Econometria
Aula 2 – 20/9/2013
1.
2.
3.
4.
Exemplo da técnica MQO
Hipóteses do Modelo de RLM
Ajuste do Modelo
Modelo Restrito
Econometria
1.
Exemplo da técnica MQO
MQO
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
MQO
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Resíduos
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Resíduos MQO
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
MQO
M = I- X(X’X)-1X’
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
MQO
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Econometria
1.
Exemplo da técnica MQO
Modelo de Regressão Linear Múltipla
O Modelo






Utilizado para estudar a relação entre uma variável
dependente e uma ou mais variáveis independentes.
Forma genérica do modelo de regressão linear:
y = f(x1,x2,…,xK,1,2,…K) + ε
= x11 + x22 + … + xKK + ε
f(x1,x2,…,xK,1,2,…K) é a equação de regressão
populacional de y em x1,x2,…,xK .
Y é o regressando
x1,x2,…,xK regressores ou controles
ε é o distúrbio aleatório
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Exemplo

Função de consumo keynesiana


Não existe uma relação determinística entre
consumo e renda.
C = f(X, ε)




Onde ε é o elemento estocástico
Como incorporar este elemento estocástico ao modelo? De
forma aditiva:
C = α + βX + ε
Contrapartida empírica do modelo teórico de Keynes.
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Exemplo
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Exemplo



A reta do gráfico anterior é distorcida pelo
racionamento do período de guerra.
Especificação mais apropriada: acomodar a
natureza estocástica do dado e as
circunstâncias especiais dos anos 1942-1945.
Dummy que identifica este período
C    X   wdanoguerra  
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Estimando o modelo de consumo
Variável dependente Consumo
Renda
(1)
(2)
mqo1
mqo2
0.685**
0.858***
(0.249)
(0.0853)
Dummy anos de Guerra
-50.69***
(5.932)
Constant
Observations
R-squared
51.90
14.50
(80.84)
(27.30)
11
11
0.457
0.946
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
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Hipóteses do modelo
A.1. Linearidade significa ser linear nos parâmetros.
A.2. Identificação: Só existe um único conjunto de
parâmetros que produz E[y|x].
A.3. Média condicional zero
A.4. Forma da matriz de variância covariância
A.5. Geração dos dados
A.6. Hipóteses sobre a distribuição de probabilidade.
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Linearidade do Modelo

f(x1,x2,…,xK,1,2,…K) = x11 + x22 + … + xKK

Notação: x11 + x22 + … + xKK = x.

E[y|x] = 1*1 + 2*x2 + … + K*xK.
(1*1 = intercepto).
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Linearidade





Modelo
Modelo
Modelo
Modelo
Modelo
linear simples, E[y|x]=x’β
Quadrático: E[y|x]= α + β1x + β2x2
Loglinear, E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk
Semilog, E[y|x]= α + Σk lnxkβk
Translog: E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk
+ (1/2) Σk Σl δkl lnxk lnxl
Todos modelos são lineares e existe um infinito
número de variações de modelos lineares.
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Linearidade



Linearidade significa ser linear nos parâmetros, não
nas variáveis
E[y|x] = 1 f1(…) + 2 f2(…) + … + K fK(…).
fk() pode ser qq função dos dados.
Exemplos:



Logs
Variáveis Dummy
Funções quadráticas, interações, etc.
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Unicidade da média condicional
A relação da média condicional pode ser válida para
qualquer conjunto de n observações, i = 1,…,n.
Se n  K
E[y1|x] = x1
E[y2|x] = x2
…
E[yn|x] = xn
Para todas n observações temos que : E[y|X] = X =
E.
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Unicidade de E[y|X]
Suponha que exista um    que produz o mesmo valor
esperado,
E[y|X] = X = E.
Se  =  - . Temos que:
X = X - X = E - E = 0.
Isto é possível? X é uma matriz nK.
O que significa X = 0? Por hipótese, isto não é possível.
Hipótese de ‘posto cheio’ – hipótese de ‘identificação’.
Podemos ‘estimar’  com n  K .
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Dependência Linear



Exemplo:
x = [i , renda não trabalho, renda do trabalho, renda total]
Não existe dependência linear: Nenhuma variável pode ser
escrita como uma função linear de outras variáveis do modelo.
Condição de identificação. A teoria não necessariamente
elimina a possibilidade de dependência linear, contudo, é
importante para fazer a estimação possível.
y = 1 + 2N + 3S + 4T + , onde T = N+S.
y = 1 + (2+a)N + (3+a)S + (4-a)T +  para qualquer a,
= 1 + 2N + 3S + 4T + .
O que está sendo estimado…?
Não eliminamos a possibilidade de dependência não linear. Ex:
x e x2.
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Média condicional zero
O y observado é igual a E[y|x] + variável aleatória.
y = E[y|x] +  (distúrbio)
 Existe alguma informação sobre  em x? Ou seja,
algum movimento em x dá informação sobre ?
Caso sim, não especificamos corretamente a média
condicional, a função ‘E[y|x]’ não é a média
condicional (não é a regressão populacional)
 Existe informação sobre  em outras variáveis. Se
E[|x]  0 segue que Cov[,x]  0.
 Violação da hipótese de ‘independência’
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Média condicional zero


E[|todos dados em X] = 0
E[|X] = 0 é mais forte que E[i | xi] = 0



O segundo diz que o conhecimento de xi não dá
nenhuma informação sobre a média de i.
O primeiro diz que nenhum xj dá informação sobre o
valor esperado de I.
“nenhuma informação” é similar a nenhuma
correlação.
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Homocedasticidade e não
Autocorrelação

Var[|X] = 2I.

Var[] = 2I? Prova: Var[] = E[Var[|X]] +
Var[E[|X]].
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Distribuição Normal de ε


Usada para facilitar as derivações de
estatísticas de testes em amostras finitas.
Derivação das distribuições exatas das
estatísticas t, F.
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O Modelo Linear

y = X+ε, N observações, K colunas em X,
incluindo a coluna de um.




Hipóteses sobre X
Hipóteses sobre ε|X
E[ε|X]=0, E[ε]=0 and Cov[ε,x]=0
Regressão?


Se E[y|X] = X
Aproximação: projeção linear.
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Ajuste da Regressão

“Variação:” No contexto do “modelo” , significa
a variação de uma variável como resultado do
movimento de outra variável
n


Variação total =
yM0y
=
2
(y
y)
 i
i=1
M0 = I – i(i’i)-1i’ = transforma uma matriz em
desvios com relação a média.
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Decomposição da Variação de y
Decomposição:
y = Xb + e
M0y = M0Xb + M0e = M0Xb + e.
(Desvios com relação à média. M0e = e )
yM0y = b(X’ M0)(M0X)b + ee
= bXM0Xb + ee.
(e’ M0X = e’X = 0.)
Uma das colunas de X é i.
Soma quadrado total = Soma quadrado da regressão
(SSR)+Soma quadrado dos resíduos (SSE)
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Medida de ajuste
R2 = bXM0Xb/yM0y
e'e
Regression Variation
= 1 N

2
Total Variation
 i1 (y i  y)
R2 é limitado a zero e um sss:
(a) Existe um termo constante em X e
(b) O método utilizado é o MQO.
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Adicionando variáveis

R2 nunca é reduzido quando uma variável z é
adicionada na regressão:
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Adicionando variáveis ao modelo
Modelo 1: Mínimos Quadrados (OLS), usando as observações 1-3010 (n = 2220)
Observações omissas ou incompletas foram ignoradas: 790
Variável dependente: wage
const
educ
age
fatheduc
motheduc
Coeficiente Erro Padrão
-598,93
53,2452
19,3177
2,27429
28,835
1,65546
5,96486
1,84208
5,68477
2,19016
Média var. dependente
Soma resíd. quadrados
R-quadrado
F(4, 2215)
Log da verossimilhança
Critério de Schwarz
589,8140
1,26e+08
0,191659
131,2951
-15301,33
30641,19
razão-t
-11,2485
8,4940
17,4181
3,2381
2,5956
p-valor
<0,00001
<0,00001
<0,00001
0,00122
0,00950
D.P. var. dependente
E.P. da regressão
R-quadrado ajustado
P-valor(F)
Critério de Akaike
Critério Hannan-Quinn
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***
***
***
***
***
265,1151
238,5742
0,190199
9,8e-101
30612,66
30623,08
Adicionando variáveis ao modelo
Modelo 2: Mínimos Quadrados (OLS), usando as observações 1-3010 (n = 2220)
Observações omissas ou incompletas foram ignoradas: 790
Variável dependente: wage
const
educ
age
fatheduc
motheduc
black
Coeficiente Erro Padrão
-523,135
54,2643
18,9735
2,2567
28,0532
1,64716
3,97919
1,85614
4,25957
2,18512
-89,2008
14,6514
Média var. dependente
Soma resíd. quadrados
R-quadrado
F(5, 2214)
Log da verossimilhança
Critério de Schwarz
589,8140
1,24e+08
0,204969
114,1597
-15282,90
30612,04
razão-t
-9,6405
8,4076
17,0312
2,1438
1,9494
-6,0882
p-valor
<0,00001
<0,00001
<0,00001
0,03216
0,05138
<0,00001
D.P. var. dependente
E.P. da regressão
R-quadrado ajustado
P-valor(F)
Critério de Akaike
Critério Hannan-Quinn
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***
***
***
**
*
***
265,1151
236,6553
0,203174
1,4e-107
30577,80
30590,31
R2 ajustado
2
R = 1 - [(n-1)/(n-K)](1 - R2)

R
2
inclui uma penalidade para variáveis que não
acrescentam muito ao ajuste do modelo. Pode cair
quando uma variável é incluída no modelo.
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
R2 ajustado
O que está sendo ajustado?
Penalidade por estar inserindo mais variáveis explicativas.
R 2 = 1 - [ee/(n – K)]/[yM0y/(n-1)]
R 2 = 1 – [(n-1)/(n-K)(1 – R2)]
Danielle Carusi Machado - UFF Econometria 2/2009
Transformações lineares dos dados







Como uma transformação linear pode afetar os
resultados derivados do MQO?
Com base em X, b = (XX)-1X’y.
Os coeficientes de y regredido em Z são c = P -1 b
“Valor predito” é Zc = XPP-1b = Xb. O mesmo!!
Resíduos: y - Zc = y - Xb . Os mesmos!!
Soma quadrado dos resíduos – idêntica
y-Xb = e = y-Zc.
R2 será igual pois R2 = 1 - ee/y’M0y (!!).
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Transformação Linear


Xb é a projeção de y no espaço coluna de X. Zc é a projeção de
y no espaço coluna de Z. Mas, como as colunas de Z são
simplesmente combinações linearers das de X, o espaço coluna de
Z deve ser idêntico ao de X. Consequentemente, a projeção de y
em Z será igual a em X.
Quais implicações práticas deste resultado?

Transformação não afeta o ajuste do modelo.

Transformação afeta as “estimativas.” Se b é uma estimativa
de , c não pode ser a estimativa de  - será a estimativa de
P-1.
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