Desenho e Projeto de
Tubulação Industrial
Nível II
Módulo I
Aula 04
Cedac E-Learning
Geometria Plana
Triângulos
TRIÂNGULOS
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor
número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo
possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e
bissetrizes.
elementos
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Triângulos
Altura de um ponto “A” em relação a um segmento PQ de uma reta r
Seja “s” perpendicular a “r” que passa por A e H ( ponto de concorrência entre “r” e
“s”) . A medida de “h” = AH é a altura do ponto A ao segmento PQ.
Alturas de um triângulo: O triângulo apresenta três alturas, cada uma relativa a um
lado. Supondo que o lado base seja BC, a altura h será um segmento de reta traçado
a partir do vértice A de forma a encontrar o lado oposto formando um ângulo reto. AH
é uma altura do triângulo, indicada por h.
Altura relativa ao lado (base) BC
Altura relativa ao lado (base) AB
As três alturas de um triângulo
concorrem (interceptam-se) em
um mesmo ponto O denominado
ortocentro.
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Triângulos
Medianas de um triângulo: Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do
triângulo ao ponto médio do lado oposto.
O ponto de interseção das três
medianas é o baricentro ou centro
de gravidade G do triângulo. O
baricentro divide a mediana em dois
segmentos. O segmento que une o
vértice ao baricentro vale o dobro
do segmento que une o baricentro
ao lado oposto deste vértice.
Mediatrizes de um triângulo: A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do
triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se
encontram em um único ponto, o circuncentro (CC), que é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo
O circuncentro (CC) é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
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Triângulos
Bissetrizes de um triângulo: A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao
segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que
partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.
Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas
chama-se incentro (CI).
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é
denominado círculo inscrito.
Nota: Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do
lado adjacente.
Um ângulo interno e seu externo correspondente são suplementares, isto é somam 180º
Um ângulo externo tem a medida da soma dos dois internos não adjacentes.
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Triângulos
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Em relação aos lados
Equilátero
Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja com
medidas iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos
internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono
regular.
Isósceles
Um triângulo isósceles apresenta dois e somente dois de seus lados com a
mesma medida. O lado diferente é costumeiramente chamado de base e o ângulo
formado pelos lados iguais é chamado de ângulo do vértice.
No triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
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α
Ξ
Triângulos
β
Escaleno
Um triângulo escaleno não apresenta nenhum par de lados congruentes.
AB ≠ BC , AB ≠ AC e AB ≠ AC
Em relação aos ângulos
Acutângulo
Possui 3 ângulos agudos ( menores que 90º).
α, β
e
γ
são agudos.
Obtusângulo
Possui 1 ângulo obtuso ( entre 90º e 180º).
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Triângulos
90º < α < 180º
Retângulo
Possui 1 ângulo reto e 2 agudos.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
Considere um triângulo qualquer ABC com ângulos internos
α, β e γ:
Ao traçarmos as retas suportes dos lados e uma paralela a uma delas ( no
caso paralela a reta suporte do lado AC), teremos retas paralelas (
“cortadas”por duas transversais (
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t
e
r
e
s
)
u)
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Triângulos
Verifique:
O ângulo
α e consecutivo
esquerdo de β são alternos internos.
O ângulo
γ e consecutivo
direito de
β são
alternos internos.
α + β + γ = 180º
“ A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º ”.
Quanto aos ângulos externos temos:
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“ A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360º “.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas
não necessariamente o mesmo tamanho
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Triângulos
As ampliações e as reduções fotográficas e de mapa são figuras semelhantes.
Quando dois triângulos são semelhantes eles têm a mesma trinca de ângulos
e os lados correspondentes são proporcionais
Exemplo:
Temos dois triângulos: ABC e BDE.
Observe que os ângulos de vértice B dos dois triângulos têm a mesma
medida, são opostos pelo vértice. Os dois têm ângulos retos, logo os ângulos de vértices
C e E são congruentes.
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Triângulos
Os triângulos ABC e BDE são semelhantes.
Aplicação:
Os conceitos fundamentais da trigonometria surgiram da verificação da
semelhança entre triângulos retângulos. Por exemplo: o seno do ângulo de 30º é ½,
significa que a relação entre o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa de um
triângulo retângulo qualquer é de 1 para 2.
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Triângulos
Condição de existência de um triângulo
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de
qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que
o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
Sendo a, b e c lados de um triângulo, vale:
|b−c|<a<b+c
Exemplo:
É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 3 cm e 4 cm?
Observe
que,
se
“fixarmos”
nas
extremidades do lado maior os lados
menores, não conseguiremos encontrar
uma posição para que eles se encontrem e
formem um triângulo.
Isso ocorre porque a soma das medidas
dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor do
que a medida do lado maior (8): 8 > 3 + 4
Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que acontece.
Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm.
Como no exemplo anterior se “fixamos” as
extremidades para procurar a posição que
formará o triângulo veremos que os dois
lados menores (4 cm cada um) só se
encontrarão sobre o lado maior (8 cm).
Isso ocorre porque: 8 = 4 + 4
Vamos utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4cm.
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Triângulos
Neste caso é possível construir um triângulo, pois quando “giramos” os lados menores
com extremidades presas no lado maior eles se encontram formando o triângulo. Note
que: 8 < 5 + 4
Para que seja possível construir um triângulo, basta que o maior lado seja menor
que a soma dos outros dois.
Área
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela
medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
onde h é a altura do triângulo e b a medida da base.
Nota: Este assunto é abordado na aula que trata de área de figuras planas.
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