Equações Diferenciais
ED ↔ Uma equação que envolve uma ou mais derivadas
de uma função desconhecida.
Incógnita - função: y = f(x) ou y = f(t) ou y = y(x) ou y = y(t)
Ordem da ED – ordem da maior derivada que a ED contém
Ex:
dy
 3y
dx
(ordem 1)
d2y
dy

6
 8y  0
2
dx
dx
d3y
dy

t
 (t 2  1) y  et
3
dt
dt
ou y" y'  cos x  1
(ordem 3)
(ordem 2)
Solução de uma ED:
• Uma função y = f(x) (ou y = f(t)) é uma solução de uma
ED em um intervalo I se ela satisfaz a ED em I, se na ED,
substituindo y e suas derivadas pela função f(x) (ou f(t))
obtivermos uma identidade
Exemplo: y = e2x é solução da ED y’ – y = e2x
Observar que y = 2ex + e2x também é solução de y’ – y = e2x
y = C.ex + e2x é solução de y’ – y = e2x para C є R
Solução Geral da ED
y’ – y = e2x
• Uma Curva Integral de uma ED é o gráfico de uma
solução particular dessa ED.
• Família de curvas integrais corresponde a solução geral
da ED (varia de acordo com a constante C.)
Ex: y’ = 2x → y = x2 + C
• Valor Inicial em uma ED
 Condição inicial que permite identificar o valor da constante C;
Geralmente dado por y0 = f(x0) ou (x0, y0) є curva
• O Problema de Valor Inicial
 Encontrar a solução particular da ED que satisfaz a
condição inicial.
Ex: dy  y  e 2 x , y (0)  3
dx
y = C.ex + e2x é a solução geral
Fazendo x = 0 e y = 3 obtemos c = 2 e a solução do problema de valor
Inicial é y = 2ex + e2x.
• Equações lineares de 1ª ordem
 Caso mais simples:
Ex:
dy
 q ( x)  y   q( x)dx
dx
dy
x4 x2
3
3
 x  x  2  y   ( x  x  2)dx 
  2x  c
dx
4
2
q(x)
Ex:
dy
 2 sent  3 cost
dt
dy
 2 sen3t cost
dt
ED de 1ª Ordem linear
 Quando a ED pode ser expressa por
Ex: y’ + x2.y = ex
→ p(x) = x2 e q(x) = ex
dy
Ex :  y.senx  x 3  0  p( x)  senx ,
dx
Ex :
dy
 5y  2 
dt
dy
 y. p ( x)  q ( x)
dx
p(t )  5 e q(t )  2
q( x)   x 3
O Método dos Fatores Integrantes para a solução de
uma ED de 1ª ordem linear
Seja
dy
 y. p ( x)  q ( x)
dx
Multiplicar pelo Fator Integrante:
dy
u.  u. y. p ( x)  u.q ( x)
dx
p ( x ) dx d (  p( x)dx)
du

e
.
 u. p( x)
dx
dx
p ( x ) dx

ue
Como:
dy du
obtemos: u.  . y  u.q ( x)
dx dx
Ou seja:
d (u. y )
d (u. y )
 u.q( x)  
dx   u.q( x)dx
dx
dx
u. y   u.q ( x ) dx
Exemplos: