Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis
Aula 02
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
I.2. Elementos Básicos
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
I.2.2. Esforços nas Estruturas
I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais
I.3. Problemas e Métodos
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Maciças
Seções sem vazios
cujas dimensões
são da mesma
ordem de grandeza.
Seção Retangular b x h
h
b
Seção Circular f d
d
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Maciças
Seções Compostas por Retângulos
Seções sem vazios
cujas dimensões
são da mesma
ordem de grandeza.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
b’
Seções Vazadas
Seções com vazios
cujas dimensões
são da mesma
ordem de grandeza.
h
h’
Seção Retangular Vazada
b x h / b’ x h’
b
Seção Circular Vazada
f de / f di
di
de
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Seções Vazadas
Seções Compostas por Retângulos
Seções com vazios
cujas dimensões
são da mesma
ordem de grandeza.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Perfis I ou H
Seções formadas
por chapas finas
cuja linha média é
uma linha aberta.
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Seções formadas
por chapas finas
cuja linha média é
uma linha aberta.
Perfis U ou C
simples
enrijecido
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Abertos
Seções formadas
por chapas finas
cuja linha média é
uma linha aberta.
Perfis L ou Cantoneira
a
de abas iguais
Laxaxt
a
a
de abas desiguais
Laxbxt
b
t: espessura
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Seções Planas Usuais
Perfis Fechados
Seções formadas
por chapas finas
cuja linha média é
uma linha fechada.
Tubo Retangular
Tubo Redondo ou Circular
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Área de Superfície
Área [cm2]: medida da superfície
y
dA  dx.dy
A   dA    dx.dy
A
dy
y
x
x
dx
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x y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando
linearmente com as distâncias dos pontos de aplicação aos eixos de
referência da seção:
y
dA  dx.dy
dy
y
f  kx x  k y y
x
x
dx
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kN cm 
2
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
A força resultante na área elementar dA vale:
dF  kx x  k y y dA
y
dA  dx.dy
kN
Os momentos da força dF em
relação aos eixos x e y são:
dMx  ykx x  k y y dA
dy
y
x
x
dM y  xkx x  k y y dA
dx
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kN.cm
kN.cm
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
A força resultante na superfície vale:
F   dF   k x x  k y y dA 
A
y
dA  dx.dy
A
F  k x  x.dA  k y  y.dA
A
dy
y
ou
x
x
F  kx S y  k y Sx
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Os momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos [cm3] da
superfície são:
S x  y.dA 
y.dx.dy
y
A
x y
dA  dx.dy


S y   x.dA    x.dx.dy
dy
y
A
x y
x
x
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da
seção são:
M x   y k x x  k y y dA 
A
y

dA  dx.dy
M x  k x  x. y.dA  k y  y 2 dA 
A
dy
y
M x  k x I xy  k y I x
x
x

e
dx
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A
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da
seção são:
M y   x k x x  k y y dA 
A
y

dA  dx.dy
M y  k x  x 2 dA  k y  x. y.dA 
A
dy
y
M y  k x I y  k y I xy
x
x

dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Os momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia [cm4]
da superfície são:
Momentos Axiais de Inércia:
y
2
2
dA  dx.dy
I x   y dA    y dx.dy
A
x y
I y   x 2 dA    x 2 dx.dy
dy
y
A
x y
Produto de Inércia:
x
x
dx
I xy   x. y.dA    x. y.dx.dy
A
x y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando
linearmente com a distância à origem dos eixos de referência:
y
2
dA  dx.dy
dy
y
f  kp
kN cm 
A força resultante na área
elementar dA vale:

x
x
dF  k p .dA
dx
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kN
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
O momento elementar da força dF em relação à origem dos eixos
x e y é:
dM p  .dF  k p  2dA kN.cm
y
dA  dx.dy O momento resultante é:
dy
y
M p  k p   2 dA

A
x
x
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é:
I p    2 dA     2 dx.dy
y
A
dA  dx.dy
dy
y
x y
 2  x2  y 2 


I p   x 2  y 2 dA 

A
x
x
I p  Ix  I y
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma superfície de área
A e momento de inércia Ix
y
dy
y
Seja outra superfície de mesma
área A e mesmo momento de inércia
y
Ix, porém ‘concentrada’
A
dA  dx.dy
a uma distância rx do
eixo x
y

rx
x
x
dx
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x
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma superfície de área
A e momento de inércia Ix
y
dA  dx.dy
dy
y
I x   y 2 dA  rx2  dA  rx2 A
A
y
A
A
y

rx
x
x
dx
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x
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Seja uma superfície de área
A e momento de inércia Ix
y
dA  dx.dy
dy
y
I x   y 2 dA  rx2  dA  rx2 A
A
rx 
A
Ix
é o raio de giração
A da seção em relação
ao eixo x

x
x
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Momentos de Superfície
Analogamente,
ry 
ro 
Iy
A
Ip
A
é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e
é o raio de giração polar da seção
ro2  rx2  ry2
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
x2  x1  xo
y2  y1  yo
Translação:
y1 y2
xo x2
dA  dx.dy
dy
y1
y2
yo
x1
S x2   y2 dA    y1  yo dA
A
A
S x2   y1dA  yo  dA
A
x2
x1
Sx2  Sx1  yo A
dx
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A
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
x2  x1  xo
y2  y1  yo
Translação:
y1 y2
xo x2
dA  dx.dy
dy
y1
y2
yo
x1
Sx2  Sx1  yo A
x2 S y2  S y1  xo A
x1
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
x2  x1  xo
y2  y1  yo
Translação:
y1 y2
xo x2
dA  dx.dy
dy
y1
y2
yo
x1
I x2   y22 dA    y1  yo  dA
2
A
A
I x2   y12 dA  2 yo  y1dA  yo2  dA
A
A
x2
2
x1 I x2  I x1  2 yo Sx1  yo A
dx
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A
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
x2  x1  xo
y2  y1  yo
Translação:
y1 y2
xo x2
dA  dx.dy
dy
y1
y2
yo
x1
dx
x2
x1
I x2  I x1  2 yo Sx1  yo2 A
I y2  I y1  2xo S y1  xo2 A
I x2 y2  I x1 y1  xo S x1  yo S y1  xo yo A
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
x2  x1  xo
y2  y1  yo
Translação:
y1 y2
xo x2
dA  dx.dy
dy
y1
y2
yo
x1
I p1  I x1  I y1
I p2  I x2  I y2

x2
x1
 

I p2  I p1  2 yo S x1  xo S y1  xo2  yo2 A
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
Seja S x2  S y2  0
y1 y2(yCG)
xo x2
dy
y1
dA  dx.dy
y2
yo
CG
x1
S x2  S x1  yo A  0
S y1
S x1
xo  xCG 
yo  yCG 
A
A
x2(xCG)
x1
(x2,y2): eixos centrais
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
Sejam xCG e yCG os eixos centrais.
y yCG
As coordenadas do CG são:
x
dA  dx.dy
CG
dy
y
CG
x
yCG
dx
xCG 
Sy
A
yCG
Sx

A
xCG Notação alternativa:
x
x
Sy
A
Sx
y
A
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
y
I x2  I x1  2 yo Sx1  yo2 A
yCG
xCG
dy
y
dA  dx.dy
2
I xCG  I x  2 yCG Sx  yCG
A
2
S x  yCG A  I xCG  I x  yCG
A
CG
x
yCG
xCG
2
I

I

y
A
x
x
xCG
dx
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
Translação e Rotação de Eixos
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):
y
yCG
xCG
dy
y
dA  dx.dy
2
I x  I xCG  yCG
A
2
I y  I yCG  xCG
A
CG
x
yCG
xCG
x
I xy  I xyCG  xCG yCG A
dx
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