Formulação matemática do
Problema Inverso
Estrutura
• Problema Inverso
– Otimização
• Problema Inverso linear
– Mínimos Quadrados
• Problema Inverso não-linear
– Método de Gauss-Newton
• Aspectos geométricos
– Problema linear 1D
– Problema não-linear 1D
• Exercícios
Problema Inverso
(Otimização)
 d1 
 
d  
 
d N 
  N 1
dados observados
 g1 ( p ) 


g ( p) 



 g N ( p )

 N 1
dados preditos
Problema Inverso
(Otimização)
 d1 
 
d  
 
d N 
  N 1
dados observados
 ( p )  [ d  g ( p )] [ d  g ( p )]
T
 ( p) 
N
 [ d i  g i ( p )]
i 1
 g1 ( p ) 


g ( p) 



 g N ( p )

 N 1
dados preditos
norma L2
(função escalar)
2
Problema Inverso
(Otimização)
 ( p )  [ d  g ( p )] [ d  g ( p )]
T
O Problema Inverso consiste em
determinar um vetor de
parâmetros pp* , M-dimensional,
 ( p)
que minimiza a função oooo
 ( p) 
N
 [ d i  g i ( p )]
i 1
norma L2
(função escalar)
2
Problema Inverso
(Otimização)
 ( p )  [ d  g ( p )] [ d  g ( p )]
T
O Problema Inverso consiste em
determinar um vetor de
parâmetros pp* , M-dimensional,
 ( p)
que minimiza a função oooo
 ( p) 
N
 [ d i  g i ( p )]
i 1
  ( p )  0 M 1
*
norma L2
(função escalar)
2
Problema Inverso
(Otimização)
  ( p )   2 G ( p ) [ d  g ( p )]
T
matriz N x M
transposta
vetor N x 1
Problema Inverso linear
(Mínimos Quadrados)
g ( p)  B p  b
matriz N x M
vetor M x 1
vetor N x 1
Problema Inverso linear
(Mínimos Quadrados)
g ( p)  B p  b
matriz N x M
vetor M x 1
1
vetor N x 1


p   B B  B [ d  b ]


T
T
*
Estimador de Mínimos Quadrados
Problema Inverso não-linear
(Método de Gauss-Newton)
g ( p)  B p  b
diferente
Problema Inverso não-linear
(Método de Gauss-Newton)
g ( p)  B p  b
p  p0  p
1


T
T
 p   G ( p 0 ) G ( p 0 )  G ( p 0 ) [ d  g ( p 0 )]


Método de Gauss-Newton
Aspectos geométricos
(Problema linear 1D)
g i ( a )  a xi  b
Aspectos geométricos
(Problema linear 1D)
g i ( a )  a xi  b
100
80
60
40
20
gi (a)
0
-20
-40
-60
-80
-100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
Aspectos geométricos
(Problema linear 1D)
g i ( a )  a xi  b
 g 1 ( a )   a x1  b 

 

g (a )  a x2  b
 2
 

 g 3 ( a )   a x3  b 

 

100
80
60
40
20
 d1 
 
d
 2
d3 
 
gi (a)
0
-20
-40
-60
-80
-100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
Aspectos geométricos
(Problema linear 1D)
g i ( a )  a xi  b
 g 1 ( a )   a x1  b 

 

g (a )  a x2  b
 2
 

 g 3 ( a )   a x3  b 

 

1800000
1600000
1400000
1200000
1000000
 d1 
 
d
 2
d3 
 
φ (a)
800000
600000
400000
200000
0
-200000
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
Aspectos geométricos
(Problema linear 1D)
g i ( a )  a xi  b
 g 1 ( a )   a x1  b 

 

g (a )  a x2  b
 2
 

 g 3 ( a )   a x3  b 

 

1800000
1600000
1400000
1200000
a
1000000
 d1 
 
d
 2
d3 
 
φ (a)
*
800000
600000
400000
200000
0
-200000
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
2
1
2
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
2
1
2
120
100
80
gi (a)
60
40
20
0
0
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
2
 ( x  a)2  ( y  b)2
 g1 (a )  
1
1


2
2
g 2 ( a )   ( x 2  a )  ( y 2  b )

 
 g 3 ( a )   ( x  a ) 2  ( y  b ) 2


3
3







gi (a)
 d1 
 
d
 2
d3 
 
1
2
120
100
80
60
40
20
0
0
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
 ( x  a)2  ( y  b)2
 g1 (a )  
1
1


2
2
g 2 ( a )   ( x 2  a )  ( y 2  b )

 
 g 3 ( a )   ( x  a ) 2  ( y  b ) 2


3
3

2






φ (a)
 d1 
 
d
 2
d3 
 
1
2
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
 ( x  a)2  ( y  b)2
 g1 (a )  
1
1


2
2
g 2 ( a )   ( x 2  a )  ( y 2  b )

 
 g 3 ( a )   ( x  a ) 2  ( y  b ) 2


3
3

2






φ (a)
 d1 
 
d
 2
d3 
 
1
2
9000
8000
7000
6000
5000
*
x0
4000
3000
2000
1000
0
0
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
g i ( a )   [( x i  a )  ( y i  b ) ]
2
 ( x  a)2  ( y  b)2
 g1 (a )  
1
1


2
2
g 2 ( a )   ( x 2  a )  ( y 2  b )

 
 g 3 ( a )   ( x  a ) 2  ( y  b ) 2


3
3

2






φ (a)
 d1 
 
d
 2
d3 
 
1
2
9000
8000
7000
_ |_
x0
6000
5000
*
x0
4000
3000
2000
1000
0
0
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
6000
a
4000
#
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
6000
a
4000
#
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
6000
a
4000
#
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
6000
a
4000
#
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
6000
a
4000
#
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
a
#
6000
4000
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
a
6000
#
4000
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
a
6000
#
4000
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Aspectos geométricos
(Problema não-linear 1D)
φ (a)
10000
Ψ (a)
8000
a
6000
#
4000
2000
0
0
a
*
500
1000
a
1500
2000
Exercícios
• Formular o Problema Inverso linear 1D
– Equação de Mínimos Quadrados
• Formular o Problema Inverso não-linear 1D
– Equação do método de Gauss-Newton