MÁTEMÁTICA
SUMÁRIO
1- Conjuntos Numéricos
2- Potenciação
3- Sistemas de Unidades
4- Perímetro e Área de Figuras Planas
5- Geometria Espacial
6- Equação do 1º Grau
7- Inequação do 1º Grau
8- Função do 1º Grau
9- Equação do 2º Grau
10- Inequação do 2º Grau
11- Função do 2º Grau
12- Sistema de Equações do 1º Grau
13- Estatística
14- Porcentagem
15- Juros Simples
16- Compostos
17- Razões
18- Proporções
19- Regra de Três Simples e Composta
20- Progressões Aritméticas e Geométricas
21- Sequencia Numérica
22- Exercícios Resolvidos
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais (IN)
IN: {0,1,2,3,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN.
1.
2. Conjunto dos números inteiros (Z)
Z= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4...}
Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o
gráfico abaixo:
3. Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração
(com o numerador e denominador  Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a
união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Exemplos:
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém
dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
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Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
4. Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que
não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de
números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número p =3,1415926535...
 Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto
dos números reais como:
O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números
reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
 Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
 Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos
números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os
números
p
e
q
são
os
limites
do
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é
dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS
REPRESENTAÇÃO
INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x  R; p  x  q} inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x  R; p  x 
q}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO
A ESQUERDA
[p;q) = { x  R; p  x 
q}
inclui p e exclui q
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OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO
À DIREITA
(p;q] = {x  R; p  x 
q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMIFECHADO
[p; ) = {x  R; x  p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMIFECHADO
(-  ; q] = { x  R; x  q} valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMIABERTO
(- ; q) = { x  R; x  q} valores menores do que q.
INTERVALO SEMIABERTO
(p;  ) = { x  p }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R)
pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - ; +  )
Operações com números inteiros
I)
Adição e subtração
a) Sinais iguais:
Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.
b) Sinais diferentes:
Diminui-se e dá-se o sinal do maior.
II)
Multiplicação e divisão
+ +=+
- +=+ -=- - =+
Algumas regras básicas
Ao resolvermos expressões numérica devemos obedecer algumas regras básicas
em relação a ordem de resolução:
Quando possuir os seguintes símbolos:
  ,   e  , obrigatoriamente nessa ordem.
Em relação às operações:
Potenciação - Multiplicação - Divisão - Soma e Subtração, na ordem que aparecem.
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Potenciação
A x = B, onde:
A= base;
x= expoente;
B= potência.
Casos especiais
X1 = X
1x=1
0x =0
X0 = 1
Regras:
1. Expoente par = resultado positivo, se a base estiver dentro de parênteses.
2. Expoente ímpar = repete-se o sinal da base.
Propriedades:
1. a m . a n = a m  n
am
2.
= a m n
an
n
3.  a m  = a m.n


x
4.  a m .b n  = a m.x . b n.x


x
 am 
a m.x


5.
=
 n 
a n.x
a


1
6. a  m =
am
Potência de Dez
Na prática, escrevemos o valor de uma grandeza como um número
compreendido entre 1 e 10, multiplicado pela potência de 10 conveniente.
Quando representamos o número desta forma, dizemos que está em notação
científica.
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1º caso: um número muito maior que 1:
136 000 = 1,36 . 10 5
5 casas
Exemplos:
1)2 000 000 = 2 . 10 6
2)33 000 000 000 = 3,3 . 10 10
3)547 800 000= 5,478 . 10 8
O expoente do dez indica o número de vezes que devemos
deslocar a vírgula para a esquerda.
2º caso: um número muito menor que 1.
0,000000412 = 4,12 . 10  7
7 casas
Exemplos:
1)0,0034 = 3,4 . 10  3
2) 0,0000008 = 8 . 10  7
3) 0,0000000000517 = 5,17 . 10 11
O expoente negativo do dez indica o número de vezes que devemos deslocar a vírgula
para a direita.
Sistemas de Unidades
1. Unidades de Medida de Comprimento
A variação se dá através da multiplicação ou divisão por 10 ao passar de uma
casa a outra, obviamente quando se reduz a unidade(como no caso de hm
para dam) para manter a mesma distância precisa multiplicar por 10 o número.
Já quando se eleva a unidade(de m para dam por exemplo), é necessário
reduzir o número, divindo-o por 10.
Funciona da mesma forma que o dinheiro. Se há 100 reais, não é possível
trocá-los por 100 euros, mas apenas por 40 euros. Devido a cotação do euro
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ser bem maior que a do real.
Quilômetro -> km = 1000m
Hectômetro -> hm = 100m
Decâmetro -> dam = 10m
Metro -> m
Decímetro -> dm = 1/10m
Centímetro -> cm = 1/100m
Milímetro -> mm = 1/1000m
Uma outra forma algumas vezes cobrada é a milha marítima, que equivale a
1852 m.
2. Unidade de Medidas de Área
Funciona da mesma forma que as unidades de distância, porém com o
diferencial de como ser elevado ao quadrado a multiplicação e a divisão devem
ser realizada por 100.
Quilômetro quadrado -> km² = 1.000.000m²
Hectômetro quadrado -> hm² = 10.000m²
Decâmetro quadrado -> dam² = 100m²
Metro quadrado -> m²
Decímetro quadrado -> dm² = 1/100m²
Centímetro quadrado -> cm² = 1/10.000m²
Milímetro quadrado -> mm² = 1/1.000.000m²
Sistema de Medidas de Áreas Rurais
Hectare -> ha 100a
Are -> a
Centiare -> ca 1/100a
Transformando área urbana em área rural ou o contrário.
1 ha = 1 hm²
1 a = 1 dam²
1 ca = 1 m²
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3. Unidades de Medida de Volume
Similar aos anteriores, mas por 1000. Quilômetro Cúbico -> km³
1/1.000.000.000 m³
Hectômetro Cúbico -> hm³ 1.000.000 m³
Decâmetro Cúbico -> dam³ - 1.000 m³
Metrocúbico Cúbico -> m³
Decímetro Cúbico -> dm³ = 1/1.000 m³
Centímetro Cúbico -> cm³ = 1/1.000.000 m³
Milímetro Cúbico -> mm³ 1/1.000.000.000 m³
Litro: similar aos anteriores, mas por 10.
Quilolitro -> kl = 1.000 l
Hectolitro -> hl = 100 l
Decalitro -> dal 10 l
Litro -> l
Decilitro -> dl = 1/10 l
Centilitro -> cl 1/100 l
Mililitro -> ml 1/1000 l
Decastério -> dast = 10 st
Estéreo (madeira) -> st
Decistério -> dst = 1/10 st
Transformação entre os sistemas.
1 litro = 1dm³
1 st = 1 m³
Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal
Grandez Fato
a
r
Capacidade Litro
10
Medida de
Unidad
e
Múltiplos
Submúltiplos
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Volume
Metro
1000
Cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Área
Metro
Quadrad 100
o
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Comprimen
to
Metro
10
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Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação
pelo fator multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida),
assim como as setas que apontam para a esquerda indicam uma divisão
também pelo fator.
A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é
realizada multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão,
dependendo da unidade original estar à esquerda ou à direita da unidade a que
se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o número de níveis de uma
unidade a outra.
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida
Exemplo 1 - Converta 2,5 metros em centímetros
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque
na tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois
para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para
centímetros:
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Portanto:
2,5 m é igual a 250 cm
Exemplo 2 - Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto:
150.000 cl equivalem a 15 hl
Exemplo 3 - Quantos quilometros cúbicos equivalem a 14 mm3?
Para passarmos de milímetros cúbicos para quilometros cúbicos,
passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:
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Portanto:
0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação
científica equivalem a 14 mm3.
Exemplo 5 - Passe 50 dm2 para hectometros quadrados
Para passarmos de decímetros quadrados para hectometros quadrados,
passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto:
50 dm2 é igual a 0,00005 hm2
Equivalência entre medidas de volume e medidas de capacidade
Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta
equivalente a 1 l.
Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l.
Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1
ml.
1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 é equivalente a 1.000 l, que
equivalem a 1 kl.
Exemplo 1 - Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a
decalitros, passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10
apenas uma vez:
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para
decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos
então 1 por 10 duas vezes:
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Portanto:
100 dal equivalem a 1 m3.
Exemplo 2 - 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para
obtermos o seu equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3
equivale a 0,348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma
unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos
dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes:
Logo:
348 mm3 equivalem a 0,00348 dl.
Unidades de Tempo
No Sistema Internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo
é s.
Além do segundo, as unidades de tempo mais usadas são o minuto, a hora, a
semana, o mês, o ano, e o século. Temos que:
v 1 minuto =60 segundos;
v 1 hora = 60 minutos ;
v 1 hora = 3.600 segundos;
v 1 mês comercial = 30 dias;
v 1 ano comercial = 360 dias;
v 1 ano civil = 365 dias.
Exemplo:
v Transforme 789 dias em anos, meses e dias:
Verificaremos quantos anos cabem em 789 dias:
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789dias
360
69dias
2 anos
em seguida verificaremos quantos meses cabem em 69 dias:
69dias
30
09dias
2 meses
Resposta: 2 anos, 2 meses e 9 dias.
v Transforme 2,325 anos em: anos, meses e dias:
2,325 a = 2 a + 0,325 a
2 a + 0,325 12meses
2 a + 3,9 meses
2 a + 3 meses + 0,9 meses
2 a + 3 meses + 0,9 30 dias
2 a + 3 meses + 27 dias
Resposta: 2 a + 3 meses + 27 dias
v Efetue a adição abaixo indicada:
2h
47min 18 s
3h
10min 51 s ( + )
5h
65min 69 s
Se 69 s = 1min + 9 s
Então fica:
5h
66min 09s
Se 66min = 1h + 6 min
Então fica:
6h
06min 09s
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Resposta: 6h 06min 09s
v Efetue a subtração abaixo indicada:
4h 26 min 12 s
2h 35 min 45 s ( – )
Como 12 é menor que 45, tomamos 1 minuto (60 segundos) emprestado dos
26 minutos.
Ficará então:
4h 25 min 72 s
2h 35 min 45 s ( – )
Como 25 minutos é menor que 35 minutos, tomamos 1h (60 minutos)
emprestado de 4h.
Ficará finalmente:
3h 85 min 72 s
2h 35 min 45 s ( – )
1h 50 min 27 s
Resposta: 1h 50 min 27 s
Perímetro e Área de Figuras Planas
PERÍMETRO
PERÍMETRO de um polígono é a soma de seus lados.
ÁREA DE UM POLÍGONO
ÁREA é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo
polígono.
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1. Retângulo
2. Paralelogramo
3. Trapézio
4. Triângulo
5. Losango
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6. Quadrado
Geometria Espacial
01. Cálculo de área de volume dos sólidos geométricos
a) Paralelepípedo
Área
A= 2(ab +ac+ bc)
c
b
a
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Volume
V = abc
b) Cubo (Hexaedro Regular)
Área
A= 6a2
a
Volume
V = a3
a
a
c) Cilindro
Área
A= 2 R2 + 2 Rh
Volume
V = R2 h
d) Esfera
Área
A= 4 R2
Volume
V=
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EQUAÇÃO, INEQUAÇÃO E FUNÇÃO DO 1º GRAU
Equação do 1º. Grau
Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade
composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita.
Cada uma das expressões da igualdade contém coeficientes e incógnitas. Os
coeficientes são os valores determinados. As incógnitas são os valores
desconhecidos que dependendo do valor que assumam, podem tornar a
equação verdadeira ou falsa.
Uma equação pode possuir inúmeros coeficientes e incógnitas.
A igualdade -8x - 4 = -2x + 14 é um exemplo de equação.
A expressão à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro
membro. Já a expressão à direita do sinal de igualdade é chamada de
segundo membro.
No termo -8x do primeiro membro, o número -8 é um coeficiente e a letra x é
uma incógnita.
O termo 14 do segundo membro, por exemplo, é um termo constante, pois não
varia em função de qualquer incógnita.
Raiz de uma equação
A igualdade 3x - 5 = x + 15 é uma equação verdadeira quando x = 10, pois
neste caso ambos os lados da expressão resultarão no mesmo valor 25, já que
3 . 10 - 5 = 10 + 15, ou seja, 25 = 25. Neste exemplo o número 10 é a raiz ou
solução da equação, pois ao substituir a incógnita torna a equação verdadeira.
Conjunto Universo
O conjunto universo contém todos valores possíveis para as incógnitas. É
indicado pela letra U.
Dada a equação 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incógnita x só pode
assumir os valores -2, 0 e 2, temos então que o conjunto universo desta
equação é:
U = { -2, 0, 2 }.
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Conjunto Verdade ou Conjunto Solução
O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto dos valores de U que
são raízes da equação, ou seja, são os valores que ao substituírem as
incógnitas tornam a equação verdadeira. Indica-se por V ou S.
Para a equação 2x + 4 = 0, cujo conjunto universo é U = { -2, 0, 2 }, temos que
destes três elementos apenas o elemento -2 torna a equação verdadeira, pois
2 . (-2) + 4 = 0, temos então que o conjunto verdade ou solução é:
V = { -2 } ou S = { -2 }.
Equações equivalentes
Duas equações são ditas equivalentes se possuírem a mesma raiz.
3x - 5 = x + 15 e 3x = x + 20 são equações equivalentes, pois em ambas, caso
troquemos x por 10, a igualdade será verdadeira. 10 é raiz de ambas as
equações. Por isto são equivalentes.
Princípio aditivo da igualdade
Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos dois membros de
uma igualdade, ainda teremos uma igualdade.
Tomando-se como exemplo a igualdade 3x - 5 = x + 15, utilizada anteriormente
acima, se somarmos o número 5 em ambos os seus membros teremos a
igualdade 3x - 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe que
a raiz ou solução desta equação é igual à raiz da equação original, ou seja,
para que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue sendo
igual a 10.
Observe que se subtrairmos x dos dois membros da equação 3x = x + 20 ainda
continuaremos com uma igualdade:
3x - x = x + 20 - x, que é equivalente a 2x = 20.
Atente ao fato de que a raiz da equação 2x = 20 também é igual a 10, pois
2 . 10 = 20.
Princípio multiplicativo da igualdade
Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma igualdade por um
mesmo número diferente de zero, ainda teremos uma igualdade.
Se dividirmos ambos os membros da equação 2x = 20 por 2, teremos a
equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à equação x = 10, cuja raiz
obviamente é igual a 10.
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Para um maior aprofundamento no assunto, veja também os demais tópicos
relacionados.
Exercícios
Resolvidos
1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma
quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a
quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?
Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu
possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.
Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com
x + 8.
Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste
número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais.
Então:
x + 8 = 28 - x
A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os
coeficientes para o outro lado.
O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro
membro sendo adicionado.
x + x + 8 = 28
x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas
laranjas.
2x + 8 = 28
Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na
operação inversa, ou seja, sendo subtraído:
2x = 28 - 8
Realizando a subtração:
2x = 20
O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro
membro dividindo o termo 20:
Realizando a divisão encontramos a raiz 10:
x = 10
Portanto:
Eu tenho 10 carrinhos.
2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse
comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a
mercadoria?
Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos
eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual
à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações.
Teríamos então:
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O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro
membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que
está sendo somado passará à direita subtraindo:
Realizando as subtrações:
O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado
dividindo o termo 3,75:
Que dividindo dá:
Tomemos então o primeiro membro da equação inicial
Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou
seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo
valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:
Portanto:
Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.
3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu
dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?
Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem
7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das
idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:
Ou seja:
Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra
adicionando no primeiro membro, temos:
Realizando a subtração:
Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:
Que dividindo dá:
Portanto:
Eu tenho 15 anos de idade.
4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o
dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de
R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?
Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.
A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:
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O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor
unitário.
Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor
unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.
Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo
adicionado, ele passará subtraindo:
Ao fazermos a subtração:
Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:
Que dividindo dá:
Portanto:
O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.
5) O volume de chuvas na minha região foi de 30ml nos dois últimos dias. Sabe-se
que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva
de hoje?
Chamemos de v o volume da chuva hoje.
Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem,
assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:
Somando os termos do primeiro membro temos:
Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:
Ao dividirmos:
Portanto:
O volume de chuva de hoje foi de 10ml.
6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?
Portanto:
S = { 4,5 }.
7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?
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Portanto:
7/11 é a raiz da equação.
8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o conjunto
solução desta equação?
Portanto:
S = { } é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao
conjunto universo.
9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?
Portanto:
V = {4/5} é o conjunto solução da equação.
10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?
Portanto:
Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
* Definição
Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e
qualquer sentença da matemática que é aberta por um sinal de desigualdade.
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Sendo que: a e b, são números reais e diferentes de zero (a e b ≠ 0),
respectivamente.
Exemplos:
2x – 8 > 0
4x + 9 ≥ 0
3x – 9 < 0
5x + 1 ≤ 0
3
* O que representa os sinais das inequações
* Observações gerais sobre Inequações
Observando as condições de vida da população do Brasil, obviamente
encontraremos um grande mar de desequilíbrio. Estas desigualdades podem
ser encontradas em diversas áreas, mais a que mais de destacam são social e
econômica.
Veja alguns exemplos de desigualdades:
» Salarial: enquanto muitos brasileiros estão com faixas de salários baixas que
mal podem se sustentar, alguns outros tem seus salários altos.
» Habitação: muitos brasileiros têm casas boas em bairros e cidades nobres,
outros não têm condições de ter sua casa própria.
» Moradia: As pessoas que vivem nas ruas aumentam cada vez mais com o
passar dos anos.
» Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no
campo, vive em situação precária.
Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança,
veríamos com mais clareza as grandes desigualdades.
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O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente,
as inequações são representadas por desigualdades matemáticas.
* Solução de inequações do 1º grau
Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o
objetivo de se apurar um conjunto de todas e quaisquer possíveis valores que
possam assumir uma ou mais variável que estejam envolvidas nas equações
proposta no problema.
Acompanhe:
Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais
satisfaça a inequação:
3x + 5 < 17
Veja os seguintes passos para solução:
Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a
solução apresentada é formada por todos os números inteiros positivos
menores que o número 4.
S = {1, 2, 3,}
* Exemplos de fixação de conteúdo
a) 2 -4x ≥ x + 17
Solução:
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b) 3(x + 4) < 4(2 –x)
Solução:
c) Quais os valores de X que tornam a inequação -2x +4 > 0 verdadeira?
Solução:
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor
menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 ( verdadeiro )
Observe, então, que o valor de X menor que 2 é a solução para inequação.
* Propriedades da inequação do 1º grau
Quando uma equação do 1º grau é resolvida, são usados os recursos
matemáticos tais como: somar ou diminuir um valor igual aos dos componentes
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da equação ou multiplicar e dividir os membros componentes da equação por
um mesmo valor.
Será que é possível usar estes mesmo recursos de soluções das equações
para resolver as inequações do primeiro grau ?
Analise os exemplos:
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 ( somar o valor 2 )
5+2>3+2
7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira)
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 (subtrair 1)
5-1 > 3 -1
4 > 2 (continua sendo uma inequação verdadeira)
Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das
equações de primeiro grau, podemos usar os mesmos recursos matemáticos
de somar ou subtrair um mesmo valor aos membros da inequação do primeiro
grau.
Analise os exemplos:
Inequação
5>3
Recurso:
5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2)
5 x (+2) > 3 x (+2)
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10 > 6 (continua sendo uma inequação verdadeira)
Inequação
5>2
Recurso:
5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2)
(-2).5 > 2.(-2)
-10 > -4 (a inequação não é verdadeira)
Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal.
-10 < -4 (agora a inequação é verdadeira)
Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático
de (multiplicar ou dividir por um mesmo valor os componentes da inequação)
para resolver uma inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um
número negativo, o sinal da desigualdade (inequação) deve ser invertido.
Função do 1º grau
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma
correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro
elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence
ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a
correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se
associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim
;
;
. A
correspondência por pares ordenados seria:
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Noções de função:
Considere os diagramas abaixo:
1
2
3
4
5
Condições de existência:
(1) Todos os elementos de x
têm um correspondente em y.
(2) Cada elemento de x tem um
e somente um correspondente
em y.
Analisando os diagramas acima:
O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não
satisfazem a condição (2).
Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.
Domínio, Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama a seguir:
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Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação de função:
Observe:
1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:
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2) Associe cada elemento de X com a sua capital.
3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano
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Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o
plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas
retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma
de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele
recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em
função do número x de produto vendido.
[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do
1º grau, sendo dada por:
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y=f(x)=ax+b com
,
e
Gráfico da função do 1º grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.
Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
O conjunto dos pares ordenados
determinados é f={(-2,-1),(1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
x y=f(x)=x+1
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
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O conjunto dos pares ordenados
determinados é f={(-2,3),(1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
x y=f(x)=-x+1
-2
3
-1
2
0
1
1
0
2
-1
Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
Função crescente
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y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
Função decrescente
Raiz ou zero da função do 1º grau:
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º
grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de
0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com
o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta
função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
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Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é
a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é
a raiz da função.
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Sinal de uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:
a>0
a<0
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo
sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
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Equação, Inequação e Função do 2º Grau
Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo
ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com
.
Exemplos:
Equação
x²+2x+1
5x-2x²-1
a
1
-2
b
2
5
c
1
-1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos
uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x=
» x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
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Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada
acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou
seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser
determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de
equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a
fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de
b²-4ac:
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou
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(delta)
Fórmula de Bháskara:
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns
exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Substituindo na formula de Bháskara:
» x=2
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- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais
e iguais. (
)
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo.
Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:
» vazio
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com
e
, suas raízes são:
e
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
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O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por
e
:
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
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Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no
denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo
das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)
Onde
, pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b)
e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
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»
»
»
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois
senão anularia o denominador, logo a solução da equação será
somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da
incógnita.
Equação
x² - (m+n)x + p = 0
a
1
b
-(m+n)
c
p
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
, Logo:
x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução de equações biquadradas
Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas
quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
onde
Exemplo resolvido:
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1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4 e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4 »
e
x²=1 »
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser
escrita numa das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da
função correspondente equação.
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:
a>0
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a<0
Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é
definida pela expressão do tipo:
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y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões,
simplesmente olhando para a montanha russa.
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
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Representação gráfica
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x,
obtemos seus valores correspondentes para y.
x
2
1
0
1
2
3
y = f(x) = x²
4
1
0
1
4
9
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão
a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o
vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros
pontos.
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Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por
.
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e
determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma
parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e
substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os
quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar
as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e
x`=3.
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Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o
eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista
na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.
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a>0
a<0
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste
momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a
concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e
quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
y = f(x) = x² - 4
a = 1 >0
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y = f(x) = -x² + 4
a = -1 < 0
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice
representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está
voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de
, o vértice a parábola encontra-se no
eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
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Gráfico:
Quando o discriminante é maior que zero
Quando o valor de
, a parábola intercepta o eixo x em
dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0
x=1, x`=3
Gráfico:
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de
, a parábola não intercepta o eixo x.
Não há raízes ou zeros da função.
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Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
Resumindo:
a>0
a>0
a>0
a<0
a<0
a<0
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Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
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SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Sistemas do 1º grau
* Definição
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria,
João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no
total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os
dois ficaram satisfeitos e foram para casa.
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras,
porém não se lembrava do preço unitário de dos livros. Sabiam, apenas que
todos os livros, como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço
de cada livro ou caderno com as informações que temos ? Será visto mais à
frente.
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser
definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau.
Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas
estão elevadas à potência 1.
* Observações gerais
Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do primeiro grau com
duas incógnitas, como exemplo:
X+y=7
x – y = 30
x + 2y = 9
x – 3y = 15
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem
infinitas soluções:
X+y=6
x–y=7
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o
par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução para as duas equações.
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Assim, é possível dizer que as equações
X+y=6
X–y=7
Formam um sistema de equações do 1º grau.
Exemplos de sistemas:
* Resolução de sistemas
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y
que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.
Exemplos:
a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema
x–y=2
x+y=6
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores
em ambas as equações:
x-y=2
x+y=6
4–3=1
4+3=7
1 ≠ 2 (falso)
7 ≠ 6 (falso)
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de
equações acima.
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b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema
x–y=2
x+y=8
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores
em ambas as equações:
x-y=2
x+y=8
5–3=2
5+3=8
2 = 2 (verdadeiro
8 = 8 (verdadeiro)
A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de
equações acima.
* Métodos para solução de sistemas do 1º grau.
- Método de substituição
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o
valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.
Observe:
x–y=2
x+y=4
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das
incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta
forma:
x–y=2
---> x = 2 + y
Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do
sistema:
x+y=4
(2 + y ) + y = 4
2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1
Temos que: x = 2 + y, então
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x=2+1
x=3
Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.
- Método da adição
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os
termos das equações fornecidas.
Observe:
x – y = -2
3x + y = 5
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:
x – y = -2
3x + y = 5 +
4x = 3
x = 3/4
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se
anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y”
não se anularem para ficar somente uma incógnita ?
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor
excludente negativo.
Ex.:
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
Ao somarmos os termos acima, temos:
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos
o seguinte:
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» multiplica-se a 1ª equação por +2
» multiplica-se a 2ª equação por – 3
Vamos calcular então:
3x + 2y = 4 ( x +2)
2x + 3y = 1 ( x -3)
6x +4y = 8
-6x - 9y = -3 +
-5y = 5
y = -1
Substituindo:
2x + 3y = 1
2x + 3.(-1) = 1
2x = 1 + 3
x=2
Verificando:
3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4
2x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1
Estatística
É a uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a
utilização dos mesmos na tomada de decisões.
A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a
interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA,
enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem
de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL,
também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se
fundamentam na teoria da probabilidade.
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.
2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA :
2º - PLANEJAMENTO :
Saber exatamente aquilo que se
pretende pesquisar é o mesmo que
definir corretamente o problema.
Como levantar informações ? Que dados deverão
ser obtidos ? Qual levantamento a ser utilizado?
Censitário? Por amostragem? E o cronograma de
atividades ? Os custos envolvidos ? etc.
3º - COLETA DE DADOS:
4º - APURAÇÃO DOS DADOS:
Fase operacional. É o registro sistemático de
dados, com um objetivo determinado.
Resumo dos dados através de sua
contagem e agrupamento. É a
condensação e tabulação de dados.
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Há duas formas de apresentação, que
não se excluem mutuamente. A
apresentação tabular, ou seja é uma
apresentação numérica dos dados em
linhas e colunas distribuídas de modo
ordenado, segundo regras práticas
fixadas pelo Conselho Nacional de
Estatística. A apresentação gráfica
dos dados numéricos constitui uma
apresentação geométrica permitindo
uma visão rápida e clara do fenômeno.
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho
estatístico é a mais
importante e delicada.
Está
ligada
essencialmente
ao
cálculo de medidas e
coeficientes,
cuja
finalidade
principal
é
descrever o fenômeno
(estatística descritiva).
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1 - DIAGRAMAS:

São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais
usados na representação de séries estatísticas. Eles podem ser :
1.1-
Gráficos em barras horizontais.
1.2-
Gráficos em barras verticais ( colunas ).

Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos
em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base
e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
 A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for
histórica, e a
 decrescente, se for geográfica ou categórica.
1.2-
Gráficos em barras compostas.
1.4-
Gráficos em colunas superpostas.

1.5

1.5

Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas
pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes
componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais
atributos.
Gráficos em linhas ou lineares.
São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas
com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais
eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas
séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em
um mesmo gráfico.
Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a
variação de dois fenômenos, a parte interna da figura formada pelos
gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso.
Gráficos em setores.
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado
sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total
é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas
são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente
proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser
empregado quando há, no máximo, sete dados.
Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este
tipo de gráfico.
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2 - ESTEREOGRAMAS:

São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois
representam volume. São usados nas representações gráficas das
tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil
de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem.
.3 - PICTOGRAMAS:

São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do
fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção
do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos
devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que
apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes
minuciosos.
4- CARTOGRAMAS:

São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse
gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com
áreas geográficas ou políticas.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme
as freqüências (repetições de seus valores).
Tabela primitiva ou dados brutos:
É uma tabela ou relação de
elementos
que
não
foram
numericamente organizados. É difícil
formarmos uma idéia exata do
comportamento do grupo como um
todo, a partir de dados não ordenados.
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58,
57, 58, 60, 51
ROL:
É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou
decrescente).
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57,
58, 58, 60, 60
Distribuição de freqüência SEM INTERVALOS DE CLASSE: É a simples
condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL
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de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que
exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:
Dados Freqüência
41
3
42
2
43
1
44
1
45
1
46
2
50
2
51
1
52
1
54
1
57
1
58
2
60
2
Total
20
Distribuição de freqüência COM INTERVALOS DE CLASSE: Quando o
tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos
valores em vários intervalos de classe.
Classes Freqüências
41 |------- 45
7
45 |------- 49
3
49 |------- 53
4
53 |------- 57
1
57 |------- 61
5
Total
20
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalos
de classe) 
CLASSE:
são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e
o número total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela
anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.
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LIMITES DE CLASSE:
são os extremos de cada classe. O menor número é
o limite inferior de classe ( li ) e o maior número,
limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------53,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo |------- representa
um intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3
e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE:
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO:
é obtida através da diferença
entre o limite superior e inferior
da classe e é simbolizada por
hi = Li - li.
Ex: na tabela
anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs:
Na distribuição de freqüência c/
classe o hi será igual em
todas as classes.
é a diferença entre o limite
superior da última classe e o
limite inferior da primeira classe.
AT = L(max) - l(min). Ex: na
tabela anterior AT = 61 - 41= 20.
AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor
máximo e o valor mínimo da
amostra (ROL). Onde AA =
Xmax - Xmin.
Em nosso
exemplo AA = 60 - 41 = 19.
Obs:
que AA.
PONTO MÉDIO DE CLASSE:
AT sempre será maior
é o ponto que divide o intervalo de classe em
duas partes iguais. .......Ex: em 49 |------- 53 o
ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja
x3=( l3 + L3 )/2.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada

Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema
de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo
das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo
das ordenadas), as freqüências..
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Histograma:
é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas
bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que
seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos
intervalos de classe. A área de um histograma é
proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas.
Freqüências simples ou absoluta:
Freqüências relativas:
Polígono de freqüência:
são os valores que realmente
representam o número de dados de
cada classe. A soma das freqüências
simples é igual ao número total dos
dados da distribuição.
são os valores das razões entre as freqüência
absolutas de cada classe e a freqüência total da
distribuição. A soma das freqüências relativas é
igual a 1 (100 %)..
é um gráfico em linha, sendo as freqüências
marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal,
levantadas pelos pontos médios dos intervalos de
classe. Para realmente obtermos um polígono
(linha fechada), devemos completar a figura,
ligando os extremos da linha obtida aos pontos
médios da classe anterior à primeira e da posterior
à última, da distribuição..
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências
acumuladas sobre perpendiculares ao
eixo horizontal, levantadas nos pontos
correspondentes aos limites superiores
dos intervalos de classe.
Freqüência simples acumulada de uma classe:
é o total das freqüências
de todos os valores
inferiores
ao
limite
superior do intervalo de
uma determinada classe.
Freqüência relativa acumulada de um classe:
é a freqüência acumulada
da classe, dividida pela
freqüência
total
da
distribuição.
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...CLASSE.. ......fi..... .....xi..... .....fri..... .....Fi..... ......Fri.....
50 |-------- 54
4
52
0,100
4
0,100
54 |-------- 58
9
56
0,225
13
0,325
58 |-------- 62
11
60
0,275
24
0,600
62 |-------- 66
8
64
0,200
32
0,800
66 |-------- 70
5
68
0,125
37
0,925
70 |-------- 74
3
72
0,075
40
1,000
Total
40
1,000
fi = freqüência simples;
acumulada;
xi = ponto médio de classe;
fri = freqüência simples
Fi = freqüência relativa e Fri = freqüência relativa acumulada.

Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é
representada graficamente por um diagrama onde cada valor da variável
é representado por um segmento de reta vertical e de comprimento
proporcional à respectiva freqüência.
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Introdução

São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos
quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico
da curva de freqüência.



As medidas de posições mais importantes são as medidas de
tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados
observados a se agruparem em torno dos valores centrais).
As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética,
moda e mediana. Outros promédios menos usados são as médias:
geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a
própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.
MÉDIA ARITMÉTICA =

É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número
total dos valores.
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......
onde xi são os valores da variável e n o número de valores.
Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos dados
não-agrupados em tabelas de freqüências,
determinamos a média aritmética simples.
Ex:
Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda
média diária na semana de:
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos
Desvio em relação à média:
é a diferença entre cada elemento de um
conjunto de valores e a média aritmética, ou
seja:.
. di = Xi -
No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 =
14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2
,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e. .. d7 = 12 - 14 = - 2.
.Propriedades da média aritmética 
1ª propriedade:
nula.

No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0
2ª propriedade:

A soma algébrica dos desvios em relação à média é
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a
todos os valores de uma variável, a média do conjunto
fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores
da variável temos:
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou
Y=
.+ 2 = 14 +2 = 16 kilos
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3ª propriedade:

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de
uma variável por uma constante (c), a média do
conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa
constante.
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos
valores da variável temos:
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou
Y=
x 3 = 14 x 3 = 42 kilos
Dados agrupados:
Sem intervalos de classe 
Consideremos a distribuição relativa a 34
famílias de quatro filhos, tomando para
variável o número de filhos do sexo
masculino. Calcularemos a quantidade média
de meninos por família:
Nº de meninos freqüência = fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
total
34

Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada
valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que
nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
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..xi.
0
1
2
3
4
total
..fi. ..xi.fi .
2
0
6
6
10 20
12 36
4
16
34 78
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família
Com intervalos de classe 
Neste caso, convencionamos que todos os
valores incluídos em um determinado intervalo
de classe coincidem com o seu ponto médio,
e determinamos a média aritmética ponderada
por meio da fórmula:
..
onde Xi é o ponto médio da classe.
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi
50 |------------ 54
4
52
54 |------------ 58
9
56
58 |------------ 62
11
60
62 |------------ 66
8
64
66 |------------ 70
5
68
70 |------------ 74
3
72
Total
40
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo...
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..xi.fi.
208
504
660
512
340
216
2.440
= 61 cm
Porcentagem, Juros Simples e Compostos
1) Quanto é 15% de 80?
Multiplique 15 por 80 e divida por 100:
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua
forma decimal, que é 0,15 por 80:
15% de 80 é igual a 12.
2) Quanto é 70% de 30?
Multiplique 70 por 30 e divida por 100:
Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:
70% de 30 é igual a 21.
3) Quanto é 150% de 45?
Multiplique 150 por 45 e divida por 100:
Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que
é 1,50 por 45:
150% de 45 é igual a 67,5.
4) Quanto é 100% de 40?
Multiplique 100 por 40 e divida por 100:
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Se você preferir pode multiplicar 100% na sua forma decimal, que é 1,00 por
40:
Na verdade você não precisa fazer conta alguma. Como você já sabe 100%
representa o todo, por isto 100% de qualquer número será sempre o próprio
número.
100% de 40 é igual a 40.
5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.
A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:
Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:
Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar
este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a
representação da porcentagem:
Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%.
6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais
337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799
habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos
habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha:
337.799 está para 70, assim como x está para 30:
Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos
337.799 por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número
total de habitantes da cidade:
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Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:
Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771
habitantes.
7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?
Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal,
iremos obter o número que 4% dele é igual a 15:
Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20:
Em uma única conta faríamos:
Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se
pensarmos que 20% também é cinco vezes 4%.
20% do referido número é igual a 75.
8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto
equivale a quantos por cento do meu salário?
Vamos resolver este exercício montando uma regra de três:
O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como
100% está para o meu salário de R$ 1.200,00:
Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário.
9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da
minha?
Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se
procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se
multiplique o valor obtido por 100:
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Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade.
10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai
atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da
velocidade máxima do meu carro?
Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo
valor que representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100:
Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade
máxima do meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100%
porque o carro de meu pai é 25% mais veloz que o meu.
11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu
bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?
R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por
1200:
0,28 está na forma decimal, então o multiplicamos por 100 para colocá-lo na
sua forma percentual: 28%.
Portanto:
Eu perdi 28% desta quantia.
12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento
das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?
25 é 62,5% de 40. Obtemos este valor pela divisão de 25 por 40:
0,625 está na sua forma decimal, então o multiplicamos por 100 para colocá-lo
na sua forma percentual: 62,5%. Este é o número de bolinhas que eu dei.
A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a
62,5%, então 15 equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%:
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Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivessemos divido 15 que é a
quantidade de bolinhas que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total.
Portanto:
Eu dei 62,5% das bolinhas de gude que eu possuía e fiquei com 37,5%.
13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por
quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?
12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme
calculado a seguir:
Portanto:
Com o desconto percentual obtido de 12%, em valor obtive R$ 180,00 de
desconto e acabei pagando R$ 1.320,00.
14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40
garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas
garrafas sobraram e quantas eu quebrei?
15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons
ainda me restam?
16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e
consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?
60% de 30 é 18. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
Portanto:
Eu vendi 18 das 30 peças logo na primeira saída.
17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu
quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei,
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mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram
quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?
Digamos que originalmente eu tivesse x ovos. Como você sabe 10% pode ser
escrito como 0,1 já que 10% equivale a 10 divididos por 100. Desde que
minhas galinhas botaram uma quantidade equivalente a 10% da que eu
possuía, isto equivale a dizer que além dos x ovos originais, agora eu possuo
mais 0,1x, ou seja, agora eu tenho 1,1x ovos:
Só que quando eu tinha 1,1x ovos eu acabei perdendo 10% deles, ou seja,
fiquei com 90% dos ovos, já que dos 100% eu perdi 10%:
0,99x representa 99% dos ovos que eu tinha originalmente e já que eu tinha
100%, ao ficar com 99% fiquei com 1% a menos que a quantidade original.
Portanto:
Inicialmente eu tinha mais ovos que agora.
De forma resumida, a quantidade original de ovos pode ser representada pelo
número 1 (100% dos ovos).
Como foram acrescentados mais 10%, este acréscimo de 10% equivale a
100% + 10%, ou seja, equivale a 110% que é equivalente a 1,1.
Ao perder 10% eu fiquei apenas com 90% dos ovos, ou seja, fiquei com 0,9
deles.
Multiplicando-se tais valores teremos:
Estes 99% são os ovos que ainda me restam.
18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%,
mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu 120% de
aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste
conseguido?
Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6%
originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:
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Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na
resolução do problema de uma outra forma:
O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a
100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de
aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os
6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:
Portanto:
O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.
19) Quanto é 60% de 200% de 80%?
Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais. Todos eles
devem ser passados para a sua forma decimal, exceto o último:
Portanto:
60% de 200% de 80% é igual a 96%
20) Quanto é 45% de 90% de 180?
Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais passados
para a sua forma decimal, pelo número que se deseja achar o percentual:
Portanto:
45% de 90% de 180 é 72,9.
21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de
ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos
por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?
Se dividirmos 0,96, que corresponde ao peso do gelo, por 2,4, que corresponde
ao peso total, iremos obter 0,4, que se multiplicado por 100, nos dará o
percentual procurado:
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Fui lesado em 40% do peso. É este o percentual equivalente aos 960g de
gelo que paguei como se fosse frango.
22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de
ratos brancos desta população?
Para que você tenha uma melhor compreensão, montemos uma regra de três:
Temos 16 ratos brancos para cada 100 ratos, assim como teremos x ratos
brancos se tivermos 250 ratos.
De forma geral, sem que você tenha que montar sempre a regra de três, basta
que você multiplique o valor do qual você quer achar o percentual (250 neste
caso) pela porcentagem (16 neste exemplo), dividindo em seguida este produto
por 100 (sempre 100 por ser tratar de porcentagem).
Portanto o número de ratos brancos desta população é de 40 ratos brancos.
23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um
real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?
24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?
Resolvendo da forma mais simplificada temos:
Portanto eu possuo apenas uma irmã.
25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de
papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração,
tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do
papel?
Vamos dizer que originalmente o rolo custasse x, então o preço do metro de
papel seria
.
Depois o rolo ainda custava x, mas o preço do metro de papel seria
, que
seria obviamente maior que antes, já que temos menos papel ao mesmo custo.
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Ao dividirmos
por
e subtrairmos 1 iremos obter na forma decimal qual foi o
aumento no preço do produto:
Como sabemos, aproximadamente 0,3333 na forma decimal equivale a
33,33%.
Como você pode ter reparado a variável x utilizada na solução do problema
acabou sendo simplificada por ela mesma. De forma mais simples em
exercícios deste tipo você pode simplesmente realizar as contas tal como
abaixo:
Tal artimanha provocou o aumento de cerca de 33,33% no preço do metro
do papel.
26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo.
Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra
tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria
sido o desconto obtido?
Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer
que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:
Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer
desconto:
Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é
de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:
Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer
dividindo-se 348 por 2320:
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0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100 e
acrescentado o símbolo % à sua direita, iremos obter o resultado na forma
percentual:
15%
Juros Simples e Juros Compostos
1. Introdução
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira,
é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no
tempo. A Matemática Financeira pois, busca quantificar as transações que
ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o
valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis
envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o
capital e o tempo.
Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a
uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago
pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J ) = preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
1 - inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado
período de tempo.
2 - risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis
riscos do investimento.
3 – aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram
ganhar dinheiro!
Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é
a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.
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Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de
R$2000,00 (Principal = P) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i
) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: i = 10% a.a.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais,
mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo
considerado.
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o
capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros
simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros
do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização
composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de
crescimento mais rápido (enquanto os juros simples crescem segundo uma
função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito
mais rapidamente – segundo uma função exponencial).
2. Juros Simples
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre
sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações
comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática
Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por
período, durante n períodos. Lembrando que os juros simples incidem sempre
sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente
demonstrável:
J=C.i.n
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial
adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos
juros do período é denominado MONTANTE (F ou M). Logo, teríamos:
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F
=
P
+
J
=
P
+
P.i.n
=
P(1
+
i.n)
Portanto:
M = C(1+in).
Exemplo:
A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco
anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos:
C = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto:
M = C(1+in)
M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.
3. JUROS COMPOSTOS
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros,
segundo duas modalidades a saber:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e
passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre
juros".
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal
de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes
(principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: F1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: F2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: F3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
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Após o nº (enésimo) mês, sendo F o montante, teremos evidentemente:
M = 1000(1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de
juros compostos i durante o período n :
M = C (1 + i)n
onde F = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos
que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e
do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe
importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa
for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante
3x12=36 meses.
Exercícios Resolvidos:
1 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de
2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução:
Sabemos que F = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos
F = 2P. Substituindo, vem:
2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica:
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então:
n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de
juros do problema é mensal), o que eqüivale a 2 anos e 11 meses.
Resp: 2 anos e 11 meses.
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2 - Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos $ 1.000,00 a 2,5% ao
mês?
Solução: F = 1000(1 + 0,025)12 = $ 1.344,89
3 - Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber $ 10.000,00
daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano?
Solução: 10000 =C(1 + 0,10)5
4 - Calcular qual a taxa de juros a que devemos empregar o capital de $
150.000,00 para render no final do período de 6 anos, o montante de $
251.565,00?
Solução: 251565 = 150000(1 + i)6
5 - O capital de $ 37.500,00 é colocado no regime de capitalização composta à
taxa de 9% ao trimestre. No fim de um certo prazo, o montante atingiu $
62.891,25. Calcular o número de meses.
Solução: 62891,25 = 37500(1 + 0,09)n
Razões, Proporções e Regra de Três
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Assunto: Razão e proporção.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8=2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
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X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de
comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no
desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
Resolução:
Escala: 1
20
Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1
20
= 500 / 20 =
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do
desenho será 25 cm.
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de
5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma
festa quantas moças ficariam sem par?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes
por Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
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x
5
45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de
moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma
professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
Assunto: Regra de três
Resolução:
1 copo ---------------> 250 ml
48 copos ------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
1x = 48 x 250
X = 12000 ml
Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a
alternativa correta é a letra “a” = 12,00
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
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5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto.
Em 4 segundos, o disco dá :
a) 3 voltas
b) 5 voltas
c) 6 voltas
d) 9 voltas
e) 12 voltas
Assunto: Regra de três
Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.
Resolução:
60 s ---------------> 45 voltas
4 s ----------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
60x = 45 x 5
60x = 180
X = 180/60
X = 3 voltas
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
6) Do meu salário líquido dedico:
25% ao aluguel,
30% à alimentação,
5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que
meu salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
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e) R$ 650,00
Assunto: Porcentagem e regra de três
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X
-------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.
7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado
tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a
porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 %
b) 20%
c) 20,5%
d) 21% e) 21,5%
Assunto: Regra de três e noção de porcentagem
Resolução:
Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
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X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de
mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem:
Horas
Caminhões
Volume
8
20
160
5
x
125
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Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o
número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta
para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na
3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens
Carrinhos
Dias
8
20
5
4
x
16
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Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.
Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a
razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta.
Portanto a relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter
a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com oproduto das
outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo
necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente
proporcionais com
a
incógnita
e discordantes para
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
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as
inversamente
Progressões - PA e PG
Introdução
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de
números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3,
5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é
5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo,
... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que
a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei
de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do
segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os
termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n +
5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo
termo) correspondente.
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Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a
65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que
seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e
positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos
termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor
constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
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a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) .
r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a
razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:
Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a 1= 1, a razão r = 2 e
queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e
poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de
uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( késimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
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Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas Numa PA, cada termo (a
partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o
problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser
deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
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É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses
possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de
onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a
40000.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 ,
3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d)6
e) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
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an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 < 0
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o
numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 < 0
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo.
Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e
estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
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Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x
encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o
perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos
para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as
medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a
alternativa correta é a letra D.
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes
correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o
dobro da terça parte de x.
Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos,
cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
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Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima)
mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 =
90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta
do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do nésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
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Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos
finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do
terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono
é igual a 60.
Resp: 965
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
Progressão Geométrica
1 – Definição
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de
números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao
anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
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(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an
é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da
definição podemos escrever:
a2 = a 1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo
geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10,
vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo
termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem:
320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
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3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente
anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros
termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima
como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = S n - a 1 + a n . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a
fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
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Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas
condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na
fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo,
substituindo na fórmula, vem:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
6 – Exercícios resolvidos e propostos
6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o
seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se
calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução:
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
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Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q =
1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela
contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
A) 1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10
Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de
primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9
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Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10
6.3 - O limite da expressão
onde x é positivo, quando o
número de radicais aumenta indefinidamente
é igual a:
A) 1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x
Solução:
Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a 1 = 1 /2
e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão
em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°
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Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos
estão
em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e
192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
Sequencia Numérica
Seqüência
é
sucessão,
encadeamento
de
fatos
que
se
sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estão
dispostos
em
certa
ordem,
obedecendo
a
uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os
anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962,
1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos
dispostos numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o conjunto de números reais
dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqüência numérica.
Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares ≥ 7
e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma seqüência de
números que começa com a letra D.
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Matematicamente
quando
temos
uma
seqüência
numérica
qualquer,
representamos o seu 1º termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo
termo an.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10
A seqüência acima é uma seqüência finita sua representação geral é (a 1, a2,
a3,..., an ), para as seqüências que são infinitas a representação geral é (a 1, a2,
a3, an, ... ).
Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de
formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação a n = 2n² - 1, n
N*, onde n = 1, 2, 3,
4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse
motivo, an é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n,
encontramos alguns termos da seqüência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
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Exercícios
Questão:
Acidentes de trânsito custam 5,3 bilhões por ano. No Brasil, registra-se um alto
número de mortes devido a acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento
das vítimas e de seus familiares, a violência no trânsito tem um custo social de
R$ 5,3 bilhões por ano, segundo levantamento realizado pelo Instituto de
Pesquisa Econômica (IPEA), publicado em 2003. Desse total 30% são devidos
aos gastos com saúde e o restante é devido à previdência, justiça, seguro e
infra-estrutura. De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de 2003,
os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40% do que o Sistema Único
de Saúde (SUS) gastou com internações por causas externas, resultantes de
acidentes e violência em geral.
Considerando o texto acima e o tema por ele abordado, julgue os itens a
seguir.
Antes de julgar os itens solicitados vamos retirar os dados do enunciado:
Custos com acidentes de trânsito: 5,3 bilhões
Gastos com Saúde: 30%
Gastos com previdência, justiça, seguro e infra-estrutura: 70%
Os acidentes de trânsito consumiram 30% e 40% do SUS em gastos com
internações provenientes de acidentes e violência
1. Do “custo social de R$ 5,3 bilhões por ano” mencionado no texto, R$
1,59 bilhões foram gastos com saúde.
2. Supondo que, em 2004, o gasto com cada um dos itens saúde,
previdência, justiça, seguro e infra-estrutura seja reduzido em 10%, é
correto concluir que o gasto total com o conjunto desses itens, em 2004,
será superior a R$ 4,8 bilhões
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3. Considerando que, de janeiro a julho de 2003, o gasto total do SUS
“com internações por causas externas, resultantes de acidentes e
violência em geral” tenha sido entre R$ 2 bilhões e R$ 2,5 bilhões, é
correto concluir que a parte desse gasto que foi consumida pelos
acidentes de trânsito foi superior a R$ 500 milhões e inferior a R$ 1,1
bilhão
4. Se os gastos, em reais, com previdência, justiça e infra-estrutura
correspondem, respectivamente, a 25%, 20%, 15% e 10% do “custo social
de R$ 5,3 bilhões” citado no texto, então os gastos com saúde,
previdência, justiça, seguro e infra-estrutura formam, nessa ordem uma
progressão aritmética de razão igual a R$ 265 milhões
5. Se os gastos com saúde, previdência e justiça totalizam 52,5% do
“custo social de R$ 5,3 bilhões” e formam, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão positiva,então o gasto correspondente à justiça foi
superior a R$ 400 milhões
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Não pode ser um gasto superior a 400 milhões, pois dariam valores maiores
O item está errado
6- Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2% não votaram, na última eleição.
Quantos foram os eleitores ausentes?
a) 520
b) 360
c) 260
d) 120
e) 90
SOLUÇÃO:
De é uma preposição da língua portuguesa que matematicamente corresponde
ao sinal de multiplicação, logo o enunciado fica representado na forma:
7- A Baixada Fluminense, segundo as pesquisas, registra 2.000 crimes por
ano. Seu índice de homicídio é de 74 por 100 mil habitantes, comparável ao de
países em guerra. Julgue o item a seguir:
- Na Baixada Fluminense, 0,74% da população morre anualmente vítima de
homicídio.
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SOLUÇÃO:
Devemos estabelecer uma razão entre o número de homicídios e o número de
habitantes, ou seja:
Em função desse valor obtido concluí-se que o item a ser julgado é falso.
8- Questão
Substituindo o valor, fica assim:
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9- PORCENTAGEM
a) 100%
b) 1%
c) 0,1%
d) 10%
e) 0,01%
SOLUÇÃO:
10- Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num
regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros
resultantes dessa aplicação serão:
a) R$ 98,00
b) R$ 101,00
DADOS:
C = R$ 2.500,00
c) R$ 110,00
i = 2% a.m.
d) R$ 114,00
n = 2 meses
e) R$ 121,00
J=?
11- Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15
minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A
que horas terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
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e) 15h 45min
Solução:
Basta somarmos todos os valores mencionados no enunciado do teste, ou seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
12- Questão
a
aa
aaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaa
...
...
A décima linha dessa configuração terá a seguinte quantidade de “a”.
a) 64
b) 128
c) 256
d) 512
e) 1024
SOLUÇÃO:
a) Se contarmos a quantidade de elementos linha por linha, teremos uma seqüência
formada por: ( 1, 2, 4, 8, 16,.....)
b) A seqüência formada corresponde a uma progressão geométrica de primeiro termo
igual a 1 e a razão correspondente a 2
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c) Para chegarmos a quantidade de elementos existentes na décima linha usaremos a
expressão do termos geral da P.G. que nos é dada por:
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