MSCC – Revisão de Probabilidade
e Estatística
Sidney Lucena
PPGI/UNIRIO
2015.1
Revisão de Probabilidade e Estatística
• Sumário da Revisão
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Análise Combinatória
Probabilidade
Variáveis Aleatórias, Distribuições de Probabilidade
Funções de Variáveis Aleatórias
Medidas Estatísticas
Intervalo de Confiança
• Na sequência, teremos
– Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuição marginal e probabilidade condicional
• Correlação e Autocorrelação
Revisão P&E – Por quê?
• Apesar de óbvio, voltemos à ideia básica
– É preciso SUMARIZAR dados
– Mas também é preciso saber o que calcular
• e como calcular!!!!
– E é preciso representar e exibir estes dados
– Ferramentas nem sempre têm tudo que é
necessário para isso
• É necessário conhecer bem os conceitos
Análise Combinatória
Análise combinatória, a arte de contar (Stewart)
• É a parte da matemática que estuda métodos
de contagem
– Importante para se calcular probabilidades!
• Exemplos:
– Quantos números cabem em 2 bytes?
– Ao se lançar os dados X e Y, em quantas
combinações X terá valor maior que Y?
• Como fazer esta conta “sem contar”????
Análise Combinatória
• Princípio fundamental da contagem (ex.):
• Se X, Y e Z podem respectivamente assumir uma
quantidade k, m e n de valores, então o número total
de possíveis combinações é (k x m x n)
– E se eu quiser desprezar as combinações que se
repetem independente de ordem???
• P/ex., (3,5) e (5,3) contando como uma combinação
• Que cálculo seria este?? Vejamos os artefatos...
Análise Combinatória
• Arranjo
Análise Combinatória
• Arranjo c/ repetição
Análise Combinatória
• Permutação
– Um arranjo de itens, numa dada sequência
ordenada, é dito ser uma permutação destes itens
• Ex: o conjunto ABC possui 6 permutações (3! = 6)
– ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
– 𝑛! = 𝑛𝑘=1 𝑘
• Ex.: o conjunto OXO possui 3 permutações (porque um
símbolo aparece 2 vezes
– OXO, OOX, XOO
– 3!/(2!1!) = 3
– Por quê????
Análise Combinatória
• Permutação
– Ex.: fila indiana com 8 pessoas
– 8! = 40320
– Permutação circular
• PCn = (n – 1)!
– Por quê?????
• Ex.: Brincadeira de roda c/ 10 crianças
– 9! = 362880
Análise Combinatória
• Permutação c/ elementos repetidos
Análise Combinatória
• Combinação
Análise Combinatória
• Combinação
– Ex.: um jogador recebe 10 cartas de um baralho
de 40 cartas
• Qual o número de combinações possíveis de cartas que
será recebido?
Análise Combinatória
• Combinação
– Propriedades do coeficiente binomial:
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
– E quando as partições são iguais?
• Divide-se pelo número de permutações das partições
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
– E quando as partições são iguais?
• Ex.: De quantas maneiras podemos alocar 12 pessoas
em 3 salas tendo cada grupo 4 pessoas?
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Probabilidade
• Definições importantes:
Probabilidade
• Espaço amostral de experimento:
– Ex.: lançar 2 dados
– Ex. de evento: soma dos resultados ser par
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
• Probabilidade de um evento:
• Axiomas (verdades aceitas por todos):
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
– Muito usada qdo há seq. de eventos relacionados entre si!
Probabilidade
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Variável Aleatória
• Variável que representa o resultado de uma função
envolvendo experimentos aleatórios
Variável Aleatória
• Classificações:
Variável Aleatória Discreta
Variável Aleatória Discreta
• Função de Probabilidade de Massa (PMF):
– Probabilidade da var. aleat. X assumir um dado valor x :
• P [X = x] = p(x)
– A soma das probabilidades dos possíveis valores de X é 1:
Variável Aleatória Discreta
• Função de Distribuição Cumulativa (CDF):
– Probabilidade da v.a. X ser menor que a:
• P [X <= a] = F(a)
Variável Aleatória Discreta
• Medidas de Interesse:
Variável Aleatória Discreta
• Seja Y a v.a. representada nos gráficos anteriores:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuições de Probabilidade mais comuns:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Bernoulli:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Bernoulli:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Binomial:
– Se a prob. de uma máquina dar defeito num lab. é p, qual
a prob. de i máquinas darem defeito?
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Binomial:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Binomial:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Binomial:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Binomial:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Geométrica:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Geométrica:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Geométrica:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição Geométrica:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Poisson:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Poisson:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Poisson:
– Costuma ser usada para saber a probabilidade de um dado
número de ocorrências de um evento num dado intervalo
de tempo
• Ocorrências do evento devem ser aleatórias e
independentes
• O valor médio de ocorrências é bem conhecido
(lambda)
– Exemplo:
• Probabilidade do número de pessoas que entram num
banco durante um certo intervalo de tempo ser igual a
x
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Poisson:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Distribuição de Poisson:
– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta
• Aproximação entre as Distribuições de Poisson e
Binomial:
Variável Aleatória Contínua
• Uma variável aleatória é dita contínua quando o
conjunto de valores que ela pode assumir é
incontável
• Exemplos:
Variável Aleatória Contínua
• Função Densidade de Probabilidade (PDF):
– Exemplo: P [a <= X <= b]
Variável Aleatória Contínua
• Probabilidade e Medidas de Interesse:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuições de Probabilidade mais comuns:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição de Erlang:
– Corresponde a uma sequencia de n eventos com
distribuição exponencial
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição de Erlang:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição de Erlang:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição de Erlang:
– CDF (Função de Distribuição Cumulativa) p/ lambda = 0,5
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição de Erlang:
– PDF para n = 5
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
– Exemplo para Dist. Normal Padrão:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
– Muito usada para representar variáveis aleatórias cuja
distribuição não é conhecida
– Teorema do limite central:
• A média calculada para variáveis aleatórias
independentes, que por sua vez se torna uma variável
aleatória, possui distribuição normal
• Ex.: erros de medição tendem a apresentar uma
distribuição próxima da normal
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua
• Distribuição Normal: