Derivada
Autores:
Silvia Maria Medeiros Caporale
João Paulo Rezende
Karine Angélica de Deus
Colaboradores:
José Antônio Araújo Andrade
Marielle Aparecida Silva
Taxa de variação é a comparação entre duas
grandezas variáveis e dependentes.
A velocidade média, por
exemplo, é a taxa de
variação do espaço em
relação ao tempo. Ou
seja, é o espaço
percorrido em cada
unidade de tempo.
A tabela a seguir representa o espaço percorrido, em
metros (m), por um móvel a cada unidade de tempo
em segundos (s).
t (s)
s (m)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
...
...
A cada 1 segundo de movimento o espaço varia de
4 metros. Veja:
t
s(t)
t
s(t)
0
0
t
s(t)
0
0
1
4
t
s(t)
0
0
1
4
t
s(t)
0
0
1
4
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
t
s(t)
0
0
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
4 é o coeficiente angular da reta
Imagine o movimento de um objeto solto a uma
altura de 50 metros em queda livre. Com o auxílio
da física, podemos descrever seu movimento
através da função:
t
s (t)
0
50
1
2
3
45,1 30,4 5,9
3,2
0
Observe que nossa taxa de variação
corresponde a inclinação da reta definida pelos
pontos:
Como
,
então os pontos serão:
A partir dos pontos
podemos determinar a
reta que passa por eles:
Ponto em que a reta
corta o eixo y
Inclinação da reta.
Observe que nossa taxa de variação
corresponde a inclinação da reta definida pelos
pontos:
Como
,
então os pontos serão:
A partir dos pontos
podemos determinar a
reta que passa por eles:
Ponto em que a reta
corta o eixo y
Inclinação da reta.
Se aceitarmos
, qual problema teríamos?
Quando
aproximamos
ponto
variável
ao
Assim, podemos
dizeroque
quando
lidamos com
ponto
fixo
, diminuímos
, a
um
ponto
na vizinhança
donosso
ponto intervalo
3, temos que
fazendo-o
aproximar
de zero.da reta
reta secante
ao se
gráfico
se aproxima
tangente ao ponto (3, S(3)).
Reta secante
Reta tangente
Logo, quando
se aproxima de zero temos uma
boa aproximação da taxa de variação do espaço
em relação ao tempo no ponto 3.
Essas considerações podem ser sistematizadas
através da noção de Limite.
Consideramos um ponto específico (3, S(3)), mas
podemos generalizar nossas considerações para
um ponto qualquer (t, S(t)).
Dessa forma, em t=3s temos que o valor
da velocidade instantânea será:
Assim, temos uma equação que nos fornece a taxa
de variação da função S de uma variável t,
definida por
para qualquer t real.
Estamos diante da noção de DERIVADA de uma
função real de uma variável.
A derivada
é denotada por
ou
Podemos utilizar outras notações para representar a
derivada de uma função real de uma variável como
por exemplo:
e
ou
e
Uma função é derivável em um intervalo aberto
se
existe para qualquer valor de
nesse intervalo.
ou
Uma função é derivável em um intervalo fechado
se a função é diferenciável em um intervalo
aberto
e existe os limites:
e
Exemplos:
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis
no intervalo
:
e
Como a derivada
não depende de x
então ela existe
para todo
ou
seja,
é
derivável em
se
Exemplos:
Seja as funções abaixo, verifique se são
deriváveis no ponto x=0:
Logo, f(x) é derivável em x=0.
Logo, g(x) não é derivável em x=0.
é uma função
contínua, no
entanto, não é
derivável no ponto
não é contínua,
porém é derivável
para todo valor de
do seu domínio.
é contínua e
derivável em todo
valor de x do seu
domínio.
O lucro de um buffet é dado em função do valor
cobrado por pessoa. A função que descreve essa
situação é dada pela lei de formação:
Dessa forma, encontre o valor ideal a ser cobrado
para que o buffet tenha lucro máximo.
O valor ideal é
R$ 17,50