Otimização de Funções Contínuas
via Algoritmos Genéticos
Frederico Heitor
Mônica do Amaral
Problema
Dada uma função contínua, diferenciável ou não, encontrar seu valor
máximo dentro de um intervalo dado.
Exemplo:
Função:
ƒ(x) = 0.4 + sinc (4x) + 1.1 sinc (4x + 2) + 0.8 sinc (6x – 2)
+ 0.7 sinc (6x – 4)
Intervalo:
x Є [-2 , 2]
Onde:
1
, x=0
sinc (x) =
sen (л x) / (л x) , x ≠ 0
Método Utilizado
Algoritmos Genéticos com os seguintes mecanismos:
- Reprodução
Escolha dos pais utilizando-se Roleta Russa
- Crossover
Escolha aleatória do ponto de corte do cromossomo
- Mutação
Escolha aleatória do bit a ser trocado
Modelagem
- Cada indivíduo é representado por um vetor binário de 16
posições, que corresponde a um ponto contido no intervalo
de definição da função
I [1] = [ 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 ]
- Para calcular o valor da função objetivo relativo a um
determinado indivíduo, utiliza-se a fórmula:
fo = - 2 + 4b
65535
onde b é o número decimal que corresponde à seqüência
binária de um indivíduo qualquer
Modelagem - Reprodução
Nesta etapa, dois indivíduos da população são escolhidos
através do mecanismo da Roleta Russa, onde aqueles que
possuem maior aptidão têm maior probabilidade de serem
selecionados.
O casal escolhido tem uma probabilidade de gerar filhos.
Modelagem - Crossover
Um número aleatório entre 1 e 16 determina a posição onde
será efetuado o corte no vetor (cromossomo).
Exemplo:
Número Sorteado: 4
Pai 1: X X X X X X X X X
Pai 2: Y Y Y Y Y Y Y Y Y
Posição do Corte
Filho 1: X X X X Y Y Y Y Y
Filho 2: Y Y Y Y X X X X X
Modelagem - Mutação
Um número aleatório entre 1 e 16 determina o bit a sofrer
mutação.
Exemplo:
Número Sorteado: 9
I =[0110110001101011]
Após a mutação:
I =[0110110011101011]
Implementação
Parâmetros utilizados:
- Tamanho da população inicial = 30
- Probabilidade de Crossover = 0,80
- Probabilidade de Mutação = 0,01
- Critério de parada = 50 gerações
Resultados Encontrados
N.° Teste
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor máximo de f(x)
1,495005
1,500772
1,500772
1,495005
1,500772
1,495005
1,495005
1,500772
1,500772
1,500772
Melhor solução encontrada = 1,500772
Média das soluções = 1,4984652
Desvio das soluções = 0,15%
Vantagens
- Soluções muito boas podem ser encontradas após a
convergência, mesmo quando a função é instável.
- Encontra-se máximos das funções mesmo em intervalos
não diferenciáveis.