12 set 2007
EE-240/2007 – Métodos Baseados em Modelos
Métodos baseados
em Modelos
set 2007
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Modelo:
“Representação das características essenciais do sistema em estudo”
Falha
Interna
Entrada ou
Excitação
Ruído de
Estado
Falha de
Atuador
x k  1  (A  A)x k  Buk  (Gw k )  (Hak )
yk  Cx k  Duk  (vk )  (Msk )
Medidas
Ou
Saída
Estado
Ruído de
Medida
Falha de
Sensor
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yk  1  1yk  ...  n yk  n  1  uk
x 1k  yk  n  1
x k2  yk  n  2

x nk  yk
x 1k  1  x k2
x k2  1  x k3

x nk  1    1x nk   2 x nk  1     n x 1k   uk
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x 1k  1  x k2
x k2  1  x k3

x nk  1    1x nk   2 x nk  1     n x 1k   uk
 x 1k  1   0
 2  
x k  1   0
   
 n1 
x k  1   0
 x n     n
 k 1
1
0

0
1




0
0

 n  1  n  2 
A
0   x 1k  0


0   x k2  0

 
         uk
  

1   x nk  1  0
  1   x nk   
B
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yk  1  1yk  ...  n yk  n  1  uk
ou
x k  1  Ax k  Buk
yk  Cx k
 0
 0

A 

 0
   n
1
0
0
1


0
0
 n  1  n  2

0 

0 


 


1 
   1 
0 
0 
 
B  
 
0 
 
C  0 0  0 1
Obs:
• Transformada Z  Função de Transferência
• u = Delta de Kronecker  Resposta Pulso
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Como utilizar Modelos no
Prognóstico de Falhas?
Identificação
Paramétrica
Observadores
de Estado
Equações
de Paridade
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Observadores de Estado
(ou Estimadores de Estado)
Planta:
Observador:
x k  1  Ax k  Buk
yk  Cx k
xˆ k  1  Axˆ k  Buk  L(yk  yˆ k )
yˆ k  Cxˆ k
(–)
xk  1  xˆ k  1  A(xˆ k  xk )  Buk  Buk  L(Cx k  Cxˆ k )
xk  1  xˆ k  1  (A  LC)(xˆ k  xk )
ek  1
ek  0
se
ek
A  LC é possui e  valoresno disco unitário
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Exemplo:
0
xk  1  1

0
yk  0 0
0.12 
 1
1
0  0.74 x k  0 uk  1 w k

 
 
1
1.5 
0
1
1 x k  v k
0
 0.112 
L   0.62


 0.9 
E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)
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~
yk  yk  yˆ k
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~
yk  yk  yˆ k
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Exemplo:
0 0 0.12 
 1
1
x k  1   1 0  0.74 x k  0 uk  1 w k


 
 
0 1 1.5 
0
1
 0 0 1
yk  
x k  vk

  5 2 1
Observador utilizando
apenas y1k
 0.112 
L   0.62


 0.9 
E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)
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~
y1k  magenta
~
yk2  amarelo
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Falha A
Falha B
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Equações de Paridade
Sem falhas:
x k  1  Ax k  Buk
yk  Cx k
yk  Cx k
yk  1  Cx k  1  CAx k  CBuk
yk  2  Cx k  2  CAx k  1  CBuk  1  CA 2 x k  CABu k  CBuk  1

yk  i  CA i x k  CA i  1Buk    CBuk  i  1
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0
 yk   C 
 0
 y   CA 
 CB
0
 k 1  


 y k  2    CA 2  x k   CAB
CB

 






 

 
 y k i  CA i1 
CA i1B CA i2B
Y
T
0   uk 
0   uk  1 


0 uk  2 


 
   
 CB 0  uk i 



0
0
0
Q
U
Y  Tx k  QU
W t.q. WT  0
r : WY  WQU  0
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Exemplo:
0
xk  1  1

0
yk  0 0
0.12 
 1
1
0  0.74 x k  0 uk  1 w k

 
 
1
1.5 
0
1
1 x k  v k
0
0
1 
 0
 0
1
1. 5 

T
 1 1.5 1.51 


1.5 1.51 1.275
W = [-0.12 0.74 -1.5 1.0]
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Resíduo
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Resíduo
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Identificação Paramétrica

uk 
wk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 
xk  1  f xk ,    C w k
yk  H xk  G vk
Identificador
ˆ  E Yk ,Uk 
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Identificação Paramétrica
1. Estimador:
p y   ,   ,   Rq
Dados:
y correspondente a  T
um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
Obter:
Exemplo:
p y  ,2 
p y  ,1 
  se y  a
g( y)   1
 2 se y  a

a
y
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2. Estimador Não - Polarizado:
E g( y)  R g p y , d  
Exemplo: Seja y  A  e
e ~ N(0, I)
Obter ˆ  g( y) tal que y  Aˆ
2
seja mínimo
d
2
y  A  0
d
d
y  A T y  A   0
d
d T
y y  2 y T A   T A T A  0
d

2A T A  2A T y  ˆ  0
1
ˆ  A T A  A T y

LSE
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
1 A T y é não polarizado, pois
Eg( y) E( A T A )  1 A T y
 E( A T A )  1 A T ( A  e )
 E( A T A )  1 A T A  ( A T A )  1 A T e 
 E( A T A )  1 A T A E( A T A )  1 A T e 
ˆ  A T A

3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
 



ˆ
  By tal que E    ,   cov   cov  
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 



  By tal que E    ,   cov ˆ  cov  

E    
E By   
E B( A  e )   
E BA   E Be   
BAE    
BA  I


 

cov    E (  E  )(   E  ) T


 E (By  E  )(By  E  ) T


 E (B( A  e )  E  )(B( A  e )  E  ) T



 EBee B 
T



T
 BBT
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 



ˆ
  By tal que E    ,   cov   cov  
ˆ  E[ˆ ]  ˆ  
 ( A T A) 1 A T y  
 ( A T A )  1 A T ( A  e )  
 ( A T A) 1 A T e
  
cov ˆ  E (ˆ  E[ˆ ])( ˆ  E[ˆ ]) T


 E ( A T A )  1 A T ee T A( A T A )  1
 

 ( A T A )  1 A TE ee T A( A T A )  1
 ( A T A )  1 A T A( A T A )  1
 ( A T A) 1
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 



  By tal que E    ,   cov ˆ  cov  

~
Seja B  B  A T A
  
cov ˆ  A T A
1 A T

1

cov    BBT
Como BA  I,
1
~
BA  BA  A T A A T A  0

cov    BBT
T
~
~
 B  ( A T A) 1 A T B  ( A T A) 1 A T
~~
~
~
 BB T  BA( A T A )  1  ( A T A )  1 A TB T  ( A T A )  1 A T A( A T A )  1
~~
 BB T  ( A T A )  1
~~
 BB T  cov ˆ
0





 
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4. Limitante Inferior de Cramér-Rao:
onde
cov g( y)  M1 
 


mij  E
log p y ( y, )
log p y ( y, ) 
 j
 i


 

Matriz de
Informação
de Fisher
Como g(.) é não polarizado,
E g( y)   ou
R m g( )p y ( , )d  

i
R

m g(  ) p y (  ,  )d 


i
0

1
se j  i
se j  i
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


p y ( , ) d  I
R


g
(

)
log p y ( , ) p y ( , )d  I
m
R




E g( )
log p y ( , )   I



m
g( )




Por outro lado,
R m p y ( , ) d  1



R m  p y ( , ) d  0

R m  log p y ( , ) p y ( , )d  0


E  log p y ( , )   0
 





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

g



Se   


 log p y ( , ) 
 



então,


g




 g   T
cov    E  
 
 
  log p y ( , ) 

  






log p y ( , ) T  






cov g I 
cov    
0
I
M


I  I 
1 cov g
I  M 
   M1   0
I
M

 
 


cov g  M1  0
cov g  M1
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5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se cov g( y)  M1 

6. Teorema: ˆ  gy   AT A

cov ˆ  AT A
p y (  , ) 

1
AT y é eficiente

1
 1

T




exp

y

A

y

A



m/ 2
2


2 
1
m
1
log py (, )   log2   y  A T y  A 
2
2

cov ˆ  M1


log p y ( , )  A T A  A T y  A T e



M  E A T eeT A  A T A
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7. Propriedades do LSE:

ˆ  gy   AT A
1 AT y é eficiente e não polarizado
8. Identificação de Modelos ARMAX:
yk  1yk 1    nyk n  1uk 1    muk m  ek
 yn    yn1
y    y
n
 n1  
 yn 2     yn1

 


  
 yN    yN1
y
=

 y0

 y1
un

 y2

un1

 1 
unm     en 

 unm1     en1 
  n  

 unm 2     en 2 
  1  

 


   
 uNm     eN 
m 
un1 
  yNn uN1
A

+
e
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Identificação Paramétrica Recursiva
1. Lema de Inversão de Matrizes:
A  bc 
T 1
A
1

T
1
 1c A b

1
A 1bcT A 1
2. Estimação Recursiva:
T
T
N medidas  YN , AN , ˆ N onde ˆ N  ( AN
AN )1 AN
YN
 Y  A 
E 
N  1 medidas   N    TN     N 
 yN1  aN1 
eN1 
1
 A T  A    A T  Y 
ˆ N1    TN   TN    TN   N 
 aN1  aN1   aN1   yN1 
1
A




 YN 
N
T
T
ˆ
AN aN1 
N1   AN aN1  T  

a
 N1  
 yN1 




T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

 A Y
1
T
N N

 aN1yN1

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PN 


1
T
ANAN

T
PN1  AN
 1 AN  1
A 
AN1   TN 
aN1 
1
T


1
1
A  A 
T
T
   T N   T N    AN
AN  aN1aN
1
 aN1  aN1  


A  bc 
T 1

T
T
PN1  AN
AN  aN1aN
1
 PN 

A
1
  P  a
 Pa a
1

T
1
 1c A b
T
N1aN1
N


1
A 1bcT A 1

1
1
T
T
1  aN1PNaN1
N N1 N1PN
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

T
PN1  I  KN1aN
1 PN
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
 A Y
y 
T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

T
ˆ N1  PN1 AN
YN  aN1
1
T
N N
 aN1yN1

N1

T
PN1  PN  1  aN
1PNaN1
1PNaN1aNT1PN

1PNaN1aNT1PNANT YN
1
T
T

 PNaN1yN1  1  aN
P
a
PNaN1aN
 1 N N 1
1PNaN1yN1
T
T
ˆ N1  PNAN
YN  1  aN
1PNaN1
T
ˆ N  PNAN
YN

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
KN1 
1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

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3. Identificação de Modelos ARX:
yN  1yN1    nyNn  1uN1    muNm  eN
T
aN
1   yN1   yNn uN1  uNm 
 ek 
uk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
  1  n 1  m 
T
Identificador
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1


T
PN1  I  KN1aN
1 PN
ˆ  E Yk ,Uk 
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Exemplo:
0
xk  1  1

0
yk  0 0
0.12 
 1
1
0  0.74 x k  0 uk  1 w k

 
 
1
1.5 
0
1
1 x k  v k
0
yk  1  1.50yk  0.74yk  0.12yk  n  1  1.00uk
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yk  1  1.50yk  0.74yk  0.12yk  n  1  1.00uk
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