ANÁLISE ESTATÍSTICA II
1
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
O principal interesse ao se fazer uma inferência
estatística é tirar conclusões sobre uma população, e não
sobre a amostra.
Uma distribuição de amostragem corresponde à
distribuição dos resultados, caso se tenha optado por
selecionar todas as amostras possíveis.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
2
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Distribuição de Amostragem da Média Aritmética
Corresponde à distribuição das médias aritméticas x de
todas as amostras possíveis de um determinado tamanho n
que poderiam ocorrer.
A média aritmética é isenta de viés, isto é, a média
aritmética de todas as médias aritméticas de amostras, de
tamanho n, é igual à média aritmética da população, μ.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
3
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Experiência para Constatar a Ausência de Viés da Média Aritmética da
Amostra
Seja uma população de 4 pessoas, cuja variável aleatória de
interesse é a idade de cada indivíduo:
 Tamanho da população: N = 4
 Valores da variável aleatória X: 18, 20, 22 e 24 anos
Suponha que seja extraída uma amostra de 2 indivíduos dessa
população (n = 2). As estatísticas obtidas a partir dessa amostra são
adequadas a ponto de serem consideradas bastante representativas da
população?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
4
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Na experiência, há 16 possíveis amostras (com reposição) de
tamanho 2:
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
5
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Em consequência, há 16 médias xi decorrentes de cada
amostra:
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
6
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de
tamanho 2) é:
μX
X


i
N
18  19  21   24

 21
16
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de
tamanho 2) é:
μX
X


i
N
18  19  21   24

 21
16
O desvio-padrão é:
σX 

(X  μ
i
X
)2
N
(18 - 21)2  (19 - 21)2    (24 - 21)2
 1,58
16
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
No que tange à população, a média aritmética é:
X

μ
i
N
18  20  22  24

 21
4
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
9
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
No que tange à população, a média aritmética é:
X

μ
i
N
18  20  22  24

 21
4
E o desvio padrão:
σ
2
(X

μ)
 i
N
 2,236
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
10
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Estatísticas da amostra:
μX  21
σ X  1,58
Parâmetros da população:
μ  21
σ  2,236
Uma vez que a média aritmética das 16 médias aritméticas
de amostras xi é igual à média aritmética da população µ, pode-se
afirmar que a média aritmética de uma amostra x é um adequado
estimador da média aritmética da população e é isento de viés.
Embora não se saiba quão próximo um x qualquer estará de
µ, há segurança para afirmar que seus valores estarão efetivamente
muito próximos.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
11
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Distribuições de Amostragens da Média Aritmética
Se a população é normalmente distribuída, com média
aritmética μ e desvio-padrão σ, a distribuição de amostragens
da média aritmética μx também será normalmente distribuída.
As equações da distribuição de amostragens da média
aritmética são:
μX  μ
σX 
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Erro Padrão da Média Aritmética
É o desvio-padrão das médias aritméticas xi de todas as
possíveis amostras de mesmo tamanho:
σX 
onde:
σ = desvio-padrão da população
n = tamanho da amostra
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
13
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona
aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma
amostra de 25 caixas sem reposição. Considerando o desviopadrão do processo de fabricação dos palitos igual a 15
palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona
aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma
amostra de 36 caixas sem reposição. Considerando o desviopadrão do processo de fabricação dos palitos igual a 18
palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.
σ
18
σx =
=
=3
n
36
Tal desvio é bem menor que o desvio da população.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
15
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
2. Suponha que o desvio-padrão do teste de desempenho
(normalmente distribuído) de um motor seja igual a 540 rpm.
Qual é o erro padrão da média aritmética, se fosse extraída
uma amostra aleatória de:
a. 25 motores?
b. 36 motores?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Valor de Z para a Distribuição de Amostragens da Média
Aritmética:
Z
( X  μX )
σX
onde:
x = média da amostra
µ = média da população
σ = desvio-padrão da população
n = tamanho da amostra

( X  μ)
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
18
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
7,75 - 8
Z
 0,5
3
36
8,25 - 8
Z
 0,5
3
36
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desviopadrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra
aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média
aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?
7,75 - 8
Z
 0,5
3
36
8,25 - 8
Z
 0,5
3
36
P(7,75 < x < 8,25) = P(-0,5 < z < 0,5) = 0,3830
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
2. Considerando todos os clientes de uma agência bancária, a
média e o desvio-padrão dos saldos médios das contas
correntes são, respectivamente, $ 375 e $ 118. Se for retirada
uma amostra de 100 contas correntes, qual é a probabilidade
da média dos saldos médios dessa amostra:
a. ser maior ou igual a $ 365?
b. estar entre $ 323,6 e $ 370?
c. Entre que dois valores simetricamente distribuídos em
torno da média estariam 60% das médias das amostras?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x ≥ 365) = 1 - P(x ≤ 365)
X - μ 365 - 375
Z

 -0,847
σ
118
n
100
P(x ≥ 365) = 1 - P(Z ≤ -0,847)
= 1 - 0,1985
= 0,8015 = 80,15%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
22
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(x ≤ 370) - P(x ≤ 323,6)
Z
Z
X - μ 370 - 375

 -0,424
σ
118
n
100
X - μ 323,6 - 375

 -4,356
σ
118
n
100
P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(Z ≤ -0,424) - P(Z ≤ -4,356)
= 0,3358 - 0 = 0,3358 = 33,58%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
23
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%
|x – x1| = |x – x2|
x1 = ?
x2 = ?
60%
x1 375
x2
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
24
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%
|x – x1| = |x – x2|
x1 = ?
x2 = ?
As probabilidades acumuladas são:
P(x1) = 0,2 → Z1 = ?
P(x2) = 0,8 → Z2 = ?
60%
x1 375
x2
0,30 0,30
0,2 0,5 0,8
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
25
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
P(Z1) = 0,2
Z1 = -0,8416
Por simetria:
P(Z2) = 0,8
Z2 = 0,8416
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Z
X -μ
σ
118
 X  μ  Z.
 375  0,8416.
 365,07
σ
n
100
n
X  μ  Z.
σ
118
 375  0,8416.
 384,93
n
100
P(365,07 ≤ x ≤ 384,93) = 60%
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Case Oxford Cereals
A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais durante
um turno de oito horas. Como gerente de operações da unidade de
produção, você é responsável por monitorar a quantidade de cereal
colocada em cada caixa.
Para ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as
caixas devem conter, em média, 368 gramas de cereal. Se o processo de
abastecimento não estiver funcionando de maneira apropriada, o peso
médio das caixas pode se desviar demasiadamente do peso especificado
no rótulo e toda a produção se torna inaceitável.
Uma vez que a pesagem de cada caixa individual consome uma
quantidade demasiadamente grande de tempo, é dispendiosa e ineficiente,
você decidiu extrair uma amostra de caixas.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Para essa amostra, selecionada aleatoriamente, você planeja pesar
todas as caixas e calcular a média aritmética da amostra. Com base em sua
análise dos resultados, você terá que decidir entre manter ou alterar o processo
de abastecimento.
Se for selecionada aleatoriamente uma amostra de 25 caixas (sem
reposição) e considerando que o desvio-padrão do processo de abastecimento
de cereais é 15 gramas, qual é:
a.
o erro padrão da média aritmética?
b.
a probabilidade de que essa amostra venha a ter uma média aritmética
inferior a 365 gramas?
c.
a probabilidade de que uma caixa individual venha a ter menos de 365
gramas de cereal?