Matemática Fundamental
Conjuntos Numéricos
Giovanni Spavier
Conjunto dos Números Naturais
• São todos os números inteiros positivos, incluindo o
zero. É representado pela letra maiúscula N.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
• Como o zero originou-se depois dos outros números e
possui algumas propriedades próprias, algumas vezes
teremos a necessidade de representar o conjunto dos
números naturais sem incluir o zero. Para isso foi
definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao
lado do símbolo do conjunto, iria representar a
ausência do zero:
• N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
Leitura e Escrita de Números
Classe = grupo de 3 algarismos a contar da direita
•O nº pode ser lido indicando a classe:
vinte e cinco mil trezentos e vinte e sete unidades.
Ordem = É a posição que cada nº ocupa na leitura.
O nº pode ser lido indicando a ordem de cada algarismo:
Duas dezenas de milhar, cinco milhares, três centenas, duas dezenas e
sete unidades.
Conjunto dos Números Inteiros
•
•
•
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus
respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Eles são:
Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este
conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ =
{0,1,2,3,4,5,6, …}
Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {…, -5,
-4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, …}
Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Conjunto dos Números Racionais
• Os números racionais é um conjunto que
engloba os números inteiros (Z), números
decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os
números decimais infinitos periódicos (que
repete uma sequência de algarismos da parte
decimal infinitamente), como “12,050505…”,
também conhecidas como dízimas periódicas.
• Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Racionais
• Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }
• Assim, como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,...
• Números decimais exatos são racionais
– 0,1 = 1/10
– 2,3 = 23/10 ...
• Números decimais periódicos são racionais.
–
–
–
–
•
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do
número 1.
Conjunto dos Números Racionais
3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui infinitos
algarismos após a vírgula (representados pelas
reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos
algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula,
mas é racional, é chamado de dízima periódica.
Reconhecemos um número destes quando, após a
vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).
= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}
Conjunto dos Números Irracionais
• É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número
irracional é o número ∏ (Pi) (resultado da divisão
do perímetro de uma circunferência pelo seu
diâmetro), que vale 3,14159265 ….
• Atualmente, supercomputadores já conseguiram
calcular bilhões de casas decimais para o Pi.
Também são irracionais todas as raízes não
exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)
• São compostos por dízimas infinitas não
periódicas.
Conjunto dos Números Reais
• É formado por todos os conjuntos citados
anteriormente (união do conjunto dos
racionais com os irracionais).
• Representado pela letra R.
Frações
Numerador (dividendo),
representa o número de partes que
estão a ser consideradas.
Denominador (divisor), representa o
número de partes iguais em que se
supõe dividida a Unidade.
Traço da fração indica operação divisão.
Exemplo: leitura de frações
dois sextos
Quatro sextos
Um quarto
Dois oitavos
Quatro dezesseis avos
Números inteiros e fracionários
Número racional inteiro, porque o
numerador é múltiplo do denominador.
Número racional fracionário, porque o nu- merador não é múltiplo do
denominador.
O número fracionário cinco meios pode ser
representado por:
ou
Uma fração
5:2 =2,5
Um numeral decimal
Frações Próprias , Impróprias e Decimais.
Frações próprias são as frações
onde os denominadores são
maiores que os numeradores.
Frações impróprias são frações
onde os numeradores são maiores
que os denominadores.
Denominam-se frações decima- is, todas as frações
que apresen-tam potências de 10 no denomi-nador.
Frações decimais
Exemplos:
Números decimais
O que são números racionais?
•
Número racional é todo número
que pode ser escrito na forma de
uma fração. Exemplos:
Como fazer a transformação?
•
Frações em decimais: basta dividir o
numerador pelo denominador.
• OBS.: se o resultado for uma dízima periódica
(divisão que não acaba nunca = 0,3333...) é
melhor trabalhar com a fração. Exemplos:
Como fazer a transformação(cont.)
• Decimais em porcentagem: basta multiplicar
por 100. Exemplos:
Dica: para multiplicar por números múltiplos de 10
(100, 1000, etc), basta deslocar a virgula para a direita
(número de casas igual a quantidade de zeros do
múltiplo).
Como fazer a transformação(cont.)
• Porcentagem em Frações: basta escrever a
porcentagem na forma de fração e depois
simplificar a fração. Exemplos:
Simplificar por 25
Simplificar por 20
Atividade:
Fração
1
5
Copie e complete o quadro abaixo, fazendo as
respectivas transformações
Decimal
Porcentagem
0,2
20 %
2/5
0,4
40 %
7 / 20
0,35
35 %
2
0,25
25 %
3/5
0,6
60 %
9 / 20
0,45
45 %
0,75
75 %
0,8
80 %
3
8
4
4 /5
Percentagens
Num inquérito de rua foram interrogadas
100 pessoas sobre um determinado
assunto.
Percentagens
Qual
auma
percentagem
das que
Quantas
pessoas
Cada
podia responder
responderam
NÃO?
SEM
SIM,
NÃO ou sim?
SEMOPINIÃO?
OPINIÃO.
Percentagem como uma parte de um todo.
Formas diferentes de escrever uma percentagem
Uma percentagem pode ser
apresentada sob a forma de
razão ou sob a forma de
numeral decimal.
Por exemplo:
Na resolução de um problema de percentagens
temos sempre, pelo menos, três valores.
Resolução de problemas calculando percentagens
As percentagens são muitas vezes utilizadas para representarem uma
parte de um todo.
= 71,43%
Outra forma de utilização da percentagem é
indicar uma variação de uma grandeza.
Uma forma de proceder
consiste em calcular
sucessivamente:
Por exemplo:
Num bairro havia, em 1974 , 1012
eleitores, e, em 2005 , 1998
eleitores.
A variação do número de eleitores
pode ser indicada sob a forma de
percentagem.
1.º variação absoluta:
1998 - 1012 = 986
2.º variação relativa:
986
 0,9743
1012
Ou seja, a percentagem de aumento de
eleitores foi de aproximadamente 97,43% .
1.º variação absoluta:
1998 - 1012 = 986
2.º variação relativa:
986
 0,9743
1012
Ou seja, a percentagem de aumento de
eleitores foi de aproximadamente 97,43% .
As percentagens para estabelecer comparação
Para comparar percentagens
calcula-se a diferença relativa.
valor de comparação - valor de referência
Diferença relativa 
valor de referência
As percentagens para estabelecer comparação
+ 60%
R$ 45,00
R$ 80,00
- 43,75%
valor de comparação
45-valor
80 de referência
80 relativa
45
Diferença

 0,4375
 0,6
valor
de
referência
80
45
Em termos relativos diz-se que:
• As botas custam mais 60% do que os sapatos.
• Os sapatos custam menos 43,75% do que as botas.
O ESSENCIAL
Escrever uma percentagem
Uma percentagem pode ser
escrita sob a forma de
numeral decimal ou sob a
forma de fração.
O ESSENCIAL
Aplicar uma percentagem a um número
5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg
O ESSENCIAL
Determinar o valor inicial ou de referência
conhecendo o valor final e a percentagem
Com o aumento de 5,5% que obteve no seu ordenado, Ana ganha
agora 1213,25 reais. Quanto ganhava antes do aumento?
Antes do aumento a Ana ganhava x .
Ana ganhava 1150 reais.
O ESSENCIAL
Calcular uma percentagem conhecendo os valores inicial e final
Antônio ganhava 1100 reais e agora ganha 1200. Quanto foi a
percentagem de aumento?
1200 - 1100 = 100
100
 0,0909 ( 4 c. d.)
1100
O ordenado do Antônio
aproximadamente, 9,09% .
sofreu
um
aumento
de,
As percentagens para estabelecer comparação
Para comparar percentagens
calcula-se a diferença relativa.
valor de comparação - valor de referência
Diferença relativa 
valor de referência
O ESSENCIAL
Usar as percentagens para estabelecer comparações
R$ 999,00
R$ 1000,00
1000  999
 0,0010(4 c. d.)
999
Em termos relativos o colar
custa mais 0,1% do que os brincos.
R$ 4,00
R$ 5,00
54 1
  0,25
4
4
Em termos relativos pode afirmar-se
que a bola custa
mais 25% que a boneca.
Repare que é muito diferente aumentar 1 real a R$ 999,00 do que
aumentar 1 real a R$ 4,00 .