Parte I – Sinais e Sistemas
Conceitos Básicos
Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são
necessários em quase todos os campos da engenharia
elétrica e também em muitas outras disciplinas científicas
e de engenharia. Eles formam a base para estudos mais
avançados em áreas como comunicação, processamento
de sinais e sistemas de controle.
Sinais e Classificação de Sinais
• Um sinal é uma função que representa uma
quantidade ou variável física e contém informações
sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno
• Matematicamente, um sinal é representado por uma
função de uma variável independente t. Usualmente, t
representa o tempo. Assim, um sinal é indicado por
x(t).
Sinais e Classificação de Sinais
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto
Sinais e Classificação de Sinais
xn   xn
xt0 , xt1 ,..., xt n ,...
x0, x1,..., xn,...
Seqüência de números  Sinal Discreto
x0 , x1 ,..., xn ,...
xn  xn  xnTs 
Um sinal de tempo discreto pode
representar um fenômeno para o
qual a variável independente é
inerentemente discreta
Exemplo: Média diária do fechamento
do mercado de ações
Intervalo de Amostragem
Amostras
Sinais e Classificação de Sinais
Um sinal x[n] de tempo discreto pode ser definido de dois modos:
 1  n
  , n  0
xn  xn   2 
0, n  0

Especificando uma regra
n
 1 1
 1  
xn   1, , ,...,  ,...
 2 4
 2  
os valores da seqüência.
xn   1,2,2,1,0,1,0,2 Listando
A seta indica o termo n=0
Sinais e Classificação de Sinais
• Sinais Analógicos e Digitais
– Se um sinal de tempo contínuo x(t) pode assumir
qualquer valor no intervalo contínuo (a,b), então o
sinal é chamado sinal analógico
– Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir
apenas um número finito de valores distintos, então
ele é chamado sinal digital
Sinais e Classificação de Sinais
Sinais Reais e Complexos
Um sinal x(t) é um sinal real se seu valor for um número real, e é um
sinal complexo se seu valor for um número complexo. Sua forma geral é:
xt   x1 t   jx2 t 
Onde x1(t) e x2(t) são sinais reais
Representa tanto uma
variável contínua como
uma discreta
Sinais e Classificação de Sinais
• Sinais Determinísticos e Aleatórios
– Sinais determinísticos são aqueles cujos
valores estão completamente especificados
em qualquer instante de tempo dado
– Sinais Aleatórios são aqueles que assumem
valores aleatórios (randômicos) em qualquer
tempo dado e devem ser caracterizados
estatisticamente
Sinais e Classificação de Sinais
Sinais Pares e Ímpares
x t   xt 
x t   xt 
x t    xt 
x t    xt 
Funções Pares
Funções Ímpares
Qualquer sinal pode ser expresso como a soma de
dois sinais, um par e outro ímpar:
xt   xe t   xo t 
xt   xe t   xo t 
Sinais e Classificação de Sinais
Sinais Periódicos e Não-Periódicos
Período
xt  T   xt 
xt  m T  xt 
xn  N   xn
xn  m N  xn
Período
Sinais e Classificação de Sinais
Sinais de Energia e de Potência
E


2
xt  dt
1
P  lim
T  T
E



T /2
T / 2
xn
Conteúdo de energia
normalizado
2
xt  dt
Potência média
normalizada
Tempo Contínuo
2
Conteúdo de energia
normalizado
n  
N
1
P  lim
xn

N  2 N  1
n N
2
0E
P  0
0P
E  
Potência média
normalizada
Tempo Discreto
SINAL DE ENERGIA
SINAL DE POTÊNCIA
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Função Degrau Unitário
u(t)
u(t-t0)
1
1
0
1, t  0
u t   
0, t  0
t
0
t0
1, t  t0
u t  t0   
0, t  t0
t
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
δ(t)
0
δ(t)
Delta de Dirac
t
0
t0
t
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
0
 t   

t0
Função Generalizada
t0

   t dt  1


  t  t dt   0

 0 
b

a  t  t dt  0
indefinido


  t  t  t dt   t 

0
0
a0b
a  b  0 ou 0  a  b
a  0 ou b  0
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac)
Qualquer sinal de tempo contínuo pode ser expresso como:

xt    x  t   d

A função degrau unitário pode ser expressa como:
u t      d
t

Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Sinais Exponenciais Complexos
Forma de Euler
xt   e j0t  cos0t  jsen0t
T0 
Forma Geral
2
0
Período Fundamental
xt   e st  e   j t  et cost  jsent 
xt   et
Exponencial Real
Sinais Básicos de Tempo Contínuo
Sinais Senoidais
xt   A cos0t   
T0 
f0 
2
0
1
T0
0  2f 0

A cos0t     A Re e j 0t  


A Im e
j 0t  

 A sin  t   
0
Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüência Degrau Unitário
u[n]
u[n-k]
1
1
0
1, n  0
un  
0, n  0
n
0
k
1, n  k
un  k   
0, n  k
n
Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüência Impulso Unitário
δ[n]
0
δ[n-k]
Delta de Dirac
n
0
k
n
Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüência Impulso Unitário
1
 n  
0
n0
n0
1
 n  k   
0
Amostra Unitária
nk
nk
xn n  x0 n
xn n  k   xk  n  k 
 n  un  un  1
un 
n
  k 
k  
xn 

 xk  n  k 
k  
Qualquer seqüência pode ser
expressa nesta forma
Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüências Exponenciais Complexas
Forma de Euler
xn  e j0 n  cos 0 n  j sin  0 n
2
N0  m
0
Forma Geral
xn  C n
Período Fundamental
Sinais Básicos de Tempo Discreto
Seqüências Senoidais
xn  A cos0 n   

A cos0 n     A Re e j 0n  

Sistemas e Classificação de Sistemas
Representação de Sistema
Sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal
de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta). O sistema é visto
como uma transformação de x em y.
y  Tx
T é um operador que representa uma regra bem definida pela
qual x é transformado em y
x
Sistema
T
y
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto
Contínuo
Discreto
x(t)
x[n]
Sistema
T
Sistema
T
y(t)
y[n]
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas com Memória e sem Memória
Um sistema é dito sem memória se a saída em qualquer instante de
tempo depende apenas da entrada naquele mesmo instante. Ex: resistor,
a entrada é a corrente e a saída é a tensão.
yt   Rxt 
vt   Rit 
Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C
1
vt  
C
 i d
t

Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória é
yn 
n
 xk 
k  
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Causais e Não Causais
Um sistema é chamado causal se sua saída y(t) em um tempo arbitrário t=t0
depender apenas da entrada x(t) para t ≤ t0. Ou seja, a saída de um sistema
causal não depende de seu valores futuros.
Obs: Todos os sistemas sem memória são causais, mas não vice-versa.
Exemplos de sistemas não-causais são:
yt   xt  1
yn  x n
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Lineares e Não Lineares
Se o operador T satisfizer as duas condições seguintes, antão T é chamado
operador linear e um sistema representado pelo operador T é chamado
sistema linear.
Aditividade
Tx1  y1
Tx2  y2
Tx1  x2   y1  y2
Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala)
Tx  y
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Invariantes e Variantes no tempo
Um sistema é chamado invariante no tempo se um deslocamento de tempo
(retardo ou adiantamento) no sinal de entrada causa o mesmo deslocamento
de tempo no sinal de saída.
Txt     yt   
Txn  k   yn  k 
Tempo Contínuo
Tempo Discreto
Sistemas e Classificação de Sistemas
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT)
Se o sistema é linear e invariante no tempo ele é um LIT
Sistemas Estáveis
Um sistema é chamado de estável com entrada limitada/saída limitada (BIBO)
se, para qualquer entrada limitada x ≤ k1 a saída y correspondente é também
limitada e definida por y ≤ k2
Sistemas com Realimentação
x(t)
Σ
Sistema
y(t)