Formulação do Problema Direto
Estrutura
• Exemplos
–
–
–
–
Movimento uniformemente acelerado
Ajuste de rede
Perfilagem Sísmica Vertical
Sísmica de Reflexão
• Refletor plano paralelo
• Refletor plano inclinado (Perpendicular ao strike)
– Determinação Epicentral
– Sinal Climático
• Perturbação Abrupta
• Perturbação Linear
– Gravimetria
• Bacia Triangular
• Bacia Trapezoidal
– Magnetometria
• Separação regional-residual
• Esfera
Movimento uniformemente acelerado
Problema Geofísico
Cálculo da aceleração da gravidade
Movimento uniformemente acelerado
• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre
efeito da aceleração da gravidade
• A massa experimenta um movimento
uniformemente acelerado
• As observações são medições da posição da
massa em diferentes instantes no decorrer de sua
trajetória
Movimento uniformemente acelerado
t4
t3
t5
t2
t1
t6
t7
t0
Movimento uniformemente acelerado
• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre
efeito da aceleração da gravidade
• A massa experimenta um movimento
uniformemente acelerado
• As observações são medições da posição da
massa em diferentes instantes no decorrer de sua
trajetória
Movimento uniformemente acelerado
• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre
efeito da aceleração da gravidade
• A massa experimenta um movimento
uniformemente acelerado
• As observações são medições da posição da
massa em diferentes instantes no decorrer de sua
trajetória
Movimento uniformemente acelerado
z
t
Movimento uniformemente acelerado
Parametrização
Desconsiderando a resistência do ar, o movimento de
uma massa atirada para cima pode ser descrito em
termos da:
• Posição inicial S0 da massa
• Velocidade inicial V0 com que a massa foi atirada
• Aceleração da Gravidade g
Movimento uniformemente acelerado
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a posição da massa
em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g
pode ser escrita como:
z(S0 ,V0 , g )  S0  V0 t  0,5gt
2
Movimento uniformemente acelerado
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a posição da massa
em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g
pode ser escrita como:
=0
z(S0 ,V0 , g )  S0  V0 t  0,5gt
=0
2
Movimento uniformemente acelerado
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a posição da massa
em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g
pode ser escrita como:
=0
z(V0 , g )  V0 t  0,5gt
2
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
vetor de dados preditos
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
vetor de parâmetros
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
matriz de sensibilidade
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
derivada (sensibilidade) do dado predito 1
em relação ao parâmetro 1
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
matriz de sensibilidade
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
derivada (sensibilidade) do dado predito 1
em relação ao parâmetro 2
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
matriz de sensibilidade
Movimento uniformemente acelerado
Problema Direto
Sendo assim, para posições em diferentes instantes:
derivada (sensibilidade) do dado predito N
em relação ao parâmetro 2
z1 (V0 , g )  V0 t1  0,5gt12
z2 (V0 , g )  V0 t2  0,5gt22
...
z N (V0 , g )  V0 t N  0,5 g t N2
 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
matriz de sensibilidade
Movimento uniformemente acelerado
Norma
Para quantificar a diferença entre os dados observados
e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:
 ( p)  z
obs
 z ( p)
 z
T
obs
 z ( p)

 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Movimento uniformemente acelerado
Norma
Para quantificar a diferença entre os dados observados
e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:
 ( p)  z
obs
 z ( p)
 z
T
obs
 z ( p)

 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Movimento uniformemente acelerado
Norma
Para quantificar a diferença entre os dados observados
e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:
 ( p)  z
obs
 z ( p)
 z
T
obs
 z ( p)
Função escalar e que
depende dos parâmetros

 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Movimento uniformemente acelerado
Norma
Para quantificar a diferença entre os dados observados
e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:
 ( p)  z

obs
 ( p)  z
obs
 z ( p)
 z
obs
 Ap
 z ( p)
obs
 Ap
 z
T
T


 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Movimento uniformemente acelerado
Norma
Para quantificar a diferença entre os dados observados
e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:
 ( p)  z

obs
 ( p)  z
obs
 z ( p)
 z
obs
 Ap
 z ( p)
obs
 Ap
N
 z
T
T
 ( p)  [ ziobs  zi ( p)]2
i 1


 z1 (V0 , g )   t1
 z (V , g )  
 2 0
   t2

 


 
 z N (V0 , g ) t N
0,5 t12 

0,5 t 22  V0 
 
 g
2 
0,5 t N 
z ( p)  A p
Perfilagem Sísmica Vertical
Problema Geofísico
Cálculo da velocidade sísmica (vertical) dos
materiais ao redor do poço
Perfilagem Sísmica Vertical
• Uma fonte localizada na superfície do poço
gera ondas, que se propagam em
subsuperfície e são detectadas por um arranjo
de receptores localizados dentro do poço
• As observações são medições do tempo de
chegada da primeira onda em cada receptor
Perfilagem Sísmica Vertical
Fonte
Receptor
Poço
Perfilagem Sísmica Vertical
• Uma fonte localizada na superfície do poço
gera ondas, que se propagam em
subsuperfície e são detectadas por um arranjo
de receptores localizados dentro do poço
• As observações são medições do tempo de
chegada da primeira onda em cada receptor
Perfilagem Sísmica Vertical
t
z
Perfilagem Sísmica Vertical
Parametrização
Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a
subsuperfície é formada por uma sucessão de
camadas homogêneas, o tempo gasto para uma onda
atingir um receptor pode ser descrito em termos dos
parâmetros:
• Espessura s de cada camada
• Velocidade v em cada camada
Perfilagem Sísmica Vertical
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre o tempo gasto para
uma onda atingir um receptor e os parâmetros s e v
em cada camada pode ser escrita como:
sj
s1 s2
t j (s , v )     
v1 v2
vj
Perfilagem Sísmica Vertical
Tempo até o
sexto receptor
s1 s2 s3 s4 s5 s6
t6 (s , v )      
v1 v2 v3 v4 v5 v6
Perfilagem Sísmica Vertical
s1
v1
s2
v2
s3
v3
s4
v4
s5
v5
s6
v6
s1 s2 s3 s4 s5 s6
t6 (s , v )      
v1 v2 v3 v4 v5 v6
Perfilagem Sísmica Vertical
Relação funcional
Como as espessuras s são conhecidas, uma vez que
representam o espaçamento entre a fonte e o primeiro
receptor e entre receptores adjacentes:
sj
s1 s2
t j (s , v )     
v1 v2
vj
sj
s1 s2
t j (v )     
v1 v2
vj
Perfilagem Sísmica Vertical
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
t1 (v ) 
s1
v1
s1 s2
t2 (v )  
v1 v2
...
s1 s2
sN
t N (v )     
v1 v2
vN
Perfilagem Sísmica Vertical
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
t1 (v ) 
s1
v1
s1 s2
t2 (v )  
v1 v2
...
s1 s2
sN
t N (v )     
v1 v2
vN
s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
Perfilagem Sísmica Vertical
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
t1 (v ) 
s1
v1
s1 s2
t2 (v )  
v1 v2
...
s1 s2
sN
t N (v )     
v1 v2
vN
s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Perfilagem Sísmica Vertical
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 (v )  t
obs
 t (v )
 t
T
obs
 t (v )

s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Perfilagem Sísmica Vertical
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 (v )  t
obs
 t (v )
 t
T
obs
 t (v )

s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Perfilagem Sísmica Vertical
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 (v )  t
obs

 (v )  t
 t (v )
obs
 Bv
 t
T
 t
T
obs
obs
 t (v )
 Bv


s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Perfilagem Sísmica Vertical
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 (v )  t
obs

 (v )  t
 t (v )
obs
 Bv
 t
T
 t
T
obs
obs
 t (v )
 Bv


s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Perfilagem Sísmica Vertical
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 (v )  t
obs

 (v )  t
 t (v )
obs
 Bv
N
 t
T
 t
T
obs
obs
 t (v )
 Bv
2
 (v )  [t obs

t
(
v
)]
j
i
j 1


s1 v1
 t1 (v )  


 

t
(
v
)
s
v

s
v
1
1
2
2
 2 

   



 

t N (v )   s1 v1  s2 v2    s N vN 
t (v )  Bv
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Problema Geofísico
Cálculo da profundidade do embasamento
e da velocidade da camada sobrejacente
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
• Uma fonte localizada na superfície gera ondas,
que se propagam em subsuperfície e são
detectadas por um arranjo de receptores que
também são localizados na superfície
• As observações são medições do tempo de
chegada da onda refletida em cada receptor
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Fonte
Receptor
R4
R5
R6
arenito
embasamento
R1
R2
R3
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
• Uma fonte localizada na superfície gera ondas,
que se propagam em subsuperfície e são
detectadas por um arranjo de receptores que
também são localizados na superfície
• As observações são medições do tempo de
chegada da onda refletida em cada receptor
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
R4
R5
R6
R1
R2
R3
Fonte
tempo
Receptor
R4
R5
R6
arenito
embasamento
R1
R2
R3
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Parametrização
Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a
camada sobre o embasamento é homogênea,
isotrópica e plano-paralela, o tempo gasto para uma
onda refletida atingir um receptor pode ser descrito
em termos dos parâmetros:
• Espessura h da camada
• Velocidade v da camada
• Distância x entre a fonte e o receptor
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre o tempo de
chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v e
x em cada receptor:
2
i
2
2
x
4h
ti (h, v) 
 2
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
R4
R5
R6
R1
R2
R3
Fonte
tempo
Receptor
R4
R5
R6
v
embasamento
R1
R2
R3
h
2
i
2
2
x
4h
ti (h, v) 
 2
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h 2
t1 (h, v)  2  2
v
v
x22 4h 2
t2 (h, v)  2  2
v
v
...
x N2 4h 2
t N (h, v)  2  2
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h 2
t1 (h, v)  2  2
v
v
x22 4h 2
t2 (h, v)  2  2
v
v
...
x N2 4h 2
t N (h, v)  2  2
v
v
 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h 2
t1 (h, v)  2  2
v
v
x22 4h 2
t2 (h, v)  2  2
v
v
 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
...
x N2 4h 2
t N (h, v)  2  2
v
v
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs
 t ( p)
 t
T
obs
 t ( p)

 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs
 t ( p)
 t
T
obs
 t ( p)

 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs

 ( p)  t
 t ( p)
obs
 t
obs
 t ( p)
 t
obs
B p
B p
T
T


 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs

 ( p)  t
 t ( p)
obs
 t
obs
 t ( p)
 t
obs
B p
B p
T
T


 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor plano-paralelo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs

 ( p)  t
 t ( p)
obs
 t
obs
 t ( p)
 t
obs
B p
B p
N
T
T
2
 ( p)  [t obs

t
(
p
)]
j
i
j 1


 t1 (h, v)   ( x1 v) 2  ( 2h v) 2 
 t ( h, v )  
2
2
(
x
v
)

(
2
h
v
)

 2
 2

   


 
2
2
t N ( h, v) ( x N v)  (2h v) 
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Problema Geofísico
Cálculo da profundidade e mergulho do
embasamento e também da velocidade da
camada sobrejacente
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
• Uma fonte localizada na superfície gera ondas,
que se propagam em subsuperfície e são
detectadas por um arranjo de receptores que
também são localizados na superfície
• As observações são medições do tempo de
chegada da onda refletida em cada receptor
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Fonte
Receptor
R4
R5
R6
arenito
embasamento
R1
R2
R3
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
• Uma fonte localizada na superfície gera ondas,
que se propagam em subsuperfície e são
detectadas por um arranjo de receptores que
também são localizados na superfície
• As observações são medições do tempo de
chegada da onda refletida em cada receptor
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
R4
R5
R6
R1
R2
R3
Fonte
tempo
Receptor
R4
R5
R6
arenito
embasamento
R1
R2
R3
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Parametrização
Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a
camada sobre o embasamento é homogênea e
isotrópica, o tempo gasto para uma onda refletida
atingir um receptor pode ser descrito em termos dos
parâmetros:
• Espessura h ao longo do perfil sísmico
• Velocidade v da camada
• Distância x entre a fonte e o receptor
• Mergulho β do embasamento
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre o tempo de
chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v,
x e β em cada receptor:
2
i
2
2
i
2
x
4h
ti (hi , v,  ) 

 4 hi xi sen
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
R4
R5
R6
R1
R2
R3
Fonte
tempo
Receptor
R4
R5
R6
h1 h2 h3
R1
R2
R3
h4 h5 h6
v
embasamento
β
xi2 4hi2
ti (hi , v,  )  2  2  4 hi xi sen
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h12
t1 (h1 , v,  )  2  2  4 h1 x1 sen
v
v
x22 4h22
t2 (h2 , v,  )  2  2  4 h2 x2 sen
v
v
...
xN2 4hN2
t N (hN , v,  )  2  2  4 hN xN sen
v
v
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h12
t1 (h1 , v,  )  2  2  4 h1 x1 sen
v
v
x22 4h22
t2 (h2 , v,  )  2  2  4 h2 x2 sen
v
v
...
xN2 4hN2
t N (hN , v,  )  2  2  4 hN xN sen
v
v
 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Problema Direto
Sendo assim, para todos os receptores:
x12 4h12
t1 (h1 , v,  )  2  2  4 h1 x1 sen
v
v
x22 4h22
t2 (h2 , v,  )  2  2  4 h2 x2 sen
v
v
 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
...
xN2 4hN2
t N (hN , v,  )  2  2  4 hN xN sen
v
v
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs
 t ( p) t
T
obs
 t ( p)

 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs
 t ( p) t
T
obs
 t ( p)

 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs

 t ( p) t
T

T
obs
 t ( p)
 ( p)  t obs  B p t obs  B p


 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs

 t ( p) t
T

T
obs
 t ( p)
 ( p)  t obs  B p t obs  B p


 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
t ( p)  B p
Sísmica de Reflexão
(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t
obs
 t ( p) t
T

obs
 t ( p)

T
 ( p)  t obs  B p t obs  B p
N
2
 ( p)  [t obs

t
(
p
)]
j
i
j 1


 t1 (h1 , v,  )   ( x1 v) 2  (2h1
 t ( h , v,  )  
2
(
x
v
)
 (2h2
2
2
2



 


 
2
t
(
h
,
v
,

)
N N
 ( x N v)  (2hN
v) 2  (4h1 x1sen ) 

v) 2  (4h2 x2 sen ) 



2
v)  (4hN x N sen )
t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Problema Geofísico
Cálculo das coordenadas de um epicentro
Determinação Epicentral
• Um terremoto gera ondas, que se propagam
em subsuperfície e são detectadas por um
arranjo de estações sismográficas localizadas
na superfície
• As observações são medições da diferença
entre o tempo de chegada das ondas P e S em
cada estação
Determinação Epicentral
superfície
Determinação Epicentral
superfície
fonte do terremoto
Determinação Epicentral
superfície
fonte do terremoto
estação sismográfica
Determinação Epicentral
• Um terremoto gera ondas, que se propagam
em subsuperfície e são detectadas por um
arranjo de estações sismográficas localizadas
na superfície
• As observações são medições da diferença
entre o tempo de chegada das ondas P e S em
cada estação
Determinação Epicentral
B
superfície
A
C
fonte do terremoto
estação sismográfica
Determinação Epicentral
onda S
estação
sismográfica
onda P
∆tA
A
∆tB
B
∆tC
C
tempo
Determinação Epicentral
estação
sismográfica
A
B
C
∆t
Determinação Epicentral
Parametrização
Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a
profundidade do terremoto pode ser desprezada e
que o meio é homogêneo e isotrópico, a diferença de
tempo entre as ondas P e S em uma determinada
estação pode ser descrito em termos dos
parâmetros:
• Velocidades vP e vS
• Coordenadas x e y da estação
• Coordenadas x0 e y0 da estação
Determinação Epicentral
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a diferença de
tempo de chegada das ondas P e S e os parâmetros
vP, vS, x, y, x0, e y0 em uma estação:
 1
1 
2
2 12
ti ( x0 , y0 )    [(xi  x0 )  ( yi  y0 ) ]
 v P vS 
Determinação Epicentral
B
superfície
A
(xB, yB)
(xA, yA)
C
(x0, y0)
(xC, yC)
vP vS
fonte do terremoto
estação sismográfica
 1
1
1 
ti ( x0 , y0 )    [(xi  x0 ) 2  ( yi  y0 ) 2 ] 2
 v P vS 
Determinação Epicentral
Problema Direto
Sendo assim, para todas as estações:
 tA ( x0 , y0 )   [(xA  x0 )2  ( yA  y0 )2 ] 2
1
 tB ( x0 , y0 )   [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 2
2
2
1
...
 tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 )2  ( yC  y0 )2 ] 2
1
 1
1

    
 v P vS 
Determinação Epicentral
Problema Direto
Sendo assim, para todas as estações:
 tA ( x0 , y0 )   [(xA  x0 )2  ( yA  y0 )2 ] 2
1
 tB ( x0 , y0 )   [(xB  x0 )2  ( yB  y0 )2 ] 2
1
...
 tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 )2  ( yC  y0 )2 ] 2
1
 1
1

    
 v P vS 
2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


Determinação Epicentral
Problema Direto
Sendo assim, para todas as estações:
 tA ( x0 , y0 )   [(xA  x0 )2  ( yA  y0 )2 ] 2
1
 tB ( x0 , y0 )   [(xB  x0 )2  ( yB  y0 )2 ] 2
1
...
2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


 tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 )2  ( yC  y0 )2 ] 2
1
 1
1

    
 v P vS 
t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t

obs
T
 t ( p) t
 
obs
 t ( p)

2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t

obs
T
 t ( p) t
 
obs
 t ( p)

2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t

obs
T
 t ( p) t
 
obs
 t ( p)

2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


T
obs
obs
 ( p)  t  B p  t  B p 

 

t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t

obs
T
 t ( p) t
 
obs
 t ( p)

2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


T
obs
obs
 ( p)  t  B p  t  B p 

 

t ( p)  B p
Determinação Epicentral
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 ( p)  t

obs
T
 t ( p) t
 
obs
 t ( p)

2
2 12 

 tA ( x0 , y0 )  [(xA  x0 )  ( yA  y0 ) ]


 
2
2 12
  tB ( x0 , y0 )    [(xB  x0 )  ( yB  y0 ) ] 1 
  tC ( x0 , y0 )   [(xC  x0 ) 2  ( yC  y0 ) 2 ] 2 


T
obs
obs
 ( p)  t  B p  t  B p 

 

 ( p)  tAobs  tA ( p)  tBobs  tB ( p)  tCobs  tC ( p)
2
2
2
t ( p)  B p
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Problema Geofísico
Cálculo da amplitude e do tempo em que
ocorreu uma perturbação climática
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
• Uma mudança abrupta no clima gera uma
perturbação na temperatura da superfície, que se
propaga em subsuperfície e é detectada por um
sensor movido ao longo de um poço
• As observações são medições da diferença entre
a temperatura ao longo do poço e a temperatura
predita pelo campo térmico regional
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
t
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
o tempo é positivo em direção
ao presente
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
mudança abrupta
na temperatura
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
t
a mudança abrupta na
temperatura, induzida
por uma perturbação
climática, propaga-se
em subsuperfície
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
• Uma mudança abrupta no clima gera uma
perturbação na temperatura da superfície, que se
propaga em subsuperfície e é detectada por um
sensor movido ao longo de um poço
• As observações são medições da diferença entre
a temperatura ao longo do poço e a temperatura
do campo térmico regional
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
t0
t
medidas da
temperatura ao longo
do poço
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
temperatura
t
profundidade
t0
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
temperatura
campo
térmico
regional
t
profundidade
t0
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
0
t
profundidade
t0
sinal
climático
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Parametrização
Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço
infinito e homogêneo, o sinal climático em uma
determinada profundidade pode ser descrito em
termos dos parâmetros:
• Difusividade térmica λ
• Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática
• Amplitude A da perturbação climática
• Profundidade z dentro do poço
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre o sinal climático
em uma determinada profundidade e os parâmetros
λ, t’ e A é dada por:

 z 
i

Ti ( A, t ' )  A 1  erf 
 4 t ' 




Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
T
0
A
sinal
climático
t'
t0
t
z
λ
profundidade
z

 z 
i

Ti ( A, t ' )  A 1  erf 
 4 t ' 




Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:

 z 
T1 ( A, t ' )  A 1  erf  1 
 4 t ' 





 z 
T2 ( A, t ' )  A 1  erf  2 
 4 t ' 




...

 z 
TN ( A, t ' )  A 1  erf  N 
 4 t ' 




Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:

 z 
T1 ( A, t ' )  A 1  erf  1 
 4 t ' 





 z 
T2 ( A, t ' )  A 1  erf  2 
 4 t ' 




...

 z 
TN ( A, t ' )  A 1  erf  N 
 4 t ' 




 T1 ( A, t ' )   A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:

 z 
T1 ( A, t ' )  A 1  erf  1 
 4 t ' 





 z 
T2 ( A, t ' )  A 1  erf  2 
 4 t ' 




 T1 ( A, t ' )   A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
...

 z 
TN ( A, t ' )  A 1  erf  N 
 4 t ' 




T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 T1 ( A, t ' ) 
A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 T1 ( A, t ' ) 
A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 T1 ( A, t ' ) 
A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 T1 ( A, t ' ) 
A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Abrupta)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 T1 ( A, t ' ) 
A[1  erf ( z1

 
 T2 ( A, t ' )    A[1  erf ( z2
   




TN ( A, t ' )  A[1  erf ( z N
T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

 ( p)   Ti obs  Ti ( p)
N
i 1
2
T ( p)  B p
4 t ' )] 

4 t ' )]


4 t ' )]
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Problema Geofísico
Cálculo da amplitude e do tempo em que
ocorreu uma perturbação climática
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
• Uma mudança linear no clima gera uma
perturbação na temperatura da superfície, que se
propaga em subsuperfície e é detectada por um
sensor movido ao longo de um poço
• As observações são medições da diferença entre
a temperatura ao longo do poço e a temperatura
predita pelo campo térmico regional
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
t
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
o tempo é positivo em direção
ao presente
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
mudança linear na
temperatura
t0
subsuperfície
t
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0 tempo em que ocorreu a
perturbação climática
t0
t
a mudança linear na
temperatura, induzida
por uma perturbação
climática, propaga-se
em subsuperfície
subsuperfície
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
• Uma mudança linear no clima gera uma
perturbação na temperatura da superfície, que se
propaga em subsuperfície e é detectada por um
sensor movido ao longo de um poço
• As observações são medições da diferença entre
a temperatura ao longo do poço e a temperatura
do campo térmico regional
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
t0
t
medidas da
temperatura ao longo
do poço
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
temperatura
t
profundidade
t0
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
temperatura
campo
térmico
regional
t
profundidade
t0
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
0
t
profundidade
t0
sinal
climático
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Parametrização
Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço
infinito e homogêneo, o sinal climático em uma
determinada profundidade pode ser descrito em
termos dos parâmetros:
• Difusividade térmica λ
• Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática
• Amplitude A da perturbação climática
• Profundidade z dentro do poço
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre o sinal climático
em uma determinada profundidade e os parâmetros
λ, t’ e A é dada por:

2 
 z   2  z 

 
2 zi2 

z

i
i
i








 
Ti ( A, t ' )  A  1 
erfc

exp

 4 t '     4 t ' 
 4 t '  
 4 t ' 

 


Sinal Climático
(Perturbação Linear)
T
A
t'
t0
t
z
λ

2 
 z   2  z 

2 zi2 

z

i
i
  

 exp i  
 erfc
Ti ( A, t ' )  A  1 
 4 t ' 




4

t
'



4

t
'

4

t
'


 


 


Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:
...
 21 

21 e 



T1 ( A, t ' )  A  1  21 erfc1  

 


 22 

2 2 e 

T2 ( A, t ' )  A 1  2 2 erfc 2 

 


2
 N

2

e

TN ( A, t ' )  A 1  2 N erfc N  N



i  zi
4 t '





Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:
...
 21 

21 e 



T1 ( A, t ' )  A  1  21 erfc1  

 


 22 

2 2 e 

T2 ( A, t ' )  A 1  2 2 erfc 2 

 


 21  
 
2

e
 
 A[(1  21 )erfc (1 )]  1

 

 
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 









2
 N

2

e

TN ( A, t ' )  A 1  2 N erfc N  N






i  zi
4 t '
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes profundidades:
...
 21 

21 e 



T1 ( A, t ' )  A  1  21 erfc1  

 


 22 

2 2 e 

T2 ( A, t ' )  A 1  2 2 erfc 2 

 


 21  
 
2

e
 
 A[(1  21 )erfc (1 )]  1

 

 
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 









2
 N

2

e

TN ( A, t ' )  A 1  2 N erfc N  N






i  zi
4 t '
T ( p)  B p
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 
 A[(1  21 )erfc (1 )] 
 

  
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 

 



T ( p)  B p
i  zi
21 e
 21
4 t '
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

 
 A[(1  21 )erfc (1 )] 
 

  
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 

 



T ( p)  B p
i  zi
21 e
 21
4 t '
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

 
 A[(1  21 )erfc (1 )] 
 

  
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 

 



T ( p)  B p
i  zi
21 e
 21
4 t '
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

 
 A[(1  21 )erfc (1 )] 
 

  
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 

 



T ( p)  B p
i  zi
21 e
 21
4 t '
Sinal Climático
(Perturbação Linear)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 

T
obs
obs



 ( p )  T  T ( p ) T  T ( p )

 

T
obs
obs
 ( p)  T  B p T  B p

 

 ( p)   Ti
N
i 1
obs
 Ti ( p)

2
 
 A[(1  21 )erfc (1 )] 
 

  
 T1 ( A, t ' )   

 22 

  
21 e  
T
(
A
,
t
'
)
2
A
[(
1

2

)
erfc
(

)]


 

2
2


 
    

 


T
(
A
,
t
'
)
 N
 
2
 N 

2

e

N
 A[(1  2 N )erfc ( N )] 

 



T ( p)  B p
i  zi
21 e
 21
4 t '
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Problema Geofísico
Cálculo da profundidade do embasamento
Gravimetria
(Bacia Triangular)
• O relevo do embasamento sob uma bacia
sedimentar produz uma anomalia na
Aceleração da Gravidade
• As observações são medições da componente
vertical da Anomalia de Gravidade
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Modificado de Allen e Allen (2005)
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Modificado de Allen e Allen (2005)
Gravimetria
(Bacia Triangular)
bacia
Gravimetria
(Bacia Triangular)
• O relevo do embasamento sob uma bacia
sedimentar produz uma anomalia na
Aceleração da Gravidade
• As observações são medições da componente
vertical da Anomalia de Gravidade
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Parametrização
Considerando que o pacote sedimentar e o
embasamento são homogêneos, a anomalia de
gravidade pode ser descrita em termos dos
parâmetros:
• Contraste ρ de densidade dos sedimentos
• Relevo do embasamento
Gravimetria
g
(Bacia Triangular)
A bacia sedimentar pode
ser aproximada por um
polígono triangular
posição
Gravimetria
g
(Bacia Triangular)
posição
Cujo formato é definido
pelas coordenadas do
vértice inferior
(x, z)
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a anomalia de
gravidade em uma determinada posição e os
parâmetros ρ, x e z é dada por uma função:
g i ( x , z )   G f i ( x, z )
Que pode ser baseada, por exemplo, no
trabalho de Talwani (1959)
Gravimetria
g
(Bacia Triangular)
x
ρ
g i ( x , z )   G f i ( x, z )
z
(x, z)
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( x, z )   G f1 ( x, z )
g 2 ( x, z )   G f 2 ( x, z )
...
g N ( x, z )   G f N ( x, z )
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( x, z )   G f1 ( x, z )
g 2 ( x, z )   G f 2 ( x, z )
...
g N ( x, z )   G f N ( x, z )
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   



 

 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( x, z )   G f1 ( x, z )
g 2 ( x, z )   G f 2 ( x, z )
...
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   



 

 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
g N ( x, z )   G f N ( x, z )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)
 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   



 

 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)
 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   



 

 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)
 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   


T




 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)
 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   


T




 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Triangular)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( x, z )    G f1 ( x, z ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)
 g 2 ( x, z )     G f 2 ( x, z ) 
   


T




 g N ( x, z )   G f N ( x, z )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 
 ( p)   g
N
i 1
obs
i
 gi ( p )


2
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Problema Geofísico
Cálculo da profundidade do embasamento
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
• O relevo do embasamento sob uma bacia
sedimentar produz uma anomalia na
Aceleração da Gravidade
• As observações são medições da componente
vertical da Anomalia de Gravidade
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
crosta
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
crosta
estiramento
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
crosta
falhamento
normal
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
subsidência
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
bacia
sedimentar
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
• O relevo do embasamento sob uma bacia
sedimentar produz uma anomalia na
Aceleração da Gravidade
• As observações são medições da componente
vertical da Anomalia de Gravidade
Gravimetria
g
(Bacia Trapezoidal)
posição
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Parametrização
Considerando que o pacote sedimentar e o
embasamento são homogêneos, a anomalia de
gravidade pode ser descrita em termos dos
parâmetros:
• Contraste ρ de densidade dos sedimentos
• Relevo do embasamento
Gravimetria
g
(Bacia Trapezoidal)
posição
A bacia sedimentar pode
ser aproximada por um
polígono trapezoidal
Gravimetria
g
(Bacia Trapezoidal)
posição
Cujo formato é definido
pela profundidade dos
vértices inferiores
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a anomalia de
gravidade em uma determinada posição e os
parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função:
gi ( z1 , z2 )   G f i ( z1 , z2 )
Que pode ser baseada, por exemplo, no
trabalho de Talwani (1959)
Gravimetria
g
(Bacia Trapezoidal)
posição
z1
ρ
z2
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

 g 2 ( z1 , z2 )     G f 2 ( z1 , z2 ) 

 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

 g 2 ( z1 , z2 )     G f 2 ( z1 , z2 ) 

 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Gravimetria
(Bacia Trapezoidal)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 
 ( p)   g
N
i 1
obs
i
 gi ( p )


2
g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Problema Geofísico
Determinação da localização de um dipolo
em subsuperfície
Magnetometria
(Dipolo)
• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz
um campo magnético
• O campo magnético produzido é uma grandeza
vetorial, que é somado ao campo Geomagnético
e produz um campo resultante
• As observações são medições da intensidade do
campo magnético resultante na superfície
(Anomalia de Campo Total)
Magnetometria
(Dipolo)
Magnetometria
(Dipolo)
O corpo adquire
magnetização
Magnetometria
(Dipolo)
E produz um campo
magnético
Magnetometria
(Dipolo)
• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz
um campo magnético
• O campo magnético produzido é uma grandeza
vetorial, que é somado ao campo Geomagnético
e gera um campo resultante
• As observações são medições da intensidade do
campo magnético resultante na superfície
(Anomalia de Campo Total)
Magnetometria
(Dipolo)
Campo
Geomagnético
Campo do corpo
Magnetometria
(Dipolo)
O campo resultante é
uma soma vetorial
Magnetometria
(Dipolo)
• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz
um campo magnético
• O campo magnético produzido é uma grandeza
vetorial, que é somado ao campo Geomagnético
e gera um campo resultante
• As observações são medições da intensidade do
campo magnético resultante na superfície
(Anomalia de Campo Total)
Magnetometria
B
(Dipolo)
posição
Magnetometria
(Dipolo)
Parametrização
Considerando que a rocha encaixante é não-magnética,
que o campo geomagnético é constante, que a
magnetização é induzida e que o corpo pode ser
aproximado por um dipolo, a anomalia de campo total
pode ser descrita em termos dos parâmetros:
• Suscetibilidade magnética χ do corpo
• Componentes Bx, By e Bz do campo geomagnético
• Coordenadas x, y e z do dipolo
Magnetometria
g
(Dipolo)
posição
A bacia sedimentar pode
ser aproximada por um
polígono trapezoidal
Magnetometria
g
(Dipolo)
posição
Cujo formato é definido
pela profundidade dos
vértices inferiores
Magnetometria
(Dipolo)
Relação funcional
Nessas condições, a relação entre a anomalia de
gravidade em uma determinada posição e os
parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função:
B  0 (1   ) H
M H
M 

0 (1   )
B
 Bx 
3
B   M  
 y
 
 Bz 
 
Magnetometria
g
(Dipolo)
posição
z1
ρ
z2
Magnetometria
(Dipolo)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
Magnetometria
(Dipolo)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

 g 2 ( z1 , z2 )     G f 2 ( z1 , z2 ) 

 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
Magnetometria
(Dipolo)
Problema Direto
Sendo assim, para diferentes posições:
g1 ( z1 , z2 )   G f1 ( z1 , z2 )
g 2 ( z1 , z2 )   G f 2 ( z1 , z2 )
...
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

 g 2 ( z1 , z2 )     G f 2 ( z1 , z2 ) 

 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 




 

 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 

g ( p)  B p
Magnetometria
(Dipolo)
Norma
A norma L2 entre os dados observados e os dados
preditos é dada por:
 g1 ( z1 , z2 )    G f1 ( z1 , z2 ) 

 

T
obs
obs
 ( p)  g  g ( p) g  g ( p)  g 2 ( z1 , z2 )    G f 2 ( z1 , z2 ) 


 



T




 g N ( z1 , z2 )   G f N ( z1 , z2 )
 ( p)   g obs  B p  g obs  B p

 
 ( p)   g
N
i 1
obs
i
 gi ( p )


2
g ( p)  B p