Leis de Newton
Prof. Climério Soares
Um pouco de história
O movimento e suas causas foram estudadas desde
a Grécia antiga, a cerca de mais de 2000 anos.
Aristóteles (384 – 322 a.C.) afirmava que para
manter um corpo em movimento era necessário a ação de
uma força atuando continuamente sobre uma corpo.
As ideias de Aristóteles permaneceram por um longo
período até que forma contestadas pelo italiano Galileu
Galilei (1564 -1642) no século XVII.
Galileu foi o responsável pela Revolução Científica que
modificou as ideias de Aristóteles introduziu a
experimentação como procedimento para comprovar uma
ideia.
Para argumentar contra a ideia de Aristóteles de que um
corpo só se manteria em movimento se existisse uma força
agindo continuamente, Galileu utilizou uma experiência do
pensamento:
Experimento do plano inclinado de Galileu
Se uma bola rola descendo uma rampa (plano inclinado),
sua velocidade aumenta à medida que ela desce.
Galileu observou que, na segunda rampa, a bola
atingia uma altura ligeiramente menor à que tinha na
primeira rampa. Atribuiu essa pequena diferença na altura
ao atrito existente entre a bola e o piso de madeira. Ao
diminuir a inclinação da segunda rampa, observou que a
bola continuava atingindo praticamente a mesma altura
inicial, percorrendo uma distância maior. Imaginou o que
aconteceria se pudesse eliminar todo o atrito do sistema, e
torna a segunda rampa, pouco inclinada e, num caso
extremo, torná-la horizontal.
Assim, concluiu que bola continuaria rolando com
velocidade constate, indefinidamente (para sempre), sem
que nenhuma força fosse necessária para manter esse
estado de movimento.
O inglês Isaac Newton (1642 -1727), estendeu o trabalho de
Galileu e formulou as três leis fundamentais do movimento,
publicadas, em 1686, no seu livro Princípios Matemáticos
da Filosofia Natural. As Leis de Newton são estudadas na
parte da Mecânica Clássica denominada Dinâmica (estudo
do movimento dos corpos levando em consideração suas
causas).
Conceitos fundamentais: força e massa.
O que é força?
Na linguagem do quotidiano, exercer uma força
sobre qualquer corpo nos lembra puxar ou empurrar. As
forças podem ser classificadas como sendo de contato,
quando puxamos ou empurramos algum corpo; ou de
interação à distância, como ocorre entre dois ímãs, por
exemplo.
Segundo Newton, força é a “ação” que produz aceleração,
ou seja, variação de velocidade.
Uma característica importante da força é que ela é
uma grandeza vetorial.

Força resultante ( F )
R
Em diversas situações, um corpo pode estar sujeito
à ação de várias forças. Nesse caso, representamos
essas forças por apenas uma, denominada força
resultante.
A força resultante é obtida a partir da soma
vetorial das várias forças que atuam no corpo.






FR  F1  F2  F3  F4  ..... FN
Força resultante e o equilíbrio.
Quando a resultante das forças que atuam em um corpo é
nula, dizemos que o corpo está em equilíbrio.

FR  0
Equilíbrio
Estático
Dinâmico
REPOUSO
M .R.U
No Sistema Internacional (SI), a unidade de medida de força
é o newton cujo símbolo é N e cuja definição será dada ais
adiante.
Observação: conforme as regras do SI, quando o nome de
uma unidade de medida é escrita por extenso, deve-se usar
letras minúsculas, mesmo que essa unidade seja derivada
de um nome próprio, como é o caso de newton; nesse caso,
apenas o símbolo é escrito com letra maiúscula (N).
Massa: é a grandeza física que mede a quantidade de
matéria contida em um corpo. As unidades de massa mais
utilizadas são o quilograma (kg), o grama (g) e a tonelada
(t), onde:
1 t = 1000 kg = 10³ kg
1ª Lei de Newton (Lei da Inércia)
Todo corpo continua em seu estado de repouso
ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja
obrigado a mudar esse estado por forças aplicadas
sobre ele
Um outro enunciado da 1ª Lei de Newton baseado na
força resultante é o seguinte:
Se a resultante
  das forças que atuam em um
corpo for nula ( FR  0) , sua velocidade não pode mudar,
ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.
O que é inércia?
Segundo Newton, inércia é uma propriedade que os
corpos têm de oferecer resistência à qualquer mudança em
seu estado de movimento.
Por isso que 1ª Lei de Newton é também conhecida
como Lei da Inércia.
A massa de um corpo pode também ser definida
como a medida da inércia de um corpo, visto que quanto
maior for a massa do corpo, mais difícil será alterar seu
estado de movimento.
Por exemplo: é mais fácil frear um carro do que um
caminhão, justamente porque o carro tem menos massa que
um caminhão.
Referencial Inercial
Como vimos nas unidades anteriores, o movimento de um
corpo depende de um referencial. Um referencial inercial é
aquele onde vale a Lei da Inércia. Neste referencial, um corpo
só pode variar a sua velocidade pela ação de uma força
resultante não-nula.
Quando um ônibus freia, os passageiros, em repouso
em relação ao ônibus, são lançados para frente sem a ação de
uma força. Isso mostra que o ônibus não é um referencial
inercial, pois há variação de velocidade sem ação de uma
força.
Os referenciais inerciais não estão acelerados em
relação às estrelas fixas. Os referenciais acelerados em relação
a Terra não são referenciais inerciais. A própria Terra não é um
referencial inercial, por conta de seu movimento de rotação.
Porém em movimentos de curta duração, a Terra é considerada
praticamente inercial.
Ilustrações evidenciando a 1ª Lei de Newton

Ao puxar bruscamente, a
cartolina acelera e a
moeda cai dentro do
copo.

Quando o cavalo freia
subitamente, o cavaleiro
é projetado.
Segurança no Trânsito
Se o carro estiver em equilíbrio (estático ou dinâmico),
você também estará. Ao sofrer a colisão uma força atua
sobre o carro mudando a velocidade dele e não a sua
(inicialmente). Assim, seu corpo continua seu movimento
para frente. O cinto de segurança impede que você seja
lançado contra o pára-brisa. No segundo momento do
choque, seu corpo vota para trás; e o encosto previne
fraturas na sua coluna vertebral.
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)
A primeira lei de Newton informa como se comporta um
corpo livre de forças ou em equilíbrio. Já a segunda lei
representa uma relação entre a força aplicada sobre o
corpo e a aceleração que ele adquire: a resultante das
forças que agem sobre um corpo é diretamente
proporcional a aceleração que ele adquire, sendo a
constante de proporcionalidade a massa do corpo.
Matematicamente:


FR  m  aR
A partir dessa expressão que fica definida a unidade de
força no SI: 1N é a força necessária para acelerar uma
massa de 1 kg com uma aceleração de 1 m/s², ou seja:
1 N = 1 Kg ∙ 1 m/s²
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)
Uma outra unidade de força obtida a partir da 2ª Lei de
Newton é o dina (dyn), definida como a força necessária
para acelerar um corpo de 1 g de massa produzida uma
aceleração de 1 cm/s². Fica como exercício mostrar que: 1
dyn = 10-5 N.
Analise qualitativa da 2ª Lei.


FR  aR
(A força resultante é diretamente proporcional
à aceleração resultante);

FR  m (A força resultante é diretamente proporcional à
massa do corpo);
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)

1
aR 
m
1.
(A aceleração resultante é inversamente
proporcional à massa do corpo).
A força da mão
acelera a caixa;
2. Duas vezes a força produz
uma aceleração duas vezes
maior;
3. Duas vezes a força sobre
uma massa duas vezes
maior, produz a mesma
aceleração original.
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)
1. A força da mão
acelera a caixa;
2. A mesma força sobre
uma massa duas vezes
maior, causa metade da
aceleração;
3. Sobre uma massa três
vezes maior, causa um
terço da aceleração
original.
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)
Exemplo 1: (UNEB) Uma força de 20 N, quando aplicada
sobre um corpo, provoca no mesmo uma aceleração de 5
m/s². A massa do corpo é igual a:
a) 4 kg
b) 5 kg
c) 6 kg
d) 7 kg
Pela 2ª Lei, temos
F
20
m m
 m  4kg
a
5
e) 10 kg
Exemplo 2: (UESB) Um corpo
de massa 500 g está sujeito

à ação das forças F1 e F2 , cujos módulos são iguais a 3 N
e 4 N, respectivamente. Desprezando-se as forças
dissipativas, a aceleração do corpo
 em m/s² é:
F1

F2
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
e) 4
FR2  F12  F22  FR2  32  42  FR  25  FR  5N.
FR
FR
5
m
a
a
 a  10 m s 2
a
m
0,5
Exemplo 3: (UEFS) Uma força constante de módulo 10 N
atua sobre um corpo de massa m que parte do repouso e
atinge uma velocidade de módulo 10 m/s, no intervalo de
tempo de 4 s. Desprezando-se as forças dissipativas, a
massa do corpo, em kg, é:
a) 3,0
b) 4,0
c) 5,0
d) 10
e) 11,0
Para encontrar o valor de m usando a 2ª Lei de Newton, já
foi informado o valor da força. Precisamos encontrar o valor
da aceleração. Usando a definição da aceleração, temos:
v 10  0
a

 a  2,5 m s 2 Usando, agora a 2ª Lei,
t
4
temos:
F 10
m 
 m  4kg
a 2,5
Exemplo 4: (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma
trajetória retilínea, que obedece à equação horária s =7,0 t²
+ 3,0 t + 5,0, na qual s é medido em metros e t em
segundos. O módulo da força resultante que está atuando
sobre o objeto é, em N:
a) 10
b) 17
c) 19
d) 28
e) 35
A partir da análise da equação horária que foi dada no
problema, temos que o módulo da aceleração é a = 14 m/s².
Agora podemos usar a equação da 2ª Lei:
F  ma  2 14  F  28 N
3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)
Sempre que um corpo exerce uma força (ação) sobre outro,
este também exercerá uma força (reação) sobre o primeiro.
Em toda interação sempre existe um par de forças
chamadas de ação e reação.
Assim, a 3ª Lei de Newton afirma que se um corpo A
aplicar um força sobre um corpo B, então o corpo B
aplicará sobre A uma força de mesmo módulo, mesma
direção, mas de sentido contrário. Em outras palavras, a
toda ação corresponde uma reação igual (em
intensidade e direção) e oposta (em sentido), ou seja:


FAB  FBA
3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)
Observação: Um par de ação e reação nunca se anulam
pois atuam em corpos diferentes.
Ilustrações da 3ª Lei.
Algumas Forças Especiais


Força Peso P
É a força de atração gravitacional produzida pela
Terra (ou por qualquer outro planeta) exercida sobre
corpos próximos à sua superfície.
Todos os corpos abandonados próximos à
superfície terrestre caem com a mesma aceleração
(desprezando-se a resistência  do ar) denominada
aceleração
da
gravidade (g ) cujo
módulo
é
aproximadamente 9,8 m/s². Sendo m a massa do corpo,
teremos pela 2ª Lei:


P  m g
Força Peso
O peso é um vetor que tem direção vertical
apontando no sentido do centro da Terra.
Força Peso
Observação: não confunda peso com massa! A depender
de onde for medido, o módulo do peso muda porque a
aceleração da gravidade muda de um ponto para outro da
superfície terrestre, enquanto o valor da massa do corpo
permanece o mesmo, qualquer que seja o lugar onde for
medido.
Como o peso é uma força, sua unidade de medida é
o newton (N). Outra unidade de medida é o quilogramaforça (kgf), equivalente a força que a Terra atrai um corpo
de 1 kg. Temos que 1 N = 9,8kgf. (Fica como exercício
mostra essa igualdade). Assim, se você subir sobre uma
balança de farmácia, a leitura lhe indicará seu peso. Se
você pudesse realizar a mesma medida na Lua, veria que
o valor seria diferente, pois lá g ≈ 1,6 m/s².

Força Normal (N )
Quando um corpo está
apoiado sobre uma superfície, ele
exerce uma força sobre a
superfície. De acordo com a 3ª Lei
de Newton, a superfície também
exerce uma força sobre o corpo. Tal
força é chamada de normal (em
matemática, um vetor perpendicular
a uma superfície é denominado
vetor normal). Sempre que um
corpo estiver apoiado sobre uma
superfície horizontal, seu peso irá
comprimir a superfície e, neste
caso, a normal será igual ao peso
do corpo.

Força de Tração (T )
Quando uma corda (ou um fio, cabo ou outro objeto
do mesmo tipo) é presa a um corpo e esticada, aplica uma
força orientada ao longo da corda. Esta força é chamada
de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada).
A tensão da corda é o módulo T da força exercida sobre o
corpo.
Força de Tração
Uma corda é frequentemente considerada de massa
desprezível, em comparação com a massa corpo ao qual
está presa, e inextensível (que não estica). Nesse caso, a
função da corda é ligar os dois corpos (figura a). Ela puxa
os dois corpos com forças de mesmo módulo, mesmo que
os dois corpos e a cordas estejam acelerados e mesmo
que a corda passe por uma polia de massa desprezível e
de atrito desprezível (figura b e c).

Força de Atrito ( Fat )
É uma força que surge sempre que duas superfícies
estão em contato e há uma tendência de movimento entre
elas. Esta é uma força que sempre se opõe ao movimento
dos corpos.
Cada vez que um corpo desliza sobre o outro, cada
um exerce uma força paralela à superfície de contato entre
eles.
Como observado na figura anterior, a força de atrito é
sempre contrária ao movimento relativo das superfícies que
estão em contato. Um exemplo disso é quando andamos.
Devido ao atrito,
nosso pé empurra o chão com uma força

para trás  Fat . Pela Terceira Lei de Newton, o chão reage
empurrando nosso pé com
 uma força de mesmo módulo,
mas de sentido contrário Fat (para frente).
Nenhuma superfície é perfeitamente lisa. A figura
abaixo mostra uma superfície bastante lisa observada
através de um microscópio potente (microscópio de
varredura). As irregularidades são consequência da estrutura
da matéria.
Força de atrito estático e cinético
Considere a seguinte experiência: a figura abaixo mostra um
bloco em repouso sobre uma superfície horizontal seca (sem
lubrificante). Podemos observar que o loco permanece em
repouso até que a força de atrito atinge um valor limite (ou
máximo). Assim, até a iminência do movimento temos a
força de atrito estático ( FatE ) .
Quando o bloco começa a se movimentar, a experiência
mostra que a força de atrito entre ele e a superfície decresce.
Para manter o bloco em movimento uniforme, temos que
aplicar uma força menor que a força de atrito estático
máximo.
A força de atrito entre duas superfícies em movimento
 relativo
é chamada de força de atrito cinético ou dinâmico ( FatC ).
Experiências mostraram que a força de atrito é
proporcional a força normal. Assim, para calcular o módulo
da força de atrito usamos a seguinte expressão:


Fat    N
onde a letra grega “mi” (µ) é uma grandeza adimensional
chamada de coeficiente de atrito, que representa a
dificuldade de deslizamento entre os corpos. Há dois tipos de
coeficientes de atrito:
 Coeficiente de atrito estático (µE), utilizado quando o corpo
ainda estiver em repouso.
 Coeficiente de atrito cinético ou dinâmico (µC), utilizado
quando o corpo já está em movimento.
Na figura abaixo são mostrados alguns valores de
coeficiente de atrito estático e cinético entre duas
superfícies em contato:
Gráfico da força de atrito versus força aplicada
Observações:
 a força de atrito depende das superfícies que estão em
contato;
 a força de atrito é independente da área de contato entre
as superfícies.
Força Elástica (Lei de Hooke)
Sempre que um corpo recebe ação de uma força, ele
sofre uma deformação. Em alguns casos, essa deformação
é bem visível como quando se aperta uma bola de borracha
ou se puxa uma mola. Quando a força pára de atuar, o
corpo pode voltar a sua situação original, ou não. A força
que atua no sentido de devolver o corpo para sua situação
original é chamada de força restauradora.
O cientista inglês Robert Hooke (1635 – 1703)
verificou experimentalmente que a intensidade da força
aplicada à uma mola é diretamente proporcional à sua
deformação. Matematicamente:


Fel  k  x
onde
x     0 
Na equação anterior
 (Lei de Hooke), o sinal negativo é para
indicar que Fel e x têm sentidos opostos (o módulo da força
elástica é calculado por Fel  k  x).
A constante é conhecida como constante elástica da mola
(unidade no SI: N/m) e está relacionada às suas
características: quanto maior o valor k, mais “dura” e
resistente será a mola.
Uma mola é chamada de “ideal” quando submetida a uma
deformação (distensão ou compressão) ela retorna à sua
forma original obedecendo assim a Lei de Hooke.
Na prática, uma “mola real” obedece a Lei de Hooke até um
determinado valor de deformação que chamamos de limite
elástico. A partir desse valor, a deformação da mola torna-se
permanente.
A figura abaixo mostra o gráfico de uma mola que
obedece a Lei de Hooke.
Medição de força.
As propriedades elásticas de uma mola pode ser
usada para medir a intensidade de uma força. O
equipamento construído com esse fim é chamado de
dinamômetro (do grego: dynamis, força; métron, medida).
Aplicações da Lei de Newton
A) Corpos se movendo em conjunto.
Exemplo 5: Três blocos A, B e C de massas mA = 1 kg, mB =
3 kg e mC = 6 kg estão apoiados em uma superfície
horizontal sem atrito. A força horizontal F , de intensidade
constante F = 5 N, é aplicada ao primeiro bloco A.
Determine:
a) a aceleração adquirida pelo conjunto;
b) a intensidade da força que A exerce em B; e a intensidade
da força que B exerce em C.
Solução:
Para aplicarmos a 2ª Lei de Newton , precisamos analisar
todas as forças que estão agindo em cada bloco. Para isso
utilizamos o diagrama de
 corpo livre.

Em cada bloco o peso P e a força normal N se anulam, pois
não há movimento na vertical.
a) Para determinarmos a aceleração adquirida pelo
conjunto, consideramos a sistema de corpos como um
único bloco, porque eles se movem juntos, como mostra a
figura abaixo.
Assim usando a 2ª Lei de Newton, temos:
F  ma  F  (mA  mB  mC )a  5  10a  a  0,5 m s 2
b) Para determinarmos a interação entre os corpos devemos
estabelecer o diagrama de corpo livre na direção do
movimento. Na figura abaixo, a força f é a força de contato
entre os blocos
(força que cada bloco exerce sobre o outro).


No caso, f1 é a força que A exerce em B e vice-versa e f 2 é
a força que B exerce em C e vice-versa (pela 3ª Lei de
Newton).
Utilizando a 2ª Lei de Newton, vamos encontrar primeiro o
módulo da força que B exerce em C:
f 2  mC a  f 2  6  0,5 
f 2  3N
f1  f 2  mB a  f1  3  3  0,5  f1  3  1,5 
f1  4,5N
Exemplo 5: Dois corpos A e B de massas iguais mA = 2 kg e
mB = 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal
perfeitamente lisa. O fio que liga A e B é ideal, ou seja,
 de
massa desprezível e inextensível. A força horizontal F tem
intensidade a 12 N, constante. Determine: a aceleração do
sistema e a intensidade da força de tração do fio.
Solução:
Como no exemplo anterior, as forças normal e peso se
anulam em cada bloco; por isso só vamos considerar as
forças que estão atuando na horizontal: a força de tração do
fio entre A e B e a força F que está puxando o conjunto. Na
figura a seguir é mostrado o diagrama de corpo livre.
Como os blocos estão se movendo juntos e o fio é
inextensível, podemos usar a 2ª Lei de Newton para
determinar a aceleração considerando a massa total do
conjunto:
F  mA  mB a  12  6a  a  2 m s
2
Agora, para encontrar o módulo da tração no fio, podemos
usar tanto a resultante no bloco A quanto a resultante no
bloco B. Então, usando a equação fundamental da dinâmica
aplicada ao corpo B, temos:
T  mA a  T  2  2  T  4 N
B) Roldana ou polia
Uma roldana, ou polia, é um instrumento utilizado para
mudar a direção de uma força aplicada a uma fio, cabo ou
corda. Quando a massa da roldana poder ser considerada
desprezível e não oferecer nenhuma resistência ao
movimento da corda que passa por ela, diz-se que a roldana
é ideal. Sendo a corda ideal, as intensidades das forças
aplicadas nos seus extremos são iguais.
Exemplo 6: Os corpos A e B da figura têm massas
respectivamente iguais a mA = 6 kg e mB = 2 kg. O plano de
apoio é perfeitamente liso e o fio é ideal. Não há trito entre o
fio e a polia, considerada sem inércia. Adote g = 10 m/s².
Determine a aceleração do conjunto a tração do fio.
Para resolver o problema, precisamos fazer o diagrama de
corpo livre para observar a ação das forças em cada corpo.
Solução:
Em A,a força normal e o peso se anulam, pois não há
movimento na vertical. Logo, pela 2ª Lei, temos:
T  mAa  T  6a
(I). Agora vamos analisar as forças
em B: sua
 aceleração é a mesma de A, pois o fio não estica.
O peso PB tem o meso sentido da aceleração e a tração se
opõe à aceleração. Assim, pela 2ª Lei de Newton, temos:
FR  ma  PB  T  mB a
(II).
Substituindo
a
equação (I) na equação (II), e sabendo que P = mB∙ g,
podemos encontrar a aceleração do conjunto:
mB g  6a  mB a  2 10  6a  2a  8a  20 
a  2,5m / s ²
Para encontrar o valor da tração no fio, basta usar ou a
equação (I) ou a equação (II). Então vamos usar a (I) por ser
a mais simples:
T  6a  T  15 N
Obs.: você poderia ter encontrado a aceleração do conjunto
usando:
PB  mA  mB a  mB g  8a  6 10  8a  a  2,5m / s ²
Exemplo 7: No arranjo experimental da figura, os corpos A,
B e C têm, respectivamente, massas iguais a mA = 5kg, mB =
2 kg e mC = 3 kg. A aceleração da gravidade é 10 m/s². Os
fios são inextensíveis de inércia desprezível; não há atrito
entre os fios e as polias; o plano horizontal é perfeitamente
liso. Determine:
a) a aceleração do sistema de corpos;
b) as trações nos fios.
Solução:
O peso de B é anulado pela reação normal do apoio; porém
os pesos de A e C são forças externas ativas. PA > PC. Por
isso, o sistema é acelerado para direita.
Vamos analisar cada corpo separadamente. No caso, há
duas trações, pois temos dois fios:
Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica a cada
corpo, temos:
PA  T1  mAa  50  T1  5a (I)
T1  T2  mB a  T1  T2  2a
(II)
T2  PC  mC a  T2  30  3a (III)
Resolvendo o sistema de equações, vem:
50  T1  5a

T1  T2  2a +
T  30  3a
 2
50  30  5  2  3a  20  10a 
a  2 m s2
A partir da equação (I), temos:
50  T1  5a  50  T1  10  T1  40N
A partir da equação (III), temos:
T2  30  3a  T2  30  6  T2  36N
Observação: para o cálculo rápido da aceleração,
poderíamos ter aplicado a 2ª Lei ao conjunto de corpos,
tomando a massa total, e observando
que PA
tem o

mesmo sentido da aceleração e PC se opõe:
PA  PC  mT a  mA g  mC g  mT a  50  30  10a 
a  2 m s2
Exemplo 8: No arranjo experimental da figura, os corpos A e
B têm, respectivamente, massas iguais a mA = 2kg, mB = 6
kg. Os fios e a polia têm massas desprezíveis. Não há atrit
entre o fio e a polia. Adote g = 10 m/s². Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) as trações dos fios.
Solução:
a) Esse arranjo experimental é
conhecido como máquina de Atwood
(1745 – 1807) físico inglês que com um
arranjo deste tipo estudou a queda dos
corpos. O corpo A desce enquanto o
corpo B sobe, visto que o peso de A é
maior que o de B.
Na figura abaixo estão representadas as forças que agem
em cada corpo.
A partir da 2ªLei, podemos escrever:
Corpo B: T  PB  mB a  T  mB g  mB a  T  20  2a (I)
Corpo A: PA  T  mAa  mA g  T  mAa  60  T  6a (II)
Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), vem:

T  20  2a



60  T  6a
2
60  20  2a  6a  40  8a  a  5 m s
b) Qualquer uma das equações anteriores serve para
encontrar o valor de T. Por exemplo, a (I):
T  20  2a  T  10  20  T  30 N
A tração T’ no fio que liga o eixo da polia ao
teto pode ser obtida observando que a polia
te peso desprezível e o eixo está em
equilíbrio. Assim, a resultante das forças
deve ser nula
FR  0  T '  T  T  T '  2T  T '  60 N
B.1) Associação de polias
(A) 
(B)

Na figura A, a força T tem o mesmo valor do peso P . No
caso da figura B, há duas polias, a de cima é fixa (seu eixo é
fixo) e a de baixo é móvel (seu eixo pode subir e descer).
Como o corpo está preso na polia de baixo, ela recebe uma

força igual a 2T.
Para
 que ela suba com velocidade
constante deve-se ter T  P 2 . Assim, o esforço necessário
para elevar o corpo é apenas a metade do peso dele.
Exemplo 9: Determine a força que o homem deve exercer
no fio para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso
de 120 N. Os fios são considerados inextensíveis e de
massas desprezíveis; entre os fios e as polias não há atrito.
As polias são ideais, isto é, seu peso é desprezível.
Solução:
Para que haja equilíbrio, a resultante
das forças deve ser

nula. No corpo suspenso T  P , pois não há aceleração. Na
figura abaixo é mostrada a distribuição das trações:
Então, o homem equilibra o peso de 120 N exercendo uma
força de intensidade bem menor: 15 N.
C) Plano inclinado
Como o nome sugere, o plano inclinado é um plano com um
ângulo de inclinação em relação à direção horizontal. Como
foi visto anteriormente, quando um corpo está apoiado em
uma superfície horizontal, o módulo do peso é igual ao da
normal. Por outro lado, no plano inclinado, o peso é
“parcialmente distribuído” devido a inclinação. Abaixo é
mostrado o diagrama de corpo livre das forças:
Observe que, devido à inclinação, o peso foi decomposto
em duas componentes: uma na direção do plano e outra
perpendicular ao plano.

A componente na direção do plano é denominado Px e a
P
perpendicular
ao

 plano é y . Como não há movimento na
direção y, Py  N . Temos que
Px  Psen  mgsen
Py  P cos  mgcos
Logo, pela 2ª Lei de Newton:
Px  max  ax  gsen
N  Py  may  N  m g cos
Exemplo 10: Um engradado de massa 50 kg é puxado por
um operário, para dentro de um caminhão, através de uma
rampa de inclinação 30°. Se a força que operário puxa o
engradado faz um ângulo de 20° com a rampa e ele sobe
com velocidade constante, calcule o valor da força com que
o engradado é puxado e a reação normal. Considere a
superfície totalmente lisa e g = 9,8 m/s².
Solução:
O primeiro passo é decompor as duas forças (peso e a que
puxa o corpo), para depois utilizarmos a 2ª Lei de Newton,
supondo o eixo 0x. A força peso é decomposto em duas
componentes:
Px  mgsen30  245N
Py  mgcos30  424N
A força que puxa o engradado tem componentes:
Fx  F cos20
Fy  Fsen20
Na direção perpendicular ao plano a força resultante é zero
(não há movimento):
N  Fy  Py  N  Py  Fy
Na direção do plano a força resultante também é zero (a
velocidade é constante):
Fx  Px  0  Fx  Px  245N
Sendo cos 20° = 0,94, temos
Fx
245
Fx  F cos 20  F 

 F  261N
cos 20 0,94
Sendo sen 20º = 0,34, vem
Fy  Fsen20  Fy  89N
Assim,
N  Py  Fy  N  424 89  N  335N
A partir da noção de iminência de movimento, podemos
fazer um experimento simples para determinar o coeficiente
de atrito estático. Inclinamos aos poucos o plano de apoio
até o instante em que o corpo fique na iminência de
escorregar. Quando o corpo está na iminência de escorregar
a força de atrito atinge o seu valor máximo:
Fat (máx .)  e N  e P  cos
Estando o corpo em equilíbrio, o módulo da força de atrito
deve ser igual ao da componente do peso na direção de 0y:
sen 
Fat ( máx .)  Px  e P cos   Psen   e 
cos 
sen 
Como tg 
, temos que e  tg .
cos 
Assim, conhecendo o ângulo θ do plano com a horizontal,
quando o corpo se encontra na iminência de escorregar,
poderemos determinar o coeficiente de atrito estático a partir
da expressão:
e  tg
Exemplo 11: Sobre um plano inclinado de ângulo θ variável,
apoia-se uma caixa de pequenas dimensões, conforme
sugere o esquema a seguir.
Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a caixa
e o plano de apoio vale 1,0, qual o máximo valor de θ para
que a caixa ainda permaneça em repouso?
Solução:
Sabe-se que e  tg . Como foi informado que e  1 ,
temos que tg θ = 1. Então θ = 45°.
Exemplo 12: O bloco A de massa igual a 3,0 kg está
apoiado num plano inclinado que forma um ângulo θ em
relação a horizontal. O bloco A está na iminência de
escorregar para baixo. Determine, nessas condições, o peso
do bloco B. O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e
o plano é μe = 0,50. (Dados: sen θ = 0,60; cos θ = 0,80; g =
10 m/s²). Considere o fio a polia ideais.
Solução:
Na figura abaixo é mostrado o esquema das forças em cada
corpo.
Observe que a força de atrito que o plano exerce sobre o
bloco A, está apontando para cima, pois o bloco A está na
iminência de escorregar para baixo. Visto que os blocos
estão em equilíbrio, podemos escrever:
 
bloco B: T  P
B 
bloco A: T  Fat  Px

 
Portanto: PB  Px  Fat
Como bloco A está a iminência de escorregar, temos:



Fat  e N  e Py
Px  Psen  Px  3,0 10 0,60  Px  18N
Py  P cos  Py  3,0 10 0,80  Py  24N
Então:
PB  Px  e Py  PB  18 0,50 24 
PB  6,0 N
Exemplo 13: Um bloco é lançado sobre um plano horizontal
com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m até parar.
Considere g = 10 m/s² e calcule o coeficiente de atrito
dinâmico entre o bloco e plano.
Solução:
Usando a equação de Torricelli, determinamos a aceleração
escalar do bloco:
v2  v02  2s  02  302  2  90    5,0 m s 2
Como o peso e a normal se anulam,

 concluímos que a força
resultante
 é a força
 de atrito ( FR  Fat ) .
Como Fat  D N e N  P  mg.
Logo,
FR  Fat  D  mg

Pela 2ª Lei de Newton, FR  ma. Então:
ma  D  mg  a  D  g
2
a



5
,
0
m
s
Sendo
, vem:
5  D 10   D  0,50
Exemplo 14: (FEI-SP) O bloco da figura de massa m = 4,0
kg, desloca-se sob a ação de uma força horizontal constante
de intensidade F. A mola ideal, ligada ao bloco, tem
comprimento natural (isto é, sem deformação) l0 = 14,0 cm e
constante elástica k = 160 N/m.
Desprezando-se as forças de atrito e sabendo que as
velocidades escalares do bloco em A e B são,
respectivamente, iguais a 4,0 m/s e 6,0 m/s, qual é, em
centímetros, o comprimento da mola durante o movimento?
Solução:
O movimento do bloco MUV. Então, usando a equação de
Torricelli, temos:
vB2  vA2  2as  (6,0)2  (4,0)2  2a10  a  1,0 m s 2
Da 2ª Lei de Newton e a Lei de Hooke, vem:
kx  ma  k    0   ma  160  0,14  4,0 1,0    0,165m
ou
  16,5cm
Exemplo 15: O gráfico abaixo como varia a intensidade da
força de tração aplicada a uma mola em função da
deformação estabelecida:
Determine:
a) a constante elástica da mola (em N/m);
b) a intensidade da força de tração para a deformação de
5,0 cm.
Solução:
a) Temos que ∆x = 20 cm = 0,20 m.
Sabe-se que k  tg 
100

0,20
k  500N m
b) ∆x = 5,0 cm = 0,05 m.
F  k  x  500 0,05 
F  25 N