Domínio Da Frequência
DCT
José Rogério B. Barbosa Filho
Resumo
• Um sinal no domínio do tempo/espaço pode
ser decomposto em uma família de cossenos
• Não é necessário guardar toda a extensão dos
cossenos, apenas seus coeficientes
Resumo
Sinal no d. do tempo → DCT → Sinal no d. da frequência
Resumo
• DCT:1 𝑋 𝑘 =
2
( )2 𝑐𝑘 𝑁−1
𝑛=0 𝑥[𝑛] cos[2𝜋
𝑁
• iDCT: 𝑥 𝑛 =
2 1
( )2
𝑁
𝑘
𝑛
2𝑁
𝑁−1
𝑘=0 𝑐𝑘 𝑋
+
𝑘𝜋
]
2𝑁
𝑘 cos
𝑘
2𝜋 𝑛
2𝑁
+
Exemplo
• Aplique a dct para x[n] = {5, 3, 5, 8}
• DCT: 𝑋 𝑘 =
2 1
( )2 𝑐𝑘
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑛=0 𝑥[𝑛] cos[2𝜋 2𝑁 𝑛
1
• 𝑋0 =
• 𝑋0 =
2
1
∗
4
2
1
∗
2
∗
0
0𝜋
5∗cos[2𝜋
0+
]
2∗4
2∗4 1
0
0𝜋
3∗cos[2𝜋2∗41+ 2∗4] 1
0
0𝜋
5∗cos[2𝜋
2+
]
2∗4
2∗4 1
0
0𝜋
8∗cos[2𝜋
3+
]
2∗4
2∗4
21 = 10,5
+
𝑘𝜋
]
2𝑁
Exemplo
• x[n] = {5, 3, 5, 8}
1
1𝜋
0+
]
2∗4
2∗4
1
1𝜋
3∗cos[2𝜋
1+
]
2∗4
2∗4
1
1𝜋
5∗cos[2𝜋
2+
]
2∗4
2∗4
1
1𝜋
8∗cos[2𝜋
3+
]
2∗4
2∗4
5∗cos[2𝜋
𝑋1 =
• 𝑋1 =
1
2
2
∗1∗
4
∗ 5 ∗ 0,92 + 3 ∗ 0,38 + 5 ∗ −0,38 + 8 ∗ −0,92
• 𝑋[1] = −2,46
0,92
0,38
-0,38
-0,92
Exemplo
• x[n] = {5, 3, 5, 8}
2
2𝜋
0+
]
2∗4
2∗4
2
2𝜋
3∗cos[2𝜋
1+
]
2∗4
2∗4
2
2𝜋
5∗cos[2𝜋
2+
]
2∗4
2∗4
2
2𝜋
8∗cos[2𝜋
3+
]
2∗4
2∗4
5∗cos[2𝜋
𝑋2 =
• 𝑋2 =
1
2
2
∗1∗
4
∗ 5 ∗ 0,7 + 3 ∗ (−0,7) + 5 ∗ −0,7 + 8 ∗ 0,7
• 𝑋[2] = 2,45
0,7
-0,7
-0,7
0,7
Exemplo
• x[n] = {5, 3, 5, 8}
3
3𝜋
0+
]
2∗4
2∗4
3
3𝜋
3∗cos[2𝜋
1+
]
2∗4
2∗4
3
3𝜋
5∗cos[2𝜋
2+
]
2∗4
2∗4
3
3𝜋
8∗cos[2𝜋
3+
]
2∗4
2∗4
5∗cos[2𝜋
𝑋3 =
• 𝑋3 =
1
2
2
∗1∗
4
∗ 5 ∗ 0,38 + 3 ∗ (−0,92) + 5 ∗ 0,92 + 8 ∗ (−0,38)
• 𝑋[3] = 0,49
0,38
-0,92
0,92
-0,38
Exemplo
• x[n] = {5, 3, 5, 8}
• X[k] = {10,5; -2,46; 2,45; 0,49}
Exemplo
• X[k] = {10,5; -2,46; 2,45; 0,49}
• iDCT: 𝑥 𝑛 =
2 1
( )2
𝑁
𝑁−1
𝑘=0 𝑐𝑘 𝑋
𝑘 cos
𝑘
2𝜋 𝑛
2𝑁
+
𝑘𝜋
2𝑁
1
• 𝑥0 =
• 𝑥0 =
4,9 ≅ 5
1
2
2
4
∗
1
0
0𝜋
∗10,5∗cos[2𝜋2∗40+ 2∗4]
0,92
2
1
1𝜋
1∗−2,46∗cos[2𝜋2∗40+ 2∗4]
0,7
2
2𝜋
1∗2,45∗cos[2𝜋2∗40+ 2∗4]
0,38
3
3𝜋
1∗0,49∗cos[2𝜋2∗40+ 2∗4]
∗ 7,35 ∗ 1 + −2,46 ∗ 0,92 + 2,45 ∗ 0,7 + 0,49 + 0,38 =
Exemplo
• Dado que a frequência de amostragem é de
2Hz, quais as frequências dos cossenos que
compõem o sinal (em Hz)?
• 𝑓1 =
1
2𝑁
• 𝑓1 =
2
2(4−1)
(𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑓1 =
1
3
= = 0,33𝐻𝑧
𝑓𝑎
𝐻𝑧
2(𝑁−1)
Exemplo
•
•
•
•
𝑓1 = 0,33𝐻𝑧
𝑓2 = 2 ∗ 𝑓1 = 0,66 𝐻𝑧
𝑓3 = 3 ∗ 𝑓1 = 1 𝐻𝑧
𝑓4 = 4 ∗ 𝑓1 = 1,32 𝐻𝑧
Exemplo
• Como seria o sinal no domínio da frequência
se o sinal no tempo fosse composto por um
seno de 0,66 Hz?
• E por um de 1,32 Hz?
• E por um de 0,8 Hz?
Exemplo 2
• x[n] = {3, 5, 8, 13}
• X[k] = ?
• DCT: 𝑋 𝑘 =
2 1
( )2 𝑐𝑘
𝑁
• iDCT: 𝑥 𝑛 =
2 1
( )2
𝑁
• 𝑐𝑘 =
1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎
2
𝑘
𝑁−1
𝑥[𝑛]
cos[2𝜋
𝑛
𝑛=0
2𝑁
𝑁−1
𝑘=0 𝑐𝑘 𝑋
𝑘=0
1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1
𝑘 cos 2𝜋
+
𝑘
𝑛
2𝑁
+
𝑘𝜋
]
2𝑁
𝑘𝜋
2𝑁
Exemplo 2
• Resposta: X[k] = {14,5; -7,34; 1,5; -0,75}
0,7
2
2𝜋
0+
]
2∗4
2∗4 -0,7
2
2𝜋
5∗cos[2𝜋
1+
]
2∗4
2∗4 -0,7
2
2𝜋
8∗cos[2𝜋
2+
]
2∗4
2∗4 0,7
2
2𝜋
13∗cos[2𝜋
3+
]
2∗4
2∗4
3∗cos[2𝜋
𝑋2 =
• 𝑋2 =
1
2
2
∗1∗
4
∗ 3 ∗ 0,7 + 5 ∗ (−0,7) + 8 ∗ (−0,7) + 13 ∗ 0,7
• 𝑋 2 = 1,47 ≅ 1,5