Estatística
Cartas de Controle
Prof. Helcio Rocha
Adaptado de Levine; Ritzman; Montgomery
17-1
Um caso




Uma indústria fabrica carcaças de motores elétricos. O
diâmetro interno DI é uma variável crítica.
Valores diferentes de 150,00 mm inviabilizam seu uso
A cada hora retira-se amostra de n = 9 carcaças e
mede-se os respectivos Dis
A média da amostra é colocada num gráfico diâmetro
versus tempo
9-2
Variação nos resultados




Mesmo quando os processos de produção
operam conforme o previsto, existem muitas
fontes de variação.
Nada pode ser feito para eliminar
completamente a variação nos produtos
fabricados.
Porém, a gerência pode investigar as causas
da variação para minimizá-las
Algumas causas são inerentes ao processo,
outras não
17-3
Variação nos resultados
Variação total
do processo =
Variação de
causa comum
Variação de
+ causa especial

Resultado de variações normais em materiais,
ferramentas, máquinas, operadores e ambiente

É o ruído de fundo (Montgomery)

Ocorre naturalmente e é esperada

É inevitável com o processo atual

Pode ser reduzida desde que se façam melhorias
no processo
17-4
Variação nos resultados
Variação Total
do Processo =
Variação de
causa comum
Variação de
+ causa especial

Variabilidade anormal, não esperada; geralmente
maior que a variabilidade do ruído de fundo

Possui causa assinalável

Geralmente representa problema a ser corrigido

Quando não corrigida, resulta em risco de elevação
do % de produtos não-conformes

O processo é reconhecido como fora de controle
17-5
Cartas de controle e TH


H0: somente causas comuns atuam no
processo ► o processo está sob controle
estatístico
H1: existem causas especiais atuando no
processo ► o processo está fora de controle
estatístico
17-6
Dois tipos de erros

1o.: Tratar uma variação de causa comum
como sendo de causa especial (erro tipo I)


2o.: Tratar uma variação de causa especial
como sendo de causa comum (erro tipo II)


Resulta em ajuste desnecessário, que por sua vez
aumenta a variação do processo
Resulta em não se realizar as ações corretivas
necessárias
O uso de cartas de controle reduz bastante as
chances de se cometer esses dois erros
17-7
Objetivos das cartas de
controle

O principal objetivo das cartas de controle está
na rápida detecção das causas especiais




Se prejudiciais à qualidade, devem ser removidas
Se benéficas à qualidade, devem ser incorporadas
A eliminação destas causas (quando
prejudiciais) reduz a variabilidade do processo,
resultando em melhoria do processo
A carta de controle permite um monitoramento
online do processo
17-8
Objetivos das cartas de
controle (cont.)
Tendo-se um processo sob controle…
 As cartas de controle permitem a estimação de
certos parâmetros do processo, como média,
desvio-padrão e % de produtos não conformes
 As cartas de controle também permitem que se
estime a capacidade do processo em atender
às especificações do produto
► índices de capabilidade

17-9
Cartas de controle: razões
básicas de sua popularidade





São eficazes na prevenção de falhas
Promovem a melhora da produtividade
Permitem que se evite ajustes desnecessários
no processo (somente elas permitem distinguir
o ruído de fundo das variações anormais)
Permitem ao profissional experiente um
diagnóstico do processo a partir do perfil da
sequência de pontos
Proporcionam informação sobre a capabilidade
do processo
17-10
Cartas de controle:
Processo sob controle

Os pontos são aleatoriamente
distribuídos em torno da linha central e
não ultrapassam os limites de controle
LCS
LC
LCI
tempo
17-11
Cartas de controle e limites de
controle
Amostras de n  4 têm médias que se
comportam razoavelmente conforme a
distribuição normal
Causas de variação especial:
LCS
Causas de variação
comum
+3σ
LC
- 3σ
LCI
tempo
17-12
Variabilidade do processo
Variação de causa especial:
Em um processo sob controle, a probabilidade de
um ponto tão distante da média é remota
LCS
±3σ → 99.7% dos
valores devem cair
nesta região
LC
LCI
time
17-13
Padrões de processos fora de
controle: regras sensibilizantes




Dois ou três pontos consecutivos fora dos
limites dois sigma
Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos
limites de um sigma
Oito pontos consecutivos de um mesmo lado
da linha central
Seis pontos em uma sequência sempre
crescente ou decrescente
17-14
Cartas de controle: etapas
1a Etapa:
implantação /
ajuste
Processo
Ajustado?
Ajuste
Sim
2a Etapa:
Monitoramento
Não
17-15
1ª. Etapa: Ajustando o processo e
calculando os limites de controle
1.
2.
3.
4.
5.
Retirar amostras aleatórias do processo, conforme
plano de amostragem (pelo menos 20 amostras)
Medir a característica de qualidade e calcular a média
amostral
Calcule os limites de controle; construa gráfico com as
retas limites LCS e LCI, além da reta LC
Coloque no gráfico a média de cada amostra.
Analise o comportamento dos pontos: se o gráfico
mostrar que o processo está sob controle, avance
para a 2ª. etapa; caso contrário, determine as causas
atribuíveis, faça a correção e retorne ao passo 1.
17-16
2ª etapa: Monitorando um
processo que está sob controle
1.
2.
3.
4.
5.
Retirar uma amostra aleatória do processo, conforme
plano de amostragem
Medir a característica de qualidade e calcular a média
amostral, registrando-a no gráfico
Avaliar se o gráfico apresenta um padrão de processo
fora de controle; caso afirmativo, efetuar o passo
seguinte
Procurar identificar uma causa atribuível; eliminar a
causa, se ela diminui a qualidade; agregar a causa, se
ela melhora a qualidade
Repetir o procedimento periodicamente
17-17
Atualização dos gráficos de
controle



Gráficos de controle devem ser atualizados
periodicamente, com novos limites calculados
Atualizações mensais são bastante comuns
Jamais utilizar nas atualizações os subgrupos
(amostras) que estavam sob a influência
comprovada de causa especiais
17-18
Amostragem


Um plano de amostragem bem concebido pode
proporcionar o mesmo efeito que uma inspeção
completa.
Um plano de amostragem especifica:



O tamanho de amostra (ou subgrupo)
O intervalo entre subgrupos sucessivos
As regras de decisão que determinam quando uma
ação deve ser tomada.
17-19
Modelos de cartas de controle

Quando controlamos variáveis (dados
mensuráveis) usamos



Carta de controle R
Carta de controle X (X-barra)
Quando controlamos atributos (dados
contáveis) usamos mais comumente


Carta de controle p
Carta de controle c
17-20
Modelos de cartas de controle
Cartas de
controle
Carta p
Carta c
Usada para
proporções
(dados de
atributos)
Usada para a
contagem do
No. de nãoconformidades
(dados de
atributos)
Cartas X e R
Usadas para
média e
amplitude de
dados
mensuráveis
17-21
Cartas R e X (x-barra)

Usadas para dados mensuráveis do
processo

Os subgrupos usualmente são de tamanho
(n) entre 3 e 6

Ambos gráficos devem apontar se o
processo está ou não sob controle: eles
trabalham em conjunto
17-22
Cartas R e X (cont.)


Passo 1: Colha os dados das medições e os
organize por No. da amostra. Preferivelmente,
devem ser usadas pelo menos 20 amostras
para se traçar um gráfico de controle
(estabelecimento dos limites de controle)
Passo 2: Calcule a amplitude para cada
amostra e a amplitude média, R-barra
17-23
Cartas R e X (cont.)

Medições do processo:
Medidas do subgrupo
1
15
17
15
11
14.5
Amplitude,
R
6
2
12
16
9
15
13.0
7
3
17
21
18
20
19.0
4
…
…
…
…
…
…
…
No. do
subgrupo
Médias
Medidas individuais
(n = 4)
Média, X
Média das
médias
=X
Média das
amplitudes
= R (R-barra)
17-24
Cartas R e X (cont.)

Passo 3: Determine os limites de controle
do gráfico R e trace suas retas no gráfico
LCI  D 3 (R)
LCS  D 4 (R)
onde:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D3
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
D4
3.267
2.575
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
D3 e D4 são constantes tabeladas de Shewhart
17-25
Cartas R e X (cont.)

Passo 4: Coloque no gráfico R as amplitudes
das amostras. Se todas estiverem sob controle,
prossiga para o passo 5 (ajuste de x-barra).
Caso contrário, determine as causas
atribuíveis, faça as correções e retorne ao
passo 1
17-26
Cartas R e X (cont.)


Passo 5: Calcule x-barra para cada amostra e
a média X dos valores de x-barra.
A linha central (LC) do gráfico será X
17-27
Cartas R e X (cont.)

Passo 6: Determine os limites de controle do
gráfico x-barra e trace suas retas no gráfico
LCS  X  A2 ( R )
LCI  X  A2 ( R )
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A2
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
17-28
Cartas R e X (cont.)



Passo 7: Coloque no gráfico X-barra as médias
das amostras. Se todas estiverem sob controle,
continue a tomar amostras e a monitorar o
processo.
Se o gráfico apresentar um padrão de processo
fora de controle, procurar identificar causas
atribuíveis, faça as correções e retorne ao passo 1.
Se nenhuma causa atribuível for identificada,
suponha que os pontos representem causas
comuns de variação e continue a monitorar o
processo.
17-29
Exemplo - Cartas R e X
Você é o gerente de um hotel com 500
quartos. Você quer avaliar o tempo gasto no
despacho de bagagens para os quartos. Por 7
dias, você coleta dados de 5 despachos a
cada dia. O processo está sob controle?
17-30
Exemplo - Cartas R e X
Dados dos subgrupos
Dia
n
Média
Amplitude
1
2
3
4
5
6
7
5
5
5
5
5
5
5
5.32
6.59
4.89
5.70
4.07
7.34
6.79
3.85
4.27
3.28
2.99
3.61
5.04
4.22
17-31
Exemplo - Cartas R e X
Limites de controle da carta R
R

R
i
k
3.85  4.27    4.22

 3.894
7
LCS  D4 ( R )  (2.114)(3.894)  8.232
LCI  D3 ( R )  (0)(3.894)  0
17-32
Exemplo - Cartas R e X
Resultado da Carta R
Minutos
LCS = 8.232
8
6
4
2
0
_
R = 3.894
LCI = 0
1
2
3
4
Dia
5
6
7
Conclusão: Amplitude do processo sob
controle estatístico
17-33
Exemplo - Cartas R e X
Limites de controle da carta X
X

X
5.32  6.59    6.79

 5.814
7
R

R
3.85  4.27    4.22

 3.894
7
i
k
i
k
LCS  X  A 2 (R)  5.814 (0.577)(3.
894) 8.061
LCI  X  A 2 (R)  5.814 (0.577)(3.
894) 3.566
17-34
Exemplo - Cartas R e X
Resultado da Carta X
Minutos
8
6
4
2
0
1
LCS = 8.061
_
_
X = 5.813
LCI = 3.566
2
3
4
Dia
5
6
7
Conclusão: Média do processo sob controle
estatístico
17-35
Capacidade do processo



Capacidade do processo é a habilidade do
mesmo em atender de forma persistente às
especificações das exigências voltadas para o
cliente.
Para avaliarmos a capacidade do processo,
este deve estar sob controle estatístico
Quando controlamos variáveis (dados
mensuráveis), a capacidade pode ser avaliada
por indicadores (conforme slides adiante)
17-36
Capacidade do processo:
Eficácia

A probabilidade P de que o resultado do
processo esteja dentro das especificações é:
LEI e LES: limitesde especificação inferiore superior


LES  X
 LEI  X
 P ( LEI  X  LES )  P
Z
R
R

d2
 d2

R / d2 é a estimativa do desvio-padrão (asseguir)

Z é uma variável aleatória normal padronizada






17-37
Capacidade do processo
Fator D2
A estimativa do desvio-
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D2
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
padrão da população é R
d2
Se
n=5
R = 2,45
Então…
R
 1,053
d2
17-38
Capacidade do processo
(cont)

Para uma variável com somente LES:
P (result ados dent rodas especificações)


LES  X

 P ( X  LES )  P Z 
R

d2







17-39
Capacidade do processo
(cont)

Para uma variável com somente LEI:
P (result ados dent rodas especificações)




 LEI  X

 P ( LEI  X )  P
Z
R


 d2

17-40
Índice Cp

É uma medida do potencial do processo, uma
vez que não leva em conta se a média do
processo está ou não a meio caminho entre
LEI e LES
LES  LEI dispersão da especificação
Cp 

dispersão do processo
6( R / d 2 )

Um valor Cp = 1 indica que se X estiver
centralizada, aprox. 99,73% dos valores
estarão entre os limites LEI e LES
17-41
Índice Cp




Cp = 1 implica que a empresa está produzindo
a uma qualidade três sigma
Historicamente, muitas empresas exigiam um
Cp maior ou igual a 1
Atualmente, muitas empresas estão exigindo
um Cp de até 1,33 (qualidade quatro sigma) ou
1,67 (cinco sigma)
Empresas que adotam a gestão Seis Sigma
almejam Cp igual a 2,0
17-42
Capacidade do processo
Valor
nominal
Seis sigma
Quatro sigma
Dois sigma
Especificação
mínima
Especificação
máxima
Média
17-43
Indicadores de desempenho real



Para medir a eficácia de um processo em
termos de seu desempenho real, os índices
mais comuns são: CPI, CPS, Cpk
Estes índices consideram a média aritmética do
processo X
Lembrando, Cp permite avaliar o desempenho
potencial
17-44
CPI e CPS

Para variáveis com somente o LEI, o CPI mede
o desempenho do processo
X  LEI
CPI 
3( R / d 2 )

Quando há apenas o LES, o CPS mede o
desempenho do processo
LES  X
CPS 
3( R / d 2 )
17-45
CPI e CPS
(cont)

Um valor de CPI (ou CPS) igual a 1,0 indica
que X está 3 desvios-padrão afastada do LEI
(ou do LES) ► qualidade três sigma

Um valor de CPI (ou CPS) igual a 2,0 indica
que X está 6 desvios-padrão afastada do LEI
(ou do LES) ► qualidade seis sigma
17-46
Índices de Capacidade
Exemplo
Você é o gerente de um hotel com 500
quartos e estabeleceu que o CPS do
processo de despacho de bagagens deve
ser no mínimo igual a 1,0 e que assim
99,73% dos despachos devem ser
completados em no máximo 10 minutos.
Por 7 dias, coletou os dados a seguir. Sabese que o processo está sob controle. Avalie
se ele atende a estas exigências.
17-47
Índices de Capacidade
Exemplo - Dados
Dia
n
Média
R
1
2
3
4
5
6
7
5
5
5
5
5
5
5
5.32
6.59
4.89
5.70
4.07
7.34
6.79
3.85
4.27
3.28
2.99
3.61
5.04
4.22
17-48
Índices de Capacidade
Exemplo - Solução
n5
X  5.814
R  3.894
d2  2.326
LES  X
10  5.814
CPs 

 .833473
3( R/d 2 ) 3(3.894/2. 326)
Como há apenas o limite de especificação superior,
precisamos computar somente o CPS, de valor
0,8335, inferior ao exigido.
17-49
Eficácia
Exemplo - Solução
n5
X  5.814
R  3.894
d 2  2.326
P(outcome w illbe w ithin specifications)



10  5.814 

 P(X  10)  P Z 
3.894 



2.326 

 P(Z  2.50)  .9938
Assim, estimamos que apenas 99.38% dos despachos
estarão dentro dos limites especificados. Deste modo, o
processo é incapaz de atender ao exigido.
17-50
Índice Cpk



O índice de capacidade mais usado é o Cpk
Mede o desempenho real do processo para
características de qualidade parametrizadas por
LEI e LES
É igual ao valor do CPI ou do CPS, o que for
menor

Cpk = MIN(CPI, CPS)
17-51
Índice Cpk

Um valor de Cpk igual a 1,0 indica que X está 3
desvios-padrão afastada do limite de
especificação mais próximo ► qualidade três
sigma

Um valor de Cpk igual a 2,0 indica que X está 6
desvios-padrão afastada do limite de
especificação mais próximo ► qualidade seis
sigma
17-52
Cp e Cpk


Cp será sempre menor do que ou igual a Cpk
Quando o processo está centrado entre os
limites de especificação, seus valores se
igualam ► X está posicionada no valor nominal
das especificações de projeto
17-53
Gráficos de controle para atributos

Dois gráficos comuns: gráfico p e gráfico c

Gráfico p: usado para controlar a proporção de
produtos ou serviços defeituosos

Gráfico c: usado para controlar o número de
defeitos quando mais de um tipo de defeito
pode estar presente em um produto ou serviço.
17-54
Gráfico p
Computando os limites de controle
LCS = p + 3 desvios-padrão (LCS ≤ 1)
LCI = p - 3 desvios-padrão (LCI ≥ 0)

O desvio-padrão para as proporções dos subgrupos é:
(p)(1 p)
n
onde
n é o tamanho dos subgrupos, ou a média dos tamanhos destes
p é a média das proporções dos subgrupos
Amostras de tamanho
desigual não devem diferir
mais do que em ±25% do
tamanho médio das
amostras
17-55
Exemplo - Gráfico p
Você é o gerente de um hotel e quer avaliar a proporção
de quartos não-conformes. Por 7 dias, você
contabiliza o No. de quartos não conformes, em um
total de 200 quartos. O processo está sob controle?
17-56
Exemplo - Gráfico p:
Dados do hotel
Dia
1
2
3
4
5
6
7
# Quartos
200
200
200
200
200
200
200
# Não
prontos
16
7
21
17
25
19
16
Proporção
0.080
0.035
0.105
0.085
0.125
0.095
0.080
17-57
Exemplo - Gráfico p
Limites de controle
k
p
X
i1
k
i
n
i1
16  7    16
121


 .0864
200  200    200 1400
i
k
n
n
i 1
k
i

200  200    200
 200
7
LCS  p  3
p(1  p)
.0864(1  .0864)
 .0864 3
 .1460
200
n
LCI  p  3
p(1  p)
.0864(1  .0864)
 .0864 3
 .0268
200
n
17-58
Exemplo - Gráfico p:
Resultado
P
0.15
LCS = .1460
_
p = .0864
0.10
0.05
0.00
LCI = .0268
1
2
3
4
5
6
7
Dia
Conclusão: Proporção sob controle estatístico
17-59
Gráfico c

Apresenta o No. total de itens não-conformes
por unidade (tempo, área, peça fabricada…)
exemplos:

No. de defeitos por painel de vidro

No. de erros gramaticais por página digitada
17-60
Gráfico c
Limites de controle
LCS  c  3 c
LCI  c  3 c

A média é

x

c
i
k
O desvio-padrão é
c
17-61
Exemplo - Gráfico c

Um fabricante têxtil deseja elaborar um gráfico
de controle para irregularidades (por exemplo,
manchas de óleo, manchas, fios soltos e peças
rasgadas) por 100 jardas quadradas de
carpete. Os dados a seguir foram colhidos de
uma amostra de 20 peças, cada uma de 100
jardas. Construa o gráfico c e avalie se o
processo está sob controle estatístico.
17-62
Exemplo – Gráfico c:
Dados
Amostra
Irregularidades
Amostra
Irregularidades
1
11
11
11
2
8
12
5
3
9
13
7
4
12
14
12
5
4
15
13
6
16
16
8
7
5
17
19
8
8
18
11
9
17
19
9
10
10
20
10
17-63
Exemplo – Gráfico c
Limites de controle
x

c
i
k
205

 10,25
20
c  3,20
LCS  c  3 c  19,85
LCI  c  3 c  0,64
17-64
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Número da Amostra
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Número de Defeitos
Exemplo – Gráfico c
Resultado
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Conclusão: No. de defeitos sob controle estatístico
17-65