“A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito
pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.”
Jacques Bernoulli
Foto ganhadora de prêmio em
concurso sobre “Fotos
Matemáticas”
Título: “Sucessão Ascendente
de Ângulos”, de Francisco
Martín Pascual
“O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um
puro matemático.”
James Jeans
Departamento de
Matemática da Universidade
de Coimbra
OBJETIVOS
• Nesse projeto, objetivamos mostrar uma
interessante propriedade dos triângulos em
geral. Para tanto, fizemos uso do Geometer’s
Sketchpad;
• Com isso, pretendemos clarificar alguns
conceitos dentro da teoria de pontos notáveis
de um triângulo, bem como despertar a
curiosidade do leitor para um fato intrigante.
PROJETO
• Nosso projeto vai mostrar, com o auxílio do
programa Geometer’s Sketchpad, que o ortocentro
de um dado triângulo coincide com o incentro do
triângulo órtico a ele correspondente;
• Desenharemos a figura e, em seguida,
elaboraremos um procedimento que permita a
construção da mesma;
• A vantagem do Geometer’s Sketchpad é a de que
conseguiremos uma boa vizualização daquilo que
se quer mostrar, bem como uma comprovação
razoavelmente boa da nossa hipótese.
CONCEITOS
• Ortocentro: ponto de intersecção entre as três
alturas de um triângulo;
• Incentro: ponto de intersecção entre as
bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo,
ou ainda, centro da circunferência inscrita nele;
• Triângulo órtico: triângulo cujos vértices são as
extremidades das alturas nas respectivas bases de
um dado triângulo.
RESULTADOS
B
B
F
F
I
I
D
D
J
B
H
A
G
C
G
J
C
H
E
E
A
F
I
D
J
G
C
H
E
A
ABC: triângulo dado;
DEF: triângulo órtico de ABC.
Note que G é o ortocentro de
ABC e o incentro de DEF
PROCEDIMENTO
1. Dados três pontos não colineares A, B e C, construir os segmentos
AB, AC e BC. Assim, obtém-se o triângulo ABC;
3. Construir uma reta perpendicular a cada um dos lados do triângulo
passando pelos vértices opostos a esses lados e construir os pontos de
intersecção dessas retas com cada um dos lados, nomeando-os
conforme a figura do slide anterior;
5. Construir os segmentos AF, BE e CD. Tais segmentos serão as
alturas relativas aos respectivos lados (pode-se, em seguida, ocultar as
retas construídas anteriormente);
6. G é o ponto de intersecção entre as três alturas do triângulo ABC. A
esse ponto denominamos ortocentro do triângulo ABC. Tracemos,
então, o triângulo formado pelos pontos D, E e F. Esse triângulo, DEF,
é chamado de triângulo órtico;
7. Construir agora as retas perpendiculares aos lados do triângulo órtico
passando pelo ponto G. Em seguida, construir os segmentos pertencentes a
essas retas e que tem extremidades em G e nos respectivos pontos de
intersecção das retas com os lados do triângulo. Sejam H, I e J esses pontos
de intersecção. Pode-se provar que GH=GI=GJ=r (confira no Geometer´s
Sketchpad);
8. Como temos também GH, GI e GJ perpendiculares aos respectivos lados
do triângulo DEF, podemos traçar a circunferência centrada em G e de raio r.
Tal circunferência está, portanto, inscrita no triângulo DEF. Logo, G é
também o incentro desse triângulo órtico (ponto de encontro de suas
bissetrizes);
9. Assim, concluímos que o circuncentro de um triângulo corresponde ao
incentro do triângulo órtico a ele correspondente. Para melhor ilustrar essa
propriedade, execute esse procedimento no Software Geometer´s Sketchpad
e confira o resultado mexendo variando as medidas envolvidas, quer
esticando, quer contraindo a figura.
CONCLUSÃO
• Com isso, obtivemos uma explicação de uma
propriedade geométrica dos triângulos;
•Esperamos que você, caro leitor, perceba com
isso a utilidade do programa Geometer’s
Sketchpad que, como vimos nesse exemplo, é
uma excelente ferramenta.
Voltar