06/03/2013
Mecânica dos Fluidos
Aula 4 – Formas Integrais das Leis
Fundamentais
Prof. Édler Lins de Albuquerque
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
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EQUAÇÕES BÁSICAS
1. Grandeza Extensiva: depende da quantidade da
substância. Ex: massa, volume.
2. Grandeza Intensiva: qualquer grandeza associada à
substância que seja independente da sua massa. Ex:
temperatura, pressão, grandezas específicas etc.
Designamos como B qualquer grandeza Extensiva do
sistema.
Designamos como b a grandeza Intensiva correspondente
(Extensiva por unidade de massa).
Assim:
B( sistema) 
 b dm   b ρ d   b m (em termos médios)
m( sistema )
( sistema )
dE 

QW
dt
A taxa de transferência de calor é positiva quando o
calor é adicionado ao sistema pelo ambiente ao seu
redor;
A taxa de trabalho é positiva quando o trabalho é
realizado pelas vizinhanças sobre o sistema.
A energia total pertencente ao sistema é dada por:
Esis 
 e dm   e  d 
m (sistema)
 (sistema)
eu
V2
 g .z
2
u é a energia interna específica de uma partícula de massa dm
V é a velocidade da partícula de massa dm
z é a altura da partícula de massa dm relativa a uma referência
g é a aceleração da gravidade
F 
 

d mV
dt
3. 1ª Lei da termodinâmica (Lei da conservação da energia)
 W

E  Q

U  Q  W
a) A conservação da massa  massa do sistema é constante ao longo
do tempo
 dm    d 
msis 
dmsis
0
dt
m (sistema )
( sistema )




 dP

dV
dP
dV
F
ma m

m
dt
dt
dt
dt



P
V dm 
V d

m (sistema)

 (sistema)
Métodos de Análise de
Escoamentos
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onde Q é a qte de calor fornecido ao sistema e W é o
trabalho realizado.

2. 2ª Lei de Newton para o movimento
b) A segunda lei de Newton  a soma de todas as forças é igual a taxa
de variação da quantidade de movimento (Momento linear).
c) 1ª Lei da Termodinâmica  Conservação da energia
dE  δQ  δW
1. Lei da conservação da massa (Lavoisier)  dmsis/dt=0
AS LEIS BÁSICAS PARA UM SISTEMA
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RELAÇÃO ENTRE AS DERIVADAS DO SISTEMA E A
FORMULAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE
As quantidades integrais de interesse fundamental na
mecânica dos fluidos estão contidas em leis básicas
(Abordagem de sistema):
Método de Lagrange
• O observador desloca-se com a partícula fluida.
• A partícula é seguida e determina-se como as
propriedades das partículas variam com o tempo ao
longo do movimento.
• As coordenadas de posição das partículas são
funções do tempo.
• Conhece-se a “história” das partículas.
 

V  V [ x(t ), y(t ), z(t ), t ]  V (t )
1
06/03/2013
• Adota-se um intervalo de tempo e pontos no espaço.
Observa-se as partículas passando por esses pontos.
de
posição
são
variáveis
 
V  V( x, y, z, t )
• O observador é fixo.
B( sistema) 
 b dm   b ρ d 
m( sistema )
msis 
 B = m sis; b = 1.
Esis 
 e dm   e  d 
 B = Esis; b = e.

P

V dm 


 B  P; b  V.
m (sistema)

m (sistema)
( sistema )
 (sistema)

V  d 
 (sistema)
Relembrando:
A massa m não atravessa as fronteiras do sistema. A massa m
atravessa o volume de controle. Assim, as variações no tempo da
grandeza B envolvem o fluxo de massa e as propriedades que a
massa conduz.
Um modo conveniente de computar o fluxo de massa é utilizar o
conceito de limite, envolvendo um sistema e um volume de controle
que coincidam num certo instante.
Teorema do Transporte de Reynolds
Para passarmos da análise do sistema para a análise do
volume de controle é necessário expressar a taxa de
variação da grandeza extensiva B do sistema (descrição
LAGRANGIANA) em termos da variação desta propriedade
no volume de controle (descrição EULERIANA).
Observar que:
1. O campo de escoamento V(x, y, z, t)
é arbitrário em relação as coordenadas x, y,
z;
2. O volume de controle é fixo no espaço em
relação ao sistema de coordenadas;
3. Se a massa não atravessa a fronteira do
sistema, o sistema deve mover-se com o
campo de escoamento;
4. As fronteiras do sistema são mostradas nos
instantes t e t+∆t;
5. Em t, a fronteira do sistema coincide com
a fronteira do volume de controle;
6. Em t+∆t, o sistema consiste no mesmo fluido
e ocupa a seguinte região:
Sistema = VC - Região I + Região II 10
Teorema do Transporte de Reynolds
Matematicamente:
Matematicamente:
Em t, a fronteira do sistema coincide
com a fronteira do volume de
controle:
Bsis,t = BVC,t
Em t+∆t, o sistema consiste no mesmo
fluido e ocupa VC - Região I + Região
II:
Bsis,t+t = BVC,t +t - BI,t +t + BII,t +t
11
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( sistema )
Teorema do Transporte de Reynolds
( sistema )
 dm    d 
m (sistema )
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• O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa dos parâmetros necessários em função das
coordenadas espaciais e do tempo.
• As coordenadas
independentes.
 b dm   b ρ d 
m( sistema )
Método de Euler
Expressão geral:
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Expressão geral: B( sistema) 
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Métodos de Análise de
Escoamentos
Bsis,t  BVC,t
Bsis,t  t  BVC,t  t  BI,t  t  BII,t  t
Bsis,t  t  Bsis,t BVC,t  t  BVC,t BI,t  t BII,t  t



t
t
t
t
Tomando o limite com t  0, tem - se :
 Bsis,t 
 BVC,t 
B
B
B

B

Lim sis,t  t
  Lim VC,t  t
  Lim I,t  t   Lim II,t  t 
t 0
t
t

 t0 
 t0  t  t0  t 
Como :
BI,t  Δt  b1mI,t  Δt  b1ρ1 I,t  Δt  b1ρ1(V1Δt)A 1
BII,t  Δt  b2mII,t  Δt  b2ρ2 II,t  Δt  b2ρ2 (V2 Δt)A 2
DBsis BVC
BVC 

 b1ρ1V1A1  b2ρ2 V2 A 2 
 Be  B s
Dt
t
t
12
2
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Teorema do Transporte de Reynolds
Teorema do Transporte de Reynolds
Matematicamente:
DBsis BVC
BVC 

 b1ρ1V1A1  b2ρ2 V2 A 2 
 Be  B s
Dt
t
t
B e  b1ρ1V1A1 e B s  b2ρ2 V2 A 2 .
B t  B s  B e  b2ρ2 V2 A 2  b1ρ1V1A1
DBsis BVC 

 Bt
Dt
t
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Matematicamente:
B e  b1ρ1V1A1 (Fluxo de entrada de B no volume de controle)
B s  b2ρ2 V2 A 2 (Fluxo de saída de B no volume de controle)
 
B  B  B  b ρ V A  b ρ V A  ρb( V  n) dA
t
s
e
 

DBsis  

b d    b (V  n ) dA

Dt
t  VC
 SC


Assim:
TTR (VC fixo):
 

DBsis  
   bρ d     bρ( V  n) dA
Dt
t  VC
 SC
TTR alternativo (VC fixo):
 
DBsis

  (bρ) d    bρ( V  n) dA
Dt
t
VC
SC
1

 

DBsis  
   bρ d     bρ( V  n) dA
Dt
t  VC
 SC
Esta expressão exprime a relação fundamental entre a taxa de
variação de uma grandeza extensiva qualquer e as variações
desta grandeza associadas a um volume de controle.
Interpretando as expressões:
DBsis
Dt
é a taxa de variação da grandeza B no sistema


  bρ d  

t  VC

é a taxa de variação de B no volume de controle
b = B por unidade de massa
ρ d é um elemento de massa contido no volume de
controle
é o taxa líquida de saída da grandeza B através da
superfície de controle por escoamento de massa
ρ(V.n)dA é a taxa líquida de saída de massa através do
elemento de área
15
Teorema do Transporte de Reynolds
 

DBsis  
   bρ d     bρ( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
17
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1 1 1
14
Teorema do Transporte de Reynolds
VC móveis e/ou deformantes
TTR (VC não fixo):
2
13
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 b d  
VC
2
SC
Teorema do Transporte de Reynolds
BVC 
2 2
 
DBsis BVC

  bρ( V  n) dA
Dt
t
SC

TTR (VC não fixo): DBsis    bρ d    bρ( V  n ) dA
r

 
Dt
t  VC
 SC
Simplificações a partir dos valores médios (supondo
escoamento uniforme em cada elemento dA) :
 

DBsis  
   bρ d    b  ρ( Vr  n) dA
Dt
t  VC
SC


DBsis  
 r   bm
r
   bρ d     b m
Dt
t  VC
( saídas)
 ( entradas)
 
 r  Vazão mássicarelativa   ρ( Vr  n) dA  ρ Vr A
m
18
SC
3
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Fluidos – Grandezas Fundamentais
Teorema do Transporte de Reynolds
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Simplificações a partir dos valores médios:

DBsis  
 r   bm
r
   bρ d     bm
Dt
t  VC
( saídas)
 ( entradas)
19
A
A vazão mássica é o produto da massa específica
pela vazão volumétrica.
• Relação entre vazão molar e as outras vazões:
Massa total
entrando no
VC durante t
Massa total
- saindo do VC
durante t
 

DBsis  
   b d     b( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
Bm
b 1
– Vazão volumétrica: volume/tempo;
– Vazão molar: n. de moles/tempo.
• Algumas unidades de medida empregadas:
– Vazão mássica = kg s-1, kg min-1, ton h-1, g s-1;
– Vazão volumétrica: m3 s-1, m3 h-1, L s-1, galão h-1;
– Vazão molar: mol s-1, mol h-1, kgmol s-1, lbmol s-1.
b 1
 

Dmsis  
    d     ( Vr  n) dA  0
Dt
t  VC
 SC
20

DBsis  
   bρ d     b ρ Vr A   b ρ Vr A
Dt
t  VC
( saídas)
 ( entradas)
 r  Vazão mássicarelativa  ρ  r  ρ Vr A
m
21
Princípio de Conservação da Massa
Equação da Continuidade na Forma Integral
Variação total da massa dentro do VC durante t  
Massa que entra no VC durante t   Massa que sai do VC durante t 
=
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 
     ( V  n) dA   VA
m
Variação total
da massa
dentro do VC
durante t
– Vazão mássica: massa/tempo;
Teorema do Transporte de Reynolds
• Relação entre vazão mássica e volumétrica

m
  V A
n 


Mm Mm
Mm
• A vazão pode ser:
Simplificações a partir dos valores médios:
23
22
Princípio de Conservação da Massa
Equação da Continuidade na Forma Integral
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Fluidos – Grandezas Fundamentais
• Vazão: É a quantidade de fluido que atravessa um
sistema estudado por unidade de tempo.
 

Dmsis  
    d     ( Vr  n) dA  0
Dt
t  VC
 SC
Variação total
da massa
dentro do VC
durante t
=
Massa total
entrando no
VC durante t
Massa total
- saindo do VC
durante t
 


   d      ( Vr  n) dA


t  VC
SC

24
4
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Casos especiais:
Para escoamento em regime permanente (nenhuma propriedade
varia com o tempo) comum VC fixo:

  ( V  n) dA  0
SC
Se as propriedades são uniformes em cada seção:
 
  ( V  n) dA   VA 
m

A
 
 ( V  n) dA   VA   VA  0
Saídas
SC

 
 s m
e 
( V  n) dA  m
 s m
e
m
Entradas
 VA   VA  0
Saídas
SC
Entradas
 VA   VA
Saídas
Entradas

DEsis  
   e  d   
Dt
t  Sistema

 Q   Q 
e
s Sistema



D


  e  d   Q
liq,e  Wliq,e

Dt  Sistema

e~
u
Taxa de realização
de trabalho
(potência
transferida ao
sistema)
+
 W   W 
e
s Sistema

Sistema
V2
 gz (energiascontidasno fluido)
2
27
Taxa líquida de
saída da energia
total pela
superfície de
controle

 

DEsis  



   e d     e( Vr  n) dA  Q
liq,e  Wliq,e
Dt
t  VC
 SC

Primeira Lei da Termodinâmica na Forma Integral para
29
Volumes de Controle
VC
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+

A
 
 ( V  n) dA   VA   VA  0
Saídas
SC
 
 ( V  n) dA  
SC
s
  e 
Entradas
 VA   VA  0
Saídas
Entradas
 VA   VA
Entradas




  e  d   Q
liq,e  Wliq,e

t  Sistema

e~
u

Sistema
V2
 gz (energiascontidas no fluido)
2
e  energia total por unidade de massa
~  energia interna por unidade de massa
u
V2
 energia cinética por unidade de massa
2
gz  energia potencial gravitacional por unidade de massa
 

DBsis  
   b d     b( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
Aplicação do Teorema
de Transporte de B  E
Reynolds
DE
be
be
 


sis
   e d     e( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
28
Formas de Trabalho: Computando W liq,e
 

DEsis  
   e d     e( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
=
 
  ( V  n) dA  VA 
Primeira Lei da Termodinâmica
Aplicação do Teorema de Transporte de Reynolds
Taxa de variação
temporal da
energia total no
volume de
controle
Se as propriedades são uniformes em cada seção:

Conservação da Energia
Primeira Lei da Termodinâmica
Taxa de variação
temporal da
energia total do
sistema
 ( V  n) dA  0
SC
Primeira Lei da Termodinâmica
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=
 
 



  d     ( Vr  n) dA 
  ( Vr  n) dA  0

t  VC

t
SC
 SC

Para um volume de controle fixo, não-deformável,
 0 . Assim:
 
t
Saídas
Variação total da energia dentro do sistema 
Energia que entra no sistema na forma de calor   Energia que entra no sistema na forma de trabalho
Taxa líquida de
transferência de
calor para o
sistema
Para fluidos incompressíveis (ρ é constante):
 s   e 
Conservação da Energia
Primeira Lei da Termodinâmica
Taxa de variação
temporal da
energia total do
sistema
 

Dmsis  
    d     ( Vr  n) dA  0
Dt
t  VC
 SC
b) Escoamento incompressível e uniforme em cada seção:
a) Escoamento em regime permanente, VC fixo e escoamento
uniforme em cada seção:
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 

Dmsis  
Casos especiais:
    d     ( Vr  n) dA  0
Dt
t  VC
 SC
Trabalho de eixo: bombas, turbinas, ventiladores, hélices,
motores a combustão, compressores etc.
W eixo  Torqueeixo  eixo
Bomba alternativa
Para equipament os em geral :
W equip  W equip,e  W equip,s


W equip é uma das parcelas que compõe W liq,e .
30
5
06/03/2013
Energia
mecânica
=
Energia de
escoamento
(Pressão)
V2
emecânica  
 gz
 2
p
+
Energia
cinética
(velocidade)
+
Balanços Energéticos
Primeira Lei da Termodinâmica
Energia
potencial
(gravidade)
(energia mecânica por unidade de massa)
Em termos das variações desta energia no sistema:
 p  (V 2 )
emecânica    
 gz
2

(V 2 )
p
(variação da energia mecânica)
Se emecânica > 0, trabalho mecânico é fornecido ao fluido.
Se emecânica < 0, trabalho mecânico é retirado do fluido.
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Balanços Energéticos
Primeira Lei da Termodinâmica
emecânica    

2
 gz
(variação da energia mecânica)
Aproveitamento das variações de energia mecânica pelo
fluido em escoamento:
mecânica 
Emecânica saindo
Emec perdida
1 
Emecânica entrando
Emecânica entrando
bomba ,ventilador,compressor 
turbina 
Emecânica, fluido
Emecânica entrando

E mecânica, fluido
W eixo, e
W

W bomba ,u
W
bomba
Emecânica saindo
W
eixo, s

 turbina
Di min uição da Emecânica do fluido | E mecânica, fluido | W turbina,e
31
32
Primeira Lei da Termodinâmica
Formas de Trabalho: Trabalho devido às tensões
Outras eficiências presentes neste processo:
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Balanços Energéticos
Primeira Lei da Termodinâmica
W eixo,s
potência mecânica saindo

potência elétrica entrando W elétrico,e
W
Potência elétrica saindo

 elétrica, saindo
Potência mecânica entrando
W
motor 
gerador
eixo, e
Eficiências combinadas ou globais:
motor bomba  motor  bomba
W
E mecânica, fluido
 bomba , u 
W elétrica,e
W elétrica, e
turbinagerador  turbina  gerador
W
W elétrica, s
 elétrica, s 
W turbina,e | E mecânica, fluido |
33
Trabalho da tensão normal ao longo do tempo: Produto
escalar da Força normal devido à pressão com a
velocidade adquirida pela parcela fluida etc.



δW
tensão normal  δFtensãonormal  V

 
 


δW
tensão normal  σnndA  V  σn V  n dA  p V  n dA
 


W
e W
tensão normal    p V  n dA
tensão tangencial  0.34

 

 
 
SC
Formas Primeira Lei da
Termodinâmica para VC
Primeira Lei da Termodinâmica
VC
  Fixo



Formas da Primeira Lei para Volumes de Controle
 ~ p V2
  




 gz ρ( V  n) dA  Q
  eρ d      u  
liq,e  Wequip
t  VC
ρ 2
 SC 

 ~ V2
  




 gz ρ( V  n) dA  Q
  eρ d      h 
liq,e  Wequip
t  VC
2
 SC 

~
h  entalpia por unidade de massa (entalpia específica)
35
Se 
 100%  W
 W
global( motoreixo equip.)
equipamento
eixo
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
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
DEsis 


   eρ d     eρ( V  n) dA  Q
liq,e  Wliq,e VC
Dt
t  VC
 SC
 
 ~ V2
  




 gz ρ( V  n) dA  Q
  eρ d      u 
liq,e  Wequip   p( V  n) dA
t  VC
2
 SC 

SC
 ~ p V2
  




 gz ρ( V  n) dA  Q
  eρ d      u  
liq,e  Wequip
t  VC
ρ
2
 SC 

Quando o escoamento é uniforme em cada seção e em regime
permanente (ou permanente na média) e só existe uma seção
de alimentação e uma de descarga:
 ~ p V2

 ~ p V2





 u  ρ  2  gz  ms   u  ρ  2  gz  me  Qliq,e  Wequip

s

e
2
2

 
p
p
V  Ve

 (~
m
us  ~
ue )  [( )s  ( )e ]  ( s
)  g( zs  ze )  Q
liq,e  Wequip
ρ
ρ
2


2
2

 
V  Ve
~

 (~
m
hs  he )  ( s
)  g(zs  ze )  Q
liq,e  Wequip
2


36
6
06/03/2013
Formas da Primeira Lei da Termodinâmica
 ~ p V2
  




 gz ρ( V  n) dA  Q
  eρ d      u  
liq,e  Wequip
t  VC
ρ 2
 SC 

Quando o escoamento é uniforme em cada seção e em regime
permanente (ou permanente na média), só existe uma seção
de alimentação e uma de descarga, unidimensional e
incompressível:
2
2

 
p
p
V  Ve

 (~
m
us  ~
ue )  [( )s  ( )e ]  ( s
)  g( zs  ze )  Q
liq,e  Wequip
ρ
ρ
2


2
2


 ps pe
 Q
W
Vs  Ve
equip
)  g(zs  ze )  liq,e
 (~
us  ~
ue )
[  ]  (

ρ
ρ
2
m


2
2


W
Q
ps Vs
p
V

 gzs  e  e  gze  equip  (~
us  ~
ue  liq,e )


37
ρ
2
ρ
2
m
m
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Formas da Primeira Lei da
Termodinâmica para VC
2
2
ps Vs
p
V

 zs  e  e  ze  hequip  hL

2g

2g
hequip 
hL 
w equip,u
g

Wequip,u Wequip,u

m g
 
u~s  u~e  qliq,e
g

(m = carga)
Carga do equipamento
Perda de Carga relativa a
outros elementos presentes
no escoamento
39
e perdida
g
ps

ps


 sVs

 sVs 2
2
2
2g
 gz s 
 zs 
pe

pe



 eVe
2
 eVe 2
2g
2
 gze  w equip  e perdida
 ze  hequip  hL
41
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  sVs 2  eVe 2 
V 2   


 
  (V  n ) dA  m  2  2 
 2 


  2,0 escoamento laminar;
V 2   
  (V  n ) dA
 

2
A
  1,0 escoamento turbulento.
   2
 Coeficient e de energia cinética
V
m
2
  1.   1 para escoamento uniforme numa seção.

2
2
Wequip ~ ~ Q liq ,e
Vs
p V
 gz s  e  e  gze 
 (u s  ue 
)


2

2
m
m
ps

Vs
p V
 gz s  e  e  gze  w equip  (u~s  u~e  qliq ,e )
2

2
ps

Vs
p V
 gz s  e  e  gze  w equip  e perdida
2

2


2
2
2
2
38
Quando o escoamento é uniforme em cada seção e em regime
permanente (ou permanente na média), só existe uma seção
de alimentação e uma de descarga, unidimensional e
incompressível:
2
2
ps Vs
p V

 gz s  e  e  gze  w equip  e perdida
(J/kg)

2

2
Equação de Bernoulli estendida:
2
2
ps Vs
p
V

 zs  e  e  ze  hequip  hL (m = carga)

2g

2g
w equip,u Wequip,u
Wequip,u
hequip 


g
m g
 
A Carga do equipamento
w bomba,u Wbomba,u
W
hbomba 

 bomba  bomba geralmente já carrega as
g
g
g
m
m
perdas que ocorrem
hturbina 
Forma Integral da Primeira Lei da Termodinâmica para
VC em escoamentos não-uniformes e incompressíveis
em regime permanente com uma entrada e uma saída
SC
ps
Formas da Primeira Lei da Termodinâmica
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Equação de Bernoulli estendida:
2
2


V  Ve
p
p
 (u~s  u~e )  [( ) s  ( ) e ]  ( s
m
)  g ( z s  ze )  Q liq ,e  Wequip


2


2
2
 p s pe
 Q liq ,e  Wequip ~ ~
Vs  Ve
)  g ( z s  ze ) 
 (u s  ue )
[  ]  (

2
m
  


Formas da Primeira Lei da Termodinâmica
Quando o escoamento é uniforme em cada seção e em regime
permanente (ou permanente na média), só existe uma seção
de alimentação e uma de descarga, unidimensional e
incompressível:
2
2
ps Vs
p V

 gz s  e  e  gze  w equip  e perdida
(J/kg)

2

2
Quando o escoamento é uniforme em cada seção e em regime
permanente (ou permanente na média), só existe uma seção
de alimentação e uma de descarga, unidimensional e
incompressível:
w turbina,e
g

dentro do mesmo.
Wturbina,e
Wturbina

g
m
turbinam g
40
Forma Integral da Primeira Lei da Termodinâmica para
VC em escoamentos não-uniformes e incompressíveis
em regime permanente com uma entrada e uma saída
Equação de Bernoulli estendida:
ps

ps


 sVs 2

 sVs 2
2
2g
 gz s 
 zs 
pe

pe



 eVe 2
2
 eVe 2
2g
 gze  wequip  e perdida
 ze  hequip  hL
42
7
06/03/2013
Conservação do Momento Linear
Aplicação do Teorema do Transporte de Reynolds
A 2ª Lei de Newton aplicada a um sistema fornece a
equação abaixo. Nesta, verifica-se que:
A somatória de todas as forças externas que atuam em
um sistema é igual à taxa de variação temporal do
momento linear neste sistema.

F
externas




DV D
DP
 ma  m
 (mV ) 
Dt Dt
Dt
Variação total do Momento Linear dentro do Sistema =
Somatório de todas as Forças Externas que atuam no
sistema
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Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
A variação total do momento linear no sistema é igual à
taxa de variação temporal do momento linear no
volume de controle mais o fluxo líquido de saída de
momento linear pela superfície de controle.
 

DBsis  
   b d     b( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC


BP
bV


  

DPsis  
   V d     V( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
44
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle
A soma de todas
as forças externas
agindo do volume
de controle
=
Taxa de variação
temporal do
momento linear
dentro de VC
+
Taxa líquida de
momento linear
saindo pela SC por
escoamento de
massa



  

DPsis

 Fexternas    V d     V( Vr  n) dA
Dt
t  VC
 SC
Forma Integral da Equação de Conservação do
Momento Linear. Aplica-se a Volumes de controle
móveis, fixos ou deformáveis.
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
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43

F

externas

  


  V d     V( Vr  n) dA

t  VC
 SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo

F

externas

  


  V d     V( V  n) dA

t  VC
 SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo e regime permanente

F
externas
  
  V( V  n) dA
SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo, regime permanente,
escoamento uniforme com uma entrada e uma saída.

F
externas
45
  
  ( Vsaída  Ventrada )
  V( V  n) dA  m
46
SC
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
 
   s Vs   e Ve 
 V( V  n) dA  m
SC
Entradas
 saídas


 
 V( V  n) dA
A
V
m
 Coeficiente de correção do fluxo de momento
Escoamento uniforme numa seção:  = 1 ;
Escoamento turbulento: 1,01 <  < 1,04 ;
Escoamento laminar:  > 1, assumindo valores mais
significativos que em escoamentos turbulentos.
Se  for uniforme nas seções de entrada e saída :
 
 V (V  n ) dA
  SC
V
m
2
V 
   dA
V
 SC  
A
47
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle
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Forma Integral da Segunda Lei de Newton para VC em
escoamentos não-uniformes

F
externas


  


  V d     V( Vr  n) dA

t  VC
 SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo

F
externas


  


  V d     V( V  n) dA

t  VC
 SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo e regime permanente

F
externas
  
  V( V  n) dA
SC
Caso especial: Volume de Controle Fixo, regime permanente,
escoamento não-uniforme com uma entrada e uma saída.

F
externas
  
  (  sVsaída   eVentrada )
 V (V  n ) dA  m

SC
48
8
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle
A soma de todas
as forças externas
agindo do volume
de controle
+
Fluxo líquido de
momento linear
saindo pela SC por
escoamento de
massa

  

 
V d    V (Vr  n ) dA

t  VC
 SC



Fexternas  Fcampo 
Fsup erfície




Fcampo  Fgravitacional  Fcampo elétrico  Fcampo magnético  ...




Fsup erfície  Fpressão  Fresistência  Rreação ...

F


externas



=
Taxa de variação
temporal do
momento linear
dentro de VC



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06/03/2013

F
campo



 Fgravitacional  Fcampo elétrico  Fcampomagnético  ...
Nos problemastratados aqui :


Fcampo  Fgravitacional  Fg
Fg é a força gravitacional agindo no VC. É nula quando o
movimento ocorre na direção horizontal.
49
50
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Abordagem da 2ª Lei de Newton em termos de Volume de Controle



 Fpressão  Fresistência  Rreação ...


Fpressão  Fp ; Fresistência  Fd ; Rreação  R
sup erfície
Fp é a força resultante da ação da pressão na direção do
escoamento, agindo na SC. Se parte da superfície de controle é
sólida, a pressão externa (patm) contribui no valor de Fp.
Fd é a resultante das forças de resistência (viscosa), atrito ou
cisalhamento integrada na direção do escoamento. São forças
paralelas à SC na direção do escoamento, quando ela corta entre a
superfície sólida e o fluido.
R é a resultante das forças que agem sobre o VC em locais onde a
SC corta o sólido. Isto ocorre quando uma seção da canalização e o
fluido que ela contem são tomados como VC.
51
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque

F


Seleção do Volume de Controle:
O volume de controle deve ser selecionado de forma que as forças
nas quais não estejamos interessados permaneçam internas ao VC
e, portanto, não compliquem a análise, visto que somente as forças
externas entram na análise.
52
Conservação do Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Mecânica dos Fluidos: Prof. Édler Lins de Albuquerque
Seleção do Volume de Controle: Exemplos
53
FIM
54
9