FEM/DE UNICAMP Prof. Eugênio
IM 250 MECÂNICA DOS FLUIDOS
Escoamento Na Camada
Limite, Re
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Comprimento de Desenvolvimento Hidrodinâmico
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Entrada
• O escoamento tem V~0 no tanque e é acelerado para a
entrada do canal; a pressão na entrada é menor que a
pressão no tanque.
• Camada Limite muito pequena na entrada, Bernoulli:
1
P0  Pe  V 2
2
DOS FLUIDOS
IM 250 MECÂNICA
Desenvolvimento
de
Região
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• O escoamento próximo da parede é retardado (efeito
da viscosidade);
• O núcleo irrotacional do escoamento acelera
(continuidade)
• O escoamento ocorre devido a diferença de pressão;
• A media que as C.L. crescem o núcleo acelera mais e a
pressão cai mais...
dUe
u
u
 2u
u
v
 Ue  x 
 2
x
y
dx
y
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Região Desenvolvido
• As duas C.L. se encontram,
• O perfil de velocidades cessa de variar na direção axial
(não há termos inerciais);
• A queda de pressão é linear
1 dP
 2u
 2
 dx
y
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Comprimento de Desenvolvimento
• Primeiro modelo (1891) Bousinesq. Grande
revisão: Schmid, F.W. & Zeldin, B. (1969) AIChE
J., v15, pp 612-614.
• Escoamentos laminares,
Le d  0.06Red
Comprimento de Desenvolvimento
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• Aproximação Placa Plana:
x
  x   5 U
e
• ‘Le’ pode ser estimado quando  = d/2; substituindo
na expressão acima:
d
Le
 5 U
e
2
• ou
Le d  0.01Red (valor correto 0.06 Red )
• Estimativa abaixo do valor esperado; escoamento
possui grad P favorável portanto atrasa o
desenvolvimento da C.L. não previsto na solução
de Blasius.
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Escoamento com Gradiente de Pressão Favorável
• dP/dx < 0 ocorre para escoamentos acelerados,
isto é, a velocidade aumenta na direção do
escoamento;
• Considere o canal com contração; o aumento de
vel. leva a uma diminuição da C.L. (linha vermelha);
• O aumento da vel. favorece a convecção e diminui
a espessura da C.L.
• A curvatura do perfil é definida como:
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Curvatura do Perfil de Velocidades e
Ponto de Inflexão (P.I.) do Perfil


 2u y2
  
1  uy 2

3

  2u y2
2

• aproximação válida quando du/dy <<1.
• A curvatura pode ser (+), (-) ou nula.
• Se  =0 há um ponto de inflexão, (P.I.), a curvatura muda
de sinal.
• Um perfil de velocidades que apresenta um P.I. indica que
possui uma mudança de curvatura
• Avaliando  na parede (y =0)
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Curvatura do Velocidades para dP/dx < 0
(gradiente favorável, esc. acelerado)
2
 u
1 
1 p



0
y2  y y  0  x
• Como  na parede é < 0 e ele não muda de
sinal, então o perfil não possui P.I.
• Conseqüência:
-,-
• tensão máxima
ocorre na parede
y
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Placa Plana
• Para a placa plana, dp/dx = 0 portanto a
curvatura do perfil avaliada na parede (y=0) é
nula:
 2u
1 


0
y 2 y  0  y y  0
• Note que o perfil de velocidades na placa
plana apresenta o ponto de inflexão (k=0) na
parede, veja figura.
• Note que  na parede é máximo e depois
decresce para zero!
DOS FLUIDOS
IM 250 MECÂNICA
Escoamento
com Gradiente
de Pressão
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Desfavorável
• dP/dx > 0 ocorre para escoamentos desacelerados, isto é, a
velocidade diminui na direção do escoamento;
• Considere o canal com expansão; a diminuição de vel. leva a um
aumento da C.L. (linha tracejada);
• O aumento da Vel. desfavorece a convecção e aumenta a
espessura da C.L.
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Perfil de Velocidades para dP/dx > 0
0
0
Para dp/dx > 0 o ponto de inflexão no perfil , PI, está no escoamento!
Perfil de Velocidades para dP/dx > 0
• O perfil apresenta um ponto de inflexão (PI);
•
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• A máxima tensão ocorre dentro do escoamento da camada
limite;

y < PI, d/dy > 0;
 2u
y
2
y > PI, d/dy < 0
0
Na parede (y=0)
p
 2u

x
y2

y 0

0
y y  0
• A medida que dp/dx aumenta a parede pode ficar com
tensão nula (SEPARAÇÃO)
• Um aumento de dp/dx faz com que o ponto de separação se
mova para a esquerda e o escoamento é reverso .
r
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Separação
r
• O ponto de separação 2D apresenta tensão
nula na parede!
• Após o ponto de separação as Eq. C.L. não
são mais válidas porque
– /L ~1, a equação não é mais parabólica
(precisa de 2 direções);
– O processo de marcha não pode ser
aplicado pois seria necessário ter
informações a montante do ponto de
estagnação
– O problema passa a ser elíptico.
Separação do Escoamento e Camada Limite
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•
No ponto de separação /L ~O(1), portanto as
aproximações da C.L. não são válidas, o
escoamento é Elípitico!
separação
Separation due to abrupt geometry changes.
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Visualização da Separação.
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• A inserção de tufos de
algodão junto da
superfície dão uma
indicação se o
escoamento está
separado ou não.
• Na foto ao lado podese notar que o
escoamento na ponta
da asa se separa
próximo do bordo de
fuga da asa. Já aquele
próximo da fuselagem
apresenta uma grande
área separado.
Back step flow
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Separação e Recolamento
Diffuser
Forward step flow
Cylinder
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Onde a Teoria da Camada Limite
Não Se Aplica
Separação do Escoamento,
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L ~ 1  escoamento c 2 direções predominantes
descolamento
descolamento
recolamento
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c 2 direções predominantes
L ~ 1  escoamento
FLUIDOS
Escoamento
do DOS
Separação
IM 250 MECÂNICA
,
• Escoamento de água
com Re 15000 em
esfera.
• Figura superior:
ocorre uma C.L.
laminar até no ponto de
separação ~ 82 graus.
• Figura inferior: com o
auxílio de um fio (trip
wire) a C.L. laminar
transiciona para
turbulenta e o ponto de
separação se desloca
para ~ 120 graus.
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ESCOAMENTO ELÍPTICO:
recirculação presente,
mais de uma direção predominante
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ESCOAMENTO ELÍPTICO:
recirculação presente,
mais de uma direção predominante
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Controle da Camada Limite
•Objetivos: reduzir arrasto e aumentar sustentação
•Metas: controlar a transição e a separação
•Técnicas:
• Sucção
• Injeção
• Mudança de Forma
• Remover ou introduzir perturbações
1. Sucção em perfil
2. Injeção fluido
3. Sphere Drag - CdxRe
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Changing geometry by nose flaps
Vortex Generators
Controlling Separation by Vortex Generators
and Flow Deflection by Rear Spoilers
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In their technical paper, Mitsubishi’s
engineers made the following conclusions:
(1) Vortex generators (VGs) were installed
immediately upstream of the flow separation
point in order to control separation of airflow
above the sedan’s rear window and improve
the aerodynamic characteristics.
It was found that the optimum height of the VGs is almost equivalent to the thickness
of the boundary layer (15 to 25 mm) and the optimum method of placement is to
arrange them in a row in the lateral direction 100 mm upstream of the roof-end at
intervals of 100 mm. The VGs are not highly sensitive to these parameters and their
optimum value ranges are wide. Better effects are obtained from delta-wing-shaped
VGs than from bump-shaped VGs.
(2) Application of the VGs of the optimum shape showed a 0.006 reduction in both the
drag coefficient and lift coefficient of the Mitsubishi Lancer Evolution.
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DASProf.TRASEIRAS
DETALHES
Eugênio
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DOS VEÍCULOS
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Alguns carros são equipados com um spoiler que as revendedoras
afirmam aumentar a tração nos pneus em alta velocidade. Investigue
a validade desta afirmação. Seriam estes dispositivos apenas
decorativos? Comente sobre a Funcionalidade do Spoiler do Gol.
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Equação Integral da Camada
Limite
(Kármán e Polhaussem 1921)
Boundary Layer Displacement Thickness
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• The viscous force acting on the solid wall decelerates the
flow next to the wall. It introduces a velocity gradient.
• The mass flow for a given B.L. cross section is:
Ue
Ue
m
y
y
0
0
 u  y  dy 
*

U
dy


U

e
 e
• It is equivalent to the mass flow
rate produced by the external flow
(1st term) minus the mass flow
deficit due to the flow deceleration
near the wall, *.
• Therefore, the displacement
thickness for an incompressible
flow is:
*
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Um escoamento na região de entrada de um duto
quadrado conforme mostrado. Determine a variação de
pressão entre as seções (1) e (2). 2 é a espessura de
deslocamento medida experimentalmente.
Resp.:
V12
p 
2
2



 


h2

  1  59Pa
2
  h  2*2 


 



Boundary Layer Momentum Thickness
Ue
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• The momentum flux for a given B.L. cross section is :
J
y
y
0
0
2

u
 dy 

Ue
Ue   u  dy   Ue2q
dm
• It is also expressed by the product of
U∞ times mass flow rate (1st term)
minus the deficit of momentum due to
the flow deceleration near the wall, q.
• The momentum thickness, for an
incompressible flow is:
q
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Avalie */, q para regime laminar utilizando os perfis:
linear, parabólico e senoidal. Compare seus resultados
com os valores obtidos para o perfil de potência 1/7
Perfil
u
y

Ue 
y y
u
 2    
Ue
 
 2  y 
u
 Sin    
Ue
    
17
y
u
 
Ue   
2
* 
1
2
q 
1
6
1
3
2

2
15
4
2
0.25
0.097
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Um escoamento de ar sobre uma placa plana fina, de largura b=0,3 m. O
escoamento é bidimensional. Admita que na C.L. o perfil de velocidades seja
linear. A placa tem 1 m de comprimento. Determine:
a) Vazão em massa através da superfície a-b
b) A componente x (e sentido) da força necessária para manter a placa
estacionária.
Re sp. :
 ab  Ub* 
m
1
Ub  0,00399kg / s
2
D  U 2 bq  0.167U 2 b  0,00359N (para esquerda)
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Equação Integral da Camada Limite
 
w
d 2
dU *

U q  U

 dx
dx
u
 f ;   y 
U
* 1 
u
  1    d
 0 U 
u
u
q   1    d
U
0U
1
• A equação von Kàrmàn aplica-se para
escoamentos em regime laminar e
turbulento!
• Ela relaciona a tensão na parede (laminar
ou turbulenta) com os perfis de velocidade.
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Perfil de Velocidades
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Perfil Parabólico (3 c.c.)
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DOS FLUIDOS
MECÂNICA
IM 250
Peris
de Velocidades
Blasius
Quadrático
Quarta
Potência
Linear
Cúbico
Senoidal
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Espessura de Deslocamento e de Momento
em função do perfil de velocidades
Aplicação Método Integral para Placa Plana
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Uma placa plana com comprimento L=0,3m e b=1m largura é instalada
num túnel de água. A velocidade da corrente livre é de U = 2m/s.
Considere o escoamento laminar e considere um perfil representado por
um polinômio do segundo grau. Determine como , * e w variam com x/L
na placa. Encontre o arrasto total exercido pelo fluido numa face da
placa.
Força totalde arrasto
2
D  U bq
DOS FLUIDOS
IM 250 MECÂNICA
Integral
Método
Resultados
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para Placa Plana
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Comentários Sobre o Método Integral
• Muito utilizado nas décadas de 20 a 60 (sec. XX);
• Empregado também em escoamentos com
superfícies livres;
• A partir de formas do perfil de velocidades
realiza estimativas sobre Cf, * e q.
• É capaz de prever ponto de separação 2D;
• Sucesso das estimativas ocorre devido ao
processo integral que tende a suavizar os erros
dos perfil de velocidades,
• Incertezas típicas de 15%
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FIM
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• O escoamento acelerado apresenta
perfis de velocidade numa única
direção.
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Perfil de Velocidades para dP/dx < 0
• A curvatura do perfil apresenta
sempre o mesmo sinal, isto é, não há
ponto de inflexão no perfil.
• Inclinação do perfil na parede (y=0):
0
0
u
u
p
 2u
u
 v

 2
x
y
x
y
p
 2u
 2
x
y
y 0


0
y y 0
• A partir da Equação Integral da C.L. para uma
Placa Plana temos que:
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Tensão Viscosa na Placa Plana
dq
dq
 w  U
ou Cf  2
dx
dx
2
• Numa placa plana (dp/dx=0) a variação da
quantidade de movimento do escoamento
equilibra a força de atrito na parede!
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DOS FLUIDOS
250 MECÂNICA
com o
acontece
que
O IM
Perfil de Velocidades?
• Dentro da C.L. o perfil de velocidades muda a
medida que o escoamento se move ao longo
da placa
• A espessura da C.L. aumenta e a velocidade e
o escoamento dentro da C.L. diminui a
quantidade de movimento.
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• O fluido ‘próximo’ à parede pode ser
levado ao repouso para uma Placa
Plana (dP/dx=0)?
• A velocidade próxima à parede é
estimada expandindo-a em série de
Taylor a partir da parede
 
du
2
u y   u 0 
 y O y
dy y 0
ou
 
w
u y   0 
y  O y 2

• Note que ‘próximo’ a parede a velocidade
depende do valor da tensão na parede
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• Tanto para escoamento Laminar como
para Turbulento, a tensão na parede para
uma placa plana não é zero, mas decai
continuamente:
Laminar
 Cf 
w

1.328
1    U2
Re x
2
w
0.0594
Turbulento  Cf 

1    U 2 Re1x/ 5
2
• Portanto o fluido não irá para repouso
próximo da parede para escoamentos
com dp/dx=0 porque Cf > 0.
• Vamos representar as forças que atuam num elemento
de fluido infinitezimal próximo da parede, isto é, dentro
da C.L.: Atrito, Pressão e variação da quantidade de
movimento, J
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O que acontece para Escoamentos na
C.L. com dP/dx ≠ 0
FA
dp/dx < 0
J
FP
FA
FP
J
dp/dx > 0
• dP/dx < 0 gradiente de pressão favorável, força de
pressão e variação da quantidade de movimento na
mesma direção e opostas ao atrito.
• dP/dx > 0 gradiente de pressão desfavorável, força de
pressão e atrito na mesma direção e opostas à
quantidade de movimento.