1a Série de exercícios – Aeroelasticidade Estática
Prof. Gil – 2º semestre 2009
1ª Questão: Estude o problema de um modelo de uma bomba cuja
geometria é axissimétrica, a ser testado em túnel de vento. Os
esforços aerodinâmicos são medidos através de uma balança do tipo
“sting”. Embora este tipo de balança possa apresentar problemas de
natureza estrutural devido a flexibilidade do suporte, é um tipo de
balança muito empregado. É a forma de fixar mais eficiente para
medir esforços aerodinâmicos em um modelo, uma vez que causa
menos interferência aerodinâmica no artigo em teste.
Uma viga em balanço (figura abaixo), com comprimento 2c,
engastada rigidamente na estrutura do túnel de vento é representada
graficamente por:
De acordo com a teoria da elasticidade, a relação entre forças e
momentos atuantes na extremidade da balança com a deformação
em rotação neste ponto é dada por:
θ=
( 2c )
2
( 2c ) = θ + θ
dδ
= F0
+ M0
F
M
dx
2 EI
EI
Conhecendo a forma de obter o ângulo θ, monte as equações de
equilíbrio e obtenha:
a) Velocidade de divergência desta montagem;
b) Defina a máxima velocidade de operação do túnel de forma
que o acréscimo de sustentação devido ao efeito da
flexibilidade não exceda 5%.
Note que :
LEfetiva =
LRígida + LElástica
LRígida
∼
α0 + θ
α0
2ª Questão: Imagine o seguinte modelo de asa colocado em um
túnel de vento.
Adota-se uma barra como suporte do modelo, e que apresenta
rigidez em torção (GJ) igual a 8000 lb in2 e suponha que para dar
forma aerodinâmica empregou-se madeira balsa. Note que o nosso
modelo é elástico, e considere somente a rigidez em torção da barra.
Use o modelo unidimensional de uma asa reta para o estudo
aeroelástico em questão, representado pela equação diferencial vista
em sala. O aerofólio é simétrico, com envergadura de 3 ft, e corda de
6 polegadas. A derivada do coeficiente de sustentação é 6.0 (1/rad).
O centro aerodinâmico está situado em ¼ da corda e o eixo elástico
coincide com o centro de gravidade e está situado a ½ da corda, e a
massa do modelo é 20.0 slug. Pede-se:
A) Calcule a velocidade de divergência sabendo que o túnel opera
no nível do mar, empregando o modelo estrutural de uma asa
contínua ;
B) Para uma pressão dinâmica de 30 lb/ft2 calcule o acréscimo de
sustentação no meio da envergadura da asa devido a
flexibilidade do suporte;
C) Repita este cálculo para as mesmas condições, porém
considerando o carregamento total sobre o modelo.
D) Caso se queira redimensionar o suporte que sustenta o modelo
no túnel, assuma que se deseja o dobro da pressão dinâmica
de divergência para se estimar a rigidez ou a posição do eixo
elástico.
3ª Questão: Seção típica de uma asa. Observe as cotas abaixo e os
correspondentes valores numéricos na seqüência:
Iθ = 30,0 kg m2/m, ωθ = 21 Hz, c = 2 m, ρ = 1,225 kg/m3, Clα = 2π,
xo = 0,35 c, xac = 0,25, xcg = 0,30 c, e m = 40 kg/m, massa da seção
por unidade de comprimento.
A) Obtenha a expressão para a pressão dinâmica de divergência
a partir das equações para o equilíbrio de forças.
B) Obtenha a velocidade de divergência considerando as
características físicas associadas a esta seção de asa.
C) Note que o coeficiente de sustentação Clα = 2π refere-se ao
caso de uma placa plana em regime incompressível, modelo
adotado para aproximar o nosso perfil. Para o caso do
escoamento ser compressível, calcule o Mach de divergência
para altitudes correspondentes a 0, 10000, 20000 30000 e
40000 ft, e esboce em um gráfico o seu comportamento com a
altitude.
4ª Questão: Para a seção típica com superfície de controle (aileron)
no bordo de fuga, calcule:
L
Kθ
MAC
AC
Kδ
δ0
CE
Articulação
elástica
δ
a) A pressão dinâmica de reversão de comandos para um valor
finito de Kδ e mostre que é a mesma para o caso de Kδ rígido.
Defina valores geométrico característicos similares aos que
forma empregados em aula para modelar o problema.
b) Calcule a pressão dinâmica de divergência como função de Kδ
e Kθ e de quaisquer outros parâmetros que julgar necessário.
5ª Questão: Um aerofólio simétrico (Cmac = 0) é bi-apoiado por dias
molas com flexibilidade K1 e K2.
O sistema em equilíbrio apresenta um ângulo de ataque inicial 0
com relação à horizontal. Assume-se pequenas perturbações, e que
a sustentação do aerofólio supondo apoios rígidos K1 e K2 ∞, é
rig
dada por: L = qSC Lα α 0 . Quando o carregamento é aplicado
sobre o ponto a ¼ da corda do aerofólio, este move-se em translação
h (movimento vertical) e rotaciona de um ângulo . Sabe-se que o
carregamento sobre o aerofólio em suportes flexíveis será
rig
representado por: L
= qSCLα (α 0 + θ ) . Pede-se:
a) Uma expressão algébrica para a razão entre os carregamentos
rígido e flexível (rig/flex).
b) Uma expressão para a pressão dinâmica de divergência.
c) Obtenha o centro elástico desta montagem, lembrando que
w ( x ) = h − xθ .
6ª Questão: Uma seção típica representada na figura possui um
aileron controlado ativamente para aumentar a sua velocidade de
divergência. A sustentação atuando no centro aerodinâmico é uma
função da αo, θ e δ, o ângulo de ataque inicial, torção elástica, e
rotação do aileron, respectivamente. O aileron é "ativo", sendo que δ
depende de θ (torção elástica) através da lei de controle linear δ =
k.θ, onde k é um ganho que pode ser positivo, negativo ou zero. O
momento de restituição elástica é dado por KTθ, onde KT é a
constante elástica da mola de torção.
a) Calcule a relação entre o ângulo de ataque do aerofólio e de
deflexão do aileron supondo-o
ativamente controlado. Se a
sustentação do aerofólio controlado é L = constante, calcule a
expressão algébrica para o ângulo de ataque αo em termos de L e
use o parâmetro adimensional q = qSeC Lα KT (esta é a pressão
dinâmica de divergência do aerofólio quando k = 0).
b) Calcule a pressão dinâmica de divergência em função do ganho k,
dos parâmetros que caracterizam o aerofólio, e da pressão dinâmica
de divergência quando k = 0, denominável como qDo.
c) Derive a expressão para o ganho k necessário para aumentar a
pressão dinâmica de divergência q para um valor f.qDo onde f é um
número maior do que um. Resolva para k quando f = 2.
d) Derive a expressão algébrica para o ângulo do aileron δo em
função de: peso W;
de q = qSeCLα KT
coeficientes aerodinâmicos usualmente
empregados em aerodinâmica. Utilize uma relação entre a corda do
aerofólio e a corda do aileron E = c f c a supondo
E = 0.15 e
parcela o valor de δo como uma função de q = qSeCLα KT . As
expressões para os coeficientes aerodinâmicos do aileron são :
C 
CLδ =  Lα  arccos (1 − 2 E ) + 2 E (1 − E ) 

 π 
C 
CM δ = −  Lα  (1 − E ) E (1 − E )
 π 
e)
We
KT
é a torção do aerofólio devido ao peso da aeronave
hipotética suportada por esta asa (W = metade do peso total).
Traçar:
δ0
× q , ângulo de torção do aileron por unidade de torção
We
KT
elástica.
para os seguintes valores de k, -0,1, -0,25, -0,50, -0,75 e -1. Este é o
ângulo do aileron por unidade de torção elástica.