ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
0! = 1
CONVENÇÃO
n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3!
24 + 6
30
b) 7!
7.6.5.4.3.2.1
5040
Observe que:
4!+3!  7!
c)
10!
8!
=
10.9. 8!
8!
= 90
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
d)
50!49!
49!
50.49! – 49!
49!
49!(50 – 1)
49!
49
O conjunto solução de:
(n  1)!
 210 é:
(n  1)!
(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!
(n  1)!
 210
(n  1)!
(n + 1).n.(n – 1)!
(n – 1)!
m–3=1
m=4
m–3=0
m=3
= 210
Logo a soma dos valores de m é 7
(n + 1).n = 210
n2 + n – 210 = 0
n’ = 14
Determine a soma dos valores
de m que satisfazem a equação
(m – 3)! = 1
n’’ = - 15
(não convém)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,
estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,
sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.
Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
:
:
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.
Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas
com 3 letras e 4 algarismos?
(Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)
26
26
26
10
10 10
10
= 175. 760. 000
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem
ser formados ?
Alguns números possíveis
244
244
244
244
244
:
:
:
3215
5138
0008
2344
0000
Usando o princípio fundamental da contagem:
244
10
10
10
10
= 10 000 números
fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão
atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De
quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?
100
99
= 9900 maneiras
USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
IMPORTA ORDEM
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
COMBINAÇÃO
NÃO IMPORTA ORDEM
FORMULÁRIO
Pn = n!
p
A
n

n!
(n  p)!
n!
p
C 
n (n  p)! p!
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois
quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim
formadas é:
n = 8 “total”
p = 2 “usa”
A
C
n!
p
C 
n (n  p)! p!
8!
C2 
 28
8 (8  2)!2!
Corda AC = CA
COMBINAÇÃO
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine:
a) Total de Anagramas
Pn =
n!
P6 =
6!
P6 = 720
c)O número de anagramas que possuem “N, U, M”
juntas.
N U M ERO
X ERO
P3 . P4
3!.4!
b)O número de anagramas
que começam em “N” e
terminam em “O”
N
O
{U, M, E, R}
6 . 24 = 144
d)O número de anagramas que possuem “N, U, M”
juntas e nessa ordem.
P4 = 4! = 24
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o
acento)
7!
P 3,2,2 
 210
7
3! 2! 2!
05) ( ITA ) O número
x + y + z + w = 5 é:
8!
P 5,3 
 56
8
5 ! 3!
de
soluções
inteiras
e
não
negativas
da
equação
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se
mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O
número de pessoas presentes à reunião é:
n!
Cp

n (n  p)!p!
n = x “total”
p = 2 “usa”
José – Carlos
Carlos – José
COMBINAÇÃO
28 
x!
(x  2)!2!
28 
x(x - 1)(x - 2)
(x  2)!2.1
56 = x2 - x
x2 – x – 56 = 0
x=8
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO
NÃO USA TODOS ELEMENTOS

ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal.
Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e
todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43
cumprimentos. O número de colorados é:
C2  C2
x  43
6
6!
x!

 43
(6  2)!2! (x  2)!2!
15 
x(x - 1)(x - 2)
 43
(x  2)!2.1
x2 – x =56
x2 – x – 56 = 0
x=8
USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS
ARRANJO
Importa ordem
 COMBINAÇÃO Não Importa ordem
08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A equação
A 2x  12
A
2
x
04. Numa sala estão 5 professores e 6
= 12 não possui solução. alunos. O número de grupos que
podemos
formar,
tendo
2
professores e 3 alunos, é 30.
x!
 12
(x  2) !
x(x  1)(x  2) !
 12
(x  2) !
F
x(x – 1) = 12
x2 – x – 12 = 0
x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve).
02. Com a palavra CAJU podemos formar
24 anagramas
Pn =
V
n!
P4 = 4! = 24
ou  +
ex
C2 . C3
5
6
10 . 20  200
F
08. Na final do revezamento 4 x 100 m
livre masculino, no Mundial de Natação,
em Roma 2009, participaram: Estados
Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália,
África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os
distintos modos pelos quais poderiam ter
sido distribuídas as medalhas de ouro,
prata e bronze são em número de 56.
ARRANJO  P.F.C
8
7
6
=336
F
09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse
número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada
uma de um médico e quatro enfermeiros.
4
C15 . C10

5!
10 !
.

4 !.1!
6 !. 4 !
02. Entre os anagramas da palavra
considere o acento)
P32 
F
5 .210  1050
3!
3
2!
ÁGUA,
6
começam por consoante. (não
F
04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser
feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos.
3
C12

12 !
 220
9 !. 3 !
F
08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2,
5, 5, 5 e 6 é 180.
Terminados em 2
P63 
Terminados em 6
6!
 120
3!
P63,2 
6!
 60
3 !.2 !
 TOTAL: 180
V