CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Produtos Notáveis
Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção
Propriedades da multiplicação
Algumas propriedades da multiplicação são:
 Comutativa: ab = ba;
 Associativa: a (bc) = (ab)c;
Nesta aula a que nos interessa é a...
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
a (b+c) = ab + ac
(a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd
Propriedade Distributiva
(a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
(a - b).(a - b) = a² - ab – ab + b² = a² - 2ab + b²
(a + b + c).(a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
Produtos Notáveis
Afim de economizar tempo e não ter de
multiplicar termo a termo, utilizamos os
produtos notáveis.
Quadrado da soma
Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do
primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais
o quadrado do segundo:
(a + b)² ou (a + b)(a + b)
Forma expandida:
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²
Então: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da soma
O produto notável (a + b)², segundo a Geometria.
Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado da soma de
dois termos desconhecidos geometricamente.
Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área do
quadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab,
mais a área do quadrado menor, b².
a
b
a
a²
ab
b
ab
b²
(a + b)(a + b) = (a + b)²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da soma
Exemplo:
(3x + 5)² = (3x)² + 2 (3x)(5) + 5² = 9x² + 30x + 25
(y + 6)² = y² + 2 (y)(6) + 6² = y² + 12y +36
Quadrado da soma
Praticando:
(x  3 y)
(
(
2
 x ²  6 xy  9 y ²
6  34 x ²)²
6
3
 6  68 x ²
1
 y
2
)²

2
3

2
3
6  1156
6y  y
x
4
Quadrado da diferença
Indicado por: a menos b ao quadrado é igual ao
quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a - b)² ou (a - b)(a - b)
Forma expandida:
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b²
Então: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Quadrado da diferença
O produto notável (a - b)², segundo a Geometria.
Observe que a área do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtida
subtraindo a área dos dois retângulos azuis e a área do quadrado amarelo .
Ou seja:
a
(a – b)
b
(a – b)
(a – b)²
b(a – b)
b
b(a – b)
b²
a
a²
- b . (a - b)
- b . (a - b)
- b²
= (a – b)²
Quadrado da diferença
Exemplo:
(x - 4)² = x² - 2 (x)(4) + 4² = x² - 8x +16
(3x - y)² = (3x)² - 2 (3x)(y) + y² = 9x² - 6xy +y²
Quadrado da diferença
Praticando:
8
(
 y )
4
2

(8
(
1
9x
7
 2 y
8
4
3
3
3
8
 36
2
1
)
 z )²  3 ³
2
1
 y
8
3
 16

81
7
x ²
18
7
1
xz  z ²  3 3
Produto da soma pela diferença
Indicada por: quadrado do primeiro termo (a) menos o
quadrado do segundo termo (b):
(a + b)(a – b) = a² - b²
Forma expandida:
(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b²
Então: (a + b)(a – b) = a² - b²
Produto da soma pela diferença
E quando é necessário utilizar outros expoentes?
Utiliza-se a seguinte fórmula:
n
a
n
b
n
 (a  b ) (a
k 1
nk
.b
k 1
)
Produto da soma pela diferença
O produto notável (a + b) . (a - b) segundo a Geometria
Considere um retângulo de lados com medida (a + b) e (a – b).
(a + b)
b
a
A área do retângulo laranja é
(a + b) . (a – b)
(a - b)
a
b
a
b
A área da figura obtida pode ser
expressa por a² - b²
b
a
Produto da soma pela diferença
Exemplo:
(5x + y)(5x – y) = 25x² - 5xy + 5xy – y² = 25x² - y²
(x² + x)(x² - x) =
x⁴ - x³ + x³ - x² = x⁴ - x²
Produto da soma pela diferença
Praticando:
( a x ²  a ² x ).( a x ²  a ² x )
4
(
4
6
1
 y 2 ).(
3
(b ³ 
4
6
4
1
 y2)

5
c ).( b ³ 
2
4
 y
3
3
3
 a x
8
3
5
c)
 b
6

9
25
c²
 a x
4
8
Cubo da soma
Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais
três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três
vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do
segundo:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)²
Forma expandida:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =
= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ =
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Então: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Cubo da soma
Exemplo:
(x + 3)³ =
x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3²) + 3³ =
= x³ + 9x² + 27x + 27
(2a + b)³ =
(2a)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b²) + b³ =
= 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³
Cubo da soma
Praticando:
( 2 a  y ³)³
 8 a ³  12 a ² y ³  6 ay
( ab  y ²)³
 a ³ b ³  3 a ² b ² y ²  3 aby
1
(6
2
 y
6
4
9
 y
3
 x ²)³
 6
2
 18 x ²  3
6x
4
 x
6
6
Cubo da diferença
Indicado por: a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro
menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais
três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o
cubo do segundo:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)²
Forma expandida:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ =
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Então: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Cubo da diferença
Exemplo:
(x - 4)³ =
x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ =
= x³ - 12x² + 48x - 64
(3a + b)³ = (3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ =
= 27a³ + 27a²b + 9ab² + b³
Cubo da diferença
Praticando:
( 2 a  y ³)³
(
5
 ab )³
 8 a ³  12 a ² y ³  6 ay


75
512
8
(
125
5
7
 a ²)³

8
125
7
ab 
15

7
6
 y
9
a ² b ²  a ³b ³
8
75
7
a² 
15
7
a
4
 a
6
Produto de Stevin
Definição: É o produto de qualquer número de binômios
do 1º grau, da forma (x+ a), onde a é um número real ou
complexo.
Para dois binômios, teremos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Para três binômios, teremos:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
Produto de Stevin
Exemplo:
(x+10)(x-90) =
x2 - 80x – 900
(x+2)(x-15)(x+6) = x3 - 7x2 - 108x - 180
Produto de Stevin
Praticando:
( x  2 )( x  5 )
 x ²  7 x  10
( x  2 )( x  3 )( x  4 )  x ³  9 x ²  26 x  24
Obrigada pela atenção!
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