Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
- Espessura finita muito menor do que a envergadura
e a corda
- Forma geométrica determinada por:
a) Planta (variação de corda e ângulo de flecha)
b) Perfil (espessura e curvatura)
c) Ângulo de torção
d) Ângulo de diedro
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
- Sistema de eixos Cartesiano
- Ox, eixo longitudinal da asa, positivo
para a rectaguarda
- Oy, eixo lateral da asa, perpendicular
ao plano de simetria
- Oz, eixo vertical da asa, positivo para cima
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
a) Planta (variação de corda e ângulo de flecha)
Asa rectangular
Flecha
Corda, c
Envergadura, b
Área, S = ∫
b2
−b 2
c( y )dy
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
b2 b
Alongamento, Λ =
=
S c
S
Corda média, c =
b
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
b) Perfil (espessura e curvatura)
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
c) Ângulo de torção
Ângulo de torção
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Caracterização geométrica da asa
d) Ângulo de diedro
Diedro
Diedro
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Diedro
Diedro
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• A existência de sustentação (positiva) é originada pela
distribuição de pressão na superfície da asa, que
em média é maior no intradorso do que no extradorso
• Esta diferença de pressão origina um escoamento em
torno da extremidade da asa (de baixo para cima) que
garante a igualdade de pressão na extremidade da asa
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• As linhas de corrente do extrardoso são deslocadas
para o plano de simetria da asa e as do intradorso
para a extremidade, criando vorticidade longitudinal
na esteira (folha de vórtices livres)
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• A folha de vórtices tende a enrolar-se em tornos
de dois vórtices localizados junto às extremidades
da asa (tip vortices)
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• A folha de vórtices tende a enrolar-se em tornos
de dois vórtices localizados junto às extremidades
da asa (tip vortices)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• A folha de vórtices tende a enrolar-se em tornos
de dois vórtices localizados junto às extremidades
da asa (tip vortices)
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
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Aerodinâmica I
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Escoamento permamente e incompressível
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Escoamento permamente e incompressível
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
←
Asa vista de cima
←
Escoamento transversal em torno
da extremidade
←
Escoamento transversal junto ao
bordo de fuga
←
Enrolamento da esteira de vórtices livres
←
Vórtices de extremidade
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• Modelo de fluido perfeito para simular o efeito da
extremidade. Alternativa mais simples:
Vórtice em ferradura
• Apesar da simplicidade o efeito da extremidade é
qualitativamente representado
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
• A esteira de vórtices induz uma velocidade
descendente entre as extremidades da asa
(downwash) e uma velocidade ascendente (upwash)
na parte lateral
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Aerodinâmica I
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Escoamento permamente e incompressível
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Escoamento permamente e incompressível
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• A sustentação por unidade de envergadura de
cada secção da asa está relacionada com a
circulação, Γ, pela equação de Joukowski
(para sustentação positiva, Γ é negativo)
• A circulação em torno da asa pode ser simulada por
um vórtice que se estende entre as duas extremidades
da asa e cuja intensidade, Γ(y), é obtida a partir
da sustentação/circulação de cada secção(perfil)
da asa. Este vórtice denomina-se vórtice ligado
(bound vortex) ou linha sustentadora (lifting line)
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• A conservação de circulação no espaço (teorema
de Helmohtz) implica que a variação de intensidade
do vórtice ligado (Γ(y) tem que ser nulo na
extremidade da asa) esteja associada a um sistema
de vórtices livres (trailing vortices). A intensidade, γ,
desta folha de vórtices está directamente relacionada
com a variação de circulação ao longo da linha
sustentadora
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• A folha de vórtices livres tende a alinhar-se com
as linhas de corrente do escoamento e a enrolar-se
em torno dos vórtices de extremidade. O problema
não é linear
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
Para pequenos ângulos de ataque, espessura e
curvatura (pequenas perturbações) os vórtices
livres estão aproximadamente alinhados com o
escoamento de aproximação uniforme
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
Neste modelo de esteira simplificado, os vórtices
livres são semi-rectas cuja posição é conhecida,
pelo que o problema passa a ser linear
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
O sistema de vórtices que representa a asa é
constituido pelo vórtice ligado e por uma folha de
vórtices plana, alinhada com o escoamento não
perturbado
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
A intensidade, γ, dos vórtices livres está relacionada
com a circulação do vórtice ligado, Γ(y), (teorema
de Helmothz) através de
dΓ
dγ = Γ( y + dy ) − Γ( y ) =
dy
dy
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
O sistema de vórtices livres induz um campo de
velocidade tri-dimensional. A velocidade induzida
por um vórtice semi-infinito (por comparação com
um vórtice infinito) é dada por γ , na direcção
r
4πr
perpendicular ao vector r
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Teoria linearizada (Prandtl)
A velocidade (descendente) induzida pelos vórtices
livres num ponto y da linha sustentadora (sem flecha)
é dada por
1
ωi =
4π
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Admitindo que cada secção da asa (perfil) se
comporta como num escoamento bi-dimensional
(hipótese válida para grandes alongamentos) e
que a velocidade induzida pela esteira, ωi, é
aproximadamente uniforme na vizinhança da asa
dD
D
(linha sustentadora) temos
i i
L αi
dL
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
r
V∞
r
VR
αi
ωi
R
dR
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
dD
Di i
r
V∞ é a velocidade do escoamento não
perturbado
ωi é a velocidade induzida pela
dL
L αi
R
dR
esteira de vórtices livres
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
r
VR é a velocidade do escoamento
relativo à secção da asa (perfil)
que faz um ângulo α eff com a
direcção da corda
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dD
Di i
L αi
dL
R
dR
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
dD
Di i
dγ é a circulação em torno da
secção da asa (perfil) que
se assume negativa
L αi
dL
R
dR
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
dD
Di i
α é o ângulo de ataque geométrico
αi é o ângulo de ataque induzido
αeff é o ângulo de ataque efectivo dL
L αi
R
dR
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
dD
Di i
ωi
tan (α i ) = r
V∞
Para pequenos valores de α i
ωi
αi ≅ r
dL
L αi
R
dR
α eff = α − α i
V∞
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
r
VR =
r
V∞
Teoria da Linha Sustentadora
dD
Di i
cos(α i )
Para pequenos valores de α i
r
r
VR ≅ V∞
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dL
L αi
R
dR
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
dR é a força perpendicular ao r
escoamento relativo ao perfil,VR
que faz um ângulo αeff
com a direcção da corda
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dD
Di i
dL
L αi
R
dR
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
Projectando dR nas direcções
paralela e perpendicular ao r
escoamento de aproximação, V∞
dL = dR cos(α i ) dDi = dR sen (α i )
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dD
Di i
dL
L αi
R
dR
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
A velocidade descendente
induzida pela esteira,ωi , origina
uma força de resistência, Di
denominada por resistência
induzida
α eff = α − α i
α eff
α
αi
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dD
Di i
dL
L αi
R
dR
r
V∞
r
VR
αi
ωi
r
dR = ρ VR dγ
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Determinação das forças em torno da asa finita
r
r
dR = ρ VR dγ = ρ VR Γ( y )dy
r
dL = ρ VR cos(α i )Γ( y )dy
r

dR = ρ VR Γ( y )dy ⇒ 
r
dDi = ρ VR sen (α i )Γ( y )dy
r
dL = ρ V∞ Γ( y )dy
r

dR = ρ VR Γ( y )dy ⇒ 
r
dDi = ρ tan (α i )V∞ Γ( y )dy
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Determinação das forças em torno da asa finita
r
dL = ρ V∞ Γ( y )dy
dDi = ρωi Γ( y )dy
- Integrando ao longo da envergadura
r b2
L = ρ V∞ ∫ Γ( y )dy
−b 2
Di = ρ ∫
b2
−b 2
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ωi Γ( y )dy
Aerodinâmica I
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Teoria da Linha Sustentadora
• Determinação das forças em torno da asa finita
r b2
L = ρ V∞ ∫ Γ( y )dy
−b 2
Di = ρ ∫
b2
−b 2
ωi Γ( y )dy
- A força de sustentação, L, depende da distribuição
de circulação ao longo da envergadura
- A força de resistência induzida, Di, depende directa e
indirectamente (ωi) da distribuição de circulação ao longo
da envergadura
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Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• Comportamento das secções da asa (perfis)
admitindo escoamento bi-dimensional e
irrotacional
2Γ ( y )
Cl ( y ) = r
= Cl'∞ ( y )(α eff ( y ) + β ( y ))
V∞ c( y )
• Nestas condições,α eff relaciona-se com a
distribuição de circulação, Γ(y), através de
α eff ( y ) =
2Γ ( y )
− β (y)
r
'
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
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Teoria da Linha Sustentadora
2Γ ( y )
α eff ( y ) = '
− β (y)
r
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
Cl'∞ ( y ) Declive da variação de Cl com α, dependente
da espessura do perfil
β ( y ) Simétrico do ângulo de sustentação nula
dependente da curvatura do perfil
c( y ) Corda do perfil dependente da forma da asa
em planta
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Teoria da Linha Sustentadora
• Para pequenos ângulos de ataque induzidos
ωi ( y )
(
)
αi y = r
V∞
1
com ωi ( y ) =
4π
∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
• Nestas condições, α i relaciona-se com a distribuição
de circulação, Γ(y), através de
αi ( y) =
1
r
4π V∞
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∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
• A partir da relação entre ângulo de ataque
geométrico, induzido e efectivo
α = α eff + α i
e utilizando as relações de α eff e α i com Γ( y )
obtemos
2Γ ( y )
1
(
)
(
)
α y = '
−β y +
r
r
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
4π V∞
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∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
Aerodinâmica I
Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
2Γ ( y )
1
α (y) = '
− β (y)+
r
r
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
4π V∞
∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
Parâmetros geométricos que definem a asa
α (y)
→
Variação com y depende da torção
Cl'∞ ( y ), β ( y ) →
Perfis seleccionados para a secção da asa
c( y )
→
Forma da asa em planta
Γ( y )
→
Distribuição de circulação ao longo da
envergadura
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Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
2Γ ( y )
1
− β (y)+
α (y) = '
r
r
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
4π V∞
∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
• Problema directo ou de análise:
- Dados do problema
Forma geométrica da asa e ângulo de
ataque, α
α ( y ), Cl' ( y ), β ( y ) e c( y )
∞
- Incógnitas
Γ( y ), L e Di
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Asas Finitas
Teoria da Linha Sustentadora
2Γ ( y )
1
− β (y)+
α (y) = '
r
r
Cl∞ ( y )V∞ c( y )
4π V∞
∫
b2
−b 2
1 dΓ
dy '
y − y ' dy '
• Problema inverso ou de projecto:
- Dados do problema
Forças de sustentação e resistência induzida,
ou seja a circulação ao longo da envergadura
Γ( y ), L e Di
- Incógnitas
Forma geométrica da asa e ângulo de ataque
α ( y ), Cl'∞ ( y ), β ( y ) e c( y )
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