ISSN 1982 - 0283
GEOMETRIA
NO CICLO DE
ALFABETIZAÇÃO
Ano XXIV - Boletim 7 - SETEMBRO 2014
Geometria
no ciclo de alfabetização
SUMÁRIO
Apresentação........................................................................................................................... 3
Rosa Helena Mendonça
Introdução............................................................................................................................... 4
Nelson Antonio Pirola
Texto 1: Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização .............................. 9
Mônica Mandarino
Texto 2: Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da
movimentação e da localização de pessoas/objetos no mundo físico ................................... 16
Nelson Antonio Pirola
Texto 3: Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino
Fundamental? .......................................................................................................................23
Odalea Aparecida Viana
Geometria no ciclo de alfabetização
Apresentação
A publicação Salto para o Futuro comple-
A edição 7 de 2014 traz o tema Geometria
menta as edições televisivas do programa
no ciclo de alfabetização, e conta com a
de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este
consultoria de Nelson Antonio Pirola, Pro-
aspecto não significa, no entanto, uma sim-
fessor Adjunto do Departamento de Edu-
ples dependência entre as duas versões. Ao
cação da UNESP (Bauru) e Consultor desta
contrário, os leitores e os telespectadores
Edição Temática.
– professores e gestores da Educação Básica, em sua maioria, além de estudantes de
Os textos que integram essa publicação são:
cursos de formação de professores, de Faculdades de Pedagogia e de diferentes licenciaturas – poderão perceber que existe uma
interlocução entre textos e programas, preservadas as especificidades dessas formas
1. Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização
2. Práticas de ensino de Geometria: algumas
experiências com o desenvolvimento da mo-
distintas de apresentar e debater temáticas
vimentação e da localização de pessoas/obje-
variadas no campo da educação. Na página
tos no mundo físico
eletrônica do programa, encontrarão ainda
outras funcionalidades que compõem uma
3. Figuras planas e espaciais: como traba-
rede de conhecimentos e significados que se
lhar com elas nos anos iniciais do Ensino
efetiva nos diversos usos desses recursos nas
Fundamental?
escolas e nas instituições de formação. Os
textos que integram cada edição temática,
Boa leitura!
além de constituírem material de pesquisa e
estudo para professores, servem também de
Rosa Helena Mendonça1
base para a produção dos programas.
1
Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).
3
Introdução
Ensino e aprendizagem da Geometria no contexto
da alfabetização matemática
Nelson Antonio Pirola1
O Pacto Nacional pela Alfabetização
e Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvi-
na Idade Certa (PNAIC) faz parte de uma
mento do Ciclo de Alfabetização das crian-
ação do Governo Federal, com adesão de
ças brasileiras.2
estados e municípios, em prol da formação
continuada de professores alfabetizadores
Na área da Matemática, esse docu-
nas áreas de Língua Portuguesa e Matemá-
mento traz, de maneira geral, o entendimen-
tica. O PNAIC foi lançado em novembro de
to sobre o que é alfabetização matemática:
2012 e as ações preveem cursos oferecidos
por universidades, cujo material pedagógi-
A alfabetização matemática é o pro-
co é disponibilizado pelo Ministério da Edu-
cesso de organização dos saberes que a
cação. Além disso, é previsto um sistema
criança traz de suas vivências anterio-
de avaliação para o acompanhamento da
res ao ingresso no Ciclo de Alfabetiza-
aprendizagem dos alunos. O objetivo maior
ção, de forma a levá-la a construir um
do Pacto é que todas as crianças brasileiras
corpo de conhecimentos matemáticos
estejam alfabetizadas em Língua Portugue-
articulados, que potencializem sua atu-
sa e em Matemática até o terceiro ano do
ação na vida cidadã. Esse é um longo
Ensino Fundamental. Em 2013, teve início o
processo que deverá, posteriormente,
PNAIC de Língua Portuguesa e a previsão é
permitir ao sujeito utilizar as ideias ma-
que o de Matemática se inicie em 2014.
temáticas para compreender o mundo
no qual vive e instrumentalizá-lo para
Para subsidiar as ações do PNAIC, fo-
resolver as situações desafiadoras que
ram elaborados os Elementos Conceituais e
encontrará em sua vida na sociedade.
Metodológicos para Definição dos Direitos
(BRASIL, 2012, P. 60).
1
Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática.
Email: [email protected]
2
Disponível em http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&task=doc_
download&gid=12827&Itemid=.
4
A alfabetização não se limita somente
embalagens para observar a planificação; b)
ao campo dos números, mas também se es-
contornar as faces do sólido geométrico em
tende aos campos da Geometria, das grande-
um papel, com uma caneta, para observar
zas e medidas e do tratamento da informação.
as figuras planas que formam aquele sólido;
c) compor e decompor figuras planas e es-
Um dos eixos estruturantes a ser
paciais utilizando sucatas e quebra-cabeças
trabalhado no PNAIC é o de Espaço e For-
; d) ampliar e reduzir figuras em um papel
ma/Geometria. No ciclo de alfabetização,
quadriculado; d) explorar simetrias em dife-
as crianças deverão:
rentes contextos; e) desenhar vistas de objetos tendo como referência diferentes pers-
1- Construir noções de localização e movi-
pectivas, entre muitas outras.
mentação no espaço físico para a orientação espacial em diferentes situações do co-
tidiano. Por meio de brincadeiras, registros
damental importância que o professor alfa-
orais e escritos, construção de maquetes,
betizador saiba ouvir os relatos das crianças,
trabalho com mapas e croquis, entre ou-
suas hipóteses, seus argumentos e o que
tras atividades, as habilidades de orientação
estão pensando sobre uma determinada si-
espacial podem ser desenvolvidas. Noções
tuação. A experimentação nas aulas de Ge-
como direita, esquerda, para cima, para bai-
ometria é um recurso que pode levar os alu-
xo, ao lado de, bem como as noções topológi-
nos à construção de conceitos e princípios
cas como dentro, fora e fronteira podem ser
(relações entre conceitos) e à resolução de
trabalhadas em conexão com outras discipli-
problemas. Materiais simples, como emba-
nas, como a Educação Física e a Geografia.
lagens, sucatas e etc., podem se transformar
No ciclo de alfabetização, é de fun-
em recursos interessantes para a aprendiza2- Reconhecer formas bidimensionais e
gem da Geometria. A visita a sites de mu-
tridimensionais. O trabalho com as figuras
seus, como o Museu de Arte de São Paulo –
geométricas planas e espaciais possibilita às
MASP –( http://masp.art.br/masp2010/) pode
crianças o desenvolvimento da percepção
despertar a curiosidade sobre a vida e a obra
geométrica que, segundo Sternberg (2000),
de determinados artistas, bem como sobre
se refere a um conjunto de processos psico-
os recursos geométricos utilizados na com-
lógicos pelos quais as pessoas reconhecem,
posição de suas pinturas.
organizam, sintetizam e dão significado às
sensações e estímulos recebidos pelos ór-
gãos dos sentidos. Essa percepção geométri-
tos interessantes, como o projeto “recrian-
ca pode ser desenvolvida por meio de várias
do obras de arte” que consiste em estudar
ações, como as de: a) montar e desmontar
um artista, sua vida e obra. Depois, os alu-
Há escolas que desenvolvem proje-
5
nos, em um trabalho interdisciplinar en-
possível, utilizando diferentes tipos de re-
volvendo Arte e Geometria, recriam a obra
cursos didáticos, motivar a aprendizagem
de acordo com o seu olhar. Trabalhos fan-
das crianças, levando-as a construir concei-
tásticos são produzidos!!!
tos de forma significativa e interdisciplinar.
O PROGRAMA
O segundo bloco, denominado “Lo-
calização e Movimentação” pretende aborPara tratar do tema gerador “Ensi-
dar um dos eixos do ensino da Geometria
no e aprendizagem de Geometria no con-
no ciclo de alfabetização, que é a localiza-
texto da alfabetização matemática” foi
ção e a movimentação de pessoas e objetos
elaborado um programa que se divide em
no mundo físico.
três blocos que não são disjuntos, mas
complementares, e que fornecem escopo
para o entendimento sobre a amplitude do
trabalho com a Geometria nessa etapa da
escolaridade que envolve os três primeiros
anos do Ensino Fundamental.
O primeiro bloco intitula-se “Objeti-
vos do ensino de Geometria na alfabetiza-
Situações cotidianas, como inter-
pretar uma placa de trânsito, entender a
informação do GPS para se localizar, ou
solicitar uma informação de outra pessoa
para se chegar a um determinado local,
são exemplos de como é importante o desenvolvimento de habilidades geométricas,
como a lateralidade, para a movimentação
e a localização.
ção”. A ideia é mostrar os diferentes contextos em que podemos explorar conceitos
e propriedades geométricas, como a nature-
da Educação Matemática procura discutir
za, arquitetura e obras de arte. Pretende-se
como trabalhar os conceitos de localização
mostrar a importância da Geometria para
e movimentação com crianças de 6 a 8 anos.
A entrevista com especialistas na área
diferentes profissões, como a de engenheiro, biólogo, matemático, etc.
As conexões com a Educação Física e
com a Geografia são exemplos de como es
A entrevista com especialistas na
área da Educação Matemática visa elucidar
sas disciplinas podem interagir com o ensino de Geometria.
o porquê, o como e o quando trabalhar com
a Geometria no ciclo de alfabetização. Ao
O terceiro bloco, denominado “For-
apresentar escola(s) em que o ensino de
mas’, procura explorar as diferentes formas
Geometria se processa de forma diferen-
geométricas, como as obras de arte, as pin-
ciada, temos como objetivo mostrar que é
turas e as esculturas; as construções, como
6
igrejas, prédios, monumentos; e as mani-
Geometria nos anos iniciais do Ensino Fun-
festações artísticas produzidas por diferen-
damental?” A autora faz uma discussão que
tes culturas, como cestarias e bordados,
envolve aspectos históricos e conexões da
que utilizam vários elementos geométricos,
Geometria com diferentes manifestações
como formas, simetrias, regularidades, pa-
artísticas e culturais. Destaca os dois eixos
drões, curvas, perspectivas, profundidade,
do ensino da Geometria no ciclo de alfabe-
entre outras.
tização, que são: a visualização e o pensamento geométrico, bem como a localiza-
No contexto da sala de aula, o pro-
ção e a orientação.
fessor pode utilizar esses recursos para ensinar as características (atributos) das figuras
É destacada a importância dos re-
e suas principais propriedades. A simetria
gistros orais e escritos das experiências vi-
é um importante conceito geométrico que
vidas pelas crianças quando trabalham de
está presente em várias obras de arte. Por
forma coletiva ou individualmente.
exemplo, no quadro de Alfredo Volpi, podemos estudar as formas geométricas (ban-
deirinhas), as regularidades e as simetrias.
entendimento da importância que o conhe-
Além disso, é um importante instrumento
cimento geométrico tem para a resolução
para que os alunos façam conexões da Ge-
de diversas situações que são geometriza-
ometria com as Artes e conheçam as princi-
das, como as que envolvem a orientação
pais obras de importantes artistas.
espacial e a percepção geométrica.
TEXTO 2
Para subsidiar as reflexões sobre o
O texto em tela é importante para o
ensino e a aprendizagem da Geometria no
ciclo de alfabetização, foram elaborados
O texto de Nelson Antonio Pirola, in-
três textos que dão embasamentos teóricos
titulado Práticas de ensino de Geometria:
e metodológicos para a compreensão dos
algumas experiências com o desenvolvi-
três blocos do Programa.
mento da movimentação e da localização
de pessoas/objetos no mundo físico, faz
TEXTO 1
uma discussão mais aprofundada sobre um
dos eixos do ensino da Geometria no ciclo de
O texto intitulado Objetivos do en-
alfabetização, que diz respeito à orientação
sino de Geometria no processo de alfabe-
espacial, discussão essa iniciada no Texto 1,
tização, de Mônica Mandarino, parte de
que enfoca os objetivos do ensino da Geo-
uma questão instigante: “Por que ensinar
metria. Nesse texto, o autor destaca a im-
7
portância da exploração de diversos espaços
jetivo de levar os alunos do primeiro ciclo do
para o desenvolvimento dessa habilidade. O
Ensino Fundamental à construção de alguns
Centro de Treinamento de Trânsito, o pátio
conceitos geométricos. Algumas dessas ati-
da escola e a sala de aula são alguns dos am-
vidades podem ser desenvolvidas desde o ci-
bientes em que o trabalho com a movimen-
clo de alfabetização.
tação e a localização pode ser desenvolvido
de forma lúdica, constituindo-se em um ele-
São apresentadas atividades que en-
mento motivador para a aprendizagem.
volvem: a) identificação de semelhanças entre figuras planas, b) composição e decom-
O texto traz depoimentos de uma
posição de figuras; c) antecipação de escolha
especialista em Educação Física que mos-
de faces para formar poliedros; e d) desen-
tra algumas interações possíveis da Edu-
volvimento do vocabulário geométrico.
cação Física com a Geometria. Além disso,
traz também o depoimento de uma profes-
Espera-se que o programa, subsidiado
sora alfabetizadora que interage o trabalho
pelos textos, possa contribuir com o debate
com figuras geométricas espaciais com o
acerca da importância do ensino articulado
de movimentação e localização, por meio
da Geometria no ciclo de alfabetização com
da construção de uma maquete. Ainda des-
outros áreas do conhecimento e com práti-
taca o GPS como elemento importante,
cas de ensino motivadoras da aprendizagem.
utilizado muito nos dias de hoje, para localização e movimentação.
TEXTO 3
REFERÊNCIAS
BRASIL.
Outro eixo do ensino da Geometria
Ministério
da
Aprendizagem.
Educação.
no ciclo de alfabetização é destacado no texto
reitos
de
de Odalea Aparecida Viana, que aborda as Fi-
nível
em
guras planas e espaciais: como trabalhar com
index.php?option=com_docman&task=doc_
elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
download&gid=12827&Itemid=> Acesso em
<
2013.
Di-
Dispo-
http://portal.mec.gov.br/
17/02/2014.
A autora destaca a teoria de Van Hie-
le discutindo e ilustrando os cinco níveis do
STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad.
desenvolvimento do pensamento geomé-
Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre:
trico proposto por esse autor. A seguir, são
ArtMed, 2000, 494 p.
apresentadas algumas atividades com o ob-
8
texto
1
Objetivos do ensino de Geometria no processo
de alfabetização
Mônica Cerbella Freire Mandarino1
Ao pensar nos objetivos do ensino
de Geometria, em especial na fase de alfabe-
ensino de Geometria é a sistematização desses conhecimentos.
tização, surge uma questão mais geral: Por
que ensinar Geometria nos anos iniciais do
Em segundo lugar, nossa reflexão
Ensino Fundamental?
precisa levar em conta a importância histórica da Geometria desde as primeiras fases
Primeiramente, a Geometria está
do desenvolvimento do saber matemático.
constantemente presente em nosso dia a
As grandes civilizações antigas – chinesa,
dia. Tal afirmação traz implícita uma visão
hindu, mesopotâmica, egípcia –, a partir da
de Geometria diferente daquela que valori-
necessidade prática para resolver problemas
za apenas a apresentação formal de regras,
cotidianos, desenvolveram conhecimentos
classificações e nomenclaturas. Para nós,
geométricos, muitas vezes bastante elabora-
a Geometria se faz presente desde os pri-
dos e formais. Sabiam construir figuras pla-
meiros meses de vida de uma criança, no
nas e espaciais, conheciam relações entre
aprendizado dos movimentos e no reconhe-
as grandezas geométricas, calculavam com-
cimento do espaço em seu redor. Com o de-
primentos, áreas e volumes, conhecimentos
senvolvimento motor e cognitivo posterior,
que atendiam a necessidades socioeconômi-
as crianças começam a desenvolver compe-
cas e culturais de cada época e lugar. Dentre
tências geométricas cada vez mais comple-
elas, a civilização grega dos séculos 7 a.C.
xas, por exemplo, para: realizar e descrever
a 3 a.C. é a mais reconhecida, por ter sido
deslocamentos; reconhecer e descrever uma
responsável pela organização da Geometria
localização; caracterizar e classificar objetos
como ciência lógica e dedutiva.
do mundo físico. Assim, um dos objetivos do
1
Docente do Programa de Mestrado em Educação da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO)
e professora colaboradora do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. [email protected]
9
Nessa concepção, é preciso consi-
As coisas que as crianças observam,
derar que, ao iniciar o processo de alfabe-
bem como as referências (estar distante de,
tização, as crianças trazem consigo noções
estar próximo de, por exemplo) e as relações
geométricas informais, construídas em sua
(como tem a mesma forma que, é maior do que)
vivência cotidiana. Como enfatiza Fonseca
que conseguem estabelecer, devem ser objetos
et al. (2001), os estudantes já exploram
o espaço e detêm algum
conhecimento
sobre o mesmo. Conhecimentos
cons-
truídos por meio de
suas brincadeiras e
da própria construção de brinquedos, de
passeios
realizados
de reflexão associados
“ (...) As experiências
prévias precisam
servir como elementos
de referência para o
professor organizar
atividades que contribuam
para, aos poucos, dar
significação aos conceitos
matemáticos.”
às atividades matemáticas escolares.
Segundo
os
PCNs dos anos iniciais do Ensino Fundamental, os objetivos do ensino de
Geometria no primeiro ciclo são dois:
e também quando
• Estabelecer pontos
auxiliam seus familiares em alguma atividade. As experiências
de referência para situar-se, posicionar-se e
prévias precisam servir como elementos de
deslocar-se no espaço, bem como para identi-
referência para o professor organizar ativi-
ficar relações de posição entre objetos no es-
dades que contribuam para, aos poucos, dar
paço; interpretar e fornecer instruções, usan-
significação aos conceitos matemáticos.
do terminologia adequada.
É importante salientar que partir dos
• Perceber semelhanças e diferenças entre
conhecimentos que as crianças pos-
objetos no espaço, identificando formas tridi-
suem não significa restringir-se a eles,
mensionais ou bidimensionais, em situações
pois é papel da escola ampliar esse
que envolvam descrições orais, construções e
universo de conhecimentos e dar condições a elas de estabelecerem vínculos entre o que conhecem e os novos
conteúdos que vão construir, possibilitando uma aprendizagem significativa
(BRASIL, 1997, p.45).
representações. (BRASIL, 1997, p.47)
Na docência, quando refletimos so-
bre “para quê ensino algo” é preciso ir além
da dimensão utilitária como a resolução de
problemas da vida cotidiana. Como afirmam
Fonseca et al (2001), o estudo da Geometria
10
é importante também como meio de facili-
As ilustrações acima mostram o uso
tar as percepções espaciais dos estudantes,
de padrões geométricos. Tais padrões, tanto
contribuindo para uma melhor apreciação
os criados pelas pessoas quanto os da natu-
das construções e dos trabalhos artísticos,
reza, se caracterizam pelo uso de simetrias,
tanto dos seres humanos quanto da nature-
do paralelismo e de polígonos regulares, en-
za. A Geometria está presente em diversas
tre outros elementos geométricos. Uma das
manifestações culturais e artísticas: arte-
riquezas de nossa cultura são os artistas po-
sanatos, tecelagens, tapeçarias, esculturas,
pulares e podemos tirar proveito disso para
construções e objetos do cotidiano. Na arte
explorar e sistematizar conceitos geométri-
dos indígenas brasileiros, por exemplo, a Ge-
cos de forma prazerosa. O desenho, a arqui-
ometria se manifesta de forma marcante.
tetura e a escultura também fornecem ótimos elementos para o ensino de Geometria.
É importante chamar a atenção das crianças
para características geométricas presentes
em obras de arte e em construções, como as
que destacamos a seguir.
11
Obra de Mondrian
Fonte: http://cealdecote.wordpress.com/2007/12/
Fonte: http://meninasemarte.wordpress.com/tag/arte-indigena/
Projeto de Oscar Niemayer
MAC (Museu de Arte Contemporânea), Niterói, RJ.
Nossa proposta de abordagem
da Geometria
não conseguem descrever com clareza um
caminho a percorrer, por exemplo. É conversando com os alunos que podemos desco-
Neste texto buscamos destacar a im-
brir como usam termos e pontos de referên-
portância de uma abordagem que integre
cia e ajudá-los a aperfeiçoarem estes usos e
conhecimentos prévios, desenvolvidos na e
a ampliarem o vocabulário. Cabe destacar
pela interação social com o mundo físico,
que atividades de localização e movimenta-
com conhecimentos mais formais, da ma-
ção não fazem muito sentido se reproduzi-
temática historicamente construída. Nela
das em papel, no livro ou em folhas de exer-
são muito bem vindos os inúmeros jogos ou
cício. Estar perto, longe, em cima, em baixo,
atividades com materiais concretos que po-
atrás, na frente, entre, etc., só faz sentido
dem ser experimentados na escola. Os jogos
concretamente, a partir de um referencial
que envolvem movimento e localização das
estabelecido com clareza.
crianças, a montagem de modelos concretos de figuras geométricas com canudos de
refrigerantes, com garrafas pet ou com su-
Visualização e pensamento geométrico
cata, e muitas outras atividades desse tipo
podem enriquecer o ensino.
Sabemos que as percepções prove-
nientes dos movimentos e dos sentidos, em
Destacamos especialmente as atividades de
especial do tato e da visão, cumprem uma
desenho. Desde os rabiscos espontâneos,
função fundamental na constituição de nos-
até os desenhos com o auxílio de instrumen-
so pensamento geométrico.
tos simples e adequados à faixa etária, existe
um vasto repertório de atividades escolares
A visão nos ajuda a captar e interpre-
que auxiliam a criança a representar os obje-
tar as informações provenientes do mundo
tos ao seu redor e a compreender as proprie-
que nos cerca, bem como a constituir ima-
dades geométricas das figuras desenhadas
gens mentais baseadas nessas informações.
ou reproduzidas em imagens gráficas.
Por exemplo, ao olharmos uma bola de
futebol, criamos a imagem mental de um
Também são fundamentais as con-
objeto com propriedades apropriadas para
versas e debates. Qualquer nomenclatura
realizar movimentos muito variados e que
se desenvolve e ganha significado apenas se
a torna propícia àquele esporte. É na escola
tivermos necessidade de usá-la. As crianças
que podemos ajudar os alunos a fazerem a
pequenas, muitas vezes, usam termos liga-
imagem mental do objeto geométrico asso-
dos à localização de forma equivocada ou
ciado à bola – uma superfície esférica – que
12
é uma abstração, definido como a região do
são da criança de um diagrama coincide com
espaço na qual todos os pontos são equi-
a desejada pelo professor. Pesquisas apon-
distantes de um mesmo ponto, o centro
tam para o fato de que as diferenças entre
da esfera. Num sentido que se pode dizer
a interpretação desses objetos se constitui
inverso, a visualização é outra capacidade
em um dos principais obstáculos no estudo
geométrica importante.
da Geometria (PARZYSZ, 1988; ARSAC, 1989;
LABORDE & CAPPONI, 1994).
Estas capacidades estão sempre pre-
sentes em atividades de representação grá-
Localização e orientação
fica de objetos tridimensionais por meio de
desenhos. Reproduzir um objeto tridimen-
Os movimentos da criança, a explo-
sional por meio de desenho é uma ativida-
ração do espaço e as interações propiciadas
de bastante complexa, já que o desenho é
pelas diversas formas de linguagem caracte-
bidimensional e é preciso fazer escolhas do
rizam a fase inicial, espontânea, da aquisição
que representar e do que abandonar de in-
das competências geométricas. Essas primei-
formação, tentando garantir que o desenho
ras aquisições permitem à criança localizar
“leve seu leitor” ao objeto representado. O
objetos, observar os seus deslocamentos e
uso de capacidades como as descritas aqui
situar-se no seu entorno físico.
evidenciam que a Geometria favorece o desenvolvimento de um pensamento crítico e
A noção de referencial é básica em
autônomo nos alunos (PAVANELLO, 1993).
todas as atividades que envolvem localização
Como diz Freudenthal (1973) [...] as formas
e movimento. Reconhecer se um objeto ou
no espaço são um guia insubstituível para a
uma pessoa está longe ou perto, em cima ou
pesquisa e a descoberta (p. 407).
embaixo, à direita ou à esquerda, requer que
se estabeleça sempre outro objeto ou pessoa
Para nós, no estudo da Geometria, é
como referência: longe ou perto da casa de
preciso investir na compreensão das repre-
Maria; em cima ou embaixo da mesa; à direi-
sentações de figuras espaciais por meio de
ta ou à esquerda de Pedro. Como ocorre com
desenhos em uma folha de papel. Estas re-
muitas noções básicas, o referencial é tão
presentações, que Parzysz (1988) chama de
enraizado nas atividades que envolvem a lo-
diagramas, incluem não apenas as represen-
calização e o movimento, que ele acaba por
tações de figuras geométricas simples, mas
ficar implícito em nossas falas. Nesses casos,
também a representação esquemática de
sempre cabe ao interlocutor, dependendo do
objetos concretos. Uma das dificuldades em
contexto, tornar claro qual o referencial to-
Geometria é que nem sempre a compreen-
mado numa determinada situação.
13
Apesar de, na linguagem cotidiana,
como o trajeto entre a sala de aula e outro
ser comum a ausência de explicitação do
ponto da escola, são fundamentais para de-
referencial, o professor deve ser muito cau-
senvolver competências de localização. O
teloso nesse aspecto, já que a omissão do
professor pode, depois de ir com sua turma
referencial, em atividades propostas em livros didáticos, por exemplo, pode torná-las
enigmáticas ou mesmo inexequíveis.
de um ponto a outro da própria escola, propor atividade de elaboração de um texto coletivo que registre o percurso, com pontos de
referência, como se fosse o registro para que
outras pessoas pudessem percorrer o mesmo
Atividades de representações gráfi-
trajeto. Atividades deste tipo devem ser pro-
cas como croquis, plantas baixas, mapas e
postas com ampliação do trajeto, individuali-
construção de maquetes, também são im-
zação dos deslocamentos e uso das rotas des-
portantes no ensino escolar, pois levam a
critas por uns e por outros alunos de modo a
criança a adquirir competências mais elabo-
verificarem sua eficácia.
radas de localização de objetos e de observação de deslocamentos.
Finalizamos este texto enfatizando
dois aspectos primordiais em nossa propos
A maioria dos livros didáticos traz
propostas para que a criança trace percurso em mapas ou em malhas quadriculadas.
No entanto, muitas vezes, o “mapa” apresentado contém erros de representação da
realidade que podem ser aceitáveis se produzidos pelas crianças, mas que não deveriam estar presentes nos livros. Um problema frequente é confundir quem está sendo
tomado como referência: o personagem na
ilustração ou o leitor do livro.
Atividades envolvendo malhas quadri-
culadas e o plano cartesiano para localização
de pontos ou de regiões são muito importantes. Desde os primeiros anos de escolaridade
é possível brincar com quadriculados simples
para que a criança localize algo a partir da
descrição do professor de sua localização e
vice-versa. A descrição oral de percursos,
ta: o desenho e o registro oral ou escrito em
linguagem materna das experiências vivenciadas no coletivo ou individualmente.
14
REFERÊNCIAS
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thirteenth conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education,
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15
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FREUDENTHAL, Hans. Mathemathics as an educational task. Dordrecht: Reidel, 1973.
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PARZYSZ, B. Knowing vs Seeing, Problems for the Plane Representation of Space Geometry Figures. Educational Studies in Mathematics, n°19.1, 1988, pp 79-92.
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Zetetiké, n1, 1993. P. 7-17.
texto
2
Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da movi mentação e localização de pessoas / objetos no
mundo físico
Nelson Antonio Pirola1
Este texto tem como principal ob-
Geralmente o professor ensinava
jetivo apresentar algumas experiências de
Geometria no fim do ano, era um dos
práticas de ensino de Geometria no ciclo de
últimos conteúdos. O tempo para tra-
alfabetização (três primeiros anos do Ensino
balhar esse conteúdo era mínimo; os
Fundamental) no que diz respeito ao desen-
professores não davam muita impor-
volvimento de habilidades relacionadas à
tância, era somente um conteúdo a
movimentação e localização .
mais. Os recursos utilizados para ex-
2
plicação desse conteúdo eram: cader-
Algumas pesquisas, como as de Piro-
no, lousa, giz e réplicas de sólidos que
la (1995), mostram que, embora os currículos
podíamos manusear, mas sem muita
oficiais preconizem o ensino de Geometria
contextualização, era somente para
em todas as etapas da Educação Básica, o que
reconhecimento da figura.
se percebe, na sala de aula, é a predominância
de práticas de ensino de conteúdos de Geometria alicerçadas em memorização de nomes de figuras e propriedades geométricas,
Dessa forma, o ensino de Geometria
quase sempre esteve pautado na visualização
sem conexões com outras áreas da Matemá-
de formas e no reconhecimento de proprie-
tica e outros campos do saber. Como salienta
dades geométricas. O desenvolvimento de
uma professora do 3º ano do Ensino Funda-
outras habilidades geométricas, tais como
mental, quando questionada sobre como era
aquelas relacionadas à movimentação e lo-
o ensino de Geometria na época em que ainda
calização, de orientação espacial e de per-
era aluna da Educação Básica, a Geometria,
cepção geométrica, parecem sempre ter sido
tradicionalmente, sempre era deixada para o
pouco exploradas no ensino de Geometria.
final do ano letivo:
1
Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor
Temática. Email: [email protected]
2
desta
Edição
Neste texto a movimentação e a localização se referem sempre às pessoas e objetos no espaço físico.
16
O ensino de Geometria pode ser
rações entre a Geometria e Educação Física.
mais atrativo se o professor incorporar em
suas práticas de ensino atividades lúdicas
A relação interdisciplinar na Educa-
e desafiadoras. Entre outras abordagens, o
ção Física, na infância e no ciclo de alfabe-
professor alfabetizador poderá utilizar di-
tização, na escola, é muito positiva, pois,
ferentes espaços para explorar conceitos
ao tratar com o movimento dos corpos, se
e propriedades geométricas relacionadas à
desenvolvem noções que envolvem experi-
movimentação e à localização.
ências lógico-matemáticas e as estruturas
cognitivas que pouco a pouco se modificam
A visita a um Centro de Treinamento
conforme haja aprendizagens significati-
de Trânsito, que desenvolve projetos na área
vas, ou seja, interessantes e apropriadas
de Educação para o Trânsito, poderá forne-
para cada aluno, de acordo com sua cultura
cer elementos para se trabalhar a movimen-
e fase de desenvolvimento.
tação de pessoas e veículos, utilizando como
recursos as placas de trânsito e o semáforo,
Trabalhar com deslocamentos no es-
por exemplo. Nesse caso, as crianças po-
paço, tal como na Geometria (andar,
derão compreender quando devem parar,
correr, saltar, equilibrar, etc.), se deslo-
quando podem atravessar a rua, qual a faixa
car de frente, de costas, de lado, numa
de ciclista e também conhecer o significado
brincadeira de “pega–pega”, por exem-
das placas espalhadas pela cidade.
plo, dá à criança possibilidades de experimentar seu corpo e os outros cor-
A quadra de esportes e o pátio da es-
pos, entendendo o que está em cima,
cola são ambientes em que o professor alfa-
embaixo, ao seu lado, e de que lado. Es-
betizador poderá desenvolver atividades de
tas são noções que se relacionam com
Educação Física com interações com a Geo-
o mundo natural e com a Geometria,
metria. Os jogos esportivos, como o vôlei e o
uma vez que essa parte da Matemática
futebol, e as brincadeiras, como o “pega-pe-
também se preocupa, desde a Educa-
ga”, são elementos importantes e motiva-
ção Infantil, com o desenvolvimento da
dores para se trabalhar, entre tantas outras
lateralidade e do reconhecimento da
coisas, com a movimentação e a localização
importância de se estabelecerem pon-
das pessoas.
tos de referência para localizar uma
pessoa ou objeto no espaço.
A seguir, destacamos um depoimento
de uma especialista que mostra algumas inte3
Departamento de Educação – UNESP -Bauru
Profª Drª Luciene Ferreira da Silva3
17
Dessa forma, realizando atividades lú-
dicas, construindo brinquedos e trabalhando
das para localizar um determinado animal
ou uma obra de arte.
em grupos, é possível desenvolver habilidades geométricas, explorando a lateralidade, a
A sala de aula também se constitui
orientação espacial e a
em um rico espaço des-
percepção geométrica,
tinado à exploração de
componentes
impor-
tantes do pensamento
geométrico.
As
habilidades
de movimentação de
um objeto também podem ser exploradas por
meio da brincadeira do
“passa-passa”
(PIRO-
LA, 2006). Essa brincadeira consiste em dispor os alunos em fila
e entregar ao primeiro
um objeto (uma bola,
por exemplo). Vários
comandos podem ser
“ (...) realizando
atividades lúdicas,
construindo brinquedos
e trabalhando em
grupos, é possível
desenvolver habilidades
geométricas,
explorando a
lateralidade, a
orientação espacial e a
percepção geométrica,
componentes
importantes do
pensamento
geométrico.”
atividades de ensino de
Geometria.
A professora Alessandra Vitali trabalha com
uma turma do 3º Ano
do Ensino Fundamental
da EMEB Prefeito Prof.
José Mendesano, da cidade de Registro, São
Paulo.
Ela relata uma
experiência interessante em relação ao trabalho com a Geometria.
Utilizando embalagens
variadas trazidas pelos
alunos, a turma montou
dados: Por exemplo, o
um mercadinho.
Ini-
professor pode solicitar
cialmente foi feita uma
a um aluno que passe
classificação dos pro-
o objeto por cima de sua cabeça para quem
dutos: produtos de limpeza, alimentação etc.
está atrás dele. A seguir, esse aluno deverá se
Posteriormente, as embalagens foram classi-
colocar como o último da fila.
ficadas em corpos redondos e poliédricos.
Outros espaços podem ser explora-
dos pelo professor no processo de ensino
da Geometria. Por exemplo, em uma visita
Desde o 1º bimestre exploro a Geometria
com meus alunos, oralmente e com atividades pertinentes. Utilizo a interdisciplinaridade sempre que possível para explo-
a um zoológico, ou museu, os mapas e as
rar, tanto oralmente quanto no registro,
sinalizações com setas podem ser explora-
sobre o tema. Os alunos gostam bastante
18
da comparação das formas geométricas
cações. De acordo com o relato da professo-
com os objetos que fazem parte do dia-a-
ra Alessandra, também é possível fazer uma
-dia, seja na escola, no trajeto ou em casa.
maquete com ruas e prédios. A partir dessa
A maioria compreendeu bem a diferenciação de figuras geométricas dos sólidos
geométricos, os quais explorei em sala
maquete, várias atividades de movimentação e localização poderão ser realizadas. Por
exemplo: na maquete construída da cidade,
com objetos do mercadinho, comparando
pode-se identificar qual o melhor caminho
formas, tamanhos e espessuras. (...) Neste
para se deslocar da praça à padaria. Aqui po-
bimestre recortamos e colamos os sólidos
derão ser utilizados relatos orais com o uso
geométricos do livro didático. Foi uma ativi-
de noções de lateralidade.
dade que os alunos adoraram. Após debate
e explicação das planificações para formar
os sólidos, fiz uma exploração inicial sobre as arestas, os lados e os vértices, com
As habilidades de localização e movi-
mentação podem, ainda, ser desenvolvidas
os sólidos mais utilizados e conhecidos. As
utilizando o papel quadriculado, croquis e
crianças fizeram comparações e compreen-
mapas em um trabalho com interações com
deram que a Geometria está presente em
a Geografia. A descrição de trajetos, a identi-
todos os lugares.
ficação de locais em mapas e a identificação
do que está ao sul, ao norte, a leste a oeste
Também realizamos uma maquete simbólica, com os objetos do mercadinho. Fizemos uma disputa entre meninas e meninos: montar uma rua com casas, prédios,
são alguns elementos interessantes utilizados para articular o ensino da Geografia
com o de Geometria.
carros e outros objetos pertinentes, para
posteriormente explorarmos as figuras ge-
ométricas através dos sólidos. Claro que
entre outras coisas, a importância do reco-
houve empate! Todos demonstraram aten-
nhecimento de pontos de referências para a
ção e envolvimento, se divertiram e aprenderam um pouco mais sobre a Geometria,
deixando claro que vale a pena utilizar o
concreto aliado ao registro escrito, pro-
Atividades dessa natureza enfatizam,
localização e a movimentação no espaço.
Vários recursos já foram desenvolvi-
porcionando ao ensino uma melhor assi-
dos para auxiliar as pessoas a se localizarem e
milação dos conhecimentos pelos alunos.
a se movimentarem. Um desses recursos é o
GPS (Sistema de Posicionamento Global), que
O trabalho com embalagens de di-
dá as informações necessárias para se che-
ferentes formatos é bastante interessante,
gar a um determinado destino. Entretanto,
pois, por meio delas, é possível realizar clas-
o conhecimento das noções de lateralidade
sificações de sólidos geométricos e planifi-
é imprescindível para realizar um determina-
19
do trajeto com sucesso, uma vez que o GPS
Outro recurso muito utilizado para
utiliza comandos como: virar à direita, virar
dar a posição de uma pessoa é o celular, pois
à esquerda, fazer uma curva suave à direita,
muitos modelos já têm o GPS integrado. Vá-
manter-se à esquerda e assim por diante.
rias pessoas utilizam as redes sociais para
postarem a sua localização em um dado mo-
Antes da criação e utilização do GPS
mento (fazer check-in).
em larga escala, outros recursos eram utilizados para realizar a movimentação e localização. Entre esses recursos destacamos
as indicações orais e os mapas. Uma pessoa
que chegava a uma cidade em que nunca foi
e desejava localizar uma determinada rua,
geralmente parava o carro e perguntava a
alguém onde ficava essa rua. Com as informações obtidas, como “anda três quadras
e vire à esquerda, passando o supermercado vire à direita” era possível chegar a um
determinado local. A consulta a um mapa
também possibilitava chegar ao destino de-
No ciclo de alfabetização, os regis-
tros oral e escrito dos alunos possibilitam
constituir um dos instrumentos para avaliar o desenvolvimento das habilidades relacionadas à localização e movimentação.
O professor alfabetizador poderá utilizar a
roda de conversa, realizada no pátio da escola, para pedir aos alunos que destaquem
alguns pontos de referência presentes em
seu trajeto casa-escola. Podem destacar praça, igreja, edifício, etc. A seguir, os alunos
sejado. Quando não se dispõe do GPS, esses
poderão registrar esses pontos de referência
recursos ainda são utilizados.
em um desenho. Uma variação dessa atividade é solicitar aos alunos que desenhem o
Com o GPS, as informações são obti-
trajeto que fazem para se deslocar da sala
das em tempo real, o que possibilita ao mo-
de aula ao refeitório. A seguir destacamos a
torista economia de tempo e maior precisão
produção de um aluno de seis anos com o
nas informações.
desenho do trajeto de sua casa à escola.
Ao explicar o trajeto, o aluno disse
que sua tia saía de sua casa (B) e ia
buscá-lo em casa (A). A seguir, a tia
retornava no sentido de B para ir até
C, que é a escola. A professora dessa
turma ficou intrigada, querendo saber
por que a tia não ia direto de A para C.
Conversou com a tia e mostrou o traO GPS facilita a movimentação e a localização.
jeto feito pelo aluno e questionou por
20
que, uma vez em A, não seguia direto
para C, não sendo necessário voltar.
A tia explicou que seu sobrinho tinha
feito o itinerário correto, uma vez que
para ir de A a C direto era inviável, pois
as ruas apresentavam muitos buracos,
dificultando bastante o deslocamento.
Extraído de Pirola (2006). P. 199-200
Feita a atividade, as produções dos
alunos podem ser expostas e cada um deles
pôde explicar o seu desenho e os pontos de
referências destacados.
De forma geral, existem muitas ati-
vidades interessantes a serem desenvolvidas
com os alunos para desenvolver a habilidade
de movimentação e localização. O professor
alfabetizador não pode ficar restrito somente ao ambiente da sala de aula. Precisa se
movimentar com seus alunos, explorando
outros espaços e realizando conexões com
outros campos do saber, como, por exemplo,
a Educação Física e a Geografia. O trabalho
interdisciplinar é importante no processo de
construção do conhecimento, pois possibilita, entre outras coisas, utilizar um determinado conceito em diferentes contextos.
21
REFERÊNCIAS
PIRES, C. M. C; CURI, E. CAMPOS, T.M.M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas
pelas crianças. São Paulo: PROEM. 2000.
PIROLA, N. A. Um estudo sobre a formação dos conceitos de triângulo e paralelogramo
em alunos de 1º grau. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
______ . Espaço e forma na educação infantil. In: Coletânea de Textos do CECEMCA. 1ed, 2006, v.
1, p.192-240.
22
texto
3
Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas
nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
Odalea Aparecida Viana1
A Geometria escolar estuda o espaço
de uma maneira simplista, acabam impedindo
e as formas. Neste texto, iremos nos dedicar
que nossas crianças aprendam conceitos geo-
às formas que podem ser representadas como
métricos. O Quadro 1 mostra algumas afirma-
figuras geométricas.
ções que são frequentes nas falas dos professores (VIANA et al., 2013) e a nossa percepção em
Sabemos que a Geometria plana estu-
relação às mesmas.
da as figuras planas (ou bidimensionais), como
AFIRMAÇÕES
NOSSA PERCEPÇÃO
1ª) AO OBSERVAR AS FORMAS
DOS OBJETOS, AS CRIANÇAS
APRENDEM GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
2ª) AO MANIPULAR OBJETOS
CONCRETOS, AS CRIANÇAS
APRENDEM GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
3ª) QUANDO ASSOCIAM O
NOME ÀS FIGURAS GEOMÉTRICAS, AS CRIANÇAS APRENDEM
GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
parede, associamos essas formas a retângulos.
4ª) AO DESMONTAR E MONTAR
CAIXINHAS DE EMBALAGENS,
AS CRIANÇAS APRENDEM
GEOMETRIA ESPACIAL.
5ª) AO CONTAR FACES, VÉRTICES
E ARESTAS, AS CRIANÇAS APRENDEM GEOMETRIA ESPACIAL.
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
quadrados, retângulos, triângulos, polígonos,
etc.; e que a Geometria espacial estuda as
figuras espaciais (ou tridimensionais), como
cubos, paralelepípedos, pirâmides, cilindros,
etc. Os objetos produzidos pelo homem têm
formas tridimensionais, apesar de, em alguns
casos, nos referirmos apenas à forma de uma
de suas partes. Por exemplo, quando olhamos
a porta, a janela, o quadro branco ou a própria
Entendemos que explorar as proprie-
dades das figuras geométricas, bem como
23
Quadro 1. Afirmações comuns nas falas dos professores
compor e decompor formas, pode ser um bom
caminho para as crianças aprenderem conceitos e desenvolverem seu raciocínio em Geometria. No entanto, inicialmente vamos contestar algumas ideias que, ao serem admitidas
Evidentemente, a alternativa assina-
lada “não concordamos” é uma provocação
para que possamos tecer algumas reflexões
sobre o ensino e aprendizagem da Geome-
1
Professora da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, da Universidade Federal de Uberlândia.
[email protected]
tria. O objetivo deste texto é apresentar uma
A aprendizagem da Geometria se dá
concepção acerca da formação de conceitos
pelo desenvolvimento do chamado “pensa-
geométricos elementares e o papel das figu-
mento geométrico”, conforme denominado
ras nesse processo.
por Van Hiele – um autor que se preocupou
em estudar como os conceitos geométricos
Conceitos
Sob a perspectiva piagetiana, pode-
podem ser formados pelos alunos (VAN HIELE, 1986). O modelo, que pode ser visto em
mos compreender a formação de conceitos
Crowley (1994), consiste em cinco níveis de
– tema de especial interesse neste trabalho
compreensão: reconhecimento, análise, de-
– por meio do entendimento das operações
dução informal, dedução formal e rigor e su-
que um indivíduo pode realizar ao longo do
gere que os alunos progridam através dessa
seu desenvolvimento e na construção do es-
sequência hierárquica enquanto aprendem
paço perceptivo e representativo (PIAGET &
Geometria. Esses níveis do raciocínio geo-
INHELDER, 1993). Um conceito é uma gene-
métrico foram descritos por Van Hiele (1986)
ralização a partir de dados relacionados e
e são resumidos a seguir:
que possibilita responder a algo ou pensar
em estímulos ou percepções específicos de
Nível 1 – Reconhecimento:
24
uma determinada maneira. Quando a criança formou os conceitos de retângulo2 e de
Neste estágio inicial, também chama-
trapézio3, por exemplo, ela pôde generalizar
do de nível básico ou de visualização, o alu-
as figuras abaixo como sendo representan-
no percebe os conceitos geométricos como
tes desses conceitos e pôde perceber as tá-
entidades totais; não vê componentes ou
buas do portão com a forma de dois retân-
atributos. A aparência física é determinante
gulos e quatro trapézios (Imagem 1).
para reconhecer figuras e não suas partes ou
propriedades. O aluno consegue aprender um
vocabulário geométrico, identificar formas específicas e reproduzir um desenho com papel
quadriculado. Por exemplo, pode reconhecer
um dado, chamá-lo de cubo, mas não é capaz
de reconhecer as seis faces quadradas. Este ní-
Imagem 1. Trapézios à esquerda e esquema de um portão
formado por retângulos e trapézios.
2
vel mais elementar de raciocínio é decorrente
da forma como normalmente a Geometria pa-
Retângulos são quadriláteros (polígonos de quatro lados) que possuem quatro ângulos retos.
3
Trapézios são quadriláteros que têm um par de lados paralelos, e retângulos são quadriláteros que têm
quatro ângulos retos.
rece ser ensinada nos anos iniciais do Ensino
e os de B são “retinhos”, mas demorarão
Fundamental, ou seja, baseada em ativida-
para dizer que as duas figuras são polígonos
des que têm por objetivo o reconhecimento
e têm o mesmo número de lados. No segun-
nos dois sentidos: nome <-> figura.
do caso, talvez se refiram às alturas (o cubo
D é mais “alto” que o paralelepípedo C), às
Em muitas ocasiões, as descrições
faces iguais de D e diferentes de C, e só mais
das figuras estão baseadas em sua seme-
tarde indicarão que ambas as figuras são po-
lhança com outros objetos (não necessa-
liedros com seis faces.
riamente geométricos) que conhecem. São
usadas frases como: “... se parecem com...”,
“ ...a forma de...” etc.
Nível 2 – Análise:
Neste nível, o aluno reconhece as
partes de uma figura, começa a analisar
as suas propriedades e utiliza algumas delas para resolver certos problemas. Não é
capaz de explicar relações entre as mes-
Imagem 2. A e B são polígonos de seis lados (hexágonos); C
e D são poliedros de seis faces (hexaedros).
No nível 2, por meio de atividades
exploratórias, as crianças poderão reconhecer e nomear os grupos de figuras a seguir
(Imagem 3), já que agora elas conseguem
analisar as propriedades.
mas, não vê inter-relações entre as figuras
e não entende definições. Pode perceber
que os lados opostos e, possivelmente,
que as diagonais de um retângulo são con-
Imagem 3. Grupo A: retângulos; Grupo B: triângulos e Grupo
C: trapézios.
gruentes, mas não notará como os retângulos se relacionam com os quadrados.
Da mesma maneira, no nível 2, as
crianças podem analisar semelhanças (o
Acrescente-se que, neste nível, o
que é mais difícil do que analisar diferenças)
aluno dá mais importância à existência de
e podem separar as figuras em poliedros4 e
algumas propriedades diferenciadoras nas
não poliedros (Imagem 4).
figuras que à existência de propriedades comuns. Como exemplo, dadas as figuras a seguir (Imagem 2), provavelmente as crianças
vão apontar diferenças: B é “maior” que A,
Imagem 4. Poliedros (à esquerda) e não poliedros (à direita).
os “cantinhos” (ângulos) de A são “abertos”
4
Os poliedros são figuras tridimensionais (ou espaciais) que são formadas por faces (superfícies planas),
vértices e arestas. Os não poliedros são, em geral, chamados de corpos redondos (na figura estão um cone, dois
cilindros, uma esfera e um tronco de cone).
25
Nível 3 – Ordenação:
melhor, não analisam as propriedades das
figuras. Evidentemente, não conseguem in-
O aluno, neste nível, ordena logica-
cluir classes de figuras, entendendendo, por
mente figuras e entende inter-relações de
exemplo, que quadrados são paralelogra-
propriedades tanto das figuras quanto entre
mos5. A Imagem 5 mostra classes de figuras
elas. É capaz de formar classes de figuras, e a
para quadriláteros prismas6. O entendimen-
inclusão de classes é entendida. Pode enten-
to das relações de inclusão ilustradas pelas
der por que todo quadrado é retângulo, mas
imagens requer o Nível 3 de desenvolvimen-
pode não ser capaz de explicar por que as dia-
to do raciocínio geométrico, de acordo com
gonais de um retângulo são congruentes.
Van Hiele (1986):
Nível 4 – Dedução:
O aluno compreende o significado da
dedução e é capaz de construir demonstrações de teoremas. Em geral, esse nível não é
alcançado no Ensino Fundamental.
Nível 5 – Rigor:
O aluno, nesse nível, é capaz de trabalhar com outras Geometrias que não a
euclidiana. Estudantes de nível superior
podem atingir esse nível.
Imagem 5 – Inclusão de classes para os polígonos que
são quadriláteros (à esquerda) e para os poliedros que
são prismas (à direita).
Consideramos que aprender Geome-
tria, mesmo nos anos iniciais do Ensino Fundamental, não se resume a reconhecer e nomear figuras, mas sim a desenvolver formas
de pensamento geométrico. Para desenvolver os níveis de conceitos, são necessárias
operações mentais que vão muito além da
manipulação de manipular objetos.
Algumas pesquisas indicam que os
alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e até do Ensino Médio estão em um nível de formação conceitual bem abaixo do
esperado. Assim, são muitos os que não reconhecem as figuras constantes na Imagem
5, pois não analisam suas características, ou
5
De acordo com Piaget e Inhelder
(1993), todo pensamento surge das ações,
mas estas não se resumem a ações físicas
com objetos; é preciso que as crianças coordenem essas ações no plano do pensamento. Assim, não basta montar quadrados com
Paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos.
6
Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes e as outras faces (laterais) paralelogramos
(geralmente retângulos).
26
quatro varetinhas do mesmo comprimento;
também sugeridas outras atividades para
é preciso que, ao receber varetas de compri-
a Geometria plana e espacial.
mentos variados, a criança imagine quantas
e de quais tamanhos ela precisaria para re-
Algumas atividades para construir conceitos
presentar as formas de
um piso e de uma bandeira – e tentar explicar por que fez assim,
por exemplo. Essas antecipações das ações
tornam-se verdadeiros
desafios para o aluno
e são conflitos cogni-
“(...) com base na teoria
piagetiana, consideramos que
oportunizar a manipulação
de material concreto pode
contribuir para a formação
de conceitos desde que as
crianças possam agir no plano
do pensamento.”
Exemplo 1: Trabalhar
com
figuras
planas
recortadas (que permitam
movimentar,
girar, sobrepor)
a) Identificar congruências7 em triângulos: Há
tivos que, de acordo
pares de figuras iguais
com Piaget, ajudam no
(congruentes)?
desenvolvimento intelectual dos alunos.
tiana,
27
Assim, com base na teoria piageconsideramos que oportunizar a
manipulação de material concreto pode
b) Identificar semelhanças nas figuras: Há pa-
contribuir para a formação de conceitos
res de figuras em que, ao que parece, uma é a
desde que as crianças possam agir no pla-
ampliação ou redução da outra? “Há pares de
no do pensamento. Figuras desenhadas
polígonos que parecem ser semelhantes?”
nas folhas dos livros ou em cartazes não
permitem, por exemplo, antecipação de
deslocamentos e de giros, nem de verificação dos resultados desses movimentos.
Alguns exemplos de movimentos de figuras são descritos a seguir, lembrando que
c) Variação da atividade anterior: as mesmas
figuras poderão compor um jogo de cartas,
com os mesmos questionamentos anteriores.
o professor pode construir, junto com os
alunos, a maior parte dessas figuras. São
7
Dois triângulos são congruentes quando têm lados e ângulos correspondentes de mesma medida. Uma das
maneiras de verificar a congruência é sobrepor as figuras.
8
Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos
correspondentes têm a mesma medida. Evidentemente, nos anos iniciais, exploram-se apenas as ideias de redução
e de ampliação.
Exemplo 2: Criar, compor e decompor figuras planas
a) Criar formas poligonais
d) Criar uma forma poligonal, recortá-la em
cartolina e usá-la para compor faixas (congruência e translação/simetria). Abaixo, o
“cachorro poligonal” é polígono de 10 lados!
A ideia é que a criança crie contor-
nos como os ilustrados, com auxílio de régua e sem medidas, apenas para caracterizar polígonos. Não importa que as figuras
não fiquem simétricas, o importante é caracterizar os lados retos.
b) Decompor e recompor o polígono criado
(dodecágono). Que figuras foram obtidas?
Exemplo 3: Antecipando construções
a) Antecipar a escolha das faces para formar
os poliedros (prismas, paralelepípedos, pirâmides). Observe os polígonos à esquerda
(eles serão as faces): quantas faces você vai
precisar para montar cada poliedro à direita?
Serão todas triangulares? Haverá quadrados?
28
b) Antecipar a escolha das arestas para formar os poliedros (prismas, paralelepípedos,
A “estrela poligonal” é um polígono
pirâmides). Quantas varetas (arestas) você
de 12 lados. Ela deu origem a 6 polígonos,
precisará para formar o paralelepípedo? Te-
sendo 2 triângulos (triângulos equiláteros) e
rão a mesma medida?
4 quadriláteros (sendo um quadrado e três
trapézios). Entre esses 6 polígonos, há polígonos congruentes?
c) Compor figuras (quebra-cabeça) com: (i)
Exemplo 4: Desenvolvendo vocabulário
contornos definidos, (ii) contornos não defi-
a) Jogo “Adivinha quem sou”: sou um polígo-
nidos, (iii) modelo com peças do mesmo ta-
no, tenho quatro lados, tenho quatro ângu-
manho, (iv) modelo com peças maiores que
los, os lados são congruentes, os ângulos
o modelo etc.
são todos retos.
b) Jogo da memória de pares ou trios.
rentes? Esse poliedro tem faces que são
iguais às daquela pirâmide?
Considerações finais
Conforme podemos notar, o voca-
bulário deve ser aprendido pela criança
Conforme as teorias mostram, é ne-
nas próprias atividades.
cessário que a criança estabeleça relações o
tempo todo: É igual? É diferente? É parecido?
Esperamos ter explicado as nossas
O que tem de igual? É o ângulo? É a medida
percepções contidas no Quadro 1: na nossa
do lado? É a quantidade de lados?
concepção, não se aprende Geometria observando formas de objetos e manipulando
O enfrentamento de desafios, na for-
materiais concretos, mas devemos dar ênfa-
ma de antecipações, também é importan-
se à criatividade e à exploração das proprie-
te. Na Geometria plana, por exemplo: Esta
dades, de modo a contribuir para a forma-
quantidade de lados vai ser possível para for-
ção de conceitos e para o desenvolvimento
mar esse polígono? As medidas desses lados
dos níveis de pensamento em Geometria.
formam aquele hexágono? Por quê? Se juntar aqueles dois ângulos formará o ângulo
reto do quadrado? Na Geometria espacial:
quantas arestas e de que medidas você vai
precisar? Essas são as melhores faces para
aquele poliedro? E se pegar essas, forma
aquele outro poliedro que é pirâmide? E por
que não pegar aquelas? Se juntar essas faces
retangulares formará o paralelepípedo?
Além disso, apostamos em ativida-
des que incentivem a criança a criar, a inventar, e a explorar as propriedades da figura criada. Na Geometria plana: Esse seu
“peixe poligonal” é um polígono de quantos lados? Lados iguais? Quantos ângulos?
Tem ângulos retos? Na Geometria espacial: Esse poliedro que você criou, quantas
faces tem? As faces são iguais? São dife-
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REFERÊNCIAS
CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LINDQUIST. M. M; SHULTE A. A. (org.) Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H.
Domingos. São Paulo: Atual, 1994.
PIAGET, J.; INHELDER B. A representação do espaço na criança. Tradução de Albuquerque, B. M.
Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.
VAN HIELE, P. M. Structure and Insight – A Theory of Mathematics Education, Orlando: Academic Press, 1986.
VIANA, O. A.; SILVA, R. M. M.; SILVA, B. A. R. Relações entre atitudes e concepções de professores acerca da Geometria. Encontro Nacional de Educação Matemática, 11, PUCPR, 2013. Anais…
Curitiba, 2013.
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Presidência da República
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Setembro 2014
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