  AC  2  2 e, portanto,
(ABC) 
AB  AC
2
(2  2 )2
2
 3  2.

88) Alternativa C
Solução:
A(ABCD) = A(BAC) – A(BDE)
2
A  ABCD  
12 3  3 
3
3 9 3 7 3
  



4
4
4
64
64
4
89) Alternativa A
Solução:
A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por
Y  
X 

X 1 
  Y  1  100  .
100

 

Logo, o resultado pedido é
Y  
X 

X 1
  Y  1  100   X  Y
X
Y
XY
100



 

 100%   1 


 1  100%
XY
 100 100 10000 
XY 

 X Y
%.
100 

43
90) Alternativa A
Solução:
A área do quadrado ABCD é igual a 122  144 u.a.
A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais 3 2 e
2. Logo, sua área é dada por
3 2 2
16 
 48 u.a.
2
Portanto, o resultado é
48
1
 .
144  48 2
91) Solução:
Como os arcos determinados por A, B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é
equilátero. Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de
raio r é dada por
3 3 2
 r , temos
4
3 3 2
 r  27 3  r  6cm.
4
92) Alternativa C.
Solução:
Considerando os lados do triângulo 6x e 5x, temos a seguinte equação:
5x  6x  270
30  x 2  270
x2  9
x3
Portanto, os lados do retângulo medem 6  3  18m e 5  3  15m.
93) Alternativa D
Considere a figura.
Do triângulo ACF, vem
µ  AC  cos ACF
µ  2,5
cos ACF
5
CF
µ
 ACF  60.
µ  180  ACF
µ  120.
Logo, ECF
Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH, seguese que a área pedida é dada por
44
1
µ  1  π  CF2   2   1  5  5  3  1  π  52 
2    AC  CF  senA CF

2 2

3
2 3
2



1
 25

 2
 1,7   3  25 
3
 8

 61 m2 .
94) Alternativa E
Solução:
Sabendo que o lado dos furos mede 1cm, segue que área de cada furo é dada por
12  3 17

cm2 .
4
40
Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro
termo igual a 1 e razão 3. Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a 1  13  3  40.
Portanto, o percentual pedido é igual a
170  40 
170
17
40  100%  90%.
95) Alternativa C
Solução:
sen30 
cos30 
y
 y  2,5
5
x
5 2
x
 4,25
5
3
Portanto, a área pedida será:
A  (1,5  x) 4  xy
A  (1,5  4,25) 4  4,25  2,5
A  23  10,625  12,375km2
96) Alternativa D
Solução:
Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD  BC e AB  CD.
Como a área de ABCD vale 24 cm2 , tem-se
1
µ  AD  CD  sen ADC
µ  24.
(ABCD)  2   AD  CD  sen ADC
2
µ  ABC
$ e BCD
µ  180  ADC.
µ Por conseguinte, o resultado pedido é dado
Além disso, sabemos que ADC
por
45
(AMND)  (ABCD)  (ABM)  (MCN)
1
$  1  CM  CN  senBCD
µ
 AB  BM  sen ABC
2
2
1
AD
µ  1  AD  CD  sen(180  ADC)
µ
 24   CD 
 sen ADC
2
2
2 2
2
1
µ  1  AD  CD  sen ADC
µ
 24   AD  CD  sen ADC
4
8
 24  6  3
 24 
 15cm2 .
97) Alternativa C
Solução:
A área do setor é dada por
»
R  AB
R  R R2


.
2
2
2
98) Alternativa C
Solução: Seja r o raio do círculo. Tem-se que
2  r  8 2  r  4 2 cm.
Portanto, a área hachurada, em cm2 , é dada por
1
1
 π  (4 2)2    π  (4 2)2  82   16 π  8 π  16
2
4
 8  ( π  2).
99) Alternativa A
Solução:
A  35  20  4  52  600 cm2 .
100) Alternativa A
Solução:
A medida do arco BD é 60°.
E o ângulo DAC mede 30°, pois é ângulo inscrito do arco BD.
2
2
A medida do segmento AD será dada por AD2  2  2  AD  2
46
A área A do triângulo ABC é igual a metade da área de uma triângulo equilátero de lado 2 (ver figura).
Logo,
22 3
3
.
A 4 
2
2
101) Alternativa B
Solução:
Sejam a e b as dimensões do terreno, com a  b. Logo,
2  (a  b)  78
a  b  39


a

b

22

a  b  22
61

a  2 m

.
b  17 m

2
Daí, segue que o valor do terreno do Sr. Joaquim é
61 17
  400  R$ 103.700,00.
2 2
102) Alternativa D
Solução:
200000  105  68  192860m2
103) Alternativa C
Solução:
Sabendo que (CDEF)  1m2 , é imediato que CF  1m. Logo, do triângulo OCF, vem
µ  CF  senCOF
µ 1
senCOF
2
OF
µ
 COF  30.
µ  90  30  60. Portanto, sendo AOF
µ  2  COF,
µ encontramos
Daí, tem-se que AOF
(AOF) 
2 π  22 2 π 2


m .
3
4
3
104) Solução:
Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R.
Como o triângulo OO1O2 é retângulo isósceles, segue-se que OO2  OO 4  r 2. Logo,
47
AB  AO2  O2 O4  O 4B  2R  2r  2r 2
r
R
2 1
 r  ( 2  1)  R.
Portanto, como O1O2O3 O4 é quadrado, temos
O1O2 O3 O4  (2r)2
 4  [( 2  1)  R]2
 4(3  2 2 )  R2 .
105) Alternativa B
Solução:
Perímetro do triângulo: P = 3x, onde x é a medida do lado.
Perímetro do hexágono: 63 – 3x, onde (21 –x)/2 é a medida do lado;
Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte equação:
2
3
3
 21  x 
6

 6  x2 
 441  42x  x 2  4x 2  3x 2  42x  441  0  x 2  14x  147  0

4
4
 2 
Resolvendo a equação, temos x = – 21 (não convém) ou x = 7.
106) Alternativa A
Solução:
Cálculo da área do octógono regular:
x2  x2  22  x  2
Portanto, a área A1 do octógono regular será dada por:
 x2 
2
A1   2  2x   4  

 2 



A1  2  2 2

2
2
 4
2
8 2 8
2
Cálculo da área A 2 dos oito semicírculos:
A2  8 
π  12
 4π
2
Logo, a área da figura será dada por:
A  A1  A 2  A  8 2  8  4π
107) Alternativa D
Solução:
Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC.
Temos então a área do triângulo pedida
48
1
 3  4  sen α
2
Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a  1, portanto a área máxima do triângulo
A
será:
A máx 
1
 3  4  1  6cm2
2
108) Solução:
Seja AQ a área do quadrado Q e AK a área do quadrado k, então temos A Q  n  1  AK .
a) Sendo k o lado do quadrado K , então:
100 = 19 + k2
k2 = 81
k = 9 cm
b) Seja q o lado do quadrado q, então:
q2 = 57 + 82
q2 = 121
q = 11 cm
109) Alternativa C
Solução:
Temos f(c)  c 2 e f(3c)  9c 2 , com c  0. Logo, sendo g a função identidade, vem c 2  g(c 2 ) e
9c 2  g(9c 2 ).
Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então
1
 (9c 2  c 2 )  (9c 2  c 2 )  160  40c 4  160
2
 c  2.
110) Alternativa B
Solução:
1
A  4  A  ΔDEF   4 l 2  sen45  l 2 2.
2
111) Alternativa E.
Solução:
Sabendo que a área da piscina mede 50 m2 , vem
s t
 50  s  t  100.
2
Do gráfico, temos que o valor de t para o qual o custo da borda de medida t é mínimo é 8 m. Portanto, o
valor de s para o qual o custo total é mínimo vale
s  8  100  s  12,5 m.
49
112) Alternativa B.
Solução: Tem-se que
$  AB  AB  5 3 u.c.
cos ABC
2
BC
Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é
1
$
(ABC)   AB  BC  sen ABC
2
1 5 3
1
 
5
2 2
2
 3,125 3 u.a.
113) Solução:
a) Sendo ΔABC equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos congruentes de
medida igual a
360
 120.
3
b) Sabendo que o lado l de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio r, é dado por l  r 3,
segue-se que AB  1  3  3 u.c. Portanto, a área pedida é igual a
1 
( 3)2  3  1
  π  12 
 (4 π  3 3) u.a.

3 
4
 12
c) Do item b), vem
(ABC) 
( 3 )2  3 3 3

u.a.
4
4
114) Solução:
a) Considere a figura.
Como AO  BO  AB  R, tem-se que o triângulo ABO é equilátero. Logo, o perímetro da parte
sombreada é dado por
¼  ADB
¼  1  2π  R  1  2π  R
ACB
6
2
2
5 πR

u.c.
6
b) A área da parte sombreada é igual a
2 
1
1
R2  3  R2  3
1
R 
 π       π  R2 

 π  R2

2
2
4 
4
24
6

R2 
π
 3   u.a.
4 
6
115) Resposta: 04 + 08 + 16 = 28.
Solução:
A área do quadrado 1 será dada por A1  b2 , onde b é a medida do lado desse quadrado.
A área do quadrado 2 será dada por A 2  a2 , onde a é a medida do lado desse quadrado.
50
A área do quadrado 3 será dada por A3  c 2 , onde c é a medida do lado desse quadrado.
Podemos, então, escrever o seguinte sistema:
2
2
2
a  b  c
 2
a  b2  c 2  18
Resolvendo o sistema, temos 2a2  9, ou seja, a = 3.
[01] Falsa. A área do quadrado 2 é 9.
[02] Falsa. O sistema possui duas equações e três incógnitas.
[04] Verdadeira. Pois, b2 + c2 = a2 = 9.
[08] Verdadeira. Pois, a = 3.
[16] Verdadeira. Pois formam um triângulo retângulo.
116) Solução:
a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo.
Temos BC  AC  AB  15  7  8 m. Daí, sendo AE  CD  6 m, aplicamos o Teorema de Pitágoras no
triângulo BCD para encontrar BD  10 m.
Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a 7  100  10  200  R$ 2.700,00.
b) Se ACDE é um retângulo, então
AB  DE
 AE
2
7  15

6
2
(ABDE) 
 66 m2 .
c) Como BB '  2  BC  16 m e B 'D '  CD  6 m, segue que o resultado pedido é
1
 BB'  B'D'
2
1
  16  6
2
(BB'D) 
 48 m2 .
117) Alternativa D
Solução:
Sabendo que a área S de um triângulo equilátero de altura h é dada por
S
h2 3
,
3
tem-se que o resultado pedido é igual a
(4,25)2  1,7
 1,05  2,5  10,24  2,63
3
 7,61m2 .
118)
34
30



119) 2  2 m 2
120) a)
3 R2 3
4
b) 3 3 r 2

121) 6 1  2 m 2
51