GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Paralelismo Resumo
© antónio de campos, 2009.
recta – recta, geral:
Rectas paralelas e
complanares, sem ponto em
comum, via os paralelos das
suas projecções frontal e
horizontal.
Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as
projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2)
r2
y≡ z
s2
B2
A2
C2
x
A1
B1
r1
s1
C1
recta de perfil – recta
de perfil:
Rectas paralelas e complanares,
sem ponto em comum, via rectas
auxiliares.
Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as
projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto
M (-2; 3; 4).
y≡ z
p’1 ≡ p’2
p1 ≡ p2
r2
A2
s2
M2
r1
B2
N2
x
A recta auxiliar s paralela à
recta r (derivada dos pontos
A e M conhecidos e
concorrentes com p e p’)
localiza o ponto N, definindo
a recta de perfil p’ paralela à
recta de perfil p.
s1
A1
M1
B1
N1
recta – plano, geral:
Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.
Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C
com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo,
contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo
de 60º (a.d.).
r2
s2
s1
y≡ z
fα
F2
A2
C2
B2
H2
x
F1
hα
A1
C1
r1
B1
H1
recta – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector e
paralela a uma recta do bissector,
via recta com projecções simétricas.
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua,
a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção
horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto
de intersecção da recta a com o plano ρ.
fα
a2
fρ
F2
I2
P2
a1 ≡ hα ≡ i1
H2
F1
x
i2
I1
hρ
P1
H1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.
Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de
intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um
plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a
recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o
ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.
recta – bissector β2,4:
Recta não contida no bissector e
paralela a uma recta do bissector,
via recta com projecções paralelas.
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua,
a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção
horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto
de intersecção da recta a com o plano ρ.
fα
a2
fρ
F2
I2
P2
a1 ≡ hα ≡ i1
H2
F1
x
i2
I1
hρ
P1
H1
A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.
Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de
intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um
plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a
recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o
ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.
recta de perfil – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector, e paralela
a uma recta de perfil do bissector, via
rectas auxiliares.
Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de
Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e
concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os
traços do plano θ definido pelas duas rectas.
p’1 ≡ p’2
Para se conseguir ver a situação de
paralelismo, recorre-se a uma recta de
perfil p’, contido no β1,3.
Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’
e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s,
paralelas entre si, obtendo um segundo
ponto da recta p, o ponto S.
p1 ≡ p2
s2
B2
S2
h2
r2
Nota que os traços de θ ficam coincidentes.
F2
F’1
A1
A partir desse raciocínio, o exercício
resultou na determinação dos traços de um
plano definido por duas rectas horizontais
paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os
traços frontais das rectas h e h’) e hθ é
concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h
e h’ (rectas horizontais de um plano são
paralelas entre si).
h’2
F1
x
B1
F’2
R2
A2
Para determinar os traços do plano θ,
recorre-se a uma outra recta horizontal (de
nível), h’, paralela a h e concorrente com a
recta p em S.
fθ ≡ hθ
r1
s1
R1
h1
h’1
S1
Uma outra forma de resolver o
problema seria através do
rebatimento do plano de perfil
que contém a recta p, o que nos
permitiria obter em
rebatimento, e de forma
simultânea, a recta p, paralela
ao β1 ,3, e os traços de p nos
planos de projecção.
recta de perfil – bissector
β2,4:
Recta não contida no bissector, e
paralela a uma recta do bissector, via
rebatimento.
Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os
traços a recta p nos planos de projecção.
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr
Fr ≡ F2
A2
Ar
pr
(e1) ≡ H2 ≡ F1
x ≡ hπr
Hr
A solução passa pela
utilização de um plano
auxiliar de perfil π que
contém a recta p.
A1
ir
H1
Depois uma recta auxiliar
de perfil passante i,
pertencente ao β2,4 ,
rebatida, permite
desenhar a recta p
rebatida, para depois
obter as projecções de F
e H da recta p.
plano – plano, geral:
Planos com mesma orientação e
não coincidentes, com duas
rectas concorrentes de um plano
paralelas a duas rectas
concorrentes de outro plano, via
os traços dos planos (frontal e
horizontal).
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que
fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao
fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto
P (3; 2; 3).
y≡ z
fα
fδ
h2
P2
x
F2
F1
hδ
h1
P1
hα
A solução passa pela utilização de
uma recta auxiliar horizontal h,
passando pelo ponto P, e portanto
pertencente ao plano δ.
plano de rampa - plano
de rampa:
Planos com mesma orientação
e não coincidentes, com uma
recta de um plano paralela a
outra de outro plano, via
rectas auxiliares.
Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de
cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ,
têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois
planos de rampa são paralelos entre si.
fσ
F’2
s2
fρ
F2
H’2
H2
x
F1
r2
hρ
r1
H1
s1
hσ
H’1
F’1