INTRODUÇÃO À
RELATIVIDADE
GRAVITAÇÃO
Espaço Alexandria
Carlos Zarro
Reinaldo de Melo e Souza
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas
válida em qualquer referencial!
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas
válida em qualquer referencial!
• A relatividade restrita vale apenas em referenciais inerciais!
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas
válida em qualquer referencial!
• A relatividade restrita vale apenas em referenciais inerciais!
• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a
gravitação esteja em pé de igualdade com as forças de
inércia!
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas
válida em qualquer referencial!
• A relatividade restrita vale apenas em referenciais inerciais!
• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a
gravitação esteja em pé de igualdade com as forças de
inércia!
• Devemos buscar uma teoria relativísitica da gravitação!
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial
acelerado é indistinguível da descrição em um
referencial inercial na presença de um campo
gravitacional.
• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas
válida em qualquer referencial!
• A relatividade restrita vale apenas em referenciais inerciais!
• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a
gravitação esteja em pé de igualdade com as forças de
inércia!
• Devemos buscar uma teoria relativísitica da gravitação!
• Problema com a gravitação newtoniana: Interação instantânea!
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
“The reason why objects falling through (…) air vary in
speed according to their weights is simply that the
matter composing (…)air cannot obstruct all objects
equally, but is forced to give way more speedily to
heavier ones. But empty space can offer no
resistance to any object… Therefore, through
undisturbed vacuum all bodies must travel at equal
speed though impelled by unequal weights.”
Titus Lucrécius Carus (96-55 a.c.)
Poeta Romano.
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
• A aceleração da gravidade é uma propriedade do
espaço!
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
• A aceleração da gravidade é uma propriedade do
espaço!
• Note que esta propriedade é particular da interação
gravitacional!
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
• A aceleração da gravidade é uma propriedade do
espaço!
• Note que esta propriedade é particular da interação
gravitacional!
• Isto possibilita pensar massa
como curvatura do espaço
http://kids.britannica.com/comptons/art-156228/Einsteinsgeneral-theory-of-relativity-explains-gravity-as-thecurvature
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
• A aceleração da gravidade é uma propriedade do
espaço!
• Note que esta propriedade é particular da interação
gravitacional!
• Isto possibilita pensar massa
como curvatura do espaço-tempo!
http://kids.britannica.com/comptons/art-156228/Einsteinsgeneral-theory-of-relativity-explains-gravity-as-thecurvature
EXPERIÊNCIA DE GALILEU
• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma
aceleração!
• A aceleração da gravidade é uma propriedade do
espaço!
• Note que esta propriedade é particular da interação
gravitacional!
• Isto possibilita pensar massa
como curvatura do espaço-tempo!
• Veremos hoje como desenvolver
esta ideia.
http://kids.britannica.com/comptons/art-156228/Einsteinsgeneral-theory-of-relativity-explains-gravity-as-thecurvature
RETAS VIRAM CURVAS
• Voltemos a nossa experiência do elevador em
queda livre.
• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Voltemos a nossa experiência do elevador em
queda livre.
• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.
• Ao chutar a cafusa, ele vê uma trajetória retilínea.
RETAS VIRAM CURVAS
• Voltemos a nossa experiência do elevador em
queda livre.
• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.
• Ao chutar a cafusa, ele vê uma trajetória retilínea.
RETAS VIRAM CURVAS
• Voltemos a nossa experiência do elevador em
queda livre.
• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.
• Ao chutar a cafusa, ele vê uma trajetória retilínea.
RETAS VIRAM CURVAS
• Voltemos a nossa experiência do elevador em
queda livre.
• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.
• Ao chutar a cafusa, ele vê uma trajetória retilínea.
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
a=g
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
O efeito do campo
gravitacional é curvar a
trajetória da bola!
a=g
a=g
RETAS VIRAM CURVAS
• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma
trajetória parabólica!
O efeito do campo
gravitacional é curvar a
trajetória da bola!
a=g
a=g
No entanto, quando
dizemos que massas
curvam o espaço-tempo,
estamos dizendo mais do
que isso.
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
em torno do eixo z de R.
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
‘
em torno do eixo z de R.
• Em R ’vemos o disco rodando
em torno do eixo z’.
‘
‘
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
‘
em torno do eixo z de R.
• Em R ’vemos o disco rodando
em torno do eixo z’.
• C’< C (contração de Lorentz).
‘
‘
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
‘
em torno do eixo z de R.
• Em R ’vemos o disco rodando
em torno do eixo z’.
• C’< C (contração de Lorentz).
• d’=d.
‘
‘
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
‘
em torno do eixo z de R.
• Em R ’vemos o disco rodando
em torno do eixo z’.
• C’< C (contração de Lorentz).
• d’=d. Logo, C’/d’<π!
‘
‘
O DISCO DE EHRENFEST
• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.
• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.
• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que roda
‘
em torno do eixo z de R.
• Em R ’vemos o disco rodando
em torno do eixo z’.
• C’< C (contração de Lorentz).
• d’=d. Logo, C’/d’<π!
• Em referenciais não-inerciais a geometria é nãoeuclideana!
‘
‘
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Diversos resultados da geometria euclideana devem
ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria
numa superfície curva.
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Diversos resultados da geometria euclideana devem
ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria
numa superfície curva.
• A título de ilustração, vejamos como desenvolver uma
geometria na superfície de uma esfera.
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Diversos resultados da geometria euclideana devem
ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria
numa superfície curva.
• A título de ilustração, vejamos como desenvolver uma
geometria na superfície de uma esfera.
• O conceito de reta deve ser substituído pelo de geodésica.
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Diversos resultados da geometria euclideana devem
ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria
numa superfície curva.
• A título de ilustração, vejamos como desenvolver uma
geometria na superfície de uma esfera.
• O conceito de reta deve ser substituído pelo de geodésica.
• No nosso exemplo são os círculos máximos.
http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteriesstrange-geometries
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Ao contrário do caso euclideano, se fizermos um
transporte paralelo com um vetor e o trouxermos de
volta ao mesmo ponto, ele terminirá, em geral, nãoparalelo com sua posição inicial.
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• Ao contrário do caso euclideano, se fizermos um
transporte paralelo com um vetor e o trouxermos de
volta ao mesmo ponto, ele terminirá, em geral, nãoparalelo com sua posição inicial.
http://universe-review.ca/R15-26-CalabiYau.htm
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• A soma dos ângulos de um triângulo é maior do que
180o!
http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteriesstrange-geometries
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• A soma dos ângulos de um triângulo é maior do que
180o!
http://geometry.freehomeworkmathhelp.com/Non_Euclidian_Geometry_25/g
eometry_25_non_euclidean_geometry.html
• Em particular, podemos ter um triângulo com três
ângulos retos.
GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS
• A soma dos ângulos de um triângulo é maior do que
180o!
http://geometry.freehomeworkmathhelp.com/Non_Euclidian_Geometry_25/g
eometry_25_non_euclidean_geometry.html
• Em particular, podemos ter um triângulo com três
ângulos retos.
• Toda a informação sobre a geometria está na métrica, que
expressa as relações de distância entre os pontos do espaço.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
“The question of the validity of the hypotheses of
geometry in the infinitesimally small is bound up with the
question of the basis of its metrical relations of space […]
we must seek the basis of its metrical relations outside it,
in biding forces which act upon it”
B. Riemann
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria
é não-euclideana.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria
é não-euclideana.
• Pelo princípio da equivalência, vemos que na
presença de um campo gravitacional devemos ter
um espaço não-euclideano!
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria
é não-euclideana.
• Pelo princípio da equivalência, vemos que na
presença de um campo gravitacional devemos ter
um espaço não-euclideano!
• O papel da gravitação é curvar o espaço-tempo.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria
é não-euclideana.
• Pelo princípio da equivalência, vemos que na
presença de um campo gravitacional devemos ter
um espaço não-euclideano!
• O papel da gravitação é curvar o espaço-tempo.
• A relatividade geral é uma teoria que permite
encontrar a métrica do espaço-tempo a partir do
campo gravitacional.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Pelo princípio da equivalência sabemos que
localmente um referencial não-inercial em queda livre
é indistinguível de um referencial inercial.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Pelo princípio da equivalência sabemos que
localmente um referencial não-inercial em queda livre
é indistinguível de um referencial inercial.
• Contudo, curvatura é invariante, logo absoluta.
GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA
• Pelo princípio da equivalência sabemos que
localmente um referencial não-inercial em queda livre
é indistinguível de um referencial inercial.
• Contudo, curvatura é invariante, logo absoluta.
• Sempre podemos através de experimentos saber que estamos
na presença de um campo gravitacional.
• Ex. Transporte paralelo.
VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL
“A teoria dos campos gravitacionais, construída com
base na teoria da relatividade é chamada de Teoria da
Relatividade Geral. Foi estabelecida por Einstein (e
finalmente formalizada por ele em 1915), e
provavelmente representa a mais bela das teorias
físicas. É notável que ela foi deduzida por Einstein de
uma maneira puramente dedutiva e somente depois foi
confirmada por observações astronômicas.”
L. Landau
VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL
“A teoria dos campos gravitacionais, construída com
base na teoria da relatividade é chamada de Teoria da
Relatividade Geral. Foi estabelecida por Einstein (e
finalmente formalizada por ele em 1915), e
provavelmente representa a mais bela das teorias
físicas. É notável que ela foi deduzida por Einstein de
uma maneira puramente dedutiva e somente depois foi
confirmada por observações astronômicas.”
L. Landau
• Veremos a seguir alguns casos em que a teoria da
relatividade geral foi fundamental na explicação.
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com
o sol em um dos focos.
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com
o sol em um dos focos.
• Na prática, devido à presença de outros planetas e
do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de
Kepler não é exatamente satisfeita.
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com
o sol em um dos focos.
• Na prática, devido à presença de outros planetas e
do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de
Kepler não é exatamente satisfeita.
• Uma correção necessária é o avanço do periélio.
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/ad
erihelion.html
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com
o sol em um dos focos.
• Na prática, devido à presença de outros planetas e
do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de
Kepler não é exatamente satisfeita.
• Uma correção necessária é o avanço do periélio.
• Ao se levar em consideração estas
correções, a mecânica newtoniana
obtém um sucesso incrível na descrição
de órbitas planetárias!
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/ad
erihelion.html
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
http://en.wikipedia.org/wiki/Uranus
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
http://en.wikipedia.org/wiki/Uranus
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!
http://en.wikipedia.org/wiki/Neptune
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!
http://en.wikipedia.org/wiki/Neptune
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!
• Exceção:
• Mercúrio.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!
• Exceção:
• Mercúrio.
• Proposta de um novo planeta.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
• Exceção:
• Século XIX: Urano.
• Proposta de Bouvard e Le Verrier:
• Existência de um planeta adicional responsável pela
discrepância teoria-experimento.
• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!
• Exceção:
• Mercúrio.
• Proposta de um novo planeta.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
Não-esfericidade do Sol
Total:
Total observado:
574,1
Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
531,63
Não-esfericidade do Sol
Total:
Total observado:
574,1
Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
531,63
Não-esfericidade do Sol
0,03
Total:
Total observado:
574,1
Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
531,63
Não-esfericidade do Sol
0,03
Total:
531,66
Total observado:
574,1
Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity
Faltam: 42.44’’/século!!
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Correção da relatividade geral: 42.98’’/século!
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
531,63
Não-esfericidade do Sol
0,03
Total:
531,66
Total observado:
574,1
Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity
Faltam: 42.44’’/século!!
AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO
Correção da relatividade geral: 42.98’’/século!
Efeito Físico
Precessão
(segundos/século)
Perturbação
gravitacional devido aos
outros planetas
531,63 ± 0,69
Não-esfericidade do Sol
0,03
Relatividade Geral
42,98 ± 0,04
Total:
574,64 ± 0,69
Total observado:
574,10 ± 0,65
Dentro da margem de erro!
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
http://hendrix2.uoregon.edu/~imamura/FPS/
week-6/week-6.html
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Para uma estrela cuja luz tangencia o sol:
• Predição da mecânica newtoniana: 0,87”.
http://hendrix2.uoregon.edu/~imamura/FPS/
week-6/week-6.html
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Para uma estrela cuja luz tangencia o sol:
• Predição da mecânica newtoniana: 0,87”.
• Predição da relatividade geral: 1,75” (o dobro!).
http://hendrix2.uoregon.edu/~imamura/FPS/
week-6/week-6.html
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Efeito muito difícil de ser observado, pois o sol “esconde” as
estrelas atrás dele.
http://www.astro.caltech.edu/~rjm/Principe/1919eclipse.p
hp
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Efeito muito difícil de ser observado, pois o sol “esconde” as
estrelas atrás dele.
• Solução: Observar durante um eclipse total.
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Efeito muito difícil de ser observado, pois o sol “esconde” as
estrelas atrás dele.
• Solução: Observar durante um eclipse total.
• Experimento feito em Sobral em 1919:
http://www.astro.caltech.edu/~rjm/Principe/1919eclipse.p
hp
DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL
• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.
• Efeito muito difícil de ser observado, pois o sol “esconde” as
estrelas atrás dele.
• Solução: Observar durante um eclipse total.
• Experimento feito em Sobral em 1919:
• Sucesso da relatividade geral!
http://www.astro.caltech.edu/~rjm/Principe/1919eclipse.p
hp