Aula Teorica 4: Diagrama de Blocos
Conteudo
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Representação de um sistema por meio de diagramas de
blocos
Reduções básicas
Exemplo de redução de diagramas de blocos
Formula de Mason
Exemplo de Formula de Mason
Diagramas de Blocos:
Primeira definição
Quando definimos Funções de Transferência, fizemos a
seguinte figura:
X(s)
Y(s)
G(s)
Esse é, pois, o diagrama de blocos do sistema em questão
Essa representação significa que os sinais de entrada e saída
estão relacionados por G (s )
As setas representam o sentido em que se dá o fluxo dos sinais.
Assim
Y s   Gs  X s 
(regra)
O que está à saída do bloco
é igual ao que está a sua
entrada pelo que está dentro
Segunda definição
Quando há sinais que se adicionam ou subtraem usamos um
Detector de Erro ou comparador
E(s)
R(s) +
R(s)
ou
C(s)
Assim
E  s  R s  C s
+-
E(s)
C(s)
Terceira definição
Se precisamos tomar o valor de uma variável usamos
Um ponto de bifurcação
Concluindo
Um diagrama de blocos está formado por:
• Funções de transferência
• Blocos
• Flechas
• Pontos de somas
• Pontos de bifurcação
Dado o sistema
Define-se
G p (s)
Gv ( s )
Funções de transferência da planta,
o elemento de controle final e
o controlador
Gc ( s )
H m (s)
Função de transferência do
elemento de medição
Define-se além disso
Gp (s) * Gv (s) * Gc (s)
Observe que as funções de
transferência de blocos em
série se podem multiplicar
(regra)
H m (s)
Função de transferência da
trajetória direta
Função de transferência da
trajetória de realimentação
Procuremos que relação guarda a saída controlada C(s) com a
entrada de referência R(s)
C ( s )  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) E ( s )........(1)
E ( s )  R ( s )  H m ( s )C ( s ).........(2)
Substituindo (2) en (1)
C ( s )  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s )R ( s )  H m ( s )C ( s )
C ( s )  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) R ( s )  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) H ( s )C ( s )
Agrupando os termos que contêm a saída


C ( s ) 1  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) H m ( s )  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) R( s )
Dividindo a saída e a entrada
G p ( s )Gv ( s )Gc ( s )
C (s)
F .T . trajetória direta


R( s ) 1  G p ( s )Gv ( s )Gc ( s ) H m ( s ) 1  F .T . de laço aberto
Isto se chama Função de transferência de laço fechado
Se nomearmos
Então
G  Gp (s)Gv (s)Gc (s)
C (s)
G( s)

R( s) 1  G ( s ) H ( s )
A equação característica:
A equação característica é o denominador da função de transferência
de laço fechado igualada a zero.
1  G( s ) H ( s )  0
a0  s n  a1  s n 1  an 1  s  an  0
As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)
Muito importante para aulas futuras
Orientação para o trabalho independente do estudante:
Demonstre que a função de transferência que relaciona a saída controlada
com a entrada perturbadora é:
G p ( s)
C ( s)

N (s) 1  Gc (s)Gv (s)G p (s) H m (s)
Observe que o denominador( equação característica) é o mesmo que o
que se obteve para a outra entrada
Modelo matemático de sistemas dinâmicos
EXEMPLO ILUSTRATIVO
Motores de corrente direta em sistemas de controle
 Este motor é um transductor que converte energia elétrica em
energia mecânica
 O par desenvolvido no eixo do motor é proporcional ao fluxo no
campo e à corrente na armadura
O condutor que leva
corrente está colocado
em um fluxo magnético
A uma distância r do
centro de rotação

A relação entre o par desenvolvido, o fluxo e a corrente é:
Tm(t )  Km (t )ia (t) (1)
Tm é o par do motor (N-m)
Km é constante de
proporcionalidade
Quando o condutor se move no campo magnético, gera-se uma voltagem em
seus terminais (força contraelectromotriz) que é proporcional à velocidade
do eixo
eb  Km (t )m (t) (2)
eb é a força contraelectromotriz
(volts)
ωm é a velocidade do eixo
Estas equações são a base de operação do motor
Para modelar a armadura do motor utilizaremos este circuito equivalente
As variáveis e parâmetros do motor as definiremos como:
O par desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo no entre ferro e a
corrente da armadura
Tm (t )  Km (t )ia (t )
(3)
Já que φ é constante
Tm (t )  Ki (t )ia (t )
(4)
As equações de causa e efeito no circuito podem escrever-se se
começarmos com a voltagem e (t )
a
Ao aplicar uma voltagem à armadura
dia
ea (t )  Ra ia (t )  La
 eb (t )  0
dt
A corrente ao circular produz o par que já tínhamos enunciado
Tm (t )  Kiia (t )
A força contraelectromotriz fica definida por
d m (t )
eb (t )  K b
 K bm (t )
dt
O par produz a velocidade angular e o deslocamento
d 2 m (t )
d m (t )
Tm (t )  TL (t )  Jm
 Bm
dt
dt
Aplicando transformada do Laplace a todas as equações
Ea (s)  Ra I a (s)  La SIa (s)  Eb (s)  0
Tm (s)  Ki I a (s)
Eb (s)  Kb Sm (s)  Kbm (s)
Tm (s)  TL (s)  JmS2m (s)  BmSm (s)
Com cada equação faremos um diagrama de blocos equivalentes
Relação entre ambos
Ea (s)  Ra I a (s)  La SIa (s)  Eb (s)  0
Tm (s)  Ki I a (s)
Eb (s)  Kb Sm (s)  Kbm (s)
Tm (s)  TL (s)  JmS2m (s)  BmSm (s)
Tratemos agora de juntar tudo e fazer um diagrama completo
¿?
trocar o sentido
Só multiplicando
por S
Com este diagrama podemos achar duas funções de transferência
m( s )
m( s )
Ea( s )
TL ( s )
Utilize o que já sabe de função de transferência de laço fechado
para as encontrar em trabalho independente
Concluindo até aqui
Para modelar e representar em diagramas um sistema fazemos
os passos seguintes:
• Escrevemos as equações diferenciais lineares que relacionam seus
parâmetros através de leis conhecidas;
• Transformamos pelo Laplace;
• Convertemos as equações em representação em blocos;
Se quisermos a função de transferência que relaciona dois
variáveis que estão em um laço fechado conhecemos já que é:
C (s)
G (s)

R( s) 1  G ( s) H ( s)
Se ao estabelecer as relações , os diagramas ficassem com múltiplos laços?
vapor
TF1
Gv
ref
CN
-
++
CF
-
V
Processo
nivel
TF2
EXEMPLOS
TPD
G3(s)
X
+ -
+
G1(s)
+
G2(s)
Y
6
G6
1
+
U
G1
+
4
3
2
+
8
G3
7
G4
G2
+
5
G5
+
9
Y
Reduções básicas
EXEMPLO
G3(s)
X
+ -
G1(s)
+
+
G2(s)
Y
1o Passo: Deslocar G1 para antes do comparador
G3(s)
X
G1(s)
+
+
+ G1(s)
G2(s)
Y
2o Passo: Intercambiar o comparador e o somador
G3(s)
X
+
G1(s)
+
+
G2(s)
-
Y
G1(s)
3o Passo: Juntar G1 e G3
X
G1(s)+ G3(s)
+
-
G2(s)
G1(s)
Y
4o Passo: Reduzir a malha fechada
X
G1(s)+ G3(s)
G2
1  G1G2
5o Passo: Agrupar os blocos em cascata
X
 G1  G3 G2
1  G1G2
Y
Y
Fórmula do Mason
Dado um diagrama de blocos com N trajetórias diretas e L malhas
A relação entre a saída e a entrada é
Ysal N M k  k
M

Yent k 1 
k
  1   Li1   L j 2   Lk 3  ...........
i
Sumatoria de laços
individuais
j
k
Sumatoria das
combinações
possíveis de
multiplicação
de dois laços
que não se tocam
Sumatoria das
combinações
possíveis de
multiplicação
de três laços
que não se tocam

A parte de
que não
toca a trajetória k
O MESMO EXEMPLO
G3(s)
X
+ -
G1(s)
+
+
G2(s)
Y
Ysai N M k  k
M

Yent k 1 
M 1  G3G2
M 2  G1G2
  1  G1G2
1  1
2  1
As duas trajetórias diretas que há
G3G2  G1G2
M
1  G1G2
Idêntica