Dyego dos Santos Silva
(EQ/UFRJ)
Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ
Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ
Eng. Lizandro de Sousa Santos - PEQ/COPPE/UFRJ
O que é Otimização Dinâmica
A otimização dinâmica (também conhecido como problema de controle
ótimo), segundo FEEHERY (1998), requer a determinação do perfil temporal
de um conjunto de variáveis de controle de um sistema dinâmico e que
maximize (ou minimize) uma dada medida de performance (função
objetivo):
Exemplo Ilustrativo: Controle Ótimo Singular -Chachuat, B., Optimal Control,
Class Notes, 2006.
tf
1
J (u ) :
2

 x1  t   dt
2
Função Objetivo
t0
x1  x2  u (t )
x2  u (t )
x1 (t f )  x2 (t f )  0
10  u (t )  10
Modelo
Restrições
Variável de Controle
Métodos de Resolução
Métodos Indiretos: baseados no Princípio
de Máximo de PONTRYAGIN (PMP), 1963.
Programação
dinâmica Iterativa
Otimização
Dinâmica
Métodos Diretos
Princípio numérico de
resolução
Sequencial
Simultâneo
(SHLEGEL, 2004, SOUZA, 2007)
Abordagem Direta Sequencial
SOUZA (2007): Apenas a variável de controle é discretizada (Reduzida necessidade
de manipulação no sistema de equações),
Abordagem Direta Sequencial
Exemplos de parametrização:
Abordagem Direta
Sequencial
Características:
Reduzida necessidade de manipulação do sistema de equações;
Parâmetros da expressão funcional estimados a cada iteração.
Estudos Relevantes:
POLLARD e SARGENT (1970), HICKS e RAN (1971): Influência da
parametrização da variável de controle;
BINDER e SHLEGEL (2004): Utilização de malhas adaptativas para
parametrização da variável de controle.
Proposta de Estudo
I)
Aplicação de wavelets utilizando a abordagem direta sequencial
de resolução;
II)
Comparação entre as técnicas utilizadas com a abordagem
sequencial com discretização uniforme da malha.
Estudo de Caso:

Reator Isotérmico Operando
(Sirinavasan et al., 2003).
em
Batelada
Alimentada
Wavelets
Ferramenta matemática para decompor funções hierarquicamente (MALLAT,
1986). A análise wavelet permite transformar a informação de um sinal em
coeficientes que podem ser manipulados ou usados para reconstruir o sinal.
Características:
Ortogonalidade;
As wavelets têm suporte compacto, ou seja, são localizadas espacialmente,
tendo valores diferentes de zero em um intervalo finito.
BINDER et al., (2000) foram os primeiros a utilizarem wavelets para
avaliação dos pontos em potencial da malha.
SHLEGEL (2004) tese de doutorado centrada no uso de wavelets.
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
1) Obtenção do sinal de dados:
u0
t0
u1
t1
un
u2
t2

tN
2) Decomposição da malha pela transformada wavelets:
d J ,K 

f  t   J , K  dt
J , K  2 j /2  0,0   2 j  t  k 
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
3) Filtragem de dados (Threshold):
 Limiarização Universal (Donoho e Johnstone,1994):
yi  f ti    i ,
Wy i  Wf ti   W i ,
d i   i  wi
w   2 ln(n)
 Variante Heurística
i  1,2,, T
i  1,2,, T
i  1,2,, T
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
4) Reconstrução do sinal
u(t )  f t  


  J ,K J ,K t 
J  K 
Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
u0
t0
u1
t1
un
u2
t2

tN
Descarta pontos que não
contribuem para a solução
Inclui pontos prospectivos
Estudo de Caso: Reator Isotérmico Operando em Batelada
Alimentada (Sirinavasan et al. , 2003)
A  B  C 2B  D
dca
F
 k1ca cb  ca
dt
V
dcb
F
2
 k1ca cb  2k2cb  cb,in  cb 
dt
V
F
Cb,in
dV
F
dt
V0


cc   ca ,0   ca 
V


1
ca  cb,in  cb  V  ca,0  cb,in  cb,0  V0 
cd 
2V
Ca
Cb
Cc
Cd
Objetivo: maximizar a função:
t f   cc t f V t f 
Manipulando
F (t )
Número de mols do produto C no
tempo final
(variável de controle: u(t)),
max   t f
F (t )

tal que
Fmin  F t   Fmax
cb t f   cbf ,max
cd t f   cdf ,max
DU – Discretização Uniforme
WAV – Wavelets (Variante Heurística)
Ω
Número de
estágios ns
Tempo de cálculo (s)
DU
DU
WAV
Parcial
Função Objetivo
WAV
Total
Parcial
DU
WAV
0,4302418
0,4311922
Total
1
8
8
20,070
88,769
2
16
12
37,774
57,844
182,737
271,506
0,4305041
0,4316734
3
32
14
159,014
216,858
213,333
484,839
0,4312256
0,4317125
4
64
18
566,139
782,997
526,978
1011,817
0,4310295
0,4317169
5
128
22
1831,340
2614,337
626,362
1638,179 0,4315476
0,4317133
6
256
26
10531,05
13145,39
988,297
2626,476 0,4316136
0,4317156
7
30
1409,109
4035,585
0,4317201
8
34
1611,750
5647,335
0,4317187
X
WAVELET
(Variante Heurística)
-3
1
ns=256
x 10
-3
1
0.9
ns=34
x 10
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
u(t)
u(t)
Discretização Uniforme
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
50
100
150
t
200
250
0
0
50
100
150
t
200
250
300
DU – Discretização Uniforme
WAV – Wavelets (Limiarização Universal)
Ω
Número de
estágios ns
Tempo de cálculo (s)
DU
DU
WAV
Parcial
Função Objetivo
WAV
Total
Parcial
DU
WAV
Total
1
8
8
20,070
91,202
0,4302418 0,4311922
2
16
12
37,774
57,844
187,810
279,012
0,4305041 0,4316734
3
32
14
159,014
216,858
263,668
542,680
0,4312256 0,4317125
4
64
18
566,139
782,997
516,595
1059,275 0,4310295 0,4317169
5
128
20
1831,340
2614,337
529,493
1588,768 0,4315476 0,4317131
6
256
22
10531,05
13145,39
581,867
2170,635 0,4316136 0,4317132
7
26
1303,350 3473,985
0,4317167
8
30
1506,022 4980,007
0,4317207
X
Discretização Uniforme
WAVELET
(Limiarização Universal)
-3
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
u(t)
u(t)
1
-3
ns=256
x 10
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
50
100
150
t
200
250
ns=30
x 10
0
50
150
100
t
200
250
VH – Wavelets (Variante Heurística)
LU – Wavelets (Limiarização Universal)
Ω
Número de
estágios ns
Tempo de cálculo (s)
VH
VH
LU
Parcial
Função Objetivo
LU
Total
Parcial
VH
LU
Total
1
8
8
88,769
91,202
0,4311922 0,4311922
2
12
12
182,737
271,506
187,810
279,012
0,4316734 0,4316734
3
14
14
213,333
484,839
263,668
542,680
0,4317125 0,4317125
4
18
18
526,978
1011,817
516,595
1059,275 0,4317169 0,4317169
5
22
20
626,362
1638,179
529,493
1588,768 0,4317133 0,4317131
6
26
22
988,297
2626,476
581,867
2170,635 0,4317156 0,4317132
7
30
26
1409,109
4035,585 1303,350 3473,985 0,4317201 0,4317167
8
34
30
1611,750
5647,335 1506,022 4980,007 0,4317187 0,4317207
 A estratégia Wavelets para ambas as políticas de threshold apresentou melhores
resultados do que a estratégia de discretização uniforme
 A política de limiarização universal apresentou resultados mais eficientes que a
variante heurística.