Instituto Tecnológico do Sudoeste Paulista
Faculdade de Engenharia Elétrica – FEE
Bacharelado em Engenharia Elétrica
Aula 5
Fluxo Elétrico
Física Geral e Experimental III
Prof. Ms. Alysson Cristiano Beneti
IPAUSSU-SP
2012
Fluxo Elétrico
Representa a quantidade de linhas de campo elétrico que cruzam uma
determinada superfície. Dado um objeto qualquer, o fluxo é dado por:
   E A
Fluxo Elétrico
Entretanto é muito difícil calcular cada vetor área e seu respectivo
vetor campo elétrico, além de ser uma aproximação da realidade.
Assim, utilizamos a integração para varrer a área e caracterizar o fluxo
elétrico:
   E d A
OBS: vetor dA é perpendicular à superfície
Exemplos
1. Halliday (p.68) A superfície quadrada da figura abaixo tem 3,2mm
de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo
E=1800N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35 com
a normal, como mostra a figura. Tome esta normal como
apontando para fora, como se a superfície fosse a tampa de uma
caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
   E d A
Como o campo é uniforme e a área está
sobre uma superfície plana:
  E  d A  E . A. cos145o
  1800.(0,0032) 2 cos145o
N .m 2
  0,0151
C
Revisão: Representação Vetorial
Para representar vetores em 3
dimensões utilizamos um
sistema triortogonal de eixos.
Para representar um vetor,
utilizamos o conceito de
versor.
 

Os versores i , j e k são vetores
unitários que representam
outros vetores nos três eixos.
E1

Ex:
E1  (2. i ) N / C
Representa o vetor campo
elétrico na direção do eixo x,
para a direita (positivo) e
com módulo 2N/C
Revisão: Representação Vetorial
O produto escalar entre dois
vetores é dado por:
a  b  a.b. cos
Aplicando aos versores do sistema
triortogonal:
 
i  i  i.i. cos0º  1.1.1  1
 
j j  j. j. cos 0º  1.1.1  1
 
k  k  k .k . cos 0º  1.1.1  1
 
i  j  i. j. cos90º  1.1.0  0
 
i  k  i.k . cos90º  1.1.0  0
 
j k  j.k . cos90º  1.1.0  0
Exemplos


2. Halliday (p.55) Um campo elétrico não uniforme dado por E  (3x. i  4. j ) N / C
atravessa o cubo gaussiano que aparece na figura. Qual é o fluxo elétrico na face
direita, na face esquerda e na face superior do cubo?
 DIREITA   E  d A





 DIREITA   (3 x i  4 j )  dA i

dA i


 DIREITA   (3 x i .dA i )  ( 4 j .dA i )
 
 
 DIREITA   (3 x.dA. i . i )  (4.dA i . j )
 DIREITA   (3 x.dA.1)  (4.dA.0)
 DIREITA   3 x.dA
Face direita:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face direita, o vetor dA aponta
no sentido positivo do eixo x, assim:

d A  dA i
Como x  3m (const ante) para
t oda a face direit a :
 DIREITA   3.3.dA  9  dA
 DIREITA  9.4
 DIREITA
N .m 2
 36
C
Exemplos
2. Halliday (p.55) Continuação...
 ESQUERDA   E  d A



 ESQUERDA   (3x i  4 j )  (  dA i )

 dA i




 ESQUERDA   ( 3x i .dA i )  ( 4 j .dA i )
 
 
 ESQUERDA   ( 3x.dA. i . i )  ( 4.dA i . j )
 ESQUERDA   ( 3x.dA.1)  ( 4.dA.0)
Face esquerda:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face esquerda, o vetor dA
aponta no sentido negativo do eixo x,
assim:

d A   dA i
 ESQUERDA    3x.dA
Como x  1m (constante) para
toda a face esquerda :
 ESQUERDA    3.1.dA  3 dA
 ESQUERDA  3.4
 ESQUERDA
N .m 2
 12
C
Exemplos
2. Halliday (p.55) Continuação...

dA j
 SUPERIOR   E  d A






 SUPERIOR   (3 x i  4 j )  (dA j )

 SUPERIOR   (3 x i .dA j )  (4 j .dA j )
 
 
 SUPERIOR   (3 x.dA. i . j )  ( 4.dA j . j )
Face superior:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face superior, o vetor dA aponta
no sentido positivo do eixo y, assim:

d A  dA j
 SUPERIOR   (3 x.dA.0)  ( 4.dA.1)
 SUPERIOR   4.dA
 SUPERIOR  4  dA
 SUPERIOR  4.4
 SUPERIOR
N .m 2
 16
C
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.
2
 DIREITA   E  d A


dA i


 DIREITA   [4 i  3( y  2) j )  dA i

2





 DIREITA   4 i .dA i  3 y j .dA i  6 j .dA i
 
2
 
 
 DIREITA   (4.dA. i . i )  (3 y .dA i . j )  (6.dA i . j )
2
 DIREITA   (4.dA.1)  (3 y 2 .dA.0)  (6.dA.0)
Face direita:
O vetor área A é sempre perpendicular à  DIREITA   4.dA
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face direita, o vetor dA aponta  DIREITA  4  dA
no sentido positivo do eixo x, assim:
 DIREITA  4.4

d A  dA i
 DIREITA
N .m 2
 16
C
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.
2
 ESQUERDA   E  d A

 dA i



 ESQUERDA   [4 i  3( y  2) j )  (  dA i )
2






 ESQUERDA    4 i .dAi  3 y j .dAi  6 j .dA i
 
2
 
 
 ESQUERDA    ( 4.dA. i . i )  (3 y .dA i . j )  (6.dA i . j )
Face esquerda:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face esquerda, o vetor dA
aponta no sentido negativo do eixo x,
assim:

d A   dA i
2
 ESQUERDA    ( 4.dA.1)  (3 y 2 .dA.0)  (6.dA.0)
 ESQUERDA    4.dA
 ESQUERDA  4  dA
 ESQUERDA  4.4
 ESQUERDA
N .m 2
 16
C
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.

dA j
2
 SUPERIOR   E  d A



 SUPERIOR   [4 i  3( y  2) j )  ( dA j )

2





 SUPERIOR   4 i .dA j  3 y j .dA j  6 j .dA j
2
 
 
 
 SUPERIOR   ( 4.dA. i . j )  (3 y .dA j . j )  (6.dA j . j )
2
 SUPERIOR   ( 4.dA.0)  (3 y 2 .dA.1)  (6.dA.1)
Face superior:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face superior, o vetor dA aponta
no sentido positivo do eixo y, assim:

d A  dA j
 SUPERIOR    3 y 2 .dA  6.dA
Como y  2m (constante) para
toda a face superior :
 SUPERIOR    3.22.dA  6.dA    12dA  6dA
 SUPERIOR  18 dA  18.4
 SUPERIOR
N .m 2
 72
C
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.
2
 INFERIOR   E  d A



 INFERIOR   [4 i  3( y  2) j )  ( dA j )
2






 INFERIOR    4 i .dA j  3 y j .dA j  6 j .dA j
2
 
 
 
 INFERIOR    ( 4.dA. i . j )  (3 y .dA j . j )  (6.dA j . j )

Face inferior:
 dA j
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face inferior, o vetor dA aponta
no sentido negativo do eixo y, assim:

d A  dA j
2
 INFERIOR    ( 4.dA.0)  (3 y 2 .dA.1)  (6.dA.1)
 INFERIOR   3 y 2 .dA  6.dA
Como y  0m (constante) para
toda a face inferior:
 INFERIOR   3.02.dA  6.dA   6dA
 INFERIOR  6 dA  6.4
 INFERIOR
N .m 2
 24
C
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.
2
 FRONTAL   E  d A




 FRONTAL   [4 i  3( y  2) j )  (dA k )
dA k

2





 FRONTAL   4 i .dA k  3 y j .dA k  6 j .dA k
 
2
 
 
 FRONTAL   (4.dA. i . k )  (3 y .dA j . k )  (6.dA j . k )
Face frontal:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face frontal, o vetor dA aponta
no sentido positivo do eixo z, assim:

d A  dA k
2
 FRONTAL   (4.dA.0)  (3 y 2 .dA.0)  (6.dA.0)
 FRONTAL  0
Problema Proposto


Halliday (p.69) Um campo elétrico dado por E  [4 i  3( y  2) j ]N / C
atravessa um cubo gaussiano com 2m de aresta, posicionado da forma mostrada
na figura. Determine o fluxo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo e
determine o fluxo total através do cubo.

 dA k
2
 TRASEIRA   E  d A



 TRASEIRA   [4 i  3( y  2) j )  (dA k )
2






 TRASEIRA    4 i .dA k  3 y j .dA k  6 j .dA k
 
2
 
 
 TRASEIRA    (4.dA. i . k )  (3 y .dA j . k )  (6.dA j . k )
2
 TRASEIRA    (4.dA.0)  (3 y 2 .dA.0)  (6.dA.0)
 TRASEIRA  0
Face traseira:
O vetor área A é sempre perpendicular à
superfície e sempre aponta para fora.
Assim, na face traseira, o vetor dA aponta
no sentido negativo do eixo z, assim:

d A   dA k
Concluindo:
TOTAL   DIR   ESQ   SUP   INF   FRO  TRA
TOTAL  16  16  72  24  0  0
TOTAL
N .m2
 48
C