GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Ângulos entre Duas Retas
© 2012 antónio de campos
GENERALIDADES
Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-retas com direções
diferentes e a mesma extremidade.
O ângulo entre duas retas está contido no plano definido pelas duas retas.
C’
s
r
A
B’
B
C
Os ângulos BÂC e B’ÂC’
são ângulos verticalmente
opostos e são
geometricamente iguais –
têm a mesma amplitude.
O ângulo entre duas retas é sempre o menor ângulo por
estas formado.
O estudo sobre ângulos trata da V.G. da sua amplitude,
utilizando uma qualquer letra minúscula do alfabeto grego
para representar o ângulo.
s
r
αº
A
αº
Os ângulos BÂC e PÔQ são
ângulos de lados
diretamente paralelos e
são geometricamente
iguais.
C’
Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ
são ângulos de lados
inversamente paralelos e
são geometricamente
iguais.
s
r
A
B’
B
C
O
P
Q
r’
Duas retas paralelas entre si formam, com uma
terceira reta concorrente com aquelas, ângulos
geometricamente iguais.
m
αº
n
αº
o
αº
r
Ângulo entre Duas Retas Horizontais Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, a e b.
Duas retas concorrentes (no ponto
P) definem um plano (plano
horizontal).
P2
A V.G. do ângulo entre as duas
retas a e b está no ângulo menor
formado entre a1 e b1, com o
vértice em P1.
x
P1
b1
αº
a1
a2 ≡ b2
Ângulo entre Duas Retas Frontais Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, a e b.
b2
b’2
Para transformar duas retas
frontais enviesadas, é necessário
obter uma recta b’ paralela à reta
b e concorrentes com a reta a, no
ponto P.
A V.G. do ângulo entre as duas
retas a e b’ está no ângulo menor
formado entre a2 e b’2, com o
vértice em P2.
a2
αº
P2
x
P1
a1 ≡ b’1
b1
São dadas duas retas frontais, f e f’, concorrentes no ponto A (2; 3). A reta f
faz um ângulo de 25º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção. A reta f’ faz
um ângulo de 65º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção. Determina a V.G.
do ângulo entre as duas retas, f e f’.
f’2
f2
Duas retas concorrentes (no ponto P)
definem um plano (plano frontal).
αº
A2
A V.G. do ângulo entre as duas retas f e
f’ está no ângulo menor formado entre
f2 e f’2, com o vértice em P2.
x
f1 ≡ f’1
A1
São dadas duas retas horizontais, h e h’. A reta h faz um ângulo de 30º (a.d.)
com o Plano Frontal de Projeção, e contém o ponto A (2; 2; 2). A reta h’ faz
um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projeção, e contém o ponto B
(0; 2; 4). Determina a V.G. do ângulo entre as duas retas, h e h’.
y≡ z
h’2
Para transformar duas retas
horizontais enviesadas, é necessário
obter uma reta h’’ paralela à reta h’
e concorrente com a reta h, no
ponto P.
A V.G. do ângulo entre as duas
retas h e h’’ está no ângulo menor
formado entre h1 e h’’1, com o
vértice em P1.
B2
A2
h2 ≡ h’’2
P2
x
A1
αº
h’1 ≡ h’’1
P1
B1
h1
Ângulo entre Duas Retas Oblíquas Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, r e s.
r2
s2
P2
Duas retas concorrentes (no ponto
P) definem um plano θ.
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas retas r e s é
necessário rebater o plano θ para
o Plano Horizontal de Projeção.
H’2
H2
x ≡ e2
A V.G. está no ângulo menor
formado entre rr e sr, com o
vértice em Pr.
Pr1
P1
H1
≡ Hr
e1
r1
αº
sr
Pr
rr
s1
H’1 ≡ H’r
Ângulo entre Duas Retas Oblíquas Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, r e s.
rr
αº
s’r
Pr
Primeiro é necessário obter uma
reta s’ paralela à reta s e
concorrente com a recta r, no
ponto P.
s2
N 2 ≡ N r e2
s’2
M2 ≡ Mr
P2
Pr1
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas retas r e s’ é
necessário rebater o plano
formado pelas duas retas para um
plano frontal φ.
A V.G. está no ângulo menor
formado entre rr e s’r, com o
vértice em Pr.
r2
x
P1
N1
(hφ) ≡ e1
s1
s’1
M1
r1
Ângulo entre uma Reta Oblíqua e uma Reta de Perfil
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, r e p.
p1 ≡ p2
Primeiro é necessário obter uma
reta r’ paralela à reta r e
concorrente com a reta p, no
ponto A.
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas retas r’ e p é
necessário rebater o plano
formado pelas duas retas para um
plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor
formado entre r’r e pr, com o
vértice em Pr.
r2
A2
(fυ) ≡ e2
B2
r’2
x
C2
C1≡ Cr
A1
r1
B1 ≡ Br
r’1
Ar1
Ar
e1
r’r
αº
pr
Ângulo entre uma Reta Oblíqua e uma Reta Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas retas, r e f.
Primeiro é necessário obter uma
reta r’ paralela à reta r e
concorrente com a reta f, no
ponto P.
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas retas r’ e f é
necessário rebater o plano
formado pelas duas retas para um
plano frontal φ que contém a recta
f. Um ponto qualquer A da reta r’
permite rebater a reta r’.
A V.G. está no ângulo menor
formado entre r’r e fr, com o
vértice em Pr.
r’2
A2
Ar1
r2
r’r
αº
f2 ≡ fr
P2 ≡ Pr
Ar
x
f1 ≡ (hφ)
r1
A1
r’1
P1
São dadas duas retas oblíquas, r e s, concorrentes num ponto com 3 cm de
cota. A reta r é uma reta do β1,3 e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30º
(a.e.) com o eixo x. A recta s é paralela ao β2,4 e a sua projeção frontal faz um
ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas
retas, r e s.
r2
Para determinar a V.G. do ângulo entre
as duas retas r e s é necessário rebater
o plano formado pelas duas retas para
um plano horizontal υ.
s2
P2
(fυ) ≡ e2
B2
A2
x
A1 ≡ Ar
Pr1
A V.G. está no ângulo menor formado
entre rr e sr, com o vértice em Pr.
r1
P1
s1
B1 ≡ Br
e1
sr
Pr
rr
αº
São dadas duas retas oblíquas, m e n. A reta m contém o ponto A (4; 4; 2) e o
seu traço frontal tem 0 cm de abcissa e 4 cm de cota. A reta n é paralela ao
β2,4, o seu traço horizontal tem –3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento e a
sua projeção horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina a
V.G. do ângulo entre as duas retas, m e n.
y≡ z
n’2
Primeiro é necessário obter uma reta n’
paralela à recta n e concorrente com a
reta m, no pontoqualquer P da reta m.
Para determinar a V.G. do ângulo entre
as duas retas n’ e m, é necessário
rebater o plano formado pelas duas
retas para um plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor formado
entre n’r e mr, com o vértice em Pr.
F2
n2
P2
(fυ) ≡ e2
B2
A2
H2
F1
x
Pr1
e1
m2
A1 ≡ Ar
P1
B1 ≡ Br
Pr
mr
αº
m1
n’r
n’1
H1
n1