Diagramas lógicos
Proposições categóricas
As proposições categóricas constituem-se num dos principais tópicos da
Lógica Formal. Desde Aristóteles, as proposições categóricas têm sido estudadas e inúmeras contribuições de lógicos têm sido feitas.
Preste atenção ao conceito de proposição categórica:
Uma proposição categórica é aquela formada por um quantificador associado a um sujeito (primeira classe de atributos) que se liga a um predicado
(segunda classe de atributos) por meio de um elo (cópula).
Exemplos:
Todos os animais são carnívoros.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
Existem apartamentos que não são modernos.
Predicado
Elo
Partícula de negação
Sujeito
Quantificador
Alguns cremes são oleosos.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
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Diagramas lógicos
Nenhum anfíbio é inteligente.
Predicado
Elo
Sujeito
Quantificador
Numa proposição categórica, é importante que o sujeito se relacione com
o predicado de forma coerente e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira ou falsa. Assim, por exemplo, em “Todos os esportistas
são competitivos” temos uma proposição claramente falsa, mas que é provida de sentido lógico.
Classificação das proposições categóricas
As proposições categóricas podem ser classificadas de acordo com dois
critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quantidade.
Qualidade
O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa.
Exemplos:
Algumas pessoas viajam no verão.
Todas as pessoas são ingênuas.
As proposições são categóricas afirmativas.
Algumas pessoas não viajam no verão.
Nenhuma pessoa é ingênua.
As proposições são categóricas negativas.
Observe que, nesse critério, não se classifica a proposição em verdadeira
ou falsa, mas, sim, em afirmativa ou negativa.
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Diagramas lógicos
Extensão
O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou particular. A classificação dependerá do quantificador
que é utilizado na proposição.
Exemplos:
Todos os animais são seres vivos.
Nenhum carro tem sete portas.
As proposições são categóricas universais, pois os quantificadores “todos”
e “nenhum” são universais.
Algumas pessoas gostam de sorvete.
Existem animais que não gostam de água.
As proposições são categóricas particulares, pois os quantificadores “algumas” e “existem” são particulares (existenciais).
Fica claro que, nesse critério, a classificação é determinada pelo quantificador, não importando se a proposição é afirmativa ou negativa.
Tipos de proposições e relações
entre proposições
Desde a época de Aristóteles, de acordo com a qualidade e a extensão, a
Lógica Formal classifica as proposições categóricas em quatro tipos, representados pelas letras A, E, I e O.
Observe o quadro contendo tais classificações:
Tipo
Qualidade
Extensão
Exemplo
A
Afirmativa
Universal
Todo S é P.
E
Negativa
Universal
Nenhum S é P.
I
Afirmativa
Particular
Algum S é P.
O
Negativa
Particular
Algum S não é P.
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Diagramas lógicos
Na tabela, S indica o sujeito e P indica o predicado de uma proposição
categórica. Assim, de acordo com a tabela, temos:
Proposição afirmativa universal (A): Toda cidade é limpa.
Proposição negativa universal (E): Nenhuma cidade é limpa.
Proposição afirmativa particular (I): Alguma cidade é limpa.
Proposição negativa particular (O): Alguma cidade não é limpa.
Com essas classificações, pôde-se construir um quadro, denominado
Quadrado Geral de Oposição, que apresenta as relações existentes entre as
proposições. Tal quadro é atribuído a Aristóteles.
Quadro 1 – Quadrado Geral de Oposição
Todo S é P
(SAP)
A
Nenhum S é P
(SEP)
Contrárias
E
Contraditórias
Subalternas
e
Superalternas
Subalternas
e
Superalternas
Contraditórias
I
Algum S é P
(SIP)
Subcontrárias
O
Algum S não é P
(SOP)
Observação:
Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentença possui sujeito (S) relacionado ao predicado (P) por meio de uma proposição categórica
do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, ocorre com SEP, SIP ou SOP.
As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio
identifica o tipo de proposição categórica.
Essas regras que relacionam as proposições são denominadas regras
de contrariedade, contraditoriedade, subcontrariedade e subalternação. A
seguir, estudaremos particularmente cada uma delas.
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Diagramas lógicos
Contrárias
As proposições são ditas contrárias quando são universais e se opõem
entre si apenas pela qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquanto uma afirma um predicado, a outra nega esse mesmo predicado.
Todo S é P
(SAP)
A
Nenhum S é P
(SEP)
Contrárias
E
Duas proposições são contrárias quando ambas não podem ser verdadeiras ao
mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. (A)
Nenhum homem é mortal. (E)
Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, enquanto “nenhum homem é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo.
Exemplo 2:
Todo homem é professor. (A)
Nenhum homem é professor. (E)
Nesse exemplo, a proposição “todo homem é professor” é uma sentença
falsa e “nenhum homem é professor” também é falsa. Ambas não podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.
Contraditórias
As proposições são ditas contraditórias quando se opõem tanto em qualidade quanto em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular;
enquanto uma é afirmativa, a outra é negativa.
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Diagramas lógicos
Todo S é P
(SAP)
Nenhum S é P
(SEP)
A
E
Contraditórias
Contraditórias
I
O
Algum S é P
(SIP)
Algum S não é P
(SOP)
Duas proposições são contraditórias quando ambas não podem ser verdadeiras
ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. (A)
Algum homem não é mortal. (O)
Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, enquanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas
serem verdadeiras ao mesmo tempo, nem falsas ao mesmo tempo. Se uma é
verdadeira, a outra, obrigatoriamente, é falsa, e vice-versa.
Exemplo 2:
Nenhum homem é professor. (E)
Algum homem é professor. (I)
Nesse exemplo, a proposição “nenhum homem é professor” é uma sentença falsa e “algum homem é professor” é verdadeira. Ambas não podem
ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.
Importante:
Se duas proposições categóricas são contraditórias, uma é a negação da outra.
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Diagramas lógicos
Subcontrárias
As proposições são ditas subcontrárias quando são particulares e se opõem
entre si apenas na qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquanto
uma é afirmativa, a outra é negativa.
I
O
Subcontrárias
Algum S é P
(SIP)
Algum S não é P
(SOP)
Duas proposições são subcontrárias quando ambas não podem ser falsas
ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao
mesmo tempo.
Exemplo 1:
Algum homem é mortal. (I)
Algum homem não é mortal. (O)
Observe que “algum homem é mortal” é uma sentença verdadeira, enquanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas
serem falsas ao mesmo tempo.
Exemplo 2:
Algum homem é professor. (I)
Algum homem não é professor. (O)
Nesse exemplo, a proposição “algum homem é professor” é uma sentença
verdadeira e “algum homem não é professor” também é verdadeira. Ambas
não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras ao mesmo
tempo.
Subalternação e superalternação
As proposições são ditas subalternas ou superalternas quando são iguais
em qualidade e se opõem entre si apenas em extensão. Enquanto uma é
universal, a outra é particular.
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Diagramas lógicos
Raciocínio inválido
Todo S é P
Nenhum S é P
(SAP)
(SEP)
A
E
Raciocínio válido
Todo S é P
Nenhum S é P
(SAP)
(SEP)
A
E
Superalternação
Subalternação
I
O
I
O
Algum S é P
(SIP)
Algum S não é P
(SOP)
Algum S é P
(SIP)
Algum S não é P
(SOP)
A
I (válida)
Se alguém diz “todos os convidados estão presentes”, logo, “algum convidado está presente”, está utilizando uma superalternação entre as proposições (A I). O raciocínio é claramente válido e decorre da seguinte regra:
Da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da verdade das partes não podemos inferir pela verdade do todo.
A (indeterminada)
I
Se alguém diz “algum convidado está presente” e conclui que “todos
os convidados estão presentes”, está utilizando uma subalternação (I A).
Nesse caso, o raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar que todos os
convidados estão presentes apenas porque algum convidado está presente.
Dessa forma, ocorre uma indeterminação, já que não se pode afirmar que é
verdadeiro ou que é falso que “todos os convidados estão presentes” com
base em “algum convidado está presente”.
E
O (válida)
Se alguém diz “nenhum convidado está presente” e conclui que “algum
convidado não está presente”, está utilizando uma superalternação entre as
proposições (E O). O raciocínio é válido, pois se nenhum convidado está
presente, certamente algum convidado não está presente.
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Diagramas lógicos
O
E (indeterminada)
Se alguém diz “algum convidado não está presente” e conclui que
“nenhum convidado está presente”, está utilizando uma subalternação entre
as proposições (O E). O raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar
que nenhum convidado está presente apenas porque algum convidado não
está presente. Nesse caso, ocorre uma indeterminação, pois não se pode afirmar que é verdadeiro ou que é falso que “nenhum convidado está presente”
com base em “algum convidado não está presente”.
Assim, nas proposições superalternas, o raciocínio é válido e se pode concluir qual é o valor lógico único da conclusão. Já nas proposições subalternas, o raciocínio é inválido e a conclusão é indeterminada, pois não se pode
determinar o respectivo valor lógico dessa conclusão.
Para destacar, se dissermos que “algum A é B” é verdadeira, a proposição
“todo A é B” será verdadeira ou será falsa?
Temos aí uma proposição indeterminada, pois fica impossível determinar
um valor verdadeiro ou falso.
Observação:
A verificação da validade de argumentos categóricos pode ser efetuada por meio de regras gerais de inferências, de premissas e de termos. Não
convém aqui citá-las, pois a análise dessas regras pode ser substituída pela
análise de diagramas. Utilizando apenas diagramas temos uma forma rápida
e eficiente para testar os argumentos categóricos.
Diagramas lógicos
Os diagramas utilizados na Teoria dos Conjuntos são importantes para
testar a validade de argumentos categóricos. Cada diagrama se baseia num
dos quatro tipos de proposições categóricas (A, E, I, O).
Observe as ilustrações a seguir:
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Diagramas lógicos
Tipo
Qualidade
Extensão
Proposição
Diagramas
P
S
A
Afirmativa
Universal
Todo S é P
S
E
I
O
Negativa
Afirmativa
Negativa
Universal
P
Nenhum S é P
Particular
Particular
S
P
S
P
Algum S é P
Algum S não é P
Exemplos:
Todos os advogados são honestos. (A)
Advogados
Honestos
Nenhum advogado é honesto. (E)
Advogados
Honestos
Algum advogado é honesto ou existem advogados que são honestos. (I)
Advogados
Honestos
Advogados honestos
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Diagramas lógicos
Algum advogado não é honesto ou existem advogados que não são
honestos. (O)
Advogados
Honestos
Advogados não honestos
Quando um sujeito s tiver certa propriedade S, diremos que s S. Caso
s não tenha a propriedade S, escreveremos s S. Assim, por exemplo, nas
proposições “João é médico” e “Carlos não é médico”, podemos ilustrar João
como um elemento do conjunto dos médicos, mas Carlos não:
Médicos
João
Carlos
A utilização de diagramas é útil, pois permite visualizar as premissas e a
conclusão, permitindo verificar a validade de um argumento.
A seguir, analisaremos cada tipo de proposição categórica, relacionado-a
com a teoria dos conjuntos, com as proposições lógicas e com a lógica de
predicados (em que se faz o uso de quantificadores).
Todo S é P. (A)
Quando dizemos, por exemplo, que um conjunto S está contido em um
conjunto P, significa que a proposição “todo elemento de S é elemento de
P” é verdadeira.
Em símbolos de conjuntos: S
Na lógica proposicional: x S
P
x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x)
P(x)) ou (~ x), (S(x) ~P(x))
S
P
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Diagramas lógicos
Nenhum S é P. (E)
Se um conjunto S não tem elemento em comum com um conjunto P,
significa que qualquer elemento que pertence a S certamente não pertence
a P. Nesse caso, dizemos que S e P são conjuntos disjuntos.
Em símbolos de conjuntos: S
Na lógica proposicional: x S
P=
x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou (~ x), (S(x) P(x))
S
P
Algum S é P. (I)
Se algum elemento de S é elemento de P, então existe pelo menos um
elemento que pertence simultaneamente a S e a P. Nesse caso, a intersecção
entre S e P não é vazia, pois existe pelo menos um elemento no conjunto
S P.
Em símbolos de conjuntos: S
P≠
Na lógica proposicional: x, x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou ~( x), (S(x) ~P(x))
S
P
S P
Algum S não é P. (O)
Se algum elemento de S não é elemento de P, então existe pelo menos
um elemento que não pertence simultaneamente a S e a P. A consequência
disso é a de que S não está contido em P. O conjunto formado pelos elementos de S que não pertencem a P é representado por S – P.
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Diagramas lógicos
Em símbolos de conjuntos: S
P
Na lógica proposicional: x, x S x P
Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou ~( x), (S(x)
S
P(x))
P
S-P
Observação:
O conjunto formado pelos elementos que pertencem a S ou a P (ou a
ambos) é o conjunto “S união P”, representado por S P.
S P
S
S-P
P
S P
P-S
Se for verdadeiro que “todo S é P” e que “todo P é S”, então S
Nesse caso, os conjuntos S e P são iguais, ou seja, S = P.
PeP
S.
Silogismos categóricos
Um silogismo é um argumento composto de duas premissas e uma conclusão. Um silogismo categórico é um argumento composto por três proposições categóricas nas quais existem exatamente três termos; cada um dos
quais ocorre precisamente em duas das três proposições.
Uma das maneiras de verificar a validade ou não de um silogismo categórico é “visualizar” cada um dos predicados (conjuntos que satisfazem determinada condição). Se a conclusão do argumento for necessariamente verdadeira, supondo como verdadeira cada uma das premissas, o argumento é
considerado válido, correto ou legítimo. Caso contrário, é inválido, incorreto
ou ilegítimo.
Observe alguns exemplos de silogismos categóricos.
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Diagramas lógicos
Exemplo 1:
Todos os músicos são talentosos. ................. Premissa 1
Todos os talentosos são exóticos. ................. Premissa 2
Todos os músicos são exóticos. ..................... Conclusão
Exóticos
Talentosos
Músicos
De acordo com os diagramas, o argumento é válido.
Os termos que determinam as categorias “músicos”, “talentosos” e “exóticos” aparecem em exatamente duas das três proposições do argumento. Isso
é o que caracteriza um silogismo categórico.
Exemplo 2:
Todos os artistas são criativos. .................... Premissa 1
Existem homens que são artistas. ............. Premissa 2
Existem homens criativos. ............................ Conclusão
Criativos
Artistas
Homens
O argumento é válido, pois a conclusão é necessariamente verdadeira.
Observe que os predicados “artistas”, “criativos” e “homens” aparecem em
exatamente duas das três proposições do argumento. Trata-se, portanto, de
um silogismo categórico.
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Diagramas lógicos
Exemplo 3:
Nenhum fanático é religioso. ...................... Premissa 1
Existem homens que são religiosos........... Premissa 2
Existem homens que são fanáticos............ Conclusão
Fanáticos
Religiosos
Homens
O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente
verdadeira.
Observe que, supondo como verdadeiro que alguns homens são religiosos e que nenhum fanático é religioso, não há a garantia de que exista algum
homem que seja fanático.
Exemplo 4:
Nenhum fanático é religioso. ............................... Premissa 1
Existem homens que são religiosos. ................. Premissa 2
Existem homens que não são fanáticos. ......... Conclusão
Fanáticos
Religiosos
Homens
O argumento é válido. A conclusão é necessariamente verdadeira.
Pelos diagramas fica claro que se existem homens religiosos e nenhum
fanático é religioso, necessariamente alguns homens (religiosos) não são
fanáticos.
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Diagramas lógicos
Exemplo 5:
Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1
Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2
Existem animais que são sábios. ........................ Conclusão
Introvertidos
Sábios
Animais
O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.
Observe que mesmo que todos os sábios sejam introvertidos e que existam
animais que sejam introvertidos, pode ocorrer que nenhum animal seja sábio.
Exemplo 6:
Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1
Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2
Existem animais que não são sábios. ................ Conclusão
Introvertidos
Sábios
Animais
O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente verdadeira.
A ilustração é uma das possíveis configurações que se pode construir a
partir da suposição da veracidade das premissas. Analisemos cada uma das
premissas e a conclusão para explicar porque o argumento é inválido.
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Diagramas lógicos
Premissa 1: Todos os sábios são introvertidos.
Essa proposição categórica possui o quantificador universal “todos”. Dessa
forma, deve-se destacar o conjunto dos sábios como subconjunto do conjunto dos introvertidos. Nenhuma outra possibilidade de ilustração é viável
a partir da veracidade dessa premissa.
Premissa 2: Existem animais que são introvertidos.
Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”.
Assim, não é possível se garantir a exata relação entre os diagramas dos
conjuntos “animais” e “introvertidos”. A ilustração deve destacar que há intersecção entre os conjuntos “animais” e “introvertidos”, mas nada impede que
possamos ilustrar o conjunto “animais” como subconjunto de “introvertidos”.
A premissa não é contrariada nessa situação.
Conclusão: Existem animais que não são sábios.
Inicialmente, observe que quando colocamos o conjunto “animais” como
subconjunto de “introvertidos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão
possa ser falsa, uma vez que, na ilustração apresentada, todos os animais são
sábios.
Lembre-se sempre que o argumento só é válido quando a conclusão é
necessariamente verdadeira. Se houver alguma possibilidade de a conclusão
ser falsa, mesmo mantendo a veracidade de cada uma das premissas, deve-se classificar o argumento como inválido.
Exemplo 7:
Nenhum lógico é louco. ................................ Premissa 1
Existem bichos que são loucos. .................. Premissa 2
Existem lógicos que não são bichos. ........ Conclusão
Bichos
Lógicos
Loucos
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Diagramas lógicos
O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.
Mais uma vez, observe atentamente que a ilustração é uma das possíveis configurações que se pode construir, supondo que as premissas sejam
verdadeiras. Vamos analisar as premissas e a conclusão para constatar que o
argumento é falacioso.
Premissa 1: Nenhum lógico é louco.
Essa proposição categórica possui o quantificador universal “nenhum”.
Assim, o conjunto “lógicos” tem intersecção vazia com o conjunto “loucos”,
não existindo outra possibilidade em relação aos conjuntos.
Premissa 2: Existem bichos que são loucos.
Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”.
Logo, não é possível se garantir a exata relação entre os conjuntos “bichos”
e “loucos”. A ilustração deve destacar que há intersecção entre os conjuntos “bichos” e “loucos”. Isso não impede que ilustremos o conjunto “lógicos”
como subconjunto de “bichos”. A premissa não é contrariada nessa situação.
Conclusão: Existem lógicos que não são bichos.
Observe que ao colocarmos o conjunto “lógicos” como subconjunto de
“bichos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão possa ser falsa, pois, na
ilustração apresentada, todos os lógicos são bichos.
Mais uma vez lembremos que um argumento é válido apenas quando a
conclusão é necessariamente verdadeira. Como nesse caso existe a possibilidade de a conclusão ser falsa, sem que isso contrarie qualquer premissa,
concluímos que o argumento é inválido.
Validade de silogismos categóricos
pelo método de Venn
Para determinar se um típico silogismo categórico é válido ou não, existe
um método elaborado pelo matemático John Venn (1834-1923) que consiste em se representar as premissas e a conclusão em três diagramas que se
interceptam dois a dois. Pelo método, analisando os diagramas, as premissas
e a conclusão do argumento pode-se verificar se o argumento é válido.
Considerando que os três termos de um silogismo categórico são representados pelas letras S, M e P, observe a seguinte ilustração:
180
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Diagramas lógicos
S
P
M
Como os três diagramas (S, M e P) interceptam-se dois a dois, podemos
identificar oito diferentes regiões que determinam oito distintas classes.
S
P
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP
SMP
M
Os símbolos e os correspondentes significados de cada uma dessas regiões
é o seguinte:
SMP: Elementos pertencentes a S e a P e a M.
SMP: Elementos pertencentes a S e a M, mas não a P.
SMP: Elementos pertencentes a S e a P, mas não a M.
SMP: Elementos pertencentes a M e a P, mas não a S.
SMP: Elementos pertencentes a S, mas não a M, nem a P.
S MP: Elementos pertencentes a P, mas não a S, nem a M.
SMP: Elementos pertencentes a M, mas não a S, nem a P.
S MP: Elementos que não pertencem a S, nem a M, nem a P.
Observe que o traço acima da letra que representa um conjunto indica
que o elemento considerado não pertence a esse conjunto. Ainda, em vez de
181
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Diagramas lógicos
utilizar a barra acima da letra que representa um dado conjunto, poderíamos
também representar utilizando a notação de conjunto complementar. Por
exemplo, o complementar do conjunto A representa-se por Ac.
Nos próximos exemplos, observe como é o procedimento de verificação
da validade de silogismos categóricos por meio do método de Venn.
Exemplo 1:
Todo homem é mortal. .................................................. Premissa 1
Existem homens que são esportistas. ...................... Premissa 2
Existem esportistas que são mortais. ....................... Conclusão
Inicialmente, construímos os diagramas, considerando H como conjunto
dos homens, M como conjunto dos mortais e E como conjunto dos esportistas. Em seguida, se, por exemplo, uma premissa indicar que uma determinada região é vazia, vamos sombrear a área correspondente para indicar que
na região sombreada não existe qualquer elemento.
A premissa 1 afirma que “todo homem é mortal”. Logo, devemos sombrear as regiões formadas pelas categorias HME e HME, pois essas regiões são
vazias se a premissa 1 for verdadeira.
H
M
HME
HME
E
A premissa 2 afirma que “existem homens que são esportistas”. A partir
dela, não podemos sombrear alguma região específica, mas podemos colocar um “X” na região que, necessariamente, não é vazia. Este “X” marcado
garantirá que existe pelo menos um elemento na região em que ele se encontra. Essa região é a que, de acordo com a premissa 1, não foi sombreada
e que está contida nos conjuntos H e E simultaneamente. Na figura a seguir,
o “X” indica que a premissa 2 é verdadeira.
182
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Diagramas lógicos
H
M
HME
HME
HME
X
E
A conclusão afirma que “existem esportistas que são mortais”. A presença de “X” na região comum a H, E e M, garante que existe pelo menos um
homem que seja mortal e esportista. Por isso, garante a veracidade de “existem esportistas que são mortais”. Logo, a conclusão é verdadeira e é consequência das premissas. Portanto, o argumento é válido.
H
M
HME
HME
HME
X
A presença de elementos
nesta região garante que
a conclusão é verdadeira.
E
Exemplo 2:
Nenhum homem é louco. .............................. Premissa 1
Existem bichos que são loucos. .................... Premissa 2
Existem homens que não são bichos. ........ Conclusão
De início, vamos construir os diagramas, considerando H como conjunto
dos homens, L como conjunto dos loucos e B como conjunto dos bichos. Em
seguida, de acordo com as premissas, devemos sombrear a área que indica
que a classe correspondente é vazia.
A primeira premissa afirma que nenhum homem é louco. Logo, a intersecção entre os conjuntos “homens” e “loucos” é vazia. Isso será representado
sombreando a região comum aos conjuntos “homens” e “loucos”.
183
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Diagramas lógicos
H
L
B
A segunda premissa afirma que “existem bichos que são loucos”. Assim,
colocaremos um “X” na região que é comum aos conjuntos “bichos” e “loucos”.
Isso identifica que a região que possui o “X” não é vazia.
H
L
X
B
A conclusão afirma que “existem homens que não são bichos”. Observe na
próxima ilustração que a região exclusiva do conjunto H, formada apenas pelos
elementos que são apenas homens, pode ser vazia. A consequência disso é
que todos os homens seriam bichos, o que tornaria a conclusão falsa.
H
L
Se esta região for vazia, todos
os homens serão bichos.
X
B
184
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Diagramas lógicos
Portanto, o argumento é inválido.
Observação:
Em geral, a utilização de diagramas de Venn na verificação da validade
de argumentos categóricos é eficiente nos casos em que o argumento é um
silogismo, ou seja, um argumento com duas premissas, uma conclusão e a
presença de três termos, cada um aparecendo duas vezes no argumento.
Entretanto, para argumentos com um maior número de premissas, a análise
tradicional, possibilidade por possibilidade, torna-se mais conveniente.
Ampliando seus conhecimentos
O próximo texto foi extraído do livro Lógica Elementar.
Lógica Antiga
(MATES, 1967, p. 257-260)
Se, com essas observações em mente, buscamos as origens de nossa ciência, poderemos dizer, sem rodeios, que a história da Lógica tem início com o
filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.). Embora, entre os historiadores, seja
quase um lugar comum afirmar que as grandes conquistas intelectuais nunca
se devem a uma pessoa apenas (Euclides utilizou-se, para fundar a geometria,
de resultados obtidos por Eudoxo e outros; quanto à mecânica, Newton pode
erguer-se sobre os ombros de Descartes, Galileu e Kepler; e assim por diante),
Aristóteles, segundo todas as evidências ao nosso alcance, criou a ciência
lógica inteiramente ex nihilo. Com uma franqueza que desarma, ele próprio
nos diz isso, em passagem ao fim das Refutações aos Sofistas, e não há motivo
para duvidar da precisão de seu relato. Muitos estudiosos afirmaram, apoiados em argumentos a priori, que tal ato de criação é impossível e lançaram-se
ao exame das obras dos predecessores de Aristóteles, especialmente Platão,
procurando encontrar pelo menos o germe da lógica aristotélica. A busca foi
inteiramente infrutífera; em razão, porém, de confusões de que demos notícia
nos dois parágrafos, tem-se por vezes afirmado o contrário.
Os escritos de Aristóteles a propósito da Lógica contêm-se num conjunto
de tratados que épocas posteriores vieram a denominar Organon. Reúnem-se nele seis obras: as Categoriae, De Interpretatione, Analytica Priora, Analyti-
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Diagramas lógicos
ca Posteriora, Tópicos e Refutações aos Sofistas (os títulos provavelmente não
foram dados por Aristóteles e são pouco indicativos do conteúdo). Impressos,
eles correspondem a um volume de várias centenas de páginas, mas a silogística, ou teoria do silogismo, que é o núcleo essencial da lógica aristotélica,
vem exposta em poucas páginas, ao começo da Analytica Priora. O mais que
se inclui no Organon diz respeito, em maior porção, a tópicos estranhos ao
campo da Lógica, embora passagens ocasionais esclareçam a terminologia
utilizada na silogística ou proporcionem outras informações úteis.
Antes de nos adiantarmos, importa anotar, entre parênteses, que o leitor
de Aristóteles não deve perder de vistas as vicissitudes a que os escritos de
Aristóteles estiveram sujeitos ao longo dos 23 séculos de sua história. Houve
mutilação de trechos, notas marginais de comentadores foram incluídas no
texto, alterou-se a ordem dos livros e capítulos, perderam-se parágrafos inteiros e obras espúrias surgiram – e tudo isso além dos erros por omissão, duplicação e substituição normalmente cometidos pelos copistas. O lógico dado à
leitura de Aristóteles deverá também acautelar-se contra a pouca importância
por ele atribuída à distinção uso-menção. Locuções da forma “toda A é B” e “A
está incluído em B” são usadas indiferentemente por locuções da forma “B é
predicado de todo A” e “B pertence a todo A”; com efeito, a certa altura, o autor
diz redondamente: “pois é o mesmo uma primeira coisa ser incluída como um
todo em outra e esta outra ser predicada de toda a primeira”. Assim, nas Categoriae, nos deparamos com a seguinte afirmação:
Sempre que uma coisa é predicado de outra, que é sujeito, tudo que é predicado do predicado é também predicado do sujeito, e.g. homem é predicado
de homem específico, e animal, de homem; assim, animal será também predicado de um homem específico.
Se propusermos a questão de saber se, nesse passo, Aristóteles está se
referindo a palavras ou coisas ou tanto a umas quanto a outras, estaremos
provavelmente fazendo uma pergunta sem resposta; isso não quer dizer, naturalmente, que não tenha conteúdo o que ele afirma.
Silogismo, segundo Aristóteles, é uma parte do discurso na qual, sendo
postas certas coisas, delas decorrem outras, necessariamente. Essa definição
poderia levar a supor que Aristóteles usa o termo “silogismo” como equivalente aproximado de “argumento válido”, mas, na verdade, o alcance que lhe
empresta é muito mais restrito. Próximo ao começo da Analytica Priora, ele re-
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Diagramas lógicos
laciona as espécies de sentença que podem ser integrantes de um silogismo.
E nos diz que toda premissa ou conclusão é afirmativa ou negativa, segundo
afirme ou negue algo a propósito de algo. Classificam-se as sentenças em universais, particulares ou indefinidas: uma sentença universal assevera que algo
pertence a todo ou a nenhum outro algo; uma sentença particular assevera
que algo pertence ou não a algum ou a não todo algo diverso; e, por fim, uma
sentença indefinida assevera, sem fazê-lo em geral nem em particular, que
algo pertence a algo, e.g., que o prazer não é um bem. Na prática, as sentenças indefinidas são ignoradas por Aristóteles; razão para isso, de acordo com
os comentadores, está em que elas “equivalem” a correspondentes sentenças particulares. Seja como for, as componentes do silogismo aristotélico são
sempre sentenças universais ou particulares e afirmativas ou negativas; isto
é, recorrendo a exemplos do próprio Aristóteles, são sentenças como “Todo
homem é branco” e “Nenhum homem é branco”, “Alguns homens são brancos”
e “Nem todos os homens são brancos”, sentenças posteriormente designadas
como das formas A, E, I ou O, respectivamente. Expressões como “homem” e
“branco” são chamadas termos. A teoria do silogismo nada diz a propósito
de sentenças singulares, como “Sócrates é branco”, embora sentenças desse
tipo hajam desempenhado papel relevante em descrições da chamada Lógica
Tradicional.
Nem todo argumento composto de sentenças A, E, I ou O é um silogismo, mas apenas aqueles que apresentam exatamente duas premissas e uma
conclusão e envolvem, no máximo, três termos. Assim, as duas premissas tem
sempre um termo em comum, pelo menos, e esse é o chamado termo médio.
O predicado da conclusão é o termo maior e o sujeito da conclusão é o termo
menor.
No tratado De Interpretatione, Aristóteles menciona algumas das relações
lógicas existentes entre as sentenças A, E, I ou O que tenham os mesmos
termos como sujeito e predicado. As sentenças A e O são contraditórias, assim
como o são as E e I; de cada par de contraditórias, diz ele, uma é verdadeira. A
e E são chamadas contrárias; as contrárias não podem ser ambas verdadeiras,
mas ambas podem ser falsas. Essas relações e outras foram, mais tarde, representadas esquematicamente no Quadrado de Oposição, figura encontradiça
em quase todos os textos de Lógica Tradicional e que primeiro apareceu no
comentário que Apuleio de Madauros (século II a. C.) escreveu a propósito de
De Interpretatione.
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Diagramas lógicos
Aristóteles inicia sua exposição dedutiva da teoria estabelecendo assim as
chamadas leis de conversão que, posteriormente, usa para “reduzir” uma espécie de silogismo a outra. Diz ele que a sentença negativa universal se converte em negativa universal; por exemplo, se nenhum prazer é um bem, então
nenhum bem será prazer. As sentenças afirmativas particulares e universais
convertem-se em afirmativas particulares; por exemplo, se todo prazer é um
bem ou se algum prazer é um bem, então algum bem é prazer. A negativa
particular não se converte; não é o caso de se algum animal não é homem,
então algum homem não é animal. Aristóteles formula essas leis valendo-se
de variáveis:
Se A pertence a não B, então B não pertence a nenhum A.
Se A pertence a todos os B, então B pertencerá a algum A.
Se A pertence a algum B, então B pertencerá a algum A.
Essa foi a primeira vez em que se fez o uso claro de variáveis em ciência.
Atividades de aplicação
1. Classifique as proposições categóricas de acordo com a qualidade e a
extensão:
a) Todo animal é carnívoro.
b) Nenhum homem é cristão.
c) Alguns macacos latem.
d) Algumas ruas não são públicas.
e) Existem praias poluídas.
f) Existem motoristas sem carteira.
2. Considere a proposição categórica “Todo homem é mortal”. Escreva as
correspondentes proposições: contraditória, contrária e superalterna.
3. Se for verdade que todos os alunos são estudiosos, então é necessariamente verdadeiro que:
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Diagramas lógicos
a) Nenhum aluno é estudioso?
b) Alguns alunos são estudiosos?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
4. Se for verdade que nenhum aluno é estudioso, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Alguns alunos são estudiosos?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
5. Se for verdade que alguns alunos são estudiosos, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Nenhum aluno é estudioso?
c) Alguns alunos não são estudiosos?
6. Se for verdade que alguns alunos não são estudiosos, então é necessariamente verdadeiro que:
a) Todos os alunos são estudiosos?
b) Nenhum aluno é estudioso?
c) Alguns alunos são estudiosos?
7. Escreva a sentença que nega cada uma das proposições categóricas
abaixo:
a) Todos os marujos estão no navio.
b) Nenhum marujo está no navio.
c) Alguns marujos estão no navio.
d) Alguns marujos não estão no navio.
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Diagramas lógicos
8. Considere o silogismo categórico a seguir.
Nenhuma árvore é nativa. ......................................Premissa 1
Nenhum nativo é homem. ..................................... Premissa 2
Nenhuma árvore é homem. ................................... Conclusão
Resolva o que se pede:
a) Construa diagramas e verifique se o argumento é válido pelo método tradicional.
b) Verifique se o argumento é válido pelo método de Venn.
9. (Vunesp-adap.)Marque um “X” nos argumentos em que ocorre uma
conclusão verdadeira (real) e o argumento inválido.
( ) Raulino é homem e todo homem é mortal, portanto Raulino é
mortal.
( )Toda a pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser e todo ser
é homem.
( )Todo cachorro mia e nenhum gato mia, portanto cachorros não
são gatos.
( )Todo o pensamento é um raciocínio, portanto todo o pensamento
é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.
( )Toda cadeira é um objeto e todo objeto tem cinco pés, portanto
algumas cadeiras têm só quatro pés.
10.Verifique a validade do argumento categórico:
Existem mariscos que são tóxicos.
Existem tóxicos que são úteis.
Logo, existem mariscos que são úteis.
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Diagramas lógicos
Referências
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2003. 203 p.
ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores).
_____. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores).
BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982.
127 p.
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel,
1986. 158 p.
DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
102 p.
KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis:
Vozes, 2000. 179 p.
KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janeiro, 1978. 353 p.
LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos,
1984. 207 p.
LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.
LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p.
MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e funções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.
_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a
Matemática).
MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.
MATES, Benson. Lógica Elementar. Tradução de: HEGENBERG, Leônidas H. B.;
MOTA, Octanny Silveira da. São Paulo: Nacional/ USP, 1967. 298 p.
191
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Diagramas lógicos
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes,
1997. 174 p.
OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.
SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.
_____. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica – elementos da Lógica Formal e Teoria
da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p.
TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.
192
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Diagramas lógicos
Gabarito
1.
a) Extensão: universal.
Qualidade: afirmativa.
b) Extensão: universal.
Qualidade: negativa.
c) Extensão: particular.
Qualidade: afirmativa.
d) Extensão: particular.
Qualidade: negativa.
e) Extensão: particular.
Qualidade: afirmativa.
f) Extensão: particular.
Qualidade: negativa (a palavra “sem” indica negação).
2. Proposição: “Todo homem é mortal”.
Contraditória: “Algum homem não é mortal”.
Contrária: “Nenhum homem é mortal”.
Superalterna: “Algum homem é mortal”.
3. Observe a ilustração que destaca a proposição “todos os alunos são
estudiosos”:
Estudiosos
Alunos
A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:
193
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Diagramas lógicos
a) Não, pois todo aluno é estudioso.
b) Sim, pois se todo aluno é estudioso, algum aluno é estudioso.
c) Não, pois todo aluno é estudioso.
4. Observe a ilustração que destaca a proposição “nenhum aluno é estudioso”:
Alunos
Estudiosos
A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois nenhum aluno é estudioso.
b) Não, pois nenhum aluno é estudioso.
c) Sim, pois se nenhum aluno é estudioso, então alguns alunos não
são estudiosos.
5. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da proposição “alguns alunos são estudiosos”:
Alunos
Estudiosos
Estudiosos
Alunos
A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos
que não sejam estudiosos.
b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos
que sejam estudiosos.
c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que todos os alunos
sejam estudiosos.
194
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Diagramas lógicos
6. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da proposição “alguns alunos não são estudiosos”:
Alunos
Estudiosos
Alunos
Estudiosos
A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:
a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos
que não sejam estudiosos.
b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos
que sejam estudiosos.
c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que nenhum aluno
seja estudioso.
7.
a) Alguns marujos não estão no navio.
b) Alguns marujos estão no navio.
c) Nenhum marujo está no navio.
d) Todos os marujos estão no navio.
8.
a) Sejam A: conjunto das árvores, N: conjunto dos nativos e H: conjunto dos homens. Observe uma possível ilustração de tais conjuntos:
195
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Diagramas lógicos
N
H
A
De acordo com as premissas, não existem elementos comuns aos
conjuntos A e N, e, também, aos conjuntos N e H. Mas isso não impede que existam elementos comuns aos conjuntos A e H. Logo,
a conclusão “nenhuma árvore é homem” pode ser verdadeira ou
pode ser falsa. Assim, a conclusão não está garantida na hipótese
das premissas serem verdadeiras e, portanto, o argumento não é
válido.
b) Em primeiro lugar, devemos representar os três conjuntos (A, N e H)
em diagramas, com intersecções dois a dois. Em seguida, analisar
as premissas. A premissa 1 afirma que “nenhuma árvore é nativa”,
logo devemos sombrear as regiões ANH e ANH, pois tais regiões
são vazias na hipótese da premissa 1 ser verdadeira.
A
N
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
H
ANH
A premissa 2 afirma que “nenhum nativo é homem”. Logo, as regiões
ANH e ANH devem ser sombreadas, pois são vazias.
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Diagramas lógicos
A
N
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
ANH
H
A conclusão “nenhuma árvore é homem” afirma que os conjuntos
A e N não têm elementos comuns. A parte comum aos conjuntos A
e N é formada pelas regiões ANH e ANH. A região ANH é vazia, pois
foi sombreada. Mas a região ANH pode não estar vazia, pois não foi
sombreada. Como a região da conclusão do argumento não foi inteiramente sombreada e, nesse caso, deveria ser inteiramente sombreada, concluímos que o argumento não é válido.
9. Analisando cada argumento, temos:
a)
( ) Raulino é homem. ............................ Premissa 1
Todo homem é mortal. ....................... Premissa 2
Raulino é mortal. ................................... Conclusão
Mortais
Homens
Raulino
No sentido real, a conclusão “Raulino é mortal” é verdadeira. Além
disso, de acordo com a ilustração anterior, o argumento é válido.
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Diagramas lógicos
b)
( ) Alguma pedra é um ser. ......................... Premissa 1
Todo ser é homem. ....................................... Premissa 2
Toda pedra é um homem. .......................... Conclusão
Homens
Seres
Pedras
O diagrama mostra que, mesmo que alguma pedra seja um ser e
mesmo que todo ser seja homem, pode ocorrer de existirem pedras que não são homens. Logo, o argumento é inválido. A conclusão “toda pedra é um homem” é, no sentido real, evidentemente
falsa.
c)
( ) Todo cachorro mia. .................................. Premissa 1
Nenhum gato mia. ........................................ Premissa 2
Cachorros não são gatos. ........................... Conclusão
Animais que
miam
Gatos
Cachorros
De acordo com a ilustração, o argumento é válido. No sentido real,
a conclusão “cachorros não são gatos” é verdadeira.
d)
( ) Todo o pensamento é um raciocínio. ................ Premissa 1
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Diagramas lógicos
Todos os raciocínios são movimentos. .................. Premissa 2
Todo o pensamento é um movimento. ................. Conclusão
Movimentos
Raciocínios
Pensamentos
O argumento é válido. Embora não esteja clara a extensão do significado da palavra “movimento”, no sentido real a conclusão pode
ser considerada verdadeira.
e)
( X ) Toda cadeira é um objeto. ................................. Premissa 1
Todo objeto tem cinco pés. ....................................... Premissa 2
Algumas cadeiras têm só quatro pés. .................... Conclusão
Cinco pés
Objetos
Cadeiras
Da ilustração, conclui-se que todas as cadeiras têm cinco pés. A partir disso, concluímos ser falsa a afirmação de que “algumas cadeiras têm só quatro pés”. Portanto, o argumento é inválido. A questão
solicitava que marcássemos o argumento inválido, cuja conclusão,
na realidade, é verdadeira. Observe que, no sentido real, entretanto, quando dizemos que “algumas cadeiras têm só quatro pés”, tal
conclusão é verdadeira. Ou seja, mesmo que existam cadeiras com
menos que quatro pés ou mais que quatro pés, no sentido real devemos admitir que existem cadeiras que têm só quatro pés.
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Diagramas lógicos
10.Observe como podemos organizar os diagramas a partir das premissas consideradas verdadeiras:
marisco
tóxicos
úteis
Mesmo que existam mariscos que sejam tóxicos e que existam tóxicos
que sejam úteis, não é necessariamente verdadeiro que existam mariscos que sejam úteis. Portanto, o argumento é inválido.
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