FISICA II – PROFº MARCOS SILVA
Ondas Mecânicas
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Ondas
As perturbações num sistema em equilíbrio
que provocam um movimento oscilatório
podem propagar-se no espaço à sua volta
sendo percebidas noutros pontos do espaço
movimentos ondulatórios
MRCP
ondas progressivas
DF – UM
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Tipos de ondas

Ondas Mecânicas – precisam de um meio físico para se
propagarem e obedecem às Leis de
Newton (ondas sonoras, da água,
sísmicas)

Ondas Electromagnéticas – não precisam de meio físico
para se propagarem viajando no vácuo
todas à mesma velocidade c ≈ 3x108
ms-1 (radiação electromagnética, eg
luz)

Ondas de Matéria – ondas associadas a partículas
fundamentais, como os electrões e
protões
MRCP
DF – UM
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Tipos de propagação de ondas
MRCP

Onda Transversal

Onda Longitudinal

Ondas Mistas
DF – UM
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Descrição do movimento ondulatório
y
velocidade de propagação
ou velocidade de fase
v
O
onda para t = Δt
O
y  f x 
x  x  vt
y  f x  f x  vt
 y 1  y
 2 2
2
x
v t
2
MRCP
x
onda para t = 0
2
função de onda
y x, t   ym sin k x  vt 
DF – UM
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Descrição do movimento ondulatório


v   f 
T
k
onda para t = Δt
onda para t = 0
y2 f x 
x 2x  vt2v
k


 kv
 y  f x  f x  vt
T  função
 de onda
 y 1  y
 2 2
2
x
v t
2
2
número
de onda
MRCP
xvtt 
y x, t   y m sin kkx
DF – UM
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Descrição do movimento ondulatório


 Velocidade de propagação v 
 f 
T
k
 Para uma corda
v

FT

Para o som
RT
v


M
B
MRCP
μ – densidade linear da corda

FT

FT
γ – constante dependente do
tipo de gás (diatom. – 1.4)
M – massa molar do gás
(M(ar) = 29x10-3 kg/mol)
DF – UM
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Descrição do movimento ondulatório

Velocidade de propagação

Para uma corda
v
FT

l
F  2FT sin    FT 2   FT
R
2
v
a
m  l
R
l
v2
FT
 l 
R
R
MRCP
μ – densidade linear da corda

FT

FT
DF – UM
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O que se propaga?

Estado de movimento
No movimento ondulatório propaga-se ou
transmite-se energia e momento
MRCP
DF – UM
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Energia de uma onda

1
A energia cinética de cada elemento dEC  dm.v 2
2
y
dm  dx
v
 ym coskx  t 
dt
1
2
dx1 2 ym2 cos2 2kx
 dECC  1 dx
2  2t 
ym 
cosymkx
 kx
t   t  médio
vonda
cos

 2  
2 dt24
 dt  médio

 dEC 
 dEP 




 dt  médio  dt  médio
MRCP

1
Pmédio  vonda 2 ym2
2
DF – UM
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Sobreposição de ondas

Para duas ondas com a mesma amplitude
e a mesma frequência angular
y1  x, t   ym sin kx  t 
sin   sin   2 sin
y2  x, t   ym sin kx  t   
1
    cos 1    
2
2
1  
1 

y x, t   2 ym cos   sin  kx  t   
2  
2 

amplitude na posição x
MRCP
termo oscilante
DF – UM
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Sobreposição de ondas
Sobreposição de ondas
A sobreposição de ondas resulta numa onda
que corresponde à soma algébrica das ondas
sobrepostas
25
20
15
10
y (m)
5
o1
0
0
100
200
300
400
500
600
-5
o2
o3
soma
-10
-15
-20
-25
A sobreposição de ondas não afecta de
nenhum modo a progressão de cada uma
x (m)
MRCP
DF – UM
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MRCP
DF – UM
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Ondas Estacionárias
nodo
antinodo
Se duas ondas com a mesma amplitude e
comprimento de onda, se deslocarem em sentidos
opostos ao longo da mesma direcção, a sua
interferência produzirá um onda estacionária
MRCP
DF – UM
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Ondas Estacionárias
nodo
y1  x, t   ym sin kx  t 
antinodo

2
y2 x, t   ym sin kx  t 
y x, t   2 ym sin kxcos t
amplitude na posição x
MRCP
termo oscilante
DF – UM
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Ondas Estacionárias

MRCP
Reflecção de uma onda numa corda nas
suas fronteiras
DF – UM
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Ondas Estacionárias

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas
frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A
cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos
situados nas extremidades.

Modo fundamental ou primeiro harmónico
2L
v
n  1  1 
 f1  1
1
2L

Segundo harmónico
2L
v
n  2  2 
 f2  2
2
2L

Terceiro harmónico
2L
v
n  3  3 
 f3  3
3
2L
MRCP
DF – UM
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Ondas Estacionárias

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas
frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A
cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos
situados nas extremidades.

Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:
2L
n 
n
v
fn  n
 nf1
2L
com n = 1, 2, 3, …
MRCP
DF – UM
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Exemplo:
Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela
equação:
yx, t   0.00327 sin 72.1x  7.1t 
em que todos os valores se encontram em unidades SI.
MRCP
1.
Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade
de propagação desta onda?
2.
Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma
massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m?
3.
Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda
considerando que ambas as extremidades estão fixas.
DF – UM
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Resolução
Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela
equação:
yx, t   0.00327 sin 72.1x  7.1t 
em que todos os valores se encontram em unidades SI.
1.
Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade
de propagação desta onda?
y  x, t   ymáx sin kx  t   
0.1
0.1
0.1
MRCP
0.2
0.1
sin 72.1x  7.1t   1  y x, t   ymáx  0.00327 m
2
k  72.1   
 0.0871 m 0.2
k
2
  7 .1  T 
 0.885 s 0.2
0.2
0.1
v
 
  0.0985 ms -1
T k
0.2

DF – UM
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Resoluçao
Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela
equação:
yx, t   0.00327 sin 72.1x  7.1t 
em que todos os valores se encontram em unidades SI.
2.
Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma
massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m?
0.3
v
FT

 FT  v 2 
m 2
v
L
0.2
FT 
MRCP
v  0.0985 ms -1
0.1
0.500
0.0985 2  0.0097 N
0.5
0.6
DF – UM
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Resolução
Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela
equação:
yx, t   0.00327 sin 72.1x  7.1t 
em que todos os valores se encontram em unidades SI.
3.
Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda
considerando que ambas as extremidades estão fixas.
2L
v
n  3  3 
 f3  3
3
2L
f3  3 
MRCP
0.0985
 0.296 Hz
2  0.5 0.2 0.1
0.3
0.6
DF – UM
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FIM
MRCP
DF – UM