PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP ROGÉRIO CARLOS FERREIRA Orientações curriculares para o ensino de geometria: do período da Matemática Moderna ao momento atual. MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA São Paulo 2008 Livros Grátis http://www.livrosgratis.com.br Milhares de livros grátis para download. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP ROGÉRIO CARLOS FERREIRA Orientações curriculares para o ensino de geometria: do período da Matemática Moderna ao momento atual. Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires. São Paulo 2008 Banca Examinadora ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________ Confia no Senhor de todo o teu coração, e não te estribes no teu próprio entendimento. ReconheceReconhece-o em todos os teus caminhos, e ele endireitará as tuas veredas. Não sejas sábio a teus próprios olhos; teme ao Senhor e apartaaparta-te do mal. Isso será saúde para a tua carne; e refrigério para os teus ossos. Honra ao Senhor com os teus bens, e com as primícias de toda a tua renda; assim se encherão de fartura os teus celeiros, e trasbordarão de mosto os teus lagares. Filho meu, não rejeites a disciplina do Senhor, nem te enojes da sua repreensão; porque o Senhor repreende aquele a quem ama, assim como o pai ao filho a quem quer bem. Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire entendimento (Provérbios 3, 5 – 13) Aos meus pais, Erionaldo Carlos Ferreira e Maria José Ferreira , por todo empenho, amizade e carinho a mim dedicado durante a trajetória no decorrer deste curso. Minha eterna gratidão, respeito e amor. Dedico-lhes o título de Mestre. AGRADECIMENTOS A Deus, pelo eterno aprendizado e por tudo o que tenho conquistado. À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por conceder a bolsa de estudos para a realização deste trabalho. À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires, por orientar-me competentemente na finalização da minha pesquisa, pelo incentivo e palavras de confiança. Aos Professores do Programa de Estudos PósGraduados em Educação Matemática da PUC/SP, pela dedicação e orientação prestada durante todo o curso, em especial ao professor Saddo Ag Almouloud, com quem pude contar na fase mais difícil da conclusão deste trabalho. Aos professores Vincenzo Bongiovanni, Ana Lucia Manrique, Bárbara Lutaif Bianchini, Ana Paula Jahn e Ubiratan D´Ambrosio que ministraram inesquecíveis aulas e muito contribuíram nesta minha trajetória. Aos amigos do mestrado, Cristiane, Givanildo e Luciana, com os quais pude contar, com apoio e força, nos momentos difíceis do curso. Aos amigos e companheiros de Mestrado, Osmar, Clécio, Márcia e Rodrigo, pelos maravilhosos momentos de estudos. À Professora Vera Lúcia, Dirigente Regional de Ensino da Região Guarulhos Norte, pela confiança sempre demonstrada. Aos colegas de trabalho da Oficina Pedagógica da Diretoria Regional de Ensino Guarulhos-Norte, pelo auxílio e amizade que demonstraram ao longo desta caminhada. Aos amigos Hergos e Mari, pelo apoio demonstrado. Em especial, as amigas Ana Paula, Élia, Rovaris e Sandra, pelas discussões calorosas e as constantes trocas de saberes. A todos os meus alunos, funcionários e direção do Colégio El´Shadai, pela paciência, compreensão, apoio e participação durante a realização do curso. Às minhas irmãs Andréa e Cida, minhas eternas amigas e a quais devo deixar registrado que tenho grande amor. Aos meus familiares, pela compreensão dos meus momentos de ausência em nossas reuniões. Aos meus amigos e irmãos da Igreja Corpus Christ, com os quais o aprendizado que tenho é inestimável. Agradeço as constantes orações. Enfim, agradeço a todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuíram para a realização e a conclusão deste trabalho. O autor. RESUMO O objetivo do presente trabalho é estudar orientações curriculares produzidas desde o Movimento da Matemática Moderna até os dias atuais e analisar como algumas coleções de livros didáticos incorporaram essas orientações. Os documentos oficiais consultados foram os Guias Curriculares do Estado de São Paulo (1975), a Proposta Curricular para o Ensino de Matemática do Estado de São Paulo (1992) e os Parâmetros Curriculares Nacionais para a Matemática (1998), no que se refere ao segmento da escolaridade correspondente ao atual 6º. A 9º. Ano do Ensino Fundamental. As coleções didáticas estudadas foram: Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi (1968 e 1971), “A conquista da Matemática” de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (1992), e “Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis (2002). Para a análise desses documentos e livros didáticos tomamos por base as teorias de Roger Chartier (1991), que estuda as diferentes relações existentes entre a leitura da legislação oficial e a interpretação feita pelos usuários. A análise dos livros didáticos teve como foco o conteúdo de Geometria, e nos apoiamos em estudos de Josep Gascón (2001 e 2003) em que o autor discute interferências de modelos epistemológicos e didáticos na gestão da aula de Geometria. Em nossa análise, observamos a interferência do modelo Euclidianista tanto nos Guias Curriculares como na coleção Matemática – Curso Moderno, do modelo Quase-empirista na Proposta Curricular e na coleção “A conquista da Matemática” e uma perspectiva Construtivista nos Parâmetros Curriculares Nacionais para a Matemática e também na coleção ”Matemática para todos”, embora também preservando bastante o modelo Quase-empirista. Palavras-chave: Prescrições Curriculares e Matemática, Geometria, Livro Didático. ABSTRACT The present research is aimed to study Curricular Proposals produced since the Modern Mathematic´s Movement until the current days and to analyze how some didactic book collections had incorporated these Proposals. The consulted official documents had been the Curricular Guides of the State of São Paulo (1975), the National Proposal Curricular for Mathematc´s teaching of the State of São Paulo (1992) and Curricular Parameters for the Mathematics (1998), referring to the segment of the corresponding degree to current 6º. 9º. Year of “Ensino Fundamental”. The studied didactic collections had been: “Matemática – Curso Moderno”, by Osvaldo Sangiorgi (1968 and 1971), “A Conquista da Matemática”, by Giovanni, Castrucci and Giovanni Jr (1992), and “Matemática para Todos”, by Luiz Marcio Imenes and Marcelo Lellis (2002). For the analysis of these documents and didactic books we take for base the theories of Roger Chartier (1991), which studies the different existing relations between the reading of the official legislation and the interpretation made by users. The analysis of didactic books had as focus the content of Geometry, and we support them in the studies of Josep Gascón (2001 and 2003) where the author argues interferences of episteologics and didactic models in the management of the Geometry´s lessons. In our analysis, we in such a way observe the interference of the Euclidianist model in the Curricular Guides as in the “Matemática – Curso Moderno”, of the Almost-empiric model in the Proposal Curricular and the collection “A Conquista da Matemática” and a Construtivist perspective in the in the National Curricular Parameters for the Mathematics and also in the collection “Matemática para Todos”, also preserving sufficiently the Almost-empiric model. Key-words: Curricula Prescription and mathematic, Geometry, Didactic´s Books. LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 1 1.1 – Capa Sangiorgi V. 1...................................................................... 65 1.2 – Capa Sangiorgi V. 2..................................................................... 65 1.3 – Capa Sangiorgi V. 3..................................................................... 65 1.4 – Capa Sangiorgi V. 4..................................................................... 65 1.5 – Quadriláteros................................................................................ 89 1.6 – Translação.................................................................................... 92 1.7 – Rotação........................................................................................ 93 1.8 – Simetria Axial............................................................................... 94 1.9 – Simetria Central........................................................................... 95 CAPÍTULO 2 2.1a – Demonstração Pitágoras........................................................... 191 2.1b – Demonstração Pitágoras........................................................... 192 2.2 – Cordas.......................................................................................... 202 CAPÍTULO 3 3.1 – Pitágoras...................................................................................... 224 3.2 – Soma dos ângulos........................................................................ 225 3.3 – Problemas Antigos....................................................................... 226 3.4 – Rede............................................................................................. 227 3.5 – Giros e Ângulos ........................................................................... 232 3.6 – Perpendiculares e paralelas ........................................................ 233 3.7 – Problemas: retas ......................................................................... 237 3.8 – Simetria ....................................................................................... 238 3.9 – Medida de ângulo ....................................................................... 241 3.10 – Circunferência............................................................................ 243 3.11 – Polígonos e teoria dos conjuntos .............................................. 261 LISTA DE QUADROS CAPÍTULO 1 1.1 – A Geometria nos Guias..................................................................... 55 1.2 – Índice Volume 3................................................................................ 78 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO DA PESQUISA I. Introdução.......................................................................................... 16 II. Justificativa e relevância do tema...................................................... 17 III. Objetivos e questões de pesquisa.................................................... 22 IV. Fundamentos teóricos...................................................................... 23 V. Procedimentos metodológicos.......................................................... 28 VI. Estrutura do Trabalho....................................................................... 33 CAPÍTULO 1 A Geometria durante o período de 1960 a 1980 – a influência do Movimento Matemática Moderna....................................................... 34 1.1 A Matemática Moderna – O contexto internacional........................ 34 1.2 A Matemática Moderna no Brasil.................................................... 40 1.3 A Geometria no Movimento da Matemática Moderna ................... 45 1.4 Osvaldo Sangiorgi – um protagonista do Movimento..................... 49 1.5 Os Guias Curriculares do Estado de São Paulo............................. 52 1.5.1 A Geometria nos Guias....................................................... 54 1.5.2 Subsídios para Implementação do Guia Curricular de Matemática – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª Séries............. 57 1.6 A Coleção Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi... 64 1.6.1 A análise dos conteúdos de Geometria na obra de Sangiorgi........................................................................................ 67 1.7 Os Guias Curriculares e a Coleção de Osvaldo Sangiorgi............. 120 CAPÍTULO 2 O ensino de Geometria após o Movimento da Matemática Moderna (1980 – 1998)......................................................................... 122 2.1 A Proposta Curricular do Estado de São Paulo............................... 123 2.1.1 O tema Geometria na Proposta Curricular............................. 125 2.2 A análise da Coleção: a Conquista da Matemática......................... 140 2.2.1 Um breve relato dos autores.................................................. 140 2.2.1.1 José Ruy Giovanni....................................................... 140 2.2.1.2 José Ruy Giovanni Júnior............................................ 141 2.2.1.3 Benedito Castrucci....................................................... 141 2.2.2 A Geometria na coleção: A conquista da Matemática........... 142 2.3 A Proposta Curricular e a Coleção: A conquista da Matemática..... 208 CAPÍTULO 3 A Geometria durante o período de 1998 ao momento atual – uma 210 análise dos PCN e livros didáticos atuais....................................... 3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto ciclo do Ensino Fundamental............................................................................... 210 3.1.1 O bloco de conteúdos: Espaço e Forma................................ 214 3.1.2 Orientações didáticas para o bloco de conteúdos: Espaço e Forma............................................................................................... 220 3.2 Análise do Livro Didático: Matemática para todos........................... 228 3.2.2.1 A Geometria na coleção Matemática para todos......... 230 3.3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Coleção Matemática para todos............................................................................................. 297 CAPÍTULO 4 Considerações Finais................................................................................ 300 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................ 312 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA I Introdução. Ao iniciar minha atuação no magistério da rede pública do Estado de São Paulo, no ano de 2000, assumi aulas de Matemática no Ensino Médio e observei que os temas mais trabalhados na escola eram quase todos temas de Álgebra. Lembro-me que quando conseguia trabalhar alguns tópicos de Geometria, geralmente no final do ano letivo, os alunos demonstravam muita dificuldade, muito provavelmente porque o tema tinha sido pouco trabalhado nos anos anteriores. Desse modo, muitas vezes, sentia-me frustrado ao constatar que os alunos não conseguiam aprender o que eu me propunha a ensinar relativamente ao tema de Geometria, além de eu sempre enfrentar o problema da “falta de tempo”. Nas conversas com meus colegas professores, pude notar que outra causa do abandono dos temas geométricos está no despreparo que nós professores também temos com relação ao próprio conhecimento de assuntos geométricos. Em função dessas constatações, nos cursos de extensão e especialização que fiz após a graduação, procurei aqueles que abordavam a Geometria e a Didática da Geometria. Quando ingressei no Mestrado do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo já 17 tinha em mente que o assunto abordado em minha dissertação seria a Geometria. Optamos por focalizar a etapa de escolaridade correspondente aos quatro últimos anos do Ensino Fundamental e tomamos como ponto de partida de nosso estudo o período em que o Movimento Matemática Moderna teve grande influência no ensino de Matemática em nosso país até chegar ao momento atual. II. Justificativa e relevância do tema Na literatura sobre o ensino de Geometria, encontramos um ponto comum entre vários pesquisadores, qual seja, a construção de argumentos sobre a importância da aprendizagem de temas geométricos, pelo fato de que a Geometria tem um papel fundamental na vida de qualquer indivíduo. Segundo Lorenzato (1998), “pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em Matemática (por exemplo: algoritmos, medições, valor posicional, séries, seqüências...) como na Leitura e Escrita”1. É uma das melhores oportunidades para aprender a “matematizar” a realidade e, o ensino de Geometria, em seu aspecto formativo, pode promover valores culturais e estéticos importantes 1 LORENZATO, Sérgio. “Por que não ensinar geometria?”. In: A Educação Matemática em revista, SBEM, nº 4, 1º Semestre de 1998, pp. 30-31. 18 para uma melhor compreensão e apreciação das obras dos homens (construções e trabalhos artísticos) ou da natureza. “Sem conhecer Geometria, a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida”2. Além do destaque à importância dos conhecimentos geométricos, observamos que outra questão bastante debatida refere-se a qual Geometria deve ser ensinada e como as mudanças curriculares vão se processando no que se refere à ênfase conferida a cada tema geométrico e à abordagens metodológicas. Segundo Pires (2007), os termos “reorientação”, “inovação”, “revisão” são inerentes aos processos de reformas curriculares. Segundo a autora, quando um reforma curricular é posta em ação isso acontece, de modo geral, em função da constatação de que algo não vai bem e precisa ser modificado. A retrospectiva das reformas, no entanto, mostra que nem sempre isso ocorre ou, pelo menos, nem sempre ficam tão explicitadas as motivações presentes nas mudanças, especialmente para os professores. Em geral, no Brasil, as reformas de projetos curriculares das disciplinas, são atreladas a alterações na estrutura do sistema de ensino (PIRES, 2007). Outra motivação para as reformas, num período mais recente, é a necessidade de organizar currículos que se adaptem às avaliações internacionais. Esse fato, que ocorre em diferentes países, é destacado por Keitel e Kilpatrick: 2 Id., Ibid., p. 30. 19 As investigações comparativas internacionais têm-se tornado cada vez mais sofisticadas. Em conjunto com os julgamentos dos especialistas sobre o modo como o currículo da Matemática deve ser representado internacionalmente, têm sido feitas análises cuidadosas de documentos oficiais e materiais escritos. Foram efetuadas análises a variáveis como o tempo reservado para vários tópicos em diferentes sistemas, a proporção de sistemas que tratam um dado tópico em cada ano, a forma como varia, nos manuais, o espaço concedido a um tópico, e como difere a organização dos manuais nos diferentes sistemas. Mesmo assim, o currículo internacional idealizado, definido por um conjunto comum de tarefas organizadas por tópicos de conteúdo, continua a ser a norma para medir o desempenho. Não é concedida nenhuma tolerância pelo fato de existirem objetivos, questões, histórias e contextos que são diferentes entre os currículos de Matemática dos sistemas em estudo. Ninguém aborda realmente em que medida os alunos de um dado sistema estão aprendendo o currículo de Matemática que o seu sistema lhes oferece. (Keitel e Kilpatrick, p. 73, 1998) Esses mesmos autores destacam um ponto bastante importante sobre a participação dos professores, quando fazem referência a “currículos planejados” e “currículos implementados”: Uma tentativa para lidar com a complexidade curricular foi a de distinguir entre o currículo planejado e o currículo implementado. Uma distinção entre o currículo planejado (tal como está representado em documentos oficiais, manuais, ou em ambos) e o currículo implementado (normalmente medido por meio de questionários aos professores) foi feita no Second International Mathematics Study — SIMS (Travers e Westbury, 1989). A distinção já tinha sido antecipada no First International Mathematics Study — FIMS (Husén, 1967) — pela utilização de classificações dos professores das oportunidades de aprendizagem dos conteúdos relativos a cada item testado. Apesar dos termos planejado e implementado transportarem a infeliz conotação de que as únicas intenções que contam são as oficiais, e de que os professores não passam de meros executores que implantam no terreno planos de outras pessoas, esta distinção foi útil, na medida em que ajudou a distinguir o planejado do que é a realidade curricular. (Keitel e Kilpatrick, p. 76, 1998) Pires (2003) destaca que no Brasil, um fenômeno comum a diferentes níveis do sistema de ensino é a introdução, em determinados períodos, de mudanças curriculares que nem sempre têm o apoio de experiências concretas anteriores nem o envolvimento dos professores, protagonistas de sua 20 implementação. Para essa autora, historicamente, uma das marcas das políticas públicas brasileiras no que se refere a questões curriculares é, sem dúvida, a falta de ações de implementação curricular, como se novas idéias se transformassem em prática num passe de mágica. Além dessa, outra marca é a falta de acompanhamento/avaliação das inovações propostas, o que não permite fazer um “julgamento” adequado, periodicamente, contabilizando acertos e erros. Em função disso, a autora destaca conseqüências bastante conhecidas: uma delas é a convivência “eterna” de currículos prescritivos (os dos documentos oficiais) e os currículos reais (os da sala de aula, que os professores realizam); outra conseqüência é a falta de dados consistentes para promover as mudanças necessárias ou investir fortemente naquilo que vem dando bons resultados. Em seus estudos sobre reformas curriculares no Brasil, Pires (2000) destaca que a pesquisa de documentos que permite reconstituir parte da história das reformas curriculares no Brasil evidenciam dois importantes marcos, na primeira metade do século XX. Um deles foi a Reforma Francisco Campos, em 1931, na qual o educador brasileiro Euclides Roxo teve papel importante ao propor a unificação dos campos matemáticos - Álgebra, Aritmética e Geometria - numa única disciplina a Matemática, com a finalidade de abordá-los de forma articulada inter-relacionada, uma vez que anteriormente cada um deles era estudado como disciplina independente. Roxo defendeu ainda a idéia de que o ensino da geometria dedutiva deveria ser antecedido de 21 uma abordagem prática da geometria. Outro marco foi o da Reforma Gustavo Capanema, em 1942, em que a concepção de currículo foi ampliada para além da mera listagem de conteúdos a serem ensinados, incluindo uma discussão de orientações didáticas. Essas inovações não se mantiveram, o que revela que as decisões curriculares, no Brasil, foram historicamente marcadas por procedimentos bastante questionáveis, influenciados por questões políticas ou influências de poder de alguns grupos ou mesmo de pessoas (PIRES, 2007) Na história mais recente essa autora identifica três períodos marcantes: o primeiro, caracterizado pela influência do Movimento Matemática Moderna (de 1965 a 1980); o segundo, caracterizado por reformas que buscavam se contrapor ao ideário do Movimento da Matemática Moderna (de 1981 a 1997) e lideradas por Secretarias Estaduais e Municipais de Ensino; o terceiro, organizado em nível nacional e consubstanciado num documento divulgado ao conjunto das escolas brasileiras, denominado Parâmetros Curriculares Nacionais (a partir de 1998). Para desenvolver nosso estudo, vamos investigar as propostas para o ensino de geometria nesses três períodos mais recentes a partir da análise de documentos oficiais e de livros didáticos, relacionados a cada um dos períodos mencionados. 22 III. Objetivos da pesquisa e questões de pesquisa. No estudo sobre “O ensino de geometria: do período da Matemática Moderna ao momento atual”, temos o objetivo de identificar as transformações pelas quais o ensino da Geometria passou nesse período. Para isso, recorremos aos documentos oficias e a coleções de livros didáticos, especificados mais adiante, publicados nesses momentos. A análise das coleções de livros didáticos tem como foco identificar a abordagem da Geometria e o de que modo os autores se apropriaram e assimilaram as orientações contidas nos documentos oficiais para a realização de sua obra. Focalizaremos a etapa de escolaridade correspondente aos quatro últimos anos do Ensino Fundamental3. Para esse estudo, identificamos as seguintes questões de pesquisa: • Quais foram as mudanças ocorridas no ensino de Geometria desde o Movimento Matemática Moderna ao momento atual? • Como as prescrições curriculares para o ensino de Geometria, em cada momento histórico foram interpretadas por autores de livros didáticos selecionados para esta pesquisa? 3 No caso dos Guias Curriculares e da Proposta Curricular de São Paulo, a denominação usada era Ensino de 1º. Grau – 5ª. a 8ª. séries, anteriormente conhecidas como Curso Ginasial. No caso dos Parâmetros Curriculares Nacionais, a denominação usada era Ensino Fundamental – 5ª. a 8ª. séries. Esses segmentos da escolaridade correspondem ao atual segmento identificado como 6º. a 9º. anos do Ensino Fundamental de 9 anos. 23 IV. Fundamentos teóricos. Os estudos desenvolvidos pelo pesquisador e professor espanhol Josep Gascón (2003) foram bastante importantes para o desenvolvimento do nosso trabalho. Para esse autor diferentes modelos teóricos podem ser tomados como referência para a investigação do processo ensino-aprendizagem da Geometria. Gascón (2001, 2003) estabelece a relação existente entre a epistemologia da matemática e a didática da matemática e, baseando-se em Lakatos, organiza as teorias epistemológicas dividindo-as em três grupos: Teorias Euclidias, Teorias Quase-empíricas e Teorias Construtivistas, assim apresentados por ele.. O modelo teórico Euclídeo ou Euclidianismo conduz à prática docente um conhecimento que se direciona com ênfase na teoria e na técnica, assumindo que o professor é quem controla o processo de ensino e aprendizagem. Gascón (2001) define o Euclidianismo como sendo o modelo docente que: “propõe que todo o conhecimento matemático pode deduzir-se de um conjunto finito de proposições trivialmente verdadeiras (axiomas) que constam de termos perfeitamente conhecidos (termos primitivos)”4. O “Euclidianismo” pode ser associada à visão epistemológica da didática da geometria, que se manifesta através do teoricismo e do tecnicismo, em que 4 Tradução do texto “Incidência del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes” de Gascón. J., Revista Latinoamericana de Investigacion en Matemática Educativa, México, v. 4, n. 2, pp. 129-159, 2001, p. 131. 24 se assume que o professor é quem controla o processo de ensino e aprendizagem. O teoricismo se identifica com o ensino e aprendizagem de teorias, com os resultados da atividade matemática a que se chega por meio da explicação do docente, considerando o conhecimento como algo pronto e acabado. O tecnicismo se baseia no uso eficiente das técnicas algorítmicas, ou seja, a escolha de técnicas adequadas para se empregar na resolução de problemas. Pelas características evidenciadas nesses modelos, Gascón (2001) os denomina de “Modelos Clássicos”. Os modelos Quase-empíricos surgem em contraposição aos Modelos Clássicos, a partir da década de setenta, em decorrência aos trabalhos desenvolvidos por Imre Lakatos. Lakatos (1978) explica essa contraposição: “(...) se chamamos enunciados básicos aos enunciados de um sistema dedutivo aos que se insere inicialmente valores de verdade, então um sistema é euclídeo se é a clausura dedutiva dos enunciados básicos que se assumem como verdadeiros. Em caso contrário, é quase-empírico. Pode afirmar-se que uma teoria euclídea é “verdadeira” no sentido de que está “provada” pelos enunciados básicos verdadeiros (axiomas). Ao contrário, de uma teoria quaseempírica pode-se dizer no máximo, que está “bem-alicerçada”, porém sem deixar nunca de ser conjectural; de fato nela os enunciados básicos verdadeiros (que são os axiomas) são simplesmente “explicados” pelo resto do sistema no sentido de 25 que formam um todo coerente e não contraditório” (GASCÓN, 5 2001, p. 138). Nos modelos Quase-empíricos destaca-se a descoberta como fundamento no processo de aprendizado, levando a “destrivialização” do conhecimento matemático. Enquanto que no modelo euclidiano acentua-se o método de algoritmização, no modelo quase-empírico são enfatizados os procedimentos não algorítmicos como conjecturar, constatar, refutar, buscar contra-exemplos e etc. Para o processo de ensino e aprendizagem, Gascón (2001) utiliza para esses modelos as seguintes denominações: modernismo, identificado com a exploração de problemas não-triviais em que o destaque é direcionado para o momento exploratório da atividade, considerando o processo de aprendizagem como um processo de descobrimento indutivo e autônomo, desvinculado de teorias e técnicas; e o procedimentalismo, “(...) que situa como principal objetivo do processo didático o domínio de sistemas estruturados de técnicas heurísticas (no sentido de não algorítmicas)” (GASCÓN, 2001, 142). O procedimentalismo surge para complementar e melhorar o modernismo, relacionando o momento exploratório com o trabalho direcionado para a técnica numa atividade matemática. 5 Id., Ibid., p. 138. 26 Os modelos Construtivistas têm sua epistemologia baseada no desenvolvimento psicogenético, centrados na descoberta dos mecanismos que conduzem o desencadeamento do conhecimento científico, em que a utilização de uma base empírica é aliada à história das ciências e ao desenvolvimento psicogenético. Segundo Gascón, “(...) o construtivismo identifica “ensinar matemática” como possibilidade de que os estudantes “construam” o conhecimento matemático” (GASCÓN, 2003, p. 28). Para esses modelos é importante a incorporação paulatina do aluno na resolução de uma situação-problema eleita em função do conhecimento que se quer que esse aluno construa, permitindo-lhe discernir se a solução por ele desenhada é correta ou não. Quando a situação problema aparece contextualizada pode-se recorrer ao uso de referentes pertencentes a um sistema matemático ou extramatemático chamado modelo, que os modelizacionistas utilizam para chegar à resposta da situação proposta ou objeto matemático que se quer que o aluno aprenda. Em seu artigo “Ensino de Geometria no Brasil: uma análise com base em modelos de referência que colocam em relação a epistemologia e a didática da Geometria”, Pires (2006) destaca a importância de análise de modelos teóricos de referência como o proposto por Gascón (2001). 27 (...) pelo fato de que modelos didáticos evoluem a partir da gênese de problemas e das formas de solução que se elege para resolvê-los. Ou seja, Gascón chama a atenção para a relação entre a epistemologia da geometria e a didática da geometria (PIRES, 2006, p. 13). Pires (2006) ressalta, referindo-se aos esquemas apresentados por Villela (2001), que a escolha de um dos modelos teóricos de Gascón pode configurar situações de ensino “interessantes”, descritas a seguir: O esquema é apresentado a seguir: EPISTEMOLOGIA Euclidianismo Problema Lógico Empirismo Problema histórico Construtivismo Problema cognitivo A GESTÃO DA AULA DE GEOMETRIA Foco no Ensino DIDÁTICA Teoricismo Tecnicismo • Foco na aprendizagem Modernismo Procedimentalismo Foco no saber Psicologismo Modelização No Modelo Euclidianista: o professor “usa o problema como controle das aprendizagens adquiridas pelos alunos”; o aluno “deve aprender o conteúdo”, suas relações e seus fundamentos; no saber “predomina o caráter conceitual”. • No Modelo Quase-empirista: o professor “usa o problema como motivo para satisfazer as inquietações dos alunos”; com relação ao aluno, “seu interesse é medido pela sua participação e seu 28 interesse e desempenho nas seqüências apresentadas”; no saber “predomina o caráter atitudinal”. • No Modelo Construtivista: o professor “usa o problema como meio para aproximar o aluno do saber matemático”; com relação ao aluno, o que “importa é como ele se relaciona com o saber”; no saber “predomina o caráter procedimental”. V. Procedimentos metodológicos. Nossa pesquisa é documental e para sua realização, utilizamos e analisamos os seguintes documentos oficiais: “Guias Curriculares do Estado de São Paulo”, de 1975, “Proposta Curricular do Estado de São Paulo”, de 1992, e os “Parâmetros Curriculares Nacionais”, de 1998. Os Guias Curriculares são um documento oficial proposto pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, organizado para orientar as escolas de 1º grau, no momento em que se estendia de quatro para oito anos a duração da escolaridade obrigatória (LDB 5692/71). Sua publicação foi realizada posteriormente à publicação de alguns livros didáticos que já incorporavam propostas do Movimento da Matemática Moderna, como é o caso da coleção “Matemática – Curso Moderno” de Osvaldo Sangiorgi, que iremos analisar mais adiante. Nos anos 80 a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo elaborou Propostas Curriculares para cada uma das disciplinas do Ensino 29 Fundamental impulsionada pelo clima de abertura política e pela necessidade de incorporar aos currículos, componentes de natureza social e cultural. O processo de elaboração dessas propostas foi bastante inovador uma vez que procurou contemplar a participação democrática dos professores. No caso específico da Matemática, nessa proposta, são incorporadas as críticas que vinham sendo feitas aos currículos orientados pelo Movimento da Matemática Moderna. Uma dessas críticas era sobre a pouca ênfase conferida aos temas geométricos. No final dos anos 90, um dispositivo da LDBEN 9394/96 (artigo 9º, inciso IV) definiu que a União deveria incumbir-se de estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum. Tal dispositivo levou à elaboração dos Parâmetros Curriculares Nacionais, em âmbito nacional, em que (...) pela primeira vez em nossa história, educadores que atuam em diferentes níveis do sistema de educativo, debateram e indicaram diretrizes curriculares comuns para o ensino fundamental no Brasil. (PIRES, 2000, p. 56). Além da análise da proposta para o ensino de Geometria nesses documentos oficiais, em nossa pesquisa vamos analisar coleções didáticas representativas de cada um dos períodos aos quais já fizemos referência. 30 Para melhor compreender as diferentes relações existentes entre a leitura da legislação oficial e a interpretação feita pelos usuários, utilizaremos os conceitos de representação e apropriação, segundo Chartier6. O autor destaca que até mesmo a forma do livro determina os usos e apropriações que dele serão feitos. Chartier enfatiza a existência de três pólos que se inter-relacionam e, dessas inter-relações, dependem as apreensões de significado realizadas pelo leitor: “Toda reflexão metodológica enraíza-se, com efeito, numa prática histórica particular, num espaço de trabalho específico. O meu organiza-se em torno de três pólos, geralmente separados pelas tradições acadêmicas: de um lado, o estudo crítico dos textos, literários ou não, canônicos ou esquecidos, decifrados nos seus agenciamentos e estratégias; de outro lado, a história dos livros e, para além, de todos os objetos que contém a comunicação do escrito; por fim, a análise das práticas que, diversamente, se apreendem dos bens simbólicos, produzindo assim usos e significações diferençadas” (CHARTIER, 1991, p. 178). Posto isso, percebemos que a efetiva implementação, em sala de aula ou num sistema de ensino, de uma determinada orientação, contida nos documentos oficias, é cercada de “significados” que cada leitor produz a partir dela, significados esses que podem conduzir a diferentes ações ou a novas práticas em sala de aula: caso o leitor seja o docente ou o autor de livros; a novas grades curriculares, discussões institucionais: caso o leitor seja gestor ou coordenador de ensino. Chartier ressalta também que: 6 Roger Chartier é historiador francês, nascido em 1945, realiza pesquisa em várias frentes, entre elas podemos destacar: a história das instituições de ensino e das sociabilidades intelectuais, a história do livro e das práticas de escrita e de leitura e a análise e o debate entre política, cultura e cultura popular. (ANDRADES, 1999). 31 “Os que podem ler os textos, não os lêem de maneira semelhante, e a distância é grande entre os letrados de talento e os leitores menos hábeis, obrigados a oralizar o que lêem para poder compreender, só se sentindo à vontade frente a determinadas formas textuais ou tipográficas. Contrastes igualmente entre normas de leitura que definem, para cada comunidade de leitores, usos do livro, modos de ler, procedimentos de interpretação. Contrastes, enfim, entre as expectativas e os interesses extremamente diversos que os diferentes grupos de leitores investem na prática de ler. De tais determinações, que regulam as práticas, dependem as maneiras pelas quais os textos podem ser lidos, e lidos diferentemente pelos leitores que não dispõem dos mesmos utensílios intelectuais e que não entretêm uma mesma relação com o escrito” (CHARTIER, 1991, p. 179). Para o encaminhamento desta pesquisa é importante definirmos os conceitos de representação, apropriação e leitura. Para isso, também recorreremos aos estudos de Chartier. A noção de representação leva-nos a duas definições que parecem, a princípio, contraditórias. A primeira faz ver, na representação, uma ausência, ou seja, “a representação é o instrumento de um conhecimento mediato que faz ver um objeto ausente substituindo-lhe uma “imagem” capaz de repô-lo em memória e de “pintá-lo” tal como é” (CHARTIER, 1991, p. 184). Essas imagens podem ser materiais, como a representação que vem a tona quando mencionamos a palavra “quadrado”, por exemplo; ou podem ser simbólicas, como, por exemplo, quando falamos que “o Leão mordeu uma grande parte do meu salário”, em que a palavra “leão” simboliza a instituição da Receita Federal. A segunda definição para representação “é a apresentação de uma presença, a apresentação pública de uma coisa ou de uma pessoa”. Uma relação de representação, portanto, é “entendida como relação entre uma imagem presente e um objeto ausente, uma valendo pelo outro porque lhe é homóloga” (CHARTIER, 1991, p. 184). 32 Já o conceito de apropriação, para Roger Chartier: “... visa a uma história social dos usos e das interpretações, referidas a suas determinações fundamentadas e inscritas nas práticas específicas que as produzem...” (CHARTIER, 1991, p. 180). Assim, percebemos que um mesmo texto pode ser diversamente apreendido e compreendido. Por fim, a leitura é, segundo Chartier, uma dupla apropriação: “de um lado, a apropriação designa a ”efetuação”, a “atualização” das possibilidades semânticas do texto; de outro, ela situa a interpretação do texto como a mediação através da qual o leitor pode operar a compreensão de si e a construção da “realidade” (CHARTIER, 1999, p. 123). As coleções que iremos analisar são as seguintes: A primeira coleção a ser analisada é “Matemática – Curso Moderno” de Osvaldo Sangiorgi. O motivo de sua análise deve-se ao fato de ser a primeira coleção destinada as quatro séries finais do ginásio7, que é considerada na introdução do Movimento da Matemática Moderna em coleções didáticas e também pelo fato do autor dessa coleção ser um dos responsáveis pela divulgação das idéias desse movimento em nosso Estado. A segunda coleção analisada é “A Conquista da Matemática” de José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci e José Ruy Giovanni Jr. Sua escolha devese ao fato que ela foi adotada por muitos professores da Rede Pública no segundo período de nossa análise. 7 Correspondente aos atuais quatro anos finais do Ensino Fundamental 33 Finalmente, a coleção “Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis, terceira coleção de livros didáticos analisada, foi escolhida por fazer parte do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2005), ser aprovada pelo Ministério da Educação (MEC) e por ser uma coleção também bastante conhecida entre os professores de Matemática da Rede Pública do Estado de São Paulo. VI Estrutura do trabalho. Organizamos e estruturamos nosso trabalho em quatro capítulos. No Primeiro Capítulo inicialmente procuramos descrever as transformações ocorridas no período estudado, tomando o Movimento Matemática Moderna como ponto de partida e analisamos como os Guias Curriculares, documento oficial desse período, e a Coleção Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi, abordavam a Geometria. No Segundo Capítulo analisamos como a Geometria era proposta no período de influência da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo e a Coleção “A conquista da Matemática”, de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. No Terceiro Capítulo, focalizamos nossa atenção na análise da Geometria contida nos Parâmetros Curriculares Nacionais e na Coleção “Matemática para todos” de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis. No Quarto Capítulo apresentamos nossas considerações finais e as conclusões dos estudos realizados em nossa pesquisa. 34 Capítulo 1 A Geometria durante o período de 1960 a 1980 – a influência do Movimento Matemática Moderna. 1.1. A Matemática Moderna – O contexto internacional. O Movimento da Matemática Moderna foi, sem sombra de dúvida, um dos principais marcos de reformas, provocando alterações curriculares em países com sistemas educativos e realidades diversas. Um dos principais aspectos que deu origem a esse Movimento foi o chamado descompasso existente entre os avanços científicos e tecnológicos, que se constituía na época, e a Matemática ensinada nas escolas de nível médio. Com isso, “justificava-se” a necessidade de uma modernização dos conteúdos matemáticos ensinados nesse nível (MIORIM, 1998). As idéias desse Movimento se acentuaram nas décadas de 50 e 70. Dentre os principais nomes ligados a ele, destacam-se: Papy (Bélgica), Dienes (Canadá), Fletcher (Grã-Bretanha), Madame Krygowska (Polônia), Dieudonné, 35 pelo Grupo Bourbaki8, Choquet, Lichnerowicz, Revuz, Picard e Walusinski (França). No Brasil, um dos principais divulgadores desse Movimento foi o Professor Osvaldo Sangiorgi e grupos como o Grupo de Estudos de Ensino da Matemática - GEEM, no caso de Estado de São Paulo. Segundo Charlot (1986), as principais intenções dos “organizadores” desse Movimento eram a democratização do ensino da Matemática e a adequação desse ensino à expectativa de que com isso fosse possível impulsionar o progresso técnico e científico, visto que, após a reconstrução pós-guerra, o mundo passava por um período de industrialização e desenvolvimento econômico acelerado. Outro fato importante, relacionado ao período pós-guerra, foi o lançamento do SPUTINIK, em outubro de 1957, o que caracterizou uma preocupação das elites ocidentais com seu suposto atraso tecnológico, trazendo a modernização industrial para a pauta do dia (PIRES, 2000). Sendo assim, para essa autora, esse Movimento “inscreveu-se muito claramente numa política de formação a serviço da modernização econômica” (PIRES, 2000, p. 9). Segundo Burigo (2006), em discursos de organismos governamentais europeus e norte-americanos, o investimento na melhoria do ensino de 8 Nicolas Bourbaki – pseudônimo escolhido por um grupo de matemáticos, na maioria franceses, dentre eles, Chevalley, Dieudonné, Weil. 36 matemática e das ciências naturais ficou estritamente associado à aposta no progresso técnico. Em 1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica – OECE promoveu o Colóquio de Royaumont, tendo como meta a reformulação dos currículos em vigor. Nesse Colóquio. Choquet apresentou um programa para o ensino primário e secundário e Dieudonné proferiu seu “Abaixo Euclides”, frase que acabou caracterizando a geometria euclidiana como símbolo da matemática clássica. A respeito do slogan “Abaixo Euclides”, Miorim escreve: (...) podemos perceber por essas palavras de Dieudonné, que a proposta de modernização pretendia “revolucionar” o ensino de Matemática no nível médio, por meio da introdução de aspectos da “moderna Matemática”, ou seja, da Matemática mais recente, mais atual, mais nova, que estava sendo desenvolvida nas últimas décadas, e pela eliminação de conteúdos tradicionais (1998, p. 109). Nos Estados Unidos, por volta do ano de 1956, houve uma grande discussão em relação ao ensino de Matemática na escola secundária contando com auxílios particulares (Carnegie Foundation, Rockfeller, Ford, etc.) e oficiais (National Science Foundation – NSF). A partir desse momento diversos grupos de estudos foram formados nesse país, destacando-se: o School Mathematics Study Group (SMSG) e o National Council of Teachers of Mathmatics (NCTM). O Movimento da Matemática Moderna teve grande repercussão nos Estados Unidos. Os primeiros livros didáticos contemplando as propostas 37 desse Movimento começaram a ser publicados no final da década de 50 e início da seguinte (LUZ, 2007). Nos anos finais da década de 60, o Movimento teve uma grande “aceleração” em diversos países. Em 1967, a Commission Internationale pour l´Enseignement Mathématique – CIEM realizou um colóquio em Utrecht sobre o tema “Como ensinar a Matemática para que ela seja útil” e, em 1969, organizou em Lyon seu primeiro Congresso Internacional para o ensino de Matemática (PIRES, 2000). Segundo essa autora, a preocupação central era a de se ter uma Matemática útil para a técnica, para a ciência e para a economia moderna. A origem dessa “Moderna Matemática” estava ligada à necessidade de uma maior reflexão e fundamentação a respeito dos vários conceitos e teorias novos, surgidos num período de experimentação dos estudos matemáticos, principalmente aqueles ligados à mecânica e astronomia, ocorridos nos séculos XVII e XVIII (MIORIM, 1998). De acordo com Miorim (1998), a Matemática Moderna apresentava alto nível de generalidade, elevado grau de abstração e maior rigor lógico, constituindo-se com as estruturas e axiomatização. Ela surgiu com o desenvolvimento dos três ramos seguintes: 1 – as extensões da noção de número e o aparecimento da álgebra abstrata; 2 – o nascimento das geometrias não euclidianas de Gauss, Lobatchevski e Bolyai, seguido mais tarde pelas axiomatizações das geometrias de Euclides realizadas por Pasch, Peano e sobretudo Hilbert (1899); 38 3 – o desenvolvimento da lógica, com a publicação da famosa obra de Boole em 1854 e as contribuições, dentre outros, de Frege e Peano, para culminar no monumental tratado de Russell e Whitehead (Hernandez, in Piaget et al., 1986, p.20).9 Para Pires (2000), as grandes bases curriculares preconizadas pelo Movimento da Matemática Moderna foram incorporadas em vários países. Mas, a partir do fim da década de 60 e início da década de 70, questionamentos começaram a surgir. Em 1973, foi publicada nos Estados Unidos uma das mais incisivas críticas feitas ao Movimento Matemática Moderna, por um professor de Matemática, Morris Kline. Nessa obra, esse autor focalizou o ensino da Matemática nesse país, no período de 1930 a 1950, apontando todas as questões que justificariam o fracasso do ensino da Matemática Moderna. (VITTI apud BORGES, 2005, p. 67). Nessa obra, o autor concluiu que as idéias de um novo currículo, defendidas pelo Movimento, não oferecia motivação para o estudo da Matemática. Ele concordava com a necessidade de inovação, mas não do modo como foi estabelecida. Também criticou a linguagem precisa que os modernistas queriam introduzir, utilizando-se de uma formalidade exagerada, o que dificultava ainda mais a aprendizagem por parte dos alunos (KLINE apud BORGES, 2005, p. 68). 9 MIORIM, Maria Ângela. Introdução a Historia da Educação Matemática. São Paulo. Atual. 1998. p.110. 39 Nesse mesmo ano, Choquet escreve um artigo, “L´École liberatrice”, em que confessa: “Eu estou estarrecido com o que constato no ensino da escola primária e secundária. Fui um dos promotores da reforma de ensino da Matemática, mas o que eu preconizava era simplesmente uma poda de galhos mortos, atravancadores, e a introdução de um pouco de álgebra. Pois bem, em suma, os novos programas e as instruções correspondentes são mais satisfatórios que os antigos, em que pesem erros razoáveis; mas há toda uma atmosfera nociva, que tem acompanhado seu desenvolvimento. Em particular, um ataque contra a Geometria e contra os recursos da intuição: foi dito aos professores que seria lastimável que eles estudassem os triângulos e que a Álgebra Linear substituiria toda a velha geometria... o resultado é tal que, sem uma forte reação de base, eu penso que a geração atual de nossa escola receberá uma formação matemática que não a prepara nem para a pesquisa, nem para a utilização da Matemática em técnicas ou ciências experimentais” (Apud Charlot, 1986, pp.18/19)10. A partir de 1973 as críticas se multiplicavam, constatando-se que o colocado em prática não era um ensino renovado e democrático, mas um ensino formalizado ao extremo, decepado de todo suporte intuitivo, apresentado a partir de situações artificiais além de ser bastante seletivo (PIRES, 2000). Para Pires (2000), embora o Movimento da Matemática Moderna contivesse equívocos desde sua concepção, além de ter possivelmente sua implementação distorcida, o fato é que provocou discussões nas mais variadas 10 PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo. FTD. 2000. p. 13. 40 partes do mundo, originando inclusive reformas que surgiram para dar novos rumos ao ensino de Matemática. 1.2. A Matemática Moderna no Brasil. Do mesmo modo que outros países, o Brasil também passava por um processo de urbanização e industrialização, o que originava uma necessidade de mão-de-obra especializada. O discurso da crescente importância do ensino de Matemática face ao progresso técnico enfatizava a necessidade de adequar-se à nova realidade social, sendo imprescindível uma melhor qualificação de um número maior de técnicos ou cientistas por meio do ensino (BURIGO, 1989). As primeiras manifestações oficiais da introdução de novos programas bem como a introdução da linguagem da Matemática Moderna, destinada aos alunos da escola secundária, foram feitas nos Congressos Brasileiros do Ensino de Matemática, realizados em Salvador (1955), Porto Alegre (1957) e Rio de Janeiro (1959), com a participação de grupos restritos de professores. Segundo Miorim (1998), apesar das idéias do Movimento terem sido apresentadas e discutidas nesses congressos, não seriam esses congressos que desencadeariam o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. O grande responsável seria o Grupo de Estudos de Ensino da Matemática (GEEM), fundado em outubro de 1961, por professores do Estado de São Paulo, que tinha como principal representante o professor Osvaldo Sangiorgi. 41 O GEEM foi um importante instrumento de divulgação do Movimento da Matemática Moderna em todo o Brasil. De acordo com Valente (2007), esse grupo foi bastante divulgado pela mídia, nessa época, conjugando as ações que desenvolvia no palco dos debates nacionais sobre o ensino de matemática co aproximação com a Diretoria do Ensino Secundário, na oferta de cursos para professores. Esse grupo contava com alguns professores renomados, tais como: Anna Franchi, Benedito Castrucci, Irineu Bicudo, Lucília Bechara, Manhúcia Liberman, Omar Catunda, Renate Watanabe, Ruy Madsen Barbosa, Scipione Di Pierro Neto, entre outros (VITTI apud Borges, 2005, p. 41). No IV Congresso Nacional de Ensino da Matemática, realizado em Belém – PA, em 1962, o GEEM apresentou alguns exemplos de trabalhos bem sucedidos com a Matemática Moderna e divulgou uma proposta de programa para a escola secundária, contendo as idéias modernizadoras. No artigo "Introdução da Matemática Moderna no Brasil", Osvaldo Sangiorgi (1970) relatava: “... nos dois primeiros congressos, o problema da introdução da Matemática Moderna foi tratado como um simples aceno traduzido em algumas resoluções aprovadas em plenário e, no realizado no Rio de Janeiro, foram aprovadas decisões no sentido de serem experimentadas estas novas áreas da Matemática e os resultados serem apresentados no congresso seguinte; foi no congresso de Belém que se tratou com objetividade a introdução da Matemática Moderna no ensino secundário”. (p. 9). Nesse IV Congresso, a Matemática Moderna foi o tema central das discussões colocadas em pauta pelos professores participantes do evento. Dentre os pontos de pauta desse congresso estavam a introdução da 42 Matemática Moderna na escola secundária, a experiência realizada em cursos regulares experimentais e a reestruturação do ensino de Matemática ante a Lei de Diretrizes e Bases (BURIGO, 1989). O V Congresso Nacional de Ensino da Matemática foi coordenado pelo GEEM, em 1966, realizado no Centro Técnico da Aeronáutica em São José dos Campos – SP. Nesse Congresso foram realizadas sessões de estudos das várias áreas da Matemática Moderna superior e proferidas conferências sobre esse tema e o seu ensino. Nesse Congresso houve, pela primeira vez, a participação de vários professores estrangeiros: Marshall Stone, dos Estados Unidos, George Papy, da Bélgica, Hector Merklen, do Uruguai e Helmuth Völker, da Argentina (MIORIM, 1998). Além do GEEM, outros grupos de estudos foram criados em nosso país, destacando-se: o GEEMPA – Grupo de Estudos de Ensino da Matemática de Porto Alegre, o NEDEM – Núcleo de Estudos e Difusão de Ensino da Matemática de Curitiba, o GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Rio de Janeiro e o grupo coordenado pelo professor Omar Catunda na UFBA. Segundo Miorim, A organização da Matemática Moderna baseava-se na teoria dos conjuntos, nas estruturas matemáticas e na lógica matemática. Esses três elementos foram responsáveis pela “unificação” dos campos matemáticos, um dos maiores objetivos do movimento. Para isso, enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa e de justificações matemáticas rigorosas. Os alunos não precisavam “saber fazer”, mas, sim, “saber justificar” por 43 que faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as relações e funções, tornaramse temas básicos para desenvolvimento dessa proposta (MIORIM, 1998, p. 114). A Matemática Moderna, segundo Miorim (1998), também não conseguiu resolver os problemas do ensino dessa disciplina, ao contrário, chegou a agravá-lo ainda mais. Os professores Carlos B. Lyra e Omar Catunda, já no início desse movimento, alertaram para os riscos de um enfoque centralizado apenas na linguagem. Um dos fatores de esgotamento do Movimento no Brasil pode ser atribuído à divulgação da proposta de Dienes, segundo a qual o rigor deveria ser “construído” junto com os alunos e o erro, admitido como natural no processo de aprendizagem (BURIGO, 1989). No IX Colóquio Brasileiro de Matemática, o matemático Elon Lages Lima apontou o ensino brasileiro como seguidor de modelos estrangeiros, que nem eram “totalmente” aceitos nos próprios locais em que se originaram. Sendo assim, esses modelos eram prejudiciais ao Brasil, não manifestando a realidade do país (BURIGO, 1989). Em 1975, num curso promovido pelo GEEM, realizou-se uma mesa redonda com a participação de um representante oficial da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, que pediu um balanço da implementação da proposta da Matemática Moderna no Brasil (BURIGO, 1989). 44 Com questionamentos sobre as promessas de uma Matemática de acesso a todos os alunos, começou o desgaste das propostas do Movimento da Matemática Moderna . Na preparação do III Congresso Internacional de Educação Matemática, em 1976, houve uma reunião na qual o GEPEM – Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática manifestou que sua preocupação, diante ao Movimento da Matemática Moderna, referente à avaliação do ensino em sala de aula para posterior planejamento do conteúdo específico de ensino e o método a ser realizado (BORGES, 2005). Para Miorim (1998), “devido à forte penetração que o Movimento tinha alcançado na prática, as propostas de sua modificação aconteceram de forma lenta e paulatina” (p. 115). Para Pires (2000), a Matemática Moderna foi veiculada principalmente nos livros didáticos, não havendo uma adequada preparação dos educadores nem suficiente discussão de seus propósitos. Observamos que , pelo fato de em 1963, ter sido o ano de lançamento da primeira edição da coleção de Osvaldo Sangiorgi, pela Companhia Editora Nacional, e 1971 ter sido o ano de publicação dos Guias Curriculares, ocorreu um fato bastante atípico: a coleção de livros didáticos encadeava as “orientações” do que deveria ser feito em sala de aula, substituiu, de certa forma, os programas oficiais que indicavam os conteúdos a serem ensinados. 45 1.3. A Geometria no Movimento da Matemática Moderna. Segundo Pavanello (1989), na primeira metade do século XX o ensino de conteúdos geométricos era marcadamente lógico-dedutivo e apenas no terceiro ano ginasial (hoje 8º. ano do Ensino Fundamental) dava-se ênfase a esses conteúdos, começando, em geral, com conceitos primitivos (ponto, reta e plano), os primeiros postulados e axiomas, inúmeras definições e demonstrações de teoremas. Ainda para esta autora, mesmo antes do Movimento da Matemática Moderna, o ensino da Geometria já enfrentava dificuldades por parte dos professores que se sentiam despreparados para abordarem o assunto. Com a implantação do ensino sob o enfoque das transformações, proposto pelo Movimento, os professores acabaram tendo maiores dificuldades, o que pode ter acarretado o gradual abandono do ensino da Geometria (PAVANELLO, 1993). D´Ambrosio (1987) aponta que no período compreendido entre 1960 e 1970, nos cursos oferecidos pelo GEEM, a Geometria não foi uma área muito discutida se comparada com a Álgebra e que também houve um reduzido número de professores que se dedicavam ao seu estudo. Leme da Silva (2007), em seu artigo sobre a “Geometria Escolar Moderna de Osvaldo Sangiorgi”, tece um comentário do professor Benedito Castrucci, participante do GEEM e autor de livros didáticos sobre Geometria, a respeito do ensino da geometria: 46 Há um movimento para a substituição do conteúdo geométrico no curso colegial e, talvez, no ginasial, por uma algebrização da Geometria, tratando-a como um capítulo de Álgebra Linear. Acreditamos que esta inovação preconizada por grandes matemáticos não possa ser feita imediatamente, pois a nosso ver seria, no momento, um passo ousado. (CASTRUCCI, 1968, Prefácio, apud LEME DA SILVA, 2006, p. 3). Nesse período, o professor Castrucci ministrou cursos de Geometria para professores de Matemática que tinham como enfoque o tratamento dos espaços vetoriais e as transformações geométricas. Segundo estudos de Leme da Silva (2006) os professores não conseguiam compreender o que lhes eram proposto. Nas teses e dissertações que abordam o tema do Movimento da Matemática Moderna encontramos muito poucas referências ao ensino da Geometria. No Segundo Congresso de Educação Matemática, realizado na cidade de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, no ano de 1957, segundo Beatriz D´Ambrosio (1987), o professor Ubiratan D´Ambrosio sugere que se introduza, para o ensino secundário, o estudo de propriedades de diferentes conjuntos numéricos e de estruturas algébricas de operações, assim como as estruturas que podem ser observadas nas transformações geométricas. Para execução do ensino de Geometria sob o enfoque das estruturas fazia-se necessário um programa de formação de professores, pois esse enfoque não era conhecido. Segundo Silva (2007), na prática ocorreu que considerável número de professores deixavam de ensinar a Geometria ou limitaram-se a fazer uma abordagem intuitiva dessas noções, sem qualquer sistematização posterior. 47 Muitos membros do GEEM participaram de cursos sobre o ensino da Geometria desenvolvidos em outros países e também participaram de encontros internacionais. Para Burigo (1989), tentou-se dar à Geometria um tratamento axiomático, com o uso das estruturas algébricas e da teoria dos conjuntos, fato que levou o GEEM a organizar os seus cursos incluindo a temática das transformações geométricas. Como já dissemos, houve certo desequilíbrio entre a atenção dado a Álgebra e a Geometria. Segundo Soares (2001), frases mal interpretadas contra a geometria euclidiana, a geometria até então ensinada, deixaram ainda mais critica a situação do ensino deste conteúdo no Brasil. Uma das frases que mais acentuaram essa discussão em torno da Geometria foi “Abaixo Euclides” de Jean Dieudonné, referindo-se à geometria euclidiana, que era ensinada no ensino secundário. Eu me lembro que teve uma frase, que ficou clássica, do Dieudonné, em que ele declarou “Abaixo à Euclides”. E aí, [...] o Dieudonné esteve no Brasil, foi a Santa Úrsula, fez palestra e disse que o que quis dizer com essa frase, “Abaixo Euclides”, era abaixo a escravidão do modelo da geometria euclidiana. Os livros didáticos do Ensino Médio eram os Elementos de Euclides. Nos países europeus isso até há um bom tempo era assim. Então o que ele quis dizer era abaixo aquele modelo. E ele era ligado ao grupo Bourbaki [...] e aí o que se entendeu era que não se ensinava mais geometria euclidiana, e aí foi um desastre muito grande. (RODRIGUES, apud SOARES, 2001, p. 65). Na primeira Conferência Interamericana sobre Educação Matemática, realizada na Colômbia em 1961, o professor Omar Catunda, teceu o seguinte comentário sobre a frase de Jean Dieudonné: 48 Outro problema é que no Brasil é profundamente distinto do que é na Europa, é o da geometria euclidiana [...] No Brasil, o problema é outro. Com a liberdade que têm os professores de dar apenas 75% do programa [...] se encontram com freqüência estudantes que praticamente não aprendem nada de geometria. [...], a fórmula que reivindicaria para o Brasil não é Abaixo Euclides!, se não ao menos Euclides! (CATUNDA, apud SOARES, 2001, p. 66). Segundo Leme da Silva (2007), os diferentes posicionamentos no Movimento da Matemática Moderna não traziam em seu ideário um consenso sobre o ensino de geometria, tanto internacionalmente, como no Brasil. Na década de 1960 e 1970, alguns participantes do GEEM, que já publicavam livros, sentiram a necessidade, e muitos foram pressionados pelas editoras, a publicar novos livros didáticos contendo os conteúdos e as propostas do Movimento da Matemática Moderna. No ano de 1963, a Cia. Editora Nacional lança no mercado o livro didático: “Matemática – Curso Moderno”, de Osvaldo Sangiorgi, para o ensino das séries ginasiais. Segundo Valente (2007), diferentemente do que ocorria nos Estados Unidos, em que os novos livros eram elaborados coletivamente e passavam por “experimentação” até chegarem à sua versão final, Sangiorgi publicou seu curso moderno, obra assinada por um só autor e sem trajetória experimental. A nova coleção de matemática moderna alterou por completo a organização do ensino de matemática para o ginásio. Sangiorgi, ao que tudo indica, traçou uma estratégia para não depender de portarias ou qualquer outro tipo legislação educacional, de modo a referenciar o novo programa nacionalmente (VALENTE, 2007, p. 21). 49 Valente (2007) faz um comentário sobre o impacto da obra de Sangiorgi no Movimento da Matemática Moderna no Brasil: A obra de Sangiorgi, autor que pela primeira vez elabora um texto didático de matemática moderna para ser utilizado nos ginásios, espalhou-se pelo Brasil. Os arquivos da Cia. Editora Nacional contém cartas de diversos pontos do país, que pedem a biografia de seu autor. São cartas de professores de matemática, de normalistas e, também, de alunos. Isso indica que a coleção de Sangiorgi ganhou novos mercados, substituindo autores já conhecidos por professores e alunos. As cartas pediam uma proximidade maior do autor das obras que estavam sendo utilizadas no dia-a-dia escolar. A Editora, sempre atenta, respondia aos pedidos enviando uma biografia sumária de Sangiorgi (VALENTE, 2007, pp. 23-24). 1.4. Osvaldo Sangiorgi – um protagonista do Movimento. O professor Osvaldo Sangiorgi nasceu em 09 de maio de 1921, no Estado de São Paulo, formou-se em licenciatura em Ciências Matemáticas em 1941, pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da Universidade de São Paulo. Licenciou-se em Física, também pela Universidade de São Paulo, em 1943. Obteve as seguintes titulações: Mestre em Lógica no Kansas, em 1961, Doutor em Matemática pela Universidade de São Paulo, em 1973, e Livre– Docente pela Escola de Comunicações e Artes, em 197711. 11 A consulta realizada para elaboração deste capítulo é o APOS – Arquivo Pessoal de Osvaldo Sangiorgi, que se encontra no GHEMAT – Grupo de História da Educação Matemática, coordenado pelo Professor Doutor Wagner Valente. 50 O início de sua vida profissional foi no Instituto Feminino de Educação Padre Anchieta, uma Escola Normal12 do bairro do Brás, em São Paulo, onde organizou seu curso de Matemática utilizando-se dos livros de Ary Quintella. Lecionou na Kansas University, no Institut Eupen da Bélgica, no Institut fur Kibernetisch Pedagogik da Alemanha, no Instituto de Cibernética de San Marino, no Instituto de Cibernética de Nammur na Bélgica e em outras duas dezenas de Universidades, da América à China, passando pela Europa e África. Integrou a Comissão de Tecnologia da Educação, o Grupo de Ensino de Matemática, o Centro Paulista de Rádio e Televisão Educativas e vários colegiados oficiais, todos voltados ao aprimoramento da Pedagogia da Matemática. Osvaldo Sangiorgi já vinha se interessando pelo ensino da Matemática muito antes do Movimento da Matemática Moderna. Sua presença como aluno no curso de Verão da Kansas University, onde teve aulas com o professor George Springer, em 1960, e a vinda de Springer a São Paulo, levaram Sangiorgi a fundar o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática – GEEM, em 31 de outubro de 1961. Nesses cursos de Verão da Kansas University era ministrado o que de mais atual em conteúdo e metodologia havia no mundo, principalmente em 12 Curso que tinha por objetivo formar professores para atuarem no magistério de ensino primário (hoje Ensino Fundamental, ciclo I) e era oferecido em cursos públicos de nível secundário (hoje Ensino Médio). 51 Matemática e Ciências. Eram muito bem estruturados e serviam de estágios de formação para professores. (SILVA, 2007). Antes mesmo da fundação do GEEM, Sangiorgi ministrou a disciplina “Prática de Ensino da Matemática Moderna”, no “Curso de Especialização em Matemática para Professores Secundários”, oferecido pela Universidade Mackenzie em convênio com a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo e com o Departamento de Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo. A presença do professor Osvaldo Sangiorgi era notória em tudo o que dizia respeito à implantação de novos conteúdos e metodologias de ensino relacionados ao ensino de Matemática, bem como na formação de professores, o que caracteriza a fundação do GEEM por ele e por demais professores renomados da época. O GEEM e a articulação que o professor Osvaldo Sangiorgi tinha com o Governo foram de grande influência na implantação e divulgação do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Esse grupo também teve grande apoio financeiro através da Secretaria do Estado de São Paulo, o que viabilizava suas atividades. 52 1.5. Os Guias Curriculares do Estado de São Paulo. No sistema oficial de ensino do Estado de São Paulo, a Matemática Moderna ficou especialmente registrada nos chamados Guias Curriculares, que propunham uma orientação às escolas de 1º Grau13, que se estruturavam em cursos de 8 séries, seguindo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (5692/71). Nesses Guias, constatamos sugestões de caráter metodológico, definições de objetivos, além das apresentações dos conteúdos (PIRES, 2000). Um fato importante a destacar é o de que, na época da publicação dos Guias, já havia muitas discussões a respeito da orientação da Matemática Moderna e, é possível constatar isso no próprio texto desse documento: “Achamos conveniente dizer algumas palavras quanto à assim chamada Matemática Moderna. Esse assunto tem dado oportunidade a muitas polêmicas, a nosso ver estéreis. Pensamos que todo problema se resume na infeliz escolha do nome: Matemática Moderna. A Matemática não é moderna, nem clássica: é simplesmente a Matemática. Ocorre que, como muitas outras ciências, ela experimentou nos últimos tempos uma evolução extraordinária, provocando uma enorme defasagem entre a pesquisa e o ensino da matéria. O que deve ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas, reformulação essa que deve atingir as técnicas e estratégias utilizadas para a obtenção dos objetivos propostos. Nessa acepção, achamos que o movimento que levou a uma orientação moderna no ensino da Matemática é irreversível, no sentido de um maior dinamismo na aprendizagem da mesma, em contraste com a maneira estática como era apresentada. Sentimos, portanto, que a orientação dada a um curso de Matemática deve ser moderna e, para isso, é necessário que se dê ênfase, no estudo da matéria, a certos aspectos que visam destacar a indiscutível unidade da Matemática, mostrando-a como uma construção única sem compartimentos estanques. Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles, 13 Atual Ensino Fundamental. 53 que consideramos de importância fundamental: o papel central desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas que podem ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos bem como na geometria, e o importantíssimo conceito de relação e, mais especificamente, o conceito de função, que pode ser abordado não só no estudo das funções numéricas, como também no estudo das transformações geométricas. Além disso, é de importância primordial destacar o papel do raciocínio matemático”. (p.171, apud PIRES, 2000, p. 33). Analisando-se o documento verificamos que ele revela a influência das idéias da Matemática Moderna, mas destaca que os conceitos devem ser obtidos por meio de atividades, manipulação de instrumentos adequados e materiais didáticos apropriados, estabelecendo situações de aprendizagem próximas das experiências dos alunos. Esse documento traz a divisão dos conteúdos da disciplina de matemática em quatro temas: 1) Relações e Funções; 2) Campos Numéricos; 3) Equações e Inequações e; 4) Geometria. Na apresentação dos objetivos gerais para esta disciplina, encontramos: 1. Desenvolver a capacidade de: analisar, relacionar, comparar, classificar, ordenar, sintetizar, avaliar, abstrair, generalizar, criar. 2. Desenvolver hábitos de estudos, de rigor e precisão, de ordem e clareza, de uso correto de linguagem, de concisão, de perseverança na obtenção de soluções para os problemas abordados e de crítica e discussão dos resultado obtidos. 3. Adquirir habilidades específicas para: medir e comparar medidas, calcular, construir e consultar tabelas, traçar e interpretar gráficos, utilizar e interpretar corretamente a simbologia e a terminologia matemáticas. 4. Adquirir informações e conhecimentos sobre os diversos tipos de conceitos e métodos utilizados na matemática. 5. Desenvolver a capacidade de obter, a partir de condições dadas, resultados válidos em situações novas, utilizando o método dedutivo. 54 6. Reconhecer a inter-relação entre os vários campos da Matemática (GUIAS CURRICULARES, 1975, p.205). 1.5.1. A Geometria nos Guias A Geometria, foco de nossa pesquisa, é tratada nos Guias no TEMA IV em que se enunciam os seguintes objetivos: • Adquirir conhecimentos que possibilitem uma compreensão do mundo aparente. • Adquirir habilidades processos de medida. em construções • Desenvolver a intuição CURRICULARES, 1975, p. 212). geométricas geométrica (GUIAS A tabela abaixo é indicativa da apresentação desse tema. Conteúdos 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º x x X x x x X x x x x x x x X x x x x X x x X (I) Figuras geométricas a) Noções topológicas: interior, exterior, fronteira; regiões, conexidade. b) Noções projetivas: retas, intersecções, convexidade. c) Noções afins: paralelismo e semelhança. d) Noções euclidianas: distâncias; ângulos. X (II) Transformações Geométricas. a) Conceito. Invariantes. b) Transformações através de coordenadas. (III) Medidas e X 55 a) Comprimento X x (*) x b) Áreas (*) x (*) (*) (*) X Quadro 1.1 – A Geometria nos Guias (Guias Curriculares, 1975, p. 212). O sinal “x” está associado aos conteúdos citados explicitamente e o sinal “(*)” indica citação implícita dos conteúdos nas atividades ou nas resoluções de problema (Guias Curriculares, 1975, p. 212). Nos conteúdos de 5ª a 8ª série ressaltamos a orientação no sentido de que a Teoria dos Conjuntos fosse utilizada, além do método geométrico e o emprego de resultados obtidos intuitivamente, como meio dedutivo para outras propriedades. Destacamos no texto a explicitação de transformação e a noção de segmento orientado para, posteriormente, introduzir a noção de vetor. Mas há indicações para a realização de experimentos como é o caso de introdução da noção de área de quadriláteros pela utilização do papel quadriculado, por contagem dos quadrados contidos na figura. Os conteúdos são distribuídos da seguinte forma: • 5ª Série – Geometria intuitiva; • 6ª Série – Geometria intuitiva e construções geométricas; • 7ª Série – Introdução ao emprego do raciocínio hipotético- dedutivo da geometria; • 8ª Série – Homotetia e Semelhança: Aplicações e Medidas: comprimento do circulo; áreas. 56 Com relação aos conteúdos de 5ª Série, identificamos que os objetivos visam à ampliação dos conhecimentos abordados anteriormente, em que se faz uso da linguagem e da simbologia da Teoria dos Conjuntos para a construção dos conceitos geométricos como auxilio na compreensão. Na 6ª Série, os objetivos concentram-se no estabelecimento intuitivo dos resultados geométricos, através de experiências e observações, congruência de segmento de retas, de ângulos, ângulos determinados por duas paralelas e uma transversal e na utilização de instrumentos geométricos, régua, transferidor, esquadro e compasso, para construção de figuras geométricas e compreensão dos conceitos. Na 7ª Série, propõe-se a construção geométrica com régua e compasso; o reconhecimento, de forma abstrata, dos conceitos geométricos; aquisição de conhecimentos visando à sistematização da geometria; compreensão da simetria axial e central como transformação do plano e o desenvolvimento de demonstrações locais. Os objetivos para a 8ª Série têm como foco a ampliação dos conhecimentos sobre transformação; a utilização de procedimentos algébricos na resolução de problemas geométricos e a compreensão de noções trigonométricas para aplicação em outras disciplinas. 57 1.5.2. Subsídios para Implementação do Guia Curricular de Matemática – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª Séries Após a publicação dos Guias Curriculares, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo publicou os “Subsídios para a implantação dos Guias”. A nosso ver, um dos motivos para tal publicação era a de oferecer informações aos professores sobre temas como Teoria dos Conjuntos e Transformações Geométricas, assuntos desconhecidos pelos professores da época e que deveriam abordá-los em sala de aula. A seguir, ilustraremos algumas atividades propostas nesse documento que tinham os seguintes objetivos: • Atividade 4: Determinar numa figura: – os eixos de simetria; – o centro de simetria. • Atividade 5: Determinar a simétrica de uma figura: – em relação a um eixo; – em relação a um ponto. • Atividade 6: Determinar os invariantes no caso de: – uma simetria axial; – uma simetria central. • Atividade 7: Relacionar a simetria central com a simetria axial. • Atividade 8: Construir um triângulo, conhecendo três dos seus elementos – um dos quais deve ser um lado • Atividade 9: Caracterizar os quatro casos de congruência de triângulos. • Atividade 10: Demonstrar utilizando os resultados obtidos: – as principais propriedades dos triângulos; – as propriedades dos quadriláteros. 58 • Atividade 11: Determinar as imagens de pontos do plano, por meio de uma translação (SUBSÍDIOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DO GUIA CURRICULAR DE MATEMÁTICA – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª Séries, 1978, p. 39). (Fac-símile dos Subsídios para Implementação do Guia Curricular de Matemática – Geometria para o 1º Grau – 5ª a 8ª séries, 1978, pp. 42 – 47). 59 60 61 62 63 ; Nessas atividades, em que os conteúdos trabalhados foram as transformações (simetria e translação) e as demonstrações de Congruência de Triângulos e do Teorema de Pitágoras, fica evidente que, a cada atividade, o 64 documento vai orientando o professor, de maneira implícita, sobre as possíveis dificuldades que podem ser encontradas em sala de aula e como se espera que o professor aborde esses conteúdos. 1.6. A Coleção Matemática – Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi. Como já foi mencionado, a coleção Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi foi lançada em 1963 pela Companhia Editora Nacional e era destinada às quatro séries ginasiais14. A primeira edição do quarto volume da coleção foi lançada em 1967. A seguir, podemos visualizar as capas dos quatro volumes dessa coleção. 14 Atuais 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental. 65 Fig. 1.1 – Capa Sangiorgi V.1 Fig. 1.2 – Capa Sangiorgi V.2 Fig. 1.3 – Capa Sangiorgi V.3 Fig. 1.4 – Capa Sangiorgi V.4 Sendo a coleção de Sangiorgi, a primeira coleção de livros didáticos a abordar as propostas do Movimento da Matemática Moderna, nos cursos ginasiais, no Brasil, é importante destacar a posição que o autor tinha em relação ao estudo da Matemática Moderna no ginásio, explicitada logo numa das primeiras páginas do Volume I de sua coleção. 66 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 1. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 11ª Edição. 67 1.6.1. A análise dos conteúdos de Geometria na obra de Sangiorgi Neste item vamos analisar o conteúdo de Geometria proposto pelo autor no terceiro e quarto volumes da sua coleção, destinados a 3ª e 4ª séries ginasiais, atuais 8º. e 9º anos do Ensino Fundamental, respectivamente. A análise referente aos dois primeiros volumes não se faz presente devido ao fato dessa coleção não abordar em seu corpo texto os conteúdos de Geometria. O Volume 3 da coleção traz em seu índice, a seguinte relação de tópicos geométricos: Índice da matéria Objetivos da Geometria, Figuras geométricas planas; curvas fechadas simples, Um pouco de Topologia..., Relações e operações com conjunto de pontos no plano, Estrutura de ordem; Capítulo 3 – Estudo relação ... estar entre ..., Semi-reta; das figuras segmento de reta; semi-plano, Medida de segmentos; segmentos congruentes, geométricas Conceito de ângulo, Medida de ângulos; Ângulos complementares; ângulos suplementares, Praticas demonstrativas, Ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal, Capítulo 4 – Estudo dos Polígonos e da circunferência Conceito de polígonos, diagonais, Estudo dos triângulos, Congruência de triângulos, 68 Construção lógica da Geometria, Da necessidade de provas, Postulados e Teoremas da Geometria em estudo, Primeiros Teoremas; forma “se – então”, Como efetuar uma demonstração lògicamente, Teorema recíproco de outro teorema, Método indireto na demonstração de um teorema, Alguns teoremas fundamentais: ...sôbre triângulos, ... sôbre retas paralelas, ... sôbre ângulos, ... sôbre polígonos convexos, Quadriláteros: Paralelogramos; teoremas fundamentais, Trapézios; teoremas fundamentais, Circunferência; teoremas fundamentais, Circulo ou disco fechado, propriedades das cordas, Posições relativas de duas circunferências, Posições relativas da reta e circunferência, Arcos de circunferência; medida, Propriedades fundamentais entre arcos e cordas, Ângulos relacionados com arcos; medidas, Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência, Apêndice – Grupo das translações, Transformações rotações, Simetrias, geométricas planas Corpo das Quadro 1.2. – Índice Volume 3 – Curso Moderno. Volume 3 (1971) Após o índice, o livro nos traz uma carta, assinada pelo autor, destinada aos estudantes desta série, em que Sangiorgi destaca o estudo da Geometria como sendo o “bom-bocado” desse terceiro Volume. 69 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição. 70 O Capítulo 3 do terceiro Volume é dividido em quatro partes, apresentadas a seguir: 1ª Parte – fazendo Geometria – figuras geométrica planas; – curvas fechadas simples; – um pouco de Topologia. 2ª Parte – relações e operações com conjuntos de pontos no plano; – semi-retas; segmento de reta; semi-plano; – medidas de segmentos; segmentos; congruentes. 3ª Parte – ângulos; medida de ângulos; ângulos congruentes; – problemas de aplicação. 4ª Parte – explorando demonstrações; – ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal. Antes de iniciar a abordagem dos conteúdos geométricos nesse capítulo, o autor apresenta os objetivos do ensino de Geometria e um pouco de história sobre esse tema, conforme podemos ver na ilustração a seguir: 71 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 115. 72 Na primeira parte desse capítulo o autor vai desenvolvendo as noções de ponto, linha ou curva, planos e figuras geométricas planas. Para introdução desses conceitos geométricos o autor utiliza algumas das propriedades da Teoria dos Conjuntos. Ao final da primeira parte, o autor apresenta dois textos: o primeiro deles recebe o título de NOTA IMPORTANTE, na qual o autor elucida alguns conteúdos que estão sendo desenvolvidos (estudados) no ramo moderno da matemática, no caso, uma breve introdução de Topologia e, no segundo, denominado LEMBRETE AMIGO, o autor recapitula algo importante que foi apresentado anteriormente ao aluno, provavelmente com o objetivo de que esse resultado seja “fixado” pelo aluno. No decorrer da primeira parte, constatamos a presença de exercícios de fixação dos conceitos abordados e de testes de atenção, entre os quais notamos exercícios com um grau de dificuldade um pouco maior dos encontrados anteriormente. Na segunda parte do capítulo, o autor trabalha o os conceitos de semireta, reta, segmento de reta, semi-plano, medidas de segmento, segmentos congruentes, inserindo a linguagem da teoria dos conjuntos e as propriedades estruturais dos conjuntos e subconjuntos. Vejamos como o autor “define” segmento: Considere a reta r determinada pelos dois pontos distintos A e B: 73 Chama-se segmento AB ao conjunto de pontos de r constituídos por A, por B e por todos os pontos que estão entre A e B. Os pontos A e B dizem-se extremos do segmento. Indicação (representam o mesmo conjunto de pontos). O segmento de reta é uma figura plana simples que apresenta pontos internos: são os pontos situados entre A e B, e pontos externos: são os pontos da reta r que não pertencem a AB.(SANGIORGI, 1971, v. 3, p.140). Logo em seguida, o autor apresenta alguns exemplos de aplicação das práticas modernas no estudo da Geometria, trabalhando com as operações com conjuntos. 1. Na figura: ___ ___ ___ AB ∪ BC = AC ___ (o segmento AC é o conjunto dos pontos ___ ___ que pertencem ao segmento AB ou ao segmento BC ou a ambos) ___ ___ AB ∩ BC = {B} ___ (o ponto B é o único elemento comum aos ___ conjuntos AB e BC ) → → ↔ BA ∪ BC = AC (por quê?) 2. Atenção: agora você pode definir o segmento como intersecção das semi-retas, pois: → → ____ AB ∪ BA = AB (SANGIORGI, 1971, v.3, p.p. 143 – 144) Na 2ª parte, podemos notar que em alguns exercícios solicita-se ao aluno a utilização de instrumentos, tais como: régua e transferidor. Com relação aos exercícios, novamente são propostos exercícios de fixação, em 74 que se abordam os conceitos estudados, exercícios práticos, alguns com utilização de instrumentos e também os exercícios de atenção, em que o grau de dificuldade aumenta. Na terceira parte desse capítulo, o autor trabalha conceitos como os de ângulos, medida de um ângulo, ângulos congruentes, relação de congruência entre ângulos, a bissetriz de um ângulo, ângulos complementares e ângulos suplementares. Com relação aos ângulos congruentes, Sangiorgi “define”: Dois ângulos são congruentes se, e somente se, tem as mesmas medidas. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 167) Ele coloca essa “definição” em destaque para chamar a atenção do aluno. Logo em seguida apresenta algumas propriedades: A congruência de ângulos é por sua vez uma Relação de Equivalência, pois valem as propriedades: 1º) Reflexiva: ˆB~ ˆB AO = AO 2º) Simétrica: ˆB~ ˆB ˆ P , então MN ˆP~ AO = MN = AO 3º) Transitiva: ˆB~ ˆ P e MN ˆP~ ˆ Z , então AO = MN = XY ˆB~ ˆZ AO = XY (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 167) Nessa terceira parte, já podemos perceber a utilização de conhecimentos algébricos em alguns exemplos propostos pelo autor. Com relação aos exercícios para essa parte, novamente constatamos exercícios de fixação, exercícios práticos e exercícios de atenção. As ilustrações apresentadas na sequência são demonstrativas de alguns exercícios práticos e da utilização da linguagem algébrica, 75 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 161. 76 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, p. 176. 77 Na quarta parte do capítulo, o autor trabalha com demonstrações e com ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal. Nesta parte, o autor já não utiliza tanto a teoria dos conjuntos. Segundo Miorim: É interessante observar que nesse momento o autor parece retornar a Euclides. A linguagem da teoria dos conjuntos é abandonada e as demonstrações assumem o estilo euclidiano, incluindo o tradicional final c.q.d. (MIORIM, 2005, p. 14). Vejamos como Sangiogi apresenta a demonstração de que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes: ˆ B e CO ˆ D , de medidas, Sejam os ângulos o.p.v.: AO respectivamente: a e b. B A a x C O y b D Você deve provar que a=b ˆ B e CO ˆ D são congruentes. Para concluir que os ângulos AO Ora: a + x = 180º (resultado conhecido) x + b = 180º (idem) a + x = 180º ⇔ a = 180º - x a=b x + b = 180º ⇔ b = 180º - x ˆ B e CO ˆ D são congruentes. Então, se a = b, os ângulos AO c.q.d. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 179) 78 O interessante é que o autor realiza essas demonstrações “passo a passo”, para que o aluno adquira esse hábito. Na verdade, o trabalho com as demonstrações e provas recebe um foco maior no quarto capítulo deste volume. Depois de realizar algumas demonstrações, Sangiorgi deixa a cargo do estudante a realização de alguns exercícios para que ele refaça tais demonstrações. Logo depois dos exercícios, inicia-se o estudo de ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal, explorando ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos. O capítulo 4 desse terceiro volume é divido em quatro partes, em que são trabalhados os seguintes tópicos: 1ª Parte – polígonos; triângulos – congruência de triângulos 2ª Parte – construção lógica da Geometria – da necessidade de provas – ... alguns teoremas fundamentais 3ª Parte – quadriláteros: paralelogramos e trapézios; – teoremas fundamentais 4ª Parte – circunferências: teoremas fundamentais – arcos de circunferência; medida – ângulos relacionados com arcos; medida. 79 Na primeira parte desse capítulo ele faz um estudo sobre o conceito de polígonos, suas diagonais, nomenclatura dos polígonos conforme o número de lados e polígonos convexos. Há uma “volta” aos conceitos elaborados no primeiro volume de sua coleção, só que desta vez percebemos um estudo mais aprofundado. Ainda nessa primeira parte o autor propõe um estudo dos triângulos destacando os elementos principais, as relações dos ângulos de um triângulo para depois fazer um estudo da congruência de triângulos. Vejamos como Sangiorgi nos apresenta os casos de Congruência de Triângulos em sua coleção: 80 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 3. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1971 – 9ª Edição, pp. 220 – 225. 1º Caso – L.A.L (lado, ângulo, lado) 81 82 2º Caso – A.L.A (ângulo, lado, ângulo): 83 3º Caso – L.L.L (lado, lado, lado): 84 4º Caso – L.A.Ao (lado, ângulo, ângulo oposto): 85 86 Após a realização do trabalho com os casos de congruência de triângulos, o autor propõe alguns exercícios de atenção sobre esses conteúdos. Nesse tipo de exercício, o autor apresentar alguns exemplos em que utiliza conteúdos abordados anteriormente, mas agora na realização de provas, conforme segue: 3. Justifique o “porquê” da congruência dos triângulos que fazem parte da mesma figura. ___ ___ Dados AC ~ = BC ; m = n, “prove” que ∆ACD ~ = ∆BCD Solução: Basta empregar um dos casos de congruência estudados, desde que se disponha de três elementos correspondentes, respectivamente congruentes, guardando a mesma posição. Como: __ ~ __ AC = BC m = n __ __ ~ CD (é o mesmo na figura ) CD = Segue-se que ∆ACD ~ = ∆BCD pelo caso L.A.L. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 229) Dados alguns exemplos desse tipo, o autor propõe aos alunos exercícios em que solicita que “realizem a prova”. Na segunda parte do capítulo, Sangiorgi trabalha a construção lógica da Geometria, a necessidade de provas e alguns teoremas fundamentais. 87 Logo no início, o autor chama a atenção dos estudantes para o seguinte fato relativo ao ensino da Geometria: “não estamos habilitados a aceitar certos resultados pelo fato de ”estarmos vendo”, o que pode levar-nos a conclusões falsas. Quanto à necessidade de um processo dedutivo, Sangiorgi argumenta: Suponhamos que você tenha verificado experimentalmente que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Mesmo que essa propriedade seja verdadeira para “um milhão de triângulos isósceles” sem que a verificasse para um triângulo de cada vez! Daí a necessidade de se ter um processo dedutivo – denominado demonstração – que possa justificar plenamente ser verdadeira a citada propriedade para qualquer triângulo isósceles, independentemente do tamanho da figura ou da precisão com que foi desenhada. Êste é o poder de generalização de uma demonstração em Matemática, que permite construir logicamente a Geometria. Demonstra-se que a informação expressa numa sentença é verdadeira, mediante um processo dedutivo, desenvolvido sucessivamente por intermédio de resultados conhecidos, mais elementares, já comprovados ou aceitos como verdadeiros. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p.p. 232-233) No texto acima, percebemos que o autor busca convencer o estudante da importância das demonstrações e do processo dedutivo. Feito isso, Sangiorgi começa a desenvolver algumas questões de lógica, como o descrito a seguir: Todo paulista é brasileiro. João é paulista. Logo … (João é brasileiro). Nota: Se todo paulista é brasileiro, João, sendo paulista, está incluído no todo … e quem pode “o mais” pode “o menos”! Todo paulista é brasileiro. João é brasileiro. Logo … Nota: Nada se pode concluir, pois ser brasileiro não significa ser paulista – embora não esteja excluído – podendo ser baiano, 88 gaúcho, …, e o fato de poder “o menos” não implica poder “o mais”! (SANGIORGI, 1971, v.3, p. 233). Na sequência, explica o que vem a ser teoremas e postulados e também realiza algumas observações, antes de iniciar as demonstrações, como por exemplo, a respeito do significado do “se...então”. Vejamos como Sangiorgi realiza uma dessas demonstrações. ___ ___ ___ ___ ___ Dados: AM ~= MB , PA é perpendicular a AB e QB é ___ perpendicular a AB . = ∆BMQ Provar: ∆AMP ~ Demonstração: Afirmações: ˆ ≅B ˆ (retos) 1) A Justificações: ___ ___ ___ 1) PA é perpendicular a AB e QB ___ = MB 2) AM ~ é perpendicular a AB . 2) Hipótese ˆ P~ ˆQ 3) AM = BM 3) o.p.v 4) ∆AMP ~ = ∆BMQ 4) A.L.A ___ ___ c.q.d. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 242) Convém destacar que em páginas anteriores a essa demonstração, ao apresentar alguns postulados, o autor tece um breve comentário sobre a Geometria Euclidiana. 89 Na terceira parte desse capítulo, Sangiorgi explora os quadriláteros. Logo no início dessa terceira parte, o autor utiliza o Diagrama de Venn para mostrar relações entre conjuntos de figuras quadriláteras como vemos na figura a seguir. Fig. 1.5 - Quadriláteros Após isso, o autor apresenta teoremas relativos a quadriláteros, propriedades características dos retângulos, dos losangos e dos quadrados e às diagonais dessas formas. Depois faz o estudo dos trapézios. Nessa parte também encontramos exercícios de fixação, de aplicação e testes de atenção, característicos nessa obra. Na quarta parte do capítulo, encontramos um estudo sobre circunferência, arcos de circunferência e suas medidas, ângulos relacionados com arcos e alguns teoremas sobre o tema. O autor trabalha definições de uma circunferência, as construções de circunferências por meio de pontos dados, as relações entre circunferências, as cordas e suas propriedades, os arcos e 90 ângulos da circunferência e, os polígonos inscritos na circunferência. Nas demonstrações, o autor ainda utiliza a geometria euclidiana. Nessa parte, o autor propõe um número muito grande de exercícios aos alunos, nos mesmos moldes dos exercícios encontrados nas partes anteriores do capítulo (exercícios de fixação, de aplicação e testes de atenção). No apêndice desse volume, é proposto um estudo sobre as transformações geométricas, principal conteúdo de geometria no ginasial segundo as idéias do Movimento da Matemática Moderna e de seus idealizadores. Com relação ao tópico das Transformações Geométricas constar apenas no apêndice, Miorim (2005) faz o seguinte comentário: [...] o livro apresenta um apêndice sobre geometria, intitulado ‘Transformações geométricas planas’. Isso é um indicativo de que o autor não parece ter se sentido à vontade para incorporar as discussões mais teóricas acerca das transformações geométricas no corpo do texto (MIORIM, 2005, p. 13). Pode-se conjecturar que sendo a coleção do professor Osvaldo Sangiorgi a primeira no Brasil a adotar as propostas do Movimento da Matemática Moderna, talvez o autor não tenha se sentido à vontade para colocar esse estudo no corpo do texto, por ser pouco conhecido pelos professores. Nesse apêndice, Sangiorgi trata as transformações geométricas por meio das translações, das rotações e da simetria. 91 No Grupo das translações o autor chama de segmento orientado, o que é conhecido de vetor, e traz a seguinte definição: ___ Seja o segmento AA' , determinado pelos pontos A e A’ da reta r: O segmento AA’ diz-se orientado quando se fixa um dos dois sentidos com que se pode percorrê-lo: de A para A’, ou o seu oposto: de A’ para A. Tais sentidos serão assinalados por setas e o segmento → orientado de A para A’ terá a seguinte indicação: AA' . (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 301) O autor também apresenta a translação no plano e a translação de figuras planas. Quanto à translação de figuras planas, Sangiorgi apresenta um → triângulo ABC e um segmento orientado XX' e solicita a translação desse triângulo segundo esse segmento e, diz: [...] Basta traçar pelos seus vértice, respectivamente, os → segmentos paralelos e congruentes ao segmento orientado XX' . (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 303) A solução desse problema é apresentada na figura abaixo. 92 Fig. 1.6 – Translação. No grupo das rotações, o autor “explica” o que vem a ser rotação, destacando que precisa de um ponto para rotacionar alguma figura em torno desse ponto. Trabalha a rotação de figura em torno de um ponto e os arcos coterminais. Com relação à rotação de uma figura em torno de um ponto, Sangiorgi mostra um exemplo e diz que transformar um triângulo ABC em um triângulo A’B’C’, por meio de uma rotação: [...] é efetuar a rotação, de centro O e amplitude W, que transforma os vértices A, B e C, respectivamente, nos vértices A’, B’ e C’ (SANGIORGI, 1971,v. 3, p. 307). Podemos visualizar a resolução desse exemplo na figura abaixo. 93 Fig. 1.7 - Rotação Na parte de simetrias, Sangiorgi mostra, através de exemplos, a simetria axial, utilizando para isto um exemplo com ponto e outro com uma figura plana (quadrilátero) e a simetria central. O autor “define” simetria central como: A transformação no plano que a cada ponto faz corresponder o seu simétrico, com relação a uma reta, é denominada SIMETRIA AXIAL. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 310). A seguir, mostramos um exemplo encontrado em sua obra. 94 Fig. 1.8 – Simetria Axial Na figura acima, temos o quadrilátero MNPQ e seu simétrico M’N’P’Q’ com relação ao eixo de simetria r. Com relação à simetria central, Sangiorgi “define”: A transformação no plano que a cada ponto faz corresponder o seu simétrico, com relação a um centro fixo O, é denominada SIMETRIA CENTRAL. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 311). Após essa definição apresenta o exemplo ilustrado abaixo, relacionando ___ ___ o segmento MN e seu simétrico M' N' , o triângulo ABC e seu simétrico A’B’C’, com relação ao centro de simetria O. 95 Fig. 1.9 – Simetria Central Depois desse exemplo, Sangiorgi apresenta uma “nota” informando: “A simetria central é uma rotação especial (R180º) em torno do centro O”. Também apresenta um exemplo prático que mostramos a seguir. Qual é o menor caminho que uma bolinha A tem de percorrer para bater numa bolinha B, tocando uma só vez num dos lados de uma mesa, como mostra a figura? Basta: 1º) construir A’ simétrico de A, em relação ao lado l da mesa. 2º) determinar a intersecção de A’B com l, isto é: ___ A' B ∩ l = {C} O ponto C, no lado l da mesa, é onde a bolinha deve tocar para, a seguir, bater em B, percorrendo o menor caminho. (SANGIORGI, 1971, v. 3, p. 311) 96 Feito o estudo das transformações geométricas são apresentados ao estudante alguns exercícios, denominados pelo autor como “testes de atenção”. Ao todo, podemos contar dez exercícios, nos quais o estudante aplica o que foi verificado nos exemplos dado no texto e alguns ainda apresentam modelos de resolução. Como podemos constatar o tema Transformações Geométricas não ganhou muito destaque na obra de Sangiorgi, por ser apresentado no apêndice. Quanto à inclusão desse conteúdo como apêndice, Sangiorgi tem a seguinte justificativa: é possível que, se a exploração da matéria da 3ª Série Ginasial consumir todo o tempo disponível, o importante estudo das Transformações Geométricas seja deixado para a 4ª série. Daí o fato de constar no Apêndice. (SANGIORGI, 1967, p.76 apud LEME DA SILVA, 2007, p. 13). Passemos à análise do quarto volume desta coleção. No prefácio desse volume, Sangiorgi novamente apresenta uma carta destinada ao aluno e relata sobre o fato de esse aluno estar entre os primeiros jovens do Brasil que irão completar o curso ginasial sob a perspectiva das estruturas da Matemática Moderna: 97 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição. 98 Os conteúdos de Geometria, nesse volume, aparecem no terceiro (e ultimo) capítulo que é divido em quatro partes sob os seguintes tópicos: Capítulo 3 – Semelhança 1ª Parte – Razão e proporção de segmento; – Feixe de paralelas; Teorema de Tales 2ª Parte – Semelhança como correspondência; – Semelhança de triângulos e de polígonos; – Semilitude Central ou Homotetia; – Razões trigonométricas de ângulos agudos; 3ª Parte – Relações métricas no triângulo retângulo; – Teorema de Pitágoras; – Práticas usuais; – Projeção ortogonal – Relações métricas num triângulo qualquer; – Relações métricas no circulo. 4ª Parte – Polígonos regulares; – Relações métricas nos polígonos regulares; – Medida da circunferência; – Cálculo de π 99 Na primeira parte desse capítulo, o autor trabalha a razão e proporção de segmentos, feixe de retas paralelas para, posteriormente, tratar do teorema de Tales, que ele apresenta assim: Um feixe de retas paralelas determina sôbre duas transversais segmentos proporcionais (SANGIORGI, 1968, V. 4, p.146) Na sequêcia ele traz a seguinte demonstração: Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 146 – 147. 100 101 Seguem-se exercícios de fixação e testes e atenção sobre o conteúdo abordado nessa primeira parte, com a mesma dinâmica dos exercícios propostos no Volume 3 de sua coleção: os exercícios de fixação são propostos para a aplicação do conceito estudado e os testes de atenção são exercícios, ou problemas, com um grau de dificuldade maior, geralmente envolvendo aplicações ao “mundo real”. Depois desses exercícios, o autor aborda o Teorema de Tales no triângulo e propõe alguns problemas que envolvem a utilização desse Teorema (conforme ilustração a seguir). 102 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 150 – 151. 103 104 Na 2ª parte do capítulo, o autor inicia o trabalho pelo estudo da semelhança entre figuras geométricas para depois iniciar o tópico de semelhança de triângulos. Com relação à semelhança de triângulos, o autor apresenta o Teorema fundamental sobre triângulos semelhantes e os três casos de semelhança de triângulos, conforme podemos ver: 105 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 159 – 162. 106 107 108 Na sequência, é apresentada uma bateria de exercícios para que o aluno resolva e em alguns desses exercícios é solicitado que o aluno “prove” algo, identificando “hipótese”, “tese”, conforme apresentado em exemplos pelo autor. 109 Ainda nessa parte, o autor aborda a similitude central ou homotetia. É uma abordagem bem sucinta, como podemos ver a seguir. Com relação aos exercícios que abordam este tópico, o autor propõe apenas dois seguindo o mesmo modelo dos exemplos dados. Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 169 – 171. 110 111 112 Depois desse tópico, a obra traz as razões trigonométricas no triângulo retângulo, trabalhando com o seno, o cosseno e a tangente do ângulo. São propostos vários exercícios de fixação e atenção, nesses últimos, mais uma vez o autor relaciona o mundo “real”, vivido pelo aluno, apresentado várias ilustrações. Na terceira parte do capítulo, o autor trabalha as relações métricas no triângulo retângulo incluindo o Teorema de Pitágoras nessa abordagem. O autor apresenta as relações e logo depois as demonstra, conforme podemos ver a seguir. 113 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 183 – 186. 114 115 116 Na sequência, o autor trabalha a projeção ortogonal, as relações métricas num triângulo qualquer e as relações métricas no círculo. Com relação ao ultimo tópico explora a relação de corda com corda (1ª relação), secante com secante (2ª relação) e secante com tangente (3ª relação), conforme páginas a seguir. 117 Fac-símile do livro Matemática – Curso Moderno, de Sangiorgi, V. 4. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1968 – 2ª Edição, pp. 199 – 200. 118 119 Nesses tópicos, a obra traz exercícios de fixação, exercícios de aplicação, testes de atenção e problemas exploratórios sobre as relações métricas no círculo. Na quarta parte do capítulo, o autor trabalha os polígonos regulares, a medida da circunferência e o cálculo de π. Com relação aos polígonos regulares, é explorada a inscrição e a circunscrição de polígonos na circunferência, os elementos principais de um polígono regular, com destaque aos ângulos desses polígonos e a relação dos lados desses com sua construção dos mesmos. No tópico de medida da circunferência, Sangiorgi trabalha com a medida do raio e do diâmetro da circunferência e a relação entre eles. Nesse volume, a obra contempla em seu apêndice as áreas de regiões planas e mapas topológicos. Com relação ao tópico de áreas, o autor apresenta a figura de um lado e a “fórmula” de sua área do outro, mas não apresenta demonstrações dessas fórmulas. 120 1.7. Os Guias Curriculares e a Coleção de Osvaldo Sangiorgi. Comparando os Guias Curriculares com a coleção Matemática Curso Moderno, podemos perceber que os conteúdos que o documento oficial traz são trabalhados na obra de Sangiorgi, mesmo que em ordem ou séries diferentes. Enquanto o Guia é propõe um trabalho com a Geometria desde a 5ª série, a coleção de Sangiorgi inicia o estudo da Geometria apenas no volume 3, destinado a 3ª série ginasial ( atual 7ª série). As demonstrações de teoremas presentes na obra podem ser compreendidas como uma atenção ao quesito de “rigor” mesmo que a linguagem adotada estivesse muito distante da possibilidade de compreensão de alunos dessa faixa etária. Percebemos que o Guia enfatiza o uso da linguagem dos conjuntos e a questão do trabalho com as transformações geométricas. Na coleção analisada, notamos o uso da linguagem dos conjuntos até o final do terceiro capítulo do volume 3 – e com relação ao trabalho com as transformações geométricas, como já mencionamos, Sangiorgi o apresenta apenas no apêndice do terceiro volume, trabalhando as simetrias e rotações, e no quarto volume em que trabalha a homotetia, mas sem grande ênfase. Tanto a coleção de Sangiorgi como os Guias Curriculares se apoiavam nas orientações do Movimento da Matemática Moderna veiculadas por obras como do SMSG. 121 Retomando os modelos teóricos de referência que já foram apresentados, consideramos que tanto nos guias como na coleção didática de Sangiogi, predomina Modelo Euclidianista, segundo o qual todo o conhecimento pode deduzir-se de um conjunto finito de proposições verdadeiras (os axiomas), cujas regras lógicas de dedução permitem chegar destes ao teorema. 122 Capítulo 2 O ensino de Geometria após o Movimento da Matemática Moderna (1980 – 1998) Esse período é marcado por preocupações que integravam o quadro mundial e bem diferentes das do tempo da corrida espacial, em que se inseria o Movimento da Matemática Moderna (PIRES, 2000). Buscava-se uma transformação dos modelos de desenvolvimento, de educação, de civilização. Segundo Pires (2000), a humanidade parecia começar a tomar consciência da iminência do desastre planetário, da explosão demográfica, da redução dos recursos naturais. Com isso, surgiram novos paradigmas, o que, conseqüentemente, trouxeram novos desafios à educação, em especial, ao ensino da Matemática. Nessas décadas de 80 e 90, vários países realizaram reformas e as implementaram. No Brasil isto também ocorreu. Em nossa pesquisa, para esse momento, analisaremos as Propostas Curriculares do Estado de São Paulo15. 15 O documento que analisamos é o da 4ª edição, publicado em 1992. 123 2.1. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Em 1985, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo iniciou a elaboração das Propostas Curriculares para o ensino de 1º e 2º graus16. Nos documentos percebe-se que a construção da proposta foi precedida de reflexões sobre o papel da Matemática no currículo e sobre problemas identificados em seu ensino, em decorrência de algumas práticas relacionadas ao Movimento da Matemática Moderna. O documento apresentava uma análise crítica dos Guias Curriculares (PIRES, 2000). Para a elaboração dessas Propostas reuniram-se a Equipe de Matemática da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP, professores da rede estadual, monitores de Matemática e docentes da USP, UNICAMP e UNESP. No prefácio dessas Propostas, são apresentados os problemas relativos ao ensino da Matemática que deram origem a elaboração desse documento: • a preocupação excessiva com o treino de habilidades com a mecanização de algoritmos, com a memorização de regras e esquemas de resolução de problemas, com a repetição e imitação e não com uma aprendizagem que se dê, inicialmente, pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela exploração de situações-problema nas quais o aluno é levado a exercitar sua criatividade, sua intuição; • a priorização dos temas algébricos e a redução ou, muitas vezes, eliminação de um trabalho envolvendo tópicos de Geometria; • a tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e um nível de abstração em desacordo com o seu 16 Atuais Ensino Fundamental (antigo 1º grau) e Ensino Médio (antigo 2º grau). 124 amadurecimento (PROPOSTA CURRICULAR PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 1º GRAU, 1992, p. 7). O documento apresenta os conteúdos em diferentes níveis de abordagem, respeitando a integração dos temas a serem abordados e, o seu desenvolvimento se dá “em espiral”, justificando-se que: Desse modo, uma mesma noção deverá ser retomada em diferentes ocasiões, que sejam convenientes, de modo a permitir sua elaboração e reelaboração por parte do estudante, desde um primeiro contato, em que ele capta intuitivamente as idéias básicas e as aplica em situações-problema, até a fase em que é utilizado o pensamento lógico-dedutivo, permitindo uma progressiva formalização e sistematização do conceito enfocado (PROPOSTA CURRICULAR PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA 1º GRAU, 1992, p. 8). As concepções que nortearam a realização desse trabalho foram: o lugar da Matemática no currículo; os conteúdos e a abordagem; a Matemática e a linguagem; a extensão dos programas; o papel da avaliação; e a estruturação da proposta. Os conteúdos matemáticos nessa proposta estão divididos em três grandes temas: Números, Geometria e Medidas. Por meio deles pretendia-se atingir as grandes metas para o ensino da Matemática na escola básica: as aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio lógico (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992). Com relação à Geometria, documento sugeria partir da manipulação de objetos, do reconhecimento das formas mais freqüentes, de sua caracterização através das propriedades, da passagem de relações entre objetos para o encadeamento de propriedades para, somente ao final do percurso, aproximar- 125 se de uma sistematização (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992). 2.1.1 O tema Geometria na Proposta Curricular Antes de iniciarmos com os assuntos de Geometria para cada série, vale ressaltar que esse documento traz as metas / objetivos a serem alcançados em cada série, apresentando sugestões de distribuição, detalhamento e integração dos temas. O tema de “Medidas”, segundo o documento, é uma junção entre os temas de Números e Geometria. Em nossa pesquisa, focaremos apenas o tema de Geometria. Os objetivos da 5ª Série indicam que se espera que o aluno: • Tenha noções de reta, semi-reta e segmento de reta. • Identifique retas paralelas, retas concorrentes e retas reversas. • Identifique altura de triângulos, paralelogramos e trapézios. • Conheça os elementos de uma circunferência e de uma superfície esférica. • Divida a circunferência utilizando dobraduras, compasso ou transferidor em 2, 3, 4, 6, 8 arcos iguais. • Determine a porcentagem que cada uma das partes da circunferência representa em relação à circunferência. (Proposta Curricular par o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 74): 126 Nesses objetivos podemos notar a presença do experimentalismo, quando é sugerida a utilização de dobraduras, compasso ou transferidor na divisão da circunferência. Além disso, o documento sugere ao professor que os alunos trabalhem com anéis, cortes em cartolina, massas de modelar, cilindros, cones, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de isopor, materiais manipuláveis de forma geral, ao trabalhar o conceito de circunferência, circulo e esfera, bem como suas relações. Também é proposta a utilização do compasso na construção da figuras. Os objetivos da 6ª Série indicam que se espera que o aluno: • Desenvolva a noção de ângulo e de ângulo central através de experimentações e construções • Identifique a posição de dois segmentos perpendiculares com o fato de eles formarem um ângulo de 90º, bem como, reconheça e nomeie pares de segmentos perpendiculares existentes em configurações planas e de pares de arestas perpendiculares existentes em configurações espaciais. • Identifique o perpendicularismo entre retas e planos experimentalmente e inferido que uma reta só é perpendicular a um plano A, quando for perpendicular a qualquer reta contida nesse plano e que passa pelo ponto A. • Identifique por meio de medição, que os pontos de bissetriz de um ângulo eqüidistam dos lados do mesmo e trace bissetrizes de ângulos, utilizando régua e compasso. • Reconheça os ângulos formados por retas coplanares cortadas por uma transversal e estabeleça as relações de igualdade e de suplementaridade nos casos em que as retas coplanares são paralelas. • Desenvolva a noção de polígono e faça construções de polígonos regulares com auxílio de régua, compasso e transferidor. 127 • Verifique experimentalmente os teoremas relativos à soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 94): Nesses objetivos podemos notar o forte apelo ao experimentalismo. Diversas vezes o documento sugere o uso de dobraduras, como por exemplo, para se trabalhar o conceito de ângulo na circunferência e a identificação da bissetriz de um ângulo. Também sugere a utilização de materiais do cotidiano do aluno como por exemplo a utilização de varetas ou canudos de refrigerante para visualizar o perpendicularismo entre retas. A seguir, podemos ver as sugestões que esse documento traz para trabalhar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo e a noção de polígono regular. 128 Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau. São Paulo. 1992, pp. 107 – 109. 129 130 131 Os objetivos da 7ª Série indicam que se espera que o aluno: • Identifique as diagonais de um polígono e determine o número de diagonais de um polígono qualquer. • Verifique utilizando dobraduras, régua e compasso as propriedades das diagonais de um paralelogramo. • Verifique experimentalmente o teorema de Pitágoras e o demonstre através de áreas. • Construa triângulos com régua e compasso, conhecendo-se as medidas dos três lados. • Verifique experimentalmente a propriedade da desigualdade triangular. • Tenha disponível o conceito de congruência e, em particular, de triângulos congruentes. • Reconheça os casos de congruência na resolução de situações-problema. • Identifique e aplique as propriedades e relações de triângulos isósceles e equiláteros. • Identifique quadriláteros, seus elementos e propriedades e classifique-os. • Identifique mediana e mediatriz de um triângulo. • Construa com régua e compasso o baricentro, o circuncentro, o incentro e o ortocentro de um triângulo. • Aplique os casos de congruência de triângulos na demonstração das principais propriedades relativas a triângulos e quadriláteros. (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 128): Novamente há sugestão do uso de dobraduras para se visualizar as diagonais de um paralelogramo e de suas propriedades; para determinação do número de diagonais de um paralelogramo é sugerida a utilização de fios 132 coloridos numa prancha de madeira em que os vértices seriam marcados com pregos; esse caráter experimental é sugerido também na utilização do Teorema de Pitágoras. Com relação ao Teorema de Pitágoras, a proposta traz alguns problemas históricos que estão relacionados à história deste teorema. A seguir, apresentamos um desses problemas, datado de 2600 a.C, contidos na proposta: “Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre um terreno horizontal, é quebrado num certo ponto pela força do vento. Sua extremidade vem tocar a terra a 16 côvados do seu pé. Dize, matemático, a quantos côvados do pé ele se quebrou?” Relativamente à congruência de figuras planas é trabalhada a congruência de triângulos, utilizando-se de construções fundamentais com régua e compasso, trabalhando-se também a sobreposição de figuras. Apresenta-se também a verificação experimental da desigualdade triangular, do ponto médio e da mediatriz de um segmento, o circuncentro, o baricentro, incentro e o ortocentro de um triângulo, a construção da bissetriz de um triângulo. Algumas demonstrações das propriedades nos triângulos são trabalhadas utilizando o raciocínio hipotético-dedutivo. A seguir, mostraremos o trabalho que a proposta traz para o Teorema de Pitágoras e a congruência de triângulos. 133 Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau. São Paulo. 1992, pp. 138 – 140. 134 135 136 Os objetivos da 8ª Série indicam que se espera que o aluno: • Desenvolva a noção de semelhança de figuras planas e verifique experimentalmente o teorema fundamental da proporcionalidade e sua demonstração. • Demonstre o teorema de Tales e saiba aplicá-lo em situaçõesproblema. • Aplique o teorema fundamental da proporcionalidade na verificação e demonstração dos casos de semelhanças em triângulos. • Construa triângulos com régua e compasso, conhecendo-se as medidas dos três lados. • Utilize os teoremas sobre semelhanças de triângulos para demonstrar o teorema de Pitágoras. • Verifique experimentalmente as relações métricas nos polígonos regulares e realize cálculos do lado e do apótema de um polígono inscrito numa circunferência de raio dado. (Proposta Curricular para o ensino de Matemática 1º grau, 1992, p. 152): Para se trabalhar a noção de semelhança, o documento propõe a comparação de fotografias, a ampliação e redução das fotografias, de figuras planas, de polígonos, trabalho esse que já foi iniciado na quinta série. Também é proposta uma verificação experimental e a demonstração do teorema sobre proporcionalidade para, depois, trabalhar a demonstração do teorema de Tales. Nesta série, a proposta aborda, novamente, conceitos históricos sobre os conteúdos estudados e, traz também, problemas clássicos. Como ilustração, a seguir apresentamos a proposta para o Teorema de Tales e semelhança de triângulos. 137 Fac-símile da Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – 1º Grau. São Paulo. 1992, pp. 155 – 157. 138 139 140 2.2 A análise da Coleção: A Conquista da Matemática. Como representante deste momento, analisaremos a coleção de livros didáticos intitulada “A conquista da Matemática” dos autores Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr, publicada pela Editora FTD e, como dissemos anteriormente, o motivo da escolha dessa coleção refere-se ao fato de que ela foi bastante adotada nas escolas da Rede de Ensino Público do Estado de São Paulo. Todos os volumes aqui analisados foram publicados no ano de 1992. 2.2.1 Um breve relato dos autores. 2.2.1.1 José Ruy Giovanni José Ruy Giovanni nasceu em 7 de março de 1937, em Rio Claro, interior de São Paulo. É bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Por muitos anos foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares da cidade de São Paulo, pois desde muito cedo percebeu que lecionar era sua verdadeira vocação. É autor de livros didáticos de Matemática pela Editora FTD há cerca de 27 anos. Mantém contato permanente com professores de todo o Brasil nesses anos todos ministrando palestras e cursos.17 17 Texto retirado na íntegra do site da editora F.T.D. S.A. 141 2.2.1.2 José Ruy Giovanni Júnior. José Ruy Giovanni Júnior nasceu em 13 de dezembro de 1963, em Rio Claro, interior de São Paulo, mas vive na capital desde 1985, onde cursou Matemática na Universidade de São Paulo (USP) e leciona desde 1985. Quando estudante, suas grandes paixões eram Matemática e História e seu sonho era o de poder ensinar. Assim, a profissão de professor veio naturalmente. A exemplo de seu pai, hoje seu grande companheiro de trabalho, escreve livros didáticos de Matemática desde 1990, graças ao desejo de compartilhar suas idéias e experiências. Atualmente, além do contato com os alunos, viaja pelo Brasil ministrando palestras e cursos para professores, conhecendo melhor a realidade da educação do país.18 2.2.1.3 Benedito Castrucci. Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Participante ativo do Grupo de Estudos de Ensino da Matemática – GEEM nas décadas de 60 e 70, época do Movimento da Matemática Moderna. Ex-professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica e da Universidade de São Paulo. Ex-professor de escolas públicas e particulares de 1º e 2º graus. Faleceu em 1995. 18 Texto retirado na íntegra do site da editora F.T.D. S.A. 142 2.2.2 A Geometria na coleção: A conquista da Matemática Antes de iniciarmos o estudo sobre o tema da Geometria encontrado nessa coleção apresentaremos a introdução que os autores colocam para cada volume, destacado as aplicações da Matemática: A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem até o uso em complexos computadores; Pode parecer, a principio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata no mundo em que vivemos; isso pode gerar em você um certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Veja na Economia, por exemplo, o cálculo de juros e porcentagem; na Engenharia os cálculos trigonométricos. Para entender a Matemática e suas aplicações são necessários dedicação e estudo. Por esse motivo, ao escrever essa coleção, procuramos apresentar a você as linhas mestras desse processo em linguagem simples, sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Os autores. O estudo do tema de Geometria, destinado para a 5ª série dessa coleção, é encontrado em apenas uma unidade deste volume, que é a unidade 7, intitulada “Introdução à Geometria”. Primeiramente, a unidade traz um texto abordando a história da Geometria, conforme podemos ver abaixo: 143 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 194. 144 Nessa unidade são estudadas as noções da Geometria tais como: ponto, reta, plano, figuras geométricas, posições relativas de duas retas num plano, segmento de reta, medida de segmento, semi-reta, polígonos: convexos e não convexos; nomenclatura dos polígonos, triângulos e quadriláteros. Os exercícios encontrados nessa unidade são exercícios de fixação das propriedades estudadas na mesma. A seguir, podemos ter uma noção dos exercícios propostos nessa unidade para trabalhar os polígonos, os triângulos e os quadriláteros. 145 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 213. 146 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 5. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 216. 147 No volume destinado à 6ª série do Ensino Fundamental, encontramos duas unidades que abordam o tema de Geometria: “Estudando os ângulos” (unidade 10) e “Triângulos e quadriláteros” (unidade 11). Na unidade 10, que trata dos ângulos, encontramos uma análise sobre o ângulo e seus elementos; a medida de um ângulo; operações com medidas de ângulos; ângulos consecutivos e ângulos adjacentes; bissetriz de um ângulo; ângulos complementares e ângulos suplementares e o estudo dos ângulos opostos pelo vértice. Para esta coleção, encontramos a seguinte definição de ângulo: Denominamos ângulo a região convexa formada por duas semiretas não-opostas que têm a mesma origem (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 199). Depois é trabalhada a medida de ângulos, a nomenclatura de alguns ângulos, como o caso do ângulo nulo e do ângulo raso e a congruência entre ângulos. Os exercícios encontrados nessa parte trabalham com a nomenclatura dos ângulos em figuras dadas, com a identificação de suas medidas e com a utilização do transferidor. Muitos exercícios usam cálculos algébricos para determinar a medida de um ângulo desconhecido. Ao referir-se à bissetriz de um ângulo, ou autores apresentam a seguinte definição: 148 Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 210). Nesse trabalho com a bissetriz é apresentada uma seqüência para se construir a bissetriz de um ângulo utilizando régua e compasso. Os exercícios envolvendo o conceito de bissetriz encontrados nessa coleção pedem ao aluno, com o uso do transferidor, que construa alguns ângulos e em seguida encontre suas bissetrizes. Para os ângulos complementares e ângulos suplementares a coleção diz: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180º (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 214). Para o trabalho com os ângulos opostos pelo vértice (o.p.v) essa coleção destaca uma “propriedade importante”: Na figura ao lado, temos ^ A que os ângulos A O C e m B y D O ^ B O C são opostos pelo x vértice. C Indicando por: x = med ^ ( BO C ) ^ y = med ( A O D ) ^ m = med ( A O B ), temos: 149 ^ ^ 1. Como A O B e A O D são adjacentes suplementares: m y m + y = 180º ^ ^ 2. Como A O B e B O C são adjacentes suplementares: m x m + x = 180º 3. Comparando 1 e 2: m + y = 180º ⇒ m+y =m+x m + x = 180º x=y Assim podemos definir a propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 218219). Abordada essa propriedade, a coleção traz alguns exemplos de aplicação. Feito isso, a unidade é fechada com exercícios de revisão de todos os pontos estudados. Nesses exercícios, notamos a aplicação de propriedades estudadas nessa unidade e de algumas situações-problema envolvendo o cotidiano desse aluno. A seguir, podemos visualizar esses exercícios de revisão dos conteúdos contidos na unidade. 150 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 6. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 220 – 221. 151 152 Na unidade 11, aborda-se o triângulo e seus elementos, como vértices, lados e ângulos internos; a classificação dos triângulos com relação à medida aos lados: eqüilátero, isósceles e escaleno; a classificação dos triângulos quanto à medida dos ângulos: acutângulo, retângulo e obtusângulo; a soma dos ângulos internos de um triângulo. No trabalho para identificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o texto mostra um triângulo em que as “pontas” (os vértices) são recortadas e montadas, como um quebra-cabeça, formando um ângulo raso (180º), logo depois coloca a seguinte “definição”: Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º (GIOVANNI et al, 1992, v. 6, p. 225). O trabalho desenvolvido com os quadriláteros segue a mesma linha de pensamento: são estudados os elementos dos quadriláteros: vértices, lados, ângulos internos; é realizado um estudo dos quadriláteros, dando um foco maior para o que os autores denominam “quadriláteros especiais”, tais como: retângulo, losango, quadrado e trapézio, identificando-os como paralelogramos. Vale ressaltar que muitos dos conceitos abordados nesta unidade foram estudados no volume destinado a 5ª série dessa coleção. Os exercícios abordados nessa unidade são apenas ligados à conceituação e à aplicação das propriedades estudadas. 153 O volume destinado a 7ª série do Ensino Fundamental apresenta os seguintes tópicos para o tema de Geometria: • Unidade 7 – Introdução à Geometria; • Unidade 8 – Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal; • Unidade 9 – Polígonos; • Unidade 10 – Estudando os triângulos; • Unidade 11 – Estudando os quadriláteros; • Unidade 12 – Estudando a circunferência. Na unidade 7, é realizada uma revisão dos conteúdos estudados pelo aluno durante a 5ª e 6ª séries do Ensino Fundamental, como: reta; ponto; ângulos; bissetriz de um ângulo e os demais conteúdos já mencionados. O único tópico diferente dos que já foram estudados é o caso do ponto médio de um segmento, apresentado como o ponto que divide um segmento em dois segmentos congruentes. Na unidade 8 deste volume encontramos um estudo que parte da conceituação de reta transversal e, na sequência, é realizado um trabalho com os ângulos correspondentes; os ângulos alternos e os ângulos colaterais. 154 No início dessa unidade, com relação à reta transversal, encontramos o seguinte texto: No plano, toda reta que encontra duas outras em pontos distintos é chamada reta transversal. t t r r A A B s Quando duas retas interceptam uma transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção. Indicaremos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g e h, como mostra a figura ao lado (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 148 – grifo nosso). B s t b a c f g r d e h s Os exercícios dessa unidade trabalham com a identificação dos ângulos formados entre duas retas e uma transversal, nos quais é pedida a sua nomenclatura, tais como: alternos (internos ou externos), colaterais (internos ou externos) e correspondentes; também é trabalhada a medida do ângulo utilizando-se muitos procedimentos algébricos, como podemos ver a seguir. 155 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 155 – 157. 156 157 158 Na unidade 9, temos um estudo dos Polígonos. Comparando com o estudo realizado nas séries anteriores, podemos notar um maior aprofundamento. No início dessa unidade é abordado o estudo do polígono, convexo e não convexo, e os elementos de um polígono como: lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Após isso, é realizada uma classificação dos polígonos quanto ao número de lados: triângulo (3 lados), quadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados) etc.. Realizada essa introdução sobre polígonos, o texto começa a abordar perímetro, diagonais de um polígono (definidas como “o segmento que une dois vértices não-consecutivos do polígono”), chegando ao cálculo do número de diagonais de um polígono, em que é realizada a contagem desse número de diagonais até se chegar a generalização da fórmula para um polígono de n lados, conforme segue: [...] Pelo que foi mostrado, de um vértice de um polígono partem diagonais para todos os vértices menos para 3 deles: o próprio vértice e os dois consecutivos a ele. Assim, em um polígono de n lados (ou vértices), de cada vértice partem (n – 3) diagonais. Como são n vértices, o número total de diagonais seria n.(n – 3). Porém, por este raciocínio estaríamos contando cada diagonal duas vezes, temos então que calcular a metade de n.(n – 3). No polígono abaixo, indicamos por d o número de diagonais: • número de lados (ou vértices) n • diagonais partindo de A n–3 n.(n – 3) 159 B ___ D A E G ___ ___ ___ • como AC ≅ CA, AD ≅ DA etc. C d= n ⋅ (n − 3) 2 F d= n ⋅ (n − 3) 2 Portanto: (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 163). Realizado esse estudo, a unidade inicia a abordagem dos ângulos de um polígono. Primeiramente é realizado um estudo da soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, por meio de recortes dos vértices de um triângulo qualquer e, utilizando o estudo das retas paralelas cortadas por uma transversal, chega à conclusão de que “ em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180º. Feito isso, dá-se início a um estudo da soma das medidas de um polígono qualquer, com a sugestão de decompor esse polígono em triângulos. São apresentados alguns polígonos e realizada a decomposição desses em triângulos, destacando-se o número de lados de cada polígono estudado, até que se chegue a generalização da soma das medidas dos ângulos internos para um polígono de n lados, conforme vemos a seguir. 160 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 269 – 170. 161 162 O mesmo procedimento é realizado para se chegar à soma das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer, enunciando a seguinte propriedade: A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360º (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 171). Feito esse estudo, o texto aborda a questão da medida dos ângulos de um polígono regular, lembrando ao aluno que polígono regular é aquele em que todos os lados são congruentes entre si e os ângulos internos são congruentes entre si, e que, portanto, os ângulos externos também serão. Chegando, assim: ai = (n − 2) ⋅180 n e ae = (n − 2) ⋅180 n Em que: ai medida de cada ângulo interno de um polígono regular; ae medida de cada ângulo externo de um polígono regular. No final desta unidade são apresentados exercícios de revisão de todo o conteúdo abordado na mesma, conforme podemos ver: 163 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 174 – 175. 164 165 O estudo dos triângulos, realizado na unidade 10, como o próprio texto de abertura nos diz, é “um estudo mais a fundo das propriedades e relações e relações” existentes nos triângulos. Inicialmente é realizada a abordagem dos elementos de um triângulo: vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos e também é realizado o estudo sobre a condição de existência de um triângulo. Para esse ultimo tópico, o livro traz alguns exemplos de construção de triângulos, nos quais são dadas as medidas dos seus lados, utilizando como instrumento de construção o compasso. Feito essas construções, é possível chegar a seguinte conclusão: Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 171). Seguindo esse estudo, a unidade traz a classificação dos triângulos quanto a relação das medidas dos lados: eqüiláteros (todos os lados congruentes), isósceles (dois lados são congruentes) e escaleno (todos os lados com medidas diferentes); e com relação a seus ângulos: acutângulo, em que os três ângulos são agudos; retângulo, em que um dos ângulos é reto (90º); e obtusângulo, quando um dos ângulos é obtuso, medindo mais que 90º. Após isso, são realizados estudos da altura, mediana e bissetriz de um triângulo. O texto “coloca” a altura como sendo o “segmento que une o vértice ao lado oposto, formando um ângulo de 90º entre o segmento e o lado oposto”; para mediana, coloca como sendo “o segmento que une um vértice ao ponto 166 médio do lado oposto e, bissetriz de um triângulo como sendo “o segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida”. Com relação aos pontos notáveis, encontramos nessa unidade: A H'' H' O B H C Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado ortocentro (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 185). Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado baricentro (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 186) A S' S'' I C B S A M'' M' G C B M Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado baricentro (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 186) Realizado o estudo dos elementos de um triângulo, a unidade passa a abordar a congruência de triângulos. Primeiramente é realizada uma revisão dos conceitos de figuras congruentes para depois especificar os triângulos. 167 O texto mostra a seguinte “definição” para dois triângulos serem congruentes: Dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados respectivamente congruentes e os ângulos respectivamente congruentes (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 189). Depois de realizada essa abordagem, a unidade inicia o estudo dos casos de congruência de triângulos, conforme podemos ver nas páginas seguintes. 168 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 189 – 192. 169 170 171 Nos exercícios de revisão propostos para o fechamento dessa unidade, encontramos problemas que abordam os conteúdos estudados na mesma. Nessa parte, encontramos exercícios de conceituação, exercícios que exigem dos alunos os procedimentos encontrados nos exemplos abordados na unidade exercícios de “provas”, relacionando os casos de congruência, nos quais é pedido que o aluno prove que um triângulo é congruente a um outro, dados algumas medidas e, exercícios que relacionam o estudo da álgebra, em que é pedido para o aluno determinar a medida de um ângulo ou de um lado quando estes são desconhecidos. 172 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 197. 173 Na unidade 11 desse volume são estudados os quadriláteros. Inicialmente a unidade realiza uma revisão de todos os conceitos estudados nas séries anteriores, como: vértices, lados e diagonais de um quadrilátero e os ângulos internos. Feita esta abordagem inicial, o texto inicia o estudo dos paralelogramos, no qual encontramos a seguinte “definição”: Todo quadrilátero que têm os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 201). Ressalta algumas propriedades dos paralelogramos, tais como: ângulos opostos e lados opostos congruentes e as diagonais contam-se ao meio, destacando que alguns paralelogramos recebem nomes especiais: quadrado, retângulo e losango (ou rombo). Com relação ao quadrado, o texto o “define” como sendo o “paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos)”, sendo o único paralelogramo em que: [...] suas diagonais são congruentes, são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos. ___ C D ___ M ___ AC ≅ CA ___ AC _|_ BD ^ A B ^ é bissetriz de A e de C . 174 ___ ^ BD é bissetriz de B e de D . ^ (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 205). Realizado o estudo dos paralelogramos, o texto passa a abordar os trapézios, “definindo-os” como: Todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos denomina-se trapézio (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 207). Nessa parte, é realizado um estudo sobre as bases e altura de um trapézio; o estudo dos “trapézios especiais”: o retângulo e o isósceles, destacando, nesse ultimo, duas propriedades: os ângulos da base são congruentes e as diagonais também. Nessa unidade são encontrados vários exercícios no decorrer do tratamento que é dado para cada tópico, assim como nas anteriores. A maioria desses exercícios trabalha com a conceituação estudada em cada tópico. Aqui abordaremos os exercícios de fechamento da unidade, em que o volume os trata como “questões propostas para revisão”. Nesses exercícios de revisão, alguns nos chamam a atenção quando pedem ao aluno para concluir “algo” a partir dos conceitos estudados. Nessa seção são apresentados muitos exercícios que envolvem os casos de congruência de triângulos, em que é pedido para o aluno “provar”, iniciando-o assim na demonstração matemática. 175 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 210 – 211. 176 177 A unidade 12, ultima desse volume, trata da circunferência e do circulo. Inicialmente são revisados os conceitos de circunferência e de seus elementos: raio, diâmetro, corda. Após essa revisão são aplicados alguns exercícios de fixação desses conceitos. A partir daí, o texto aborda as propriedades numa circunferência, tais como: “todo diâmetro perpendicular a uma corda passa pelo ponto médio dessa corda” e “a mediatriz de uma corda passa pelo centro de uma circunferência”. Depois é realizado o estudo dos pontos internos e externos de uma circunferência e de um circulo, no qual, esse ultimo, é definido como sendo a “reunião da circunferência com a sua região interna; as posições relativas de uma reta e uma circunferência, em que destacamos uma propriedade importante: P A A figura ao lado nos mostra que, de um ponto P exterior, estamos traçando dois segmentos, PA e PB, tangentes à circunferência. O B Se considerarmos os triângulos retângulos OAP e OBP, podemos afirmar que são congruentes, pois têm a hipotenusa (OP nos dois triângulos) e um cateto (AO no ∆OAP e OB no ∆OBP), respectivamente, congruentes. Sendo ∆OAP ≅ ∆OBP, então PA ≅ PB.. Daí, a seguinte propriedade: Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos PA e PB, tangentes à circunferência nos pontos A e 178 B, então os segmentos PA e PB são congruentes (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 219). Continuando, são trabalhados os arcos de circunferência, o ângulo central; o texto apresenta ângulo central como “qualquer ângulo que tenha o vértice no centro da circunferência”; para ângulo inscrito, ressalta: A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado por seus lados na circunferência (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 228). O último estudo realizado nesta unidade refere-se a ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência; destacamos a seguinte “demonstração”: B C P O vértice é um ponto interno distinto do centro. x Como x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD, temos: O a D b A x=a+b Observando que: podemos também escrever: O vértice é um ponto externo. 179 C B b P x O a A D Como a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC, temos: a=x+b x=a–b Observando que: podemos também escrever: (GIOVANNI et al, 1992, v.7, p. 231). Após essa abordagem são apresentados alguns exemplos de aplicação e propostos alguns exercícios de fixação. No final dessa unidade, novamente são apresentados exercícios de revisão do conteúdo estudado. 180 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 7. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 232 – 233. 181 182 O volume destinado à 8ª série do Ensino Fundamental apresenta os seguintes tópicos relacionados ao tema de Geometria: • Unidade 7 – Segmentos proporcionais; • Unidade 8 – Semelhança; • Unidade 9 – O triângulo retângulo: relações métricas; • Unidade 10 – Relações trigonométricas no triângulo; • Unidade 11 – Circunferência e circulo: relações métricas; • Unidade 12 – Estudando as áreas das figuras geométricas planas. Na unidade 7 desse volume, encontramos o estudo sobre segmentos proporcionais. Inicialmente, realiza-se uma revisão sobre razão e proporção, partindo para a razão de segmentos e segmentos proporcionais. Feita essa abordagem, a unidade passa a realizar um estudo sobre feixe de retas paralelas cortado por uma reta transversal e suas propriedades, no qual diz: Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 143). Após esse estudo, é apresentado o Teorema de Tales, em que a unidade o enuncia: “Um feixe de retas paralelas determina em duas retas transversais segmentos proporcionais”. A seguir, mostraremos um exemplo de aplicação do teorema de Tales encontrado nesse volume. 183 Na figura ao lado, determinar a medida y, sabendo-se que a || b || c. y+ 2 y Resolução: Pelo teorema temos: de Tales, y+2 y−2 = 3 y 3 y- 2 a b c 3(y + 2) = y(y − 2) → propriedade fundamental das proporções 3y + 6 = y 2 − 2y − y 2 + 3y + 2y + 6 = 0 − y 2 + 5y + 6 = 0 y 2 − 5y − 6 = 0 → equação do 2º. grau ∆ = (-5) 2 − 4 (1) ( −6) = 25 + 24 = 49 y= - (-5) ± 49 5 ± 7 = 2 2 y' = 6 y' ' = -1 Como y = – 1 não serve, pois não existe medida negativa, então y = 6 (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 146). Enunciado o teorema de Tales, a unidade inicia uma abordagem sobre a aplicação desse teorema nos triângulos, destacando o teorema da bissetriz interna de um triângulo. A seguir, podemos ver os exercícios de revisão dos conteúdos abordados nessa unidade. 184 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 154 – 155. 185 186 Na unidade 8, a coleção trata de semelhança. Inicialmente é feita uma revisão dos conceitos abordados nas séries anteriores sobre esse conteúdo, tais como: figuras semelhantes e polígonos semelhantes, estudando as propriedades dos mesmos. Feita essa revisão, a unidade inicia o estudo de semelhança entre triângulos, no qual diz: [...] dois triângulos são semelhantes quando têm: • os ângulos respectivamente congruentes ou • os lados correspondentes proporcionais (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 166). A seguir, mostraremos um exemplo de aplicação encontrado nessa unidade: Na figura abaixo, determinar os valores de x e y. A 10cm 6cm 4cm B x C y D 3cm E Resolução: Comparando os triângulos ABC e CDE, temos: ^ ^ B ≅ D ângulos retos ^ ^ B C A ≅ D C E ângulos o.p.v 187 Como os triângulos têm, respectivamente, dois ângulos congruentes, podemos concluir que eles são semelhantes. ∆ABC ~ ∆CDE Lados homólogos: AB e DE ; BC e CD ; AC e CE Pela propriedade: AB BC AC = = DE CD CE 6 x 10 = = 3 4 y 6 x = → 3x = 24 → x = 8 3 4 6 10 = → 6y = 30 → y = 5 3 y Então, x = 8 cm e y = 5 cm (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 168). Nos exercícios encontrados nessa unidade, podemos notar que muitos deles exigem um elevado grau de abstração dos alunos, alguns relacionando acontecimentos do cotidiano dos mesmos, não bastando apenas os conceitos adquiridos. A seguir, encontram-se os exercícios de fixação e revisão encontrados na unidade. 188 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 174 – 176. 189 190 191 A unidade 9 desse volume trata dos triângulos retângulos, do teorema de Pitágoras e das relações métricas encontradas nesses triângulos. Inicialmente é feita uma revisão sobre triângulo retângulo e, juntamente, dados os primeiros passos, mesmo que empiricamente, para a conclusão do teorema de Pitágoras, que o texto apresenta o seguinte enunciado: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 179). Abaixo, encontra-se a demonstração, através do cálculo das áreas de figuras geométricas, que o texto nos apresenta: Figura 2.1a – Demonstração Pitágoras (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992) 192 Figura 2.1b – Demonstração Pitágoras (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992) Feita essa demonstração o volume relata ao aluno que “a demonstração algébrica será realizada mais adiante”, após os estudos das relações métricas no triângulo retângulo. No estudo das relações métricas, podemos notar que os autores procuraram desenvolvê-las “passo a passo” e no final de cada delas chegavam a uma conclusão e a destacava: • 1ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre a hipotenusa. 2ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. 3ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a hipotenusa (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 189-190). 193 Após esses estudos, o texto realiza, conforme já dito, a demonstração algébrica do teorema de Pitágoras, conforme vemos abaixo. A b c x n B m C H a Da 1ª relação, temos: b2 = a.m c2 = a.n Adicionando membro a membro as duas igualdades, temos: b2 + c2 = a.m + a.n b2 + c2 = a.(m + n) b2 + c2 = a2 ou a2 = b2 + c2 Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois catetos (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 190). Concluído esse estudo, a unidade propõe exercícios de fixação e “questões de revisão” aos alunos. Nessa seção, percebemos que muitos das situações-problema abordadas enfatizam o cotidiano desse aluno; algumas são de revisão de conceitos abordados na unidade e outras situações exigem a atenção do aluno ao relacionar o conteúdo estudado na unidade com outros conteúdos, conforme podemos ver a seguir. 194 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 192 – 194. 195 196 A unidade 10, seguindo o trabalho com os triângulos, inicia o estudo das relações trigonométricas. 197 Na abertura desta unidade encontramos uma pequena introdução sobre a história da trigonometria na Antiguidade, conforme vemos abaixo. Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, p. 195. 198 A partir daí, o texto introduz os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo, destacando os ângulos de 30º, 45º e 60º, e apresenta algumas aplicações dos conceitos abordados, como podemos ver no exemplo que se segue: Na figura abaixo, determinar as medida x e y dos lados nãoparalelos do trapézio ABCD. D 14cm C x y 60º A B 20cm Resolução: Vamos considerar a figura dada e observar que: D 14cm x C y DH = BC = y B AH = AB – CD = 6 60º A 6 H 20 No triângulo retângulo AHD, temos: 6 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60º; x = medida da hipotenusa; y = medida do cateto oposto ao ângulo de 60º. Daí podemos escrever: cos 60º = 6 x tag 60º = 1 6 = 2 x 3= x = 2⋅6 y=6 3 x = 12 y 6 y 6 199 Então, os lados não paralelos do trapézio medem 12 cm e 6 3 cm (GIOVANNI et al, 1992, v.8, p. 203). Após a resolução de alguns exercícios, a unidade propõe ao aluno alguns exercícios de fixação envolvendo questões da natureza, como calculo da largura de um rio, altura de uma montanha e, questões encontradas no dia a dia das cidades, como altura de um edifício, altura de um poste, etc. Realizado o estudo das relações trigonométricas nos triângulos retângulos, a unidade inicia a abordagem das relações trigonométricas em qualquer triângulo, enunciando, assim, as leis dos senos e cossenos. A seguir, apresentamos as “questões propostas para revisão” encontradas no final desta unidade. Novamente, percebemos que alguns exercícios não ficam apenas na “imaginação” ou “abstração” do aluno, o aluno pode “ver” esses conteúdos sendo utilizados em aplicações na sociedade. 200 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 213 – 214. 201 202 Na unidade 11 desse volume, intitulada “Circunferência e circulo: relações métricas”, encontramos as relações entre as cordas e a circunferência, entre as secantes e a circunferência e entre as secantes e tangentes numa circunferência. O texto “constrói” as demonstrações das relações e nos apresenta o seguinte resumo: Figura 2.2 – Cordas (GIOVANNI et ali, V. 8, 1992 Feito isso, nos apresenta dois exemplos de aplicação desse conteúdo e propõe alguns exercícios de fixação dos conhecimentos adquiridos. Seguindo os estudos, o texto aborda os polígonos regulares inscritos numa circunferência, os elementos de um polígono regular inscrito, suas propriedades, em que o texto faz uma relação com o conteúdo de semelhança estudado anteriormente, fechando a unidade com as “questões propostas para revisão”, conforme segue. 203 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 229 – 230. 204 205 Na unidade 12, ultima unidade do volume, encontramos o trabalho com as áreas das figuras geométricas planas. O que nos chama mais atenção nessa unidade são os exercícios propostos por ela. Muitos deles requerem do aluno o conceito de composição e decomposição de figuras planas, fazendo com que esse aluno reflita sobre os conceitos adquiridos na unidade e de outros adquiridos anteriormente, não sendo apenas uma mera aplicação de “fórmulas” das áreas estudadas. A seguir, como exemplo, mostramos alguns desses exercícios. 206 Fac-símile do livro “A conquista da Matemática”, Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr. V. 8. Editora FTD. São Paulo. 1992, pp. 246 – 247. 207 208 2.3 A Proposta Curricular e a Coleção: A conquista da Matemática. Comparando as Propostas Curriculares com a coleção “A conquista da Matemática”, podemos perceber que os conteúdos abordados pelo documento oficial são trabalhados na coleção analisada. Percebemos que o documento oficial orienta o trabalho da Geometria utilizando o processo de “experimentalismo”, de manipulação de materiais concretos, em todas as séries. Tal recomendação não nos foi evidenciada na coleção “A conquista da Matemática”, a coleção faz uso do “experimentalismo”, mas de forma pontual. Com relação ao “rigor” da utilização da linguagem matemática, tão criticada nas décadas anteriores, percebemos que o mesmo está presente nessa obra, porém, identificamos uma maior preocupação em relação a aprendizagem dos conceitos por parte do aluno do que a “maneira” como o ele escreve. Não podemos deixar de evidenciar que o documento orienta tratar os conteúdos de geometria de forma a relacioná-los com as questões do dia-a-dia desse aluno, com questões evidenciadas na sociedade. Porém, na seção de exercícios propostos pela coleção encontramos poucas situações-problema que gere isso, ou seja, a maioria dos exercícios encontrados é de fixação dos conceitos estudados em cada unidade, fazendo com que esse aluno não 209 relacione o que aprendeu em Matemática com as situações encontradas em seu cotidiano. Com relação aos modelos teóricos identificamos uma abordagem sugerindo o Modelo Quase-empirista, para se constatar alguma propriedade matemática. Mas, nos dois volumes finais da coleção, destinados a sétima e oitava séries, respectivamente, encontramos uma abordagem focada nas demonstrações e teoremas, característica do Modelo Euclidianista. 210 Capítulo 3 A Geometria durante o período de 1998 ao momento momento atual – uma análise dos PCN e livros didáticos atuais. 3.1. Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto ciclo do Ensino Fundamental. Analisando reformas curriculares (2008) destaca que, de 1995 a 2002, o Ministério da Educação desencadeou o processo de elaboração de Parâmetros Curriculares Nacionais, para diferentes níveis e modalidades de ensino. Também nesse período, o Conselho Nacional de Educação apresentou Diretrizes Curriculares Nacionais, com força de lei. Nesse processo, envolto em muita polêmica, alguns dilemas clássicos da educação brasileira voltaram à discussão. Para essa autora, a tarefa implicou o enfrentamento de várias tensões e a tentativa de buscar respostas a questões, por exemplo: Como construir referências nacionais de modo a enfrentar antigos problemas da educação brasileira e ao mesmo tempo encarar novos desafios colocados pela conjuntura mundial e pelas novas características da sociedade, como a urbanização crescente? O que significa indicar pontos comuns do processo educativo em todas as regiões, mas, ao mesmo tempo, respeitar as diversidades regionais, culturais e políticas existentes, no quadro de desigualdades da realidade brasileira? Como equacionar problemas referentes à possibilidade de acesso 211 aos centros de produção de conhecimento, tanto das áreas curriculares quanto da área pedagógica, e que se refletem na formação dos professores que colocaram as idéias curriculares em prática? Que Matemática deve ser ensinada às crianças e jovens de hoje e com que finalidade? De que modo teorias didáticas e metodológicas devem ser incorporadas ao debate curricular, sem que sejam distorcidas e tragam prejuízos à aprendizagem dos alunos? Pires relata que os Parâmetros Curriculares Nacionais da área de Matemática para o Ensino Fundamental (7 a 14 anos) buscaram expressar a contribuição das investigações e das experiências na área de Educação Matemática. Eles explicitaram o papel da Matemática pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Estudos também apontavam que o ensino dessa disciplina era estanque, ou seja, era ensinado ao aluno o conteúdo matemático em um determinado momento e esse conteúdo não era mais “visto” pelo aluno, não se fazia uma ligação entre os conteúdos na própria estrutura da disciplina. Também havia uma minoria de escolas públicas que relacionavam o conteúdo de Matemática com os conhecimentos de outras áreas de conhecimento. Para Pires (2000) foi, a partir de 1995, que a Secretaria da Educação do Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do Desporto coordenou um projeto, em âmbito nacional, em que educadores de diversos níveis de ensino 212 debateram e indicaram diretrizes curriculares comuns para o ensino fundamental no Brasil, processo que culminou com os chamados Parâmetros Curriculares Nacionais. Para a mesma pesquisadora, Um aspecto inovador diz respeito a necessidade de explorar os conteúdos não apenas em sua dimensão conceitual (saber o conceito de adição, de fração ...) mas também na dimensão de procedimentos (saber fazer uma estimativa, a medição de um comprimento, um traçado de uma reta paralela...) e de desenvolvimento de atitudes (ser perseverante na busca de soluções, ter espírito de colaboração e etc.). Procedimentos e atitudes são interpretados como “conteúdos” que precisam ser trabalhados de forma sistemática em sala de aula (PIRES, 2000, p. 58). Com relação ao conhecimento matemático, os Parâmetros indicaram a necessidade de se trabalhar esse conhecimento utilizando recursos tecnológicos, como calculadora, computadores etc; abordaram a importância da resolução de problemas e, da utilização de jogos em sala de aula. Aos definir objetivos para o ensino de matemática visando a construção da cidadania, os PCN apontam a seguinte lista: • identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; • fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); 213 • selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; • resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; • comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; • estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; • sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções; • interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 47-48). Os Parâmetros são organizados em blocos de conteúdos denominados: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. Em nossa pesquisa, focaremos o bloco de conteúdos Espaço e Forma. Os conteúdos de cada bloco estão organizados em ciclos que em nossa pesquisa analisaremos o terceiro ciclo (5ª e 6ª séries do Ensino fundamental) e o quarto ciclo (7ª e 8ª série do Ensino Fundamental). 214 3.1.1 O bloco de conteúdos: Espaço e Forma. Os conceitos geométricos constituem parte importante no currículo de matemática no ensino fundamental, pois é por meio deles que o aluno desenvolve um tipo de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive (PCN, 1998, p. 41). São muitas as situações-problema que podem ser trabalhadas no campo da Geometria e, geralmente, os alunos apresentam um maior interesse. O trabalho com as noções geométricas também contribui para a aprendizagem de números e medidas, visto que o aluno é estimulado a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e etc. Segundo os Parâmetros (1998), é de fundamental importância que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Os objetivos propostos para o desenvolvimento do pensamento geométrico, no 3º ciclo (alunos com idades de 11 e 12 anos, 5ª e 6ª série do Ensino Fundamental), utilizando-se situações de aprendizagem, devem estimular o aluno a: • resolver situações-problema de localização e deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo elementos fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas cartesianas; 215 • estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representações; • resolver situações-problema que envolvam figuras geométricas planas, utilizando procedimentos de decomposição e composição, transformação, ampliação e redução (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 64 – 65). Segundo os PCN (1998), é nesse ciclo que os alunos reorganizam e ampliam os conhecimentos sobre Espaço e Forma abordados no ciclo anterior e, para isso, se faz necessário explorar situações-problema mais complexas. Nesse ciclo, o importante é enfatizar as noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e perpendicularismo, as classificações das figuras geométricas, as relações entre figuras espaciais e suas representações planas, a exploração das figuras geométricas planas, pela sua decomposição e composição, transformação (reflexão, rotação e translação), ampliação e redução. Ainda neste ciclo, as atividades geométricas centram-se em procedimentos de observação, representações e construções de figuras, bem como o manuseio de instrumentos de medidas que permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas propriedades dessas figuras (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 68). O documento ainda enfatiza a importância do uso de instrumentos como compasso, régua, esquadro e transferidor para a construção de figuras geométricas, estabelecendo as relações entre os procedimentos das construções e as propriedades geométricas. 216 Com relação aos conceitos e procedimentos, os PCN destacam: • Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da posição de pontos e de seus deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em um sistema de coordenadas cartesianas. • Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura própria. • Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. • Composição e decomposição de figuras planas. • Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros. • Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). • Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área). • Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números. • Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança de direção e pelo seu reconhecimento em figuras planas. • Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.( PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 72 – 73). Com relação aos critérios de avaliação, o documento destaca que esse instrumento deve possibilitar ao professor os assuntos que devem ser 217 retomados e organizar novas situações que possibilitem sua efetiva aprendizagem. No 4º ciclo, que corresponde as 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental, o documento recomenda as discussões com os alunos no sentido de que a Matemática faz parte do saber científico e que desenvolve um papel central na cultura moderna. Nesse ciclo, os objetivos propostos para o ensino dessa disciplina, visando o desenvolvimento do pensamento geométrico, devem-se fazer por meios de situações de aprendizagem que levem o aluno a: • interpretar e representar a localização e o deslocamento de uma figura no plano cartesiano; • produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito de congruência e semelhança; • ampliar e aprofundar noções geométricas como incidência, paralelismo, perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações, inclusive as métricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 81 – 82). O estudo dos conteúdos do bloco Espaço e Forma deve partir da análise das figuras pelas observações, manuseios e construções que permitam fazer conjecturas e identificar propriedades. É imprescindível no desenvolver das atividades que o aluno possa perceber que pela composição de movimentos é possível transformar uma figura em outra. 218 A construção de figuras a partir da reflexão, translação, por meio da rotação é imprescindível para que o aluno perceba que as medidas dos lados e dos ângulos, da figura dada e da figura transformada, são as mesmas. As atividades de transformação são fundamentais para que o aluno desenvolva habilidades de percepção espacial e podem favorecer a construção da noção de congruência de figuras planas (isometrias). De forma análoga, o trabalho de ampliação e redução de figuras permite a construção da noção de semelhança de figuras planas (homotetias). (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 86). É neste ciclo, ao realizar os problemas geométricos, que o aluno tem contato com o raciocínio dedutivo, o que não significa um estudo absolutamente formal e axiomático da Geometria. Vale ressaltar que o refinamento das argumentações produzidas, para uma demonstração Matemática, deve ocorrer gradativamente pela assimilação de princípios da lógica formal, possibilitando as demonstrações. Embora no quarto ciclo se inicie um trabalho com algumas demonstrações, com o objetivo de mostrar sua força e significado, é desejável que não se abandonem as verificações empíricas, pois estas permitem produzir conjecturas e ampliar o grau de compreensão dos conceitos envolvidos. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 87). Os conceitos e procedimentos destacados para o bloco de conteúdos Espaço e Forma para esse ciclo são os seguintes: • Representação e interpretação do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por um segmento de reta orientado. • Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras obtidas. 219 • Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares). • Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas. • Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e compasso. • Identificação de ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais. • Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. • Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. • Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um polígono convexo para os polígonos não-convexos. • Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor. • Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas a partir de transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície). • Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos. • Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso. • Desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro). • Verificações experimentais e aplicações do teorema de Tales. • Verificações experimentais, aplicações e demonstração do teorema de Pitágoras. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 88 – 89). Os critérios de avaliação para esse ciclo, no bloco Espaço e Forma, são: 220 • Decidir sobre os procedimentos matemáticos adequados para construir soluções num contexto de resolução de problemas numéricos, geométricos ou métricos. • Estabelecer relações de congruência e de semelhança entre figuras planas e identificar propriedades dessas relações. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 92 – 93). Por meio desses critérios o professor pode identificar se o aluno é capaz de interpretar uma situação-problema; selecionar as informações necessárias; planejar a resolução; estimar soluções; decidir sobre procedimentos de resolução a serem utilizados; investigar, justificar argumentar e comprovar a validade de resultados e apresentá-los de maneira organizada e clara. Verificar se o aluno é capaz de perceber que, por meio de diferentes transformações de uma figura no plano (translações, reflexões e rotações) obtém-se figuras congruentes e, que por meio de ampliações e reduções, obtém-se figuras semelhantes, e de aplicar as propriedades da congruência e semelhança em situações-problema. 3.1.2 Orientações didáticas para o bloco de conteúdos: Espaço e Forma. Os Parâmetros Curriculares Nacionais trazem algumas orientações didáticas aos professores visando uma reflexão de como ensinar os conteúdos matemáticos em sala de aula, analisando os conceitos e procedimentos a serem ensinados conhecimentos. e, as formas como os alunos constroem esses 221 Ao abordar o bloco Espaço e Forma, o documento enfatiza que a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, que em muitas vezes, confunde-se o seu ensino com o das medidas. Caracteriza que a Geometria tem um papel fundamental no currículo, uma vez que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Destaca a Geometria como um campo fértil de situações-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade de argumentar e construir demonstrações. No campo dos problemas, o estudo do espaço e das formas envolve três objetos de natureza diferentes: • o espaço físico, ele próprio – ou seja, o domínio das materializações; • a geometria, concebida como modelização desse espaço físico – domínio das figuras geométricas; • o(s) sistema(s) de representação plana das figuras espaciais – domínio das representações gráficas. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 122). A esses objetos correspondem três questões relativas à aprendizagem que são ligadas e interagem umas com as outras. São elas: • a do desenvolvimento das habilidades de percepção espacial; • a da elaboração de um sistema de propriedades geométricas e de uma linguagem que permitam agir nesse modelo; • a de codificação e de decodificação de desenhos. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 123). Com relação ao desenvolvimento das habilidades de percepção espacial, os PCN identificam a leitura e a utilização efetiva de mapas e plantas, 222 nas situações cotidianas, como principio de partida. Cita, como exemplos, a localização de um escritório um grande edifício, o deslocamento numa cidade e etc. Para a aquisição dessas habilidades propõe algumas situações de trabalho em sala de aula, tais como: a construção de maquetes, a qual favorece a construção de diferentes pontos de vista pela movimentação do observador; a construção de mapas, utilizando o trabalho com as coordenadas cartesianas, fazendo uma analogia com as coordenadas geográficas; a observação das relações entre tamanhos, aproximando-se da noção de proporcionalidade, o que permite ao aluno a utilização das escalas nas construções de maquetes. Com relação ao campo da figuras geométricas, o documento traz exemplos de atividades de classificação dessas figuras com base na observação de suas propriedades e regularidades; explorando a composição e decomposição dessas figuras, como ladrilhamentos, tangrans, poliminós, nos quais o aluno verifique que o cobrimento de uma superfície pode ser feito por determinadas figuras, como triângulos equiláteros, quadrados, retângulos, hexágonos regulares; descubra que uma figura poligonal pode ser composta ou decomposta por outra como triângulos, em particular, facilitando o cálculo de áreas e a determinação da soma das medidas dos seus ângulos internos. O documento privilegia as atividades que envolvem as transformações, visto que permite ao aluno o desenvolvimento de conceitos geométricos de uma forma significativa. Ressalta que o estudo das transformações isométricas é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência, servindo de 223 apoio para a compreensão das propriedades das figuras. Incentiva, também, o estudo das transformações que envolvem ampliação e redução como ponto de partida para o estudo de semelhança de figuras geométricas e a construção de seu conceito. Aborda ainda que o conceito de semelhança é proveitoso para estabelecer conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e proporções, propriedades das figuras, ângulos, medidas (áreas, volumes) e conteúdos de outras áreas (artes, educação física, ciências, geografia, física). Com relação aos sistemas de representações planas das figuras espaciais, as principais funções dos desenhos são as seguintes: .• visualizar – fazer ver, resumir; .• ajudar a provar; .• ajudar a fazer conjecturas (o que se pode dizer). (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 125). O importante quando o aluno tem de representar um objeto geométrico por meio de um desenho, busque a relação entre a representação do objeto e suas propriedades e organize o conjunto do desenho de uma maneira compatível com a imagem mental global que tem o objeto. Os PCN ressaltam que as atividades de Geometria são propícias para que o professor construa junto com seus alunos um caminho que os leve a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas. Cita como exemplo o teorema de Pitágoras, no qual o professor propõe ao aluno um quebra-cabeça constituído por peças planas que devem compor, por justaposição, de duas maneiras diferentes, um modelo 224 material de um quadrado (figura a seguir). Utilizando o princípio aditivo relativo ao conceito de áreas de figuras planas, observa-se que a2 = b2 + c2. Diz-se então, que o teorema de Pitágoras foi “provado”. Figura 3.1 – Pitágoras (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS) Apesar da força que convencimento que a utilização desse tipo de material concreto tem para os alunos, eles não se constituem provas matemáticas. Esses tipos de experiências podem ser aceitas como “provas” no terceiro ciclo, mas, a partir do quarto ciclo, essas experiências devem servir como elementos desencadeadores de conjecturas e processos que levem a justificativas mais formais. O documento ainda coloca que existem casos em que a concretização utilizada distancia-se da prova formal adotada, na qual a exemplificação num contexto pode apenas desempenhar um papel de fontes de conjecturas a serem provadas formalmente. O documento traz como exemplo a comprovação 225 de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vale 180º, feita por meio da composição e decomposição de um modelo material de um triângulo. Figura 3.2 – Soma dos ângulos (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS) Para um aluno do quarto ciclo, a demonstração de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º recorre a axiomas e teoremas envolvendo um par conveniente de retas paralelas, que no entanto, não tem correspondente na concretização realizada acima. O documento traz, também, alguns problemas antigos onde se propõe que o professor trabalhe a questão da história da matemática – envolvendo o estudo de civilizações antigas e como estas se utilizavam os conceitos geométricos em seu cotidiano. 226 Figura 3.3 – Problemas antigos (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS) Ainda nesse documento, podemos ter como exemplo uma conexão entre os conteúdos da disciplina de Matemática e de outras disciplinas, conforme vemos na figura a seguir: 227 Espaço e formas: o lugar em que se vive; os objetos do entorno. Fig. 3.4 – Rede (Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 141). Alguns dos possíveis contextos das situações-problema: • formas e órbitas dos planetas; 228 • as embalagens das coisas – planificações, construções; • construção de maquetes; • as pirâmides do Egito; • guias da cidade e mapas; • decomposição da luz – prismas. CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 142). (PARÂMETROS 3.2. Análise do Livro Didático: “Matemática para todos”. Para esse momento, analisaremos a coleção de livros didáticos, para o ensino fundamental, intitulada “Matemática para todos” dos autores Luiz Márcio Imenes19 e Marcelo Lellis20, publicada pela Editora Scipione no ano de 2002. Os quatro volumes dessa coleção trazem, em sua apresentação, um texto destinado aos alunos, comentando sobre a importância de aprender matemática e quanto isso pode ser prazeroso, e um texto destinado aos pais desses alunos, relatando as diferenças entre como se “estudava matemática” antigamente e o seu estudo nos dias de hoje. Cada volume está dividido em capítulos que contém alguns itens, destacados a seguir: 19 Engenheiro civil (EPUSP), licenciado em Matemática (FFCLM) e mestre em Educação Matemática (UNESP). Autor de diversos livros didáticos. 20 Bacharel em Matemática (USP) tem atuado como professor de Matemática nos ensinos fundamental, médio e superior. Tem, também, assessorado o ensino de Matemática da educação infantil ao ensino médio em várias escolas públicas e particulares. 229 • O texto de introdução, em que é apresentado, ou discutido, o conteúdo matemático; • Conversando sobre o texto: neste item há questões sobre o texto, visando a troca de idéias entre os alunos, promovendo a exposição e organização do pensamento e reforçando o aprendizado; • Problemas e exercícios: banco de problemas e situaçõesproblema, em que se recomenda a resolução em sala de aula para que haja a discussão entre os alunos; • Problemas e exercícios para casa: visando buscar o trabalho individual de cada aluno, com a finalidade de comprovar a interiorização dos conceitos e técnicas aprendidas em sala de aula; • Um toque a mais: seção onde se amplia a conexão da matemática com o mundo, visando promover a reflexão e o desenvolvimento de competências de comunicação e de investigação. Na parte final de cada volume encontramos uma seção de “Problemas e exercícios complementares”, uma seção intitulada “Supertestes”, onde há testes envolvendo os conteúdos estudados, um “Dicionário” com alguns termos matemáticos encontrados no volume e um “Bloco de folhas especiais”, 230 organizado para “facilitar” algumas das atividades encontradas em cada volume. 3.2.1. A Geometria na Coleção “Matemática para todos”. Com relação ao tema de Geometria, encontramos os seguintes tópicos no Sumário da 5ª série do Ensino Fundamental: Capítulo 2 – Formas Tridimensionais; Capítulo 4 – Formas planas; Capítulo 7 – Construções geométricas; Capítulo 13 – Simetria. . No capítulo 2 é realizada uma abordagem inicial das formas tridimensionais destacando o estudo dos prismas, pirâmides, esfera e cilindros. Nesta abordagem, o texto, e as atividades, propõem ao aluno o reconhecimento dessas formas através de objetos comumente vistos no dia a dia, onde se busca identificá-los (nomenclatura), sempre relacionando o “ambiente” desse aluno. As atividades propõem a exploração das vistas dos objetos tridimensionais e de superfícies planas, e a construção e planificação desses objetos. 231 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 12. 232 No capítulo 4, intitulado “Formas planas”, é estudado, inicialmente, o conceito de ângulos através de observações, em que os autores fazem a correspondência do giro de uma régua como sendo um ângulo, conforme ilustração a seguir. Figura 3.5 – Giros e Ângulos (Imenes & Lellis, V. 5, 2002) A partir daí, são introduzidos os conceitos de ângulo raso, reto, agudo e obtuso, todo esse estudo realizado através de observação. As atividades propostas buscam aprimorar esse conceito usando objetos comuns, tais como: a abertura entre os ponteiros de um relógio, os cantos entre uma parede e o piso; o movimento de um robô. Feito isso, é realizado o estudo de retas perpendiculares e paralelas através da observação e investigação de mapas, de plantas, de construções com régua e esquadro, conforme vemos a seguir. 233 Figura 3.6 – Perpendiculares e paralelas (Imenes & Lellis, V. 5, 2002) As situações-problema propostas para o aprofundamento desse estudo estabelecem relações com o cotidiano do aluno. Seguindo nesse capitulo, encontramos um estudo sobre mosaicos abordando o conteúdo dos polígonos, em que encontramos a seguinte “definição”: 234 Polígonos são formas que somente têm contornos retos (IMENES & LELLIS, 5ª série, 2002, p. 69). A seguir, o capitulo traz uma abordagem sobre os quadriláteros “definindo-os” como sendo “polígonos que têm quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos”, identificando o quadrado, o paralelogramo, o retângulo e o trapézio. As propriedades dos quadriláteros são estudadas nos problemas e exercícios propostos, conforme vemos a seguir. 235 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 76 – 77. 236 237 No capitulo 7 desse volume são trabalhadas as construções geométricas em papel quadriculado, onde o aluno identifica as mudanças ocorridas quando se muda uma das escalas de construção. Também são trabalhadas as construções geométricas utilizando régua, esquadro e compasso, nas quais se foca o trabalho da matemática com a disciplina de arte e a construção de alguns polígonos regulares utilizando os instrumentos citados. Abaixo, mostramos um exemplo de problema trabalhado neste capítulo. Figura 3.7 – Problemas: retas (Imenes & Lellis, V. 5, 2002) 238 No capitulo 13 é abordado o estudo da simetria. Esse estudo traz o seguinte “quadrinho”, onde se “define” simetria: Figura 3.8 – Simetria (Imenes & Lellis, V. 5, 2002) Após isso, é trabalhado o conceito de simetria utilizando objetos que o aluno tenha uma familiaridade, como por exemplo, a imagem de uma figura através de um espelho, na qual o espelho passa a ser o eixo de simetria. Realizada essa abordagem inicial, o capitulo traz alguns exemplos e problemas em que o foco é a identificação do eixo de simetria de figuras dadas, caso exista. Também notamos o trabalho com dobraduras, conforme vemos a seguir. 239 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 5. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 207. 240 Percebemos que o conteúdo de geometria abordado nesse volume possui uma “linguagem matemática” bem próxima da linguagem do aluno nessa série. Os autores procuraram trabalhar esse tema utilizando exemplos e materiais que esses alunos estão acostumados a ver em seu cotidiano. No volume destinado a 6ª série dessa coleção, encontramos os seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria: Capítulo 2 – Construções geométricas; Capítulo 8 – Mapas e localização; Capítulo 14 – Geometria tridimensional; O capítulo 2, que aborda as construções geométricas, inicia com o estudo do conceito de ângulo, citando-o como sendo muito utilizado para realizar essas construções. Aborda, também, a nomenclatura dos triângulos em relação aos ângulos que possuem: retângulo, acutângulo e obtusângulo. O texto traz, utilizando uma linguagem “simples”, a importância dos ângulos e como eles estão presentes no cotidiano como, por exemplo: entre os ponteiros de um relógio, as linhas das vagas de estacionamento, na determinação das rotas dos aviões e etc. Nesse mesmo texto encontramos a seguinte construção de um ângulo de vértice P cuja medida é 37º. 241 Figura 3.9 – Medida de ângulo (Imenes & Lellis, V. 6, 2002) Nos “Problemas e exercícios” dessa parte notamos que o foco é o trabalho com régua, esquadro e transferidor para a construção de ângulos, a determinação da medida de um ângulo dado e a comparação entre as medidas de ângulos. Alguns exercícios trazem conceitos novos ao aluno, conforme vemos a seguir. 242 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 27. 243 Depois é realizado o estudo do conceito de circunferência, em que se utilizam alguns fatos históricos de civilizações antigas e de sociedades indígenas do Brasil. Encontramos a seguinte característica para a circunferência: “ter todos os pontos a igual distância do centro”. C raio Figura 3.10 – Circunferência Nos problemas e exercícios propostos para esse estudo encontramos um trabalho com a construção de circunferências, utilizando o compasso; exercícios que abordam conceitos já estudados e situações-problema que abordam os conceitos de diâmetro e cordas, os quais não foram abordados no texto de introdução. 244 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 31. 245 Realizado o estudo com a circunferência, o capítulo inicia o estudo de simetria. Diferentemente do estudo realizado na série anterior, nesse volume inicia-se o estudo a partir do “losango”, no qual se localiza o eixo de simetria e, novos assuntos são abordados, tais como: ponto médio, simetria axial e simetria de rotação. Os exercícios propostos nessa parte trabalham com a identificação dos eixos de simetria e com a quantidade de eixos que cada figura têm, também se trabalha com a medida do ângulo no caso da simetria rotacional. Alguns problemas relacionam a simetria com a arte e com a óptica. Na seção “Ação”, encontrada logo depois do estudo de simetria, trabalha-se com o conceito da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ser 180º através de dobraduras, em que o aluno é quem realiza essa investigação e chega a essa conclusão. Nos exercícios propostos para essa parte, além de se trabalhar com o cálculo da medida de um ângulo num triângulo, conhecendo-se os outros dois, inicia-se o trabalho com a determinação da medida dos ângulos de polígonos regulares, conforme vemos a seguir. 246 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 41 – 42. 247 248 No capítulo 8, intitulado “Mapas e localização”, é realizado um trabalho com as “vistas”, frontal, lateral e superior de figuras e com a localização em mapas, fazendo-se relação com a determinação das coordenadas de pontos num plano cartesiano. Nessa parte percebemos que, tanto no e texto informativo quanto nos problemas propostos, há sempre a intenção de relacionar os conceitos matemáticos abordados com o cotidiano do aluno, utilizando uma linguagem apropriada para os alunos dessa série. O capitulo 14 trabalha com a geometria tridimensional. Inicialmente é realizado o estudo dos poliedros, no qual o texto procura trazer exemplos de poliedros encontrados na natureza e de construções realizadas pelo homem. Os autores trazem a seguinte diferenciação entre formas tridimensionais poliédricas e não poliédricas: Os poliedros são formas tridimensionais poliédricas, volumétricas. Há, porém, formas tridimensionais que não são poliédricas, como esferas, cilindros e cones. A diferença entre essas formas é que a superfície de um poliedro é formada por polígonos, que são figuras planas (IMENES & LELLIS, 6ª série, 2002, p. 242). Nos problemas e exercícios propostos para essa parte exigem que o aluno reconheça o que são poliedros; as características entre os diferentes poliedros; o trabalho com vértices, arestas e faces; as relações entre os diferentes poliedros, a classificação dos mesmos e suas planificações. Na maior parte dos problemas nota-se que o aluno é “instigado” a refletir sobre os conteúdos estudados. 249 Seguindo o capítulo, encontramos um estudo sobre a classificação das formas geométricas, no qual é retomada a abordagem sobre figuras planas e espaciais. Nas figuras planas, há a separação entre os polígonos e não polígonos, enquanto que nas espaciais há a separação entre os poliedros e não poliedros. No final desse capítulo, na seção “Um toque a mais”, encontramos um texto que trabalha a “Geometria da bola de futebol”, conforme vemos a seguir. 250 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 6. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 251 – 252. 251 252 No volume destinado a 7ª série desta coleção, encontramos os seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria: Capítulo 3 – Construções geométricas; Capítulo 6 – Ângulos, paralelas e polígonos; Capítulo 8 – Simetrias; Capítulo 10 – Desenhando figuras espaciais; Capítulo 12 – Áreas e Volumes; Capítulo 14 – Geometria experimental. No capitulo 3 desse volume, intitulado “Construções geométricas”, é realizada uma abordagem que visa a utilização e “familiarização” de instrumentos como: régua, compasso, esquadro e transferidor, para a realização de construções de figuras planas e espaciais. Nesse sentido, notamos uma retomada dos conceitos abordados nas séries anteriores, porém, em alguns problemas e exercícios dessa parte o aluno aprende conceitos novos, nos quais há sempre algum comentário. Nos problemas e exercícios propostos é pedido que o aluno construa algumas figuras geométricas, rotas realizadas por automóveis ou aviões, a montagem de caixas, pirâmides e cones, utilizando, sempre, os instrumentos comentados acima; que meçam algumas distâncias, que reflitam sobre algumas propriedades durante a realização dessas construções. Nesses problemas, notamos uma maneira lúdica de fazer o aluno aprender os conceitos geométricos. 253 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 43 e p. 45. 254 No final deste capítulo, na seção “Um toque a mais”, encontramos um texto que relaciona o “origami” com a matemática e com os conceitos que o aluno aprendeu durante o capítulo. 255 No capítulo 6, encontramos um estudo sobre os ângulos, as paralelas e os polígonos. Inicialmente, essa parte aborda algumas propriedades dos ângulos como: ângulos opostos pelo vértice; o estudo dos ângulos formados entre retas paralelas “cortadas” por uma reta transversal: correspondentes, alternos internos e alternos externos. A seguir, trazemos a abordagem realizada neste volume para a conclusão de que os ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais. [...] podemos provar que ângulos desse tipo (opostos pelo vértice) sempre têm medidas iguais. Veja a figura e acompanhe a prova ao lado dela. a + c = 180º. Portanto, a = 180º – c. b + c = 180º. Portanto, b = 180º – c. Conclusão: a = b (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, c b a p. 86). Nos problemas e exercícios propostos para essa parte, além dos conteúdos abordados no texto inicial, encontramos a abordagem de outros conceitos que o aluno “vai” identificando através a realização dos problemas, tais como: a medida de ângulos internos de um polígono e ângulos externos. Percebemos, nesses problemas, o trabalho com a álgebra, com grandezas e medidas, nos quais o aluno é “levado” a refletir sobre os conceitos geométricos já estudados e institucionalizados conceitos novos. 256 Após isso, é realizada a “prova” de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. A abordagem que esse volume traz encontramos abaixo. Considere este triângulo ABC, no qual estão assinalados os ângulos internos e suas medidas. A a B b c C Agora, traçamos a reta u, paralela ao lado BC, passando pelo vértice A. A q p a B b c C Sabemos que p = b e q = c (medidas de ângulos alternos internos) Como p + a + b = 180º, concluímos que b + a + c = 180º ou a + b+ c = 180º (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 94). Nos problemas e exercícios propostos dessa parte encontramos o trabalho com os conceitos abordados no texto e outros conceitos que são introduzidos ao longo da realização dos problemas como a conclusão de que a medida do ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo e, que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, conforme vemos a seguir. 257 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 90 – 91. 258 259 Seguindo esse capítulo, é abordado o estudo da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono, no qual, a partir do estudo realizado com a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, se chega a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero e do pentágono. Nessa abordagem inicial não é realizada a generalização para a soma dos ângulos internos de qualquer polígono, o que encontraremos nos problemas e exercícios propostos. Nos problemas e exercícios propostos para essa parte encontramos situações que levam o aluno a generalizar maneira para descobrir a soma dos ângulos internos de qualquer polígono, nas quais notamos uma seqüência didática para isso, conforme vemos a seguir. 260 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 100. 261 Realizado esse estudo, o capítulo inicia uma abordagem quanto a classificação dos polígonos, em que o critério para essa classificação são: as medidas dos lados e as medidas dos ângulos, concluindo, ao final desse estudo que os “polígonos regulares são aqueles que têm lados e ângulos de mesmas medidas”. Abaixo, colocamos uma abordagem, encontrada na página 105 desse volume, na qual se relacionam os conceitos estudados nesse capítulo com a teoria dos conjuntos. Figura 3.11 – Polígonos e teoria dos conjuntos (Imenes & Lellis, V. 6, 2002) No capítulo 8 é realizado o estudo dos tipos de simetria: simetria axial, simetria de rotação e simetria central. Esses estudos são realizados através de exemplos, figuras geometrias ou observações da natureza, em que se chega aos conceitos matemáticos, conforme vemos a seguir. 262 • Simetria axial: e R' R U' U I' I O triângulo RUI é simétrico do triângulo R’U’I’ em relação ao eixo e. Repare que a reta é perpendicular aos segmentos RR’, UU’ e II’, além de passar pelo ponto médio deles, dizemos que o eixo é a mediatriz desses segmentos de reta (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 134). • Simetria de rotação: I U E F 60º L R C Fazendo cada vértice do triângulo FUI girar 60º em torno de C, obtemos o triângulo LER. Dizemos que um é a imagem do outro por uma rotação de 60º. Os pontos simétricos por essa rotação são F e L, U e E, I e R (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 135). • Simetria central: A simetria central é um caso especial de simetria de rotação. Quando a rotação é de 180º, costumamos dizer simplesmente simetria central, no lugar de simetria de rotação para 180º. 263 E S A T O T' A' S' E' Girando 180º em torno de O, o quadrilátero SETA cai sobre o quadrilátero S’E’T’A ‘. Os dois são simétricos em relação ao centro O, daí o nome simetria central (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 136). Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham com o conteúdo abordado até então, nos quais o aluno necessita identificar os eixos de simetrias, realizar algumas construções de figuras geométricas utilizando simetria, identificar o tipo de simetria e a construção de mosaicos a partir das simetrias. 264 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 145. 265 Feito esse estudo, o texto relaciona a simetria com as propriedades geométricas, tais como: bissetriz de um ângulo, em que é “definida” como sendo “a semi-reta que seciona o ângulo em dois ângulos iguais” e a propriedade de que as “diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio”. Nessa parte, esse estudo é “fixado” e ampliado através dos problemas e exercícios propostos, o quais trabalham a simetria e as propriedades estudadas, levando o aluno a refletir sobre algumas construções. No capítulo 10, “Desenhando figuras espaciais”, notamos que o intuito é desenvolver a percepção espacial do aluno. Inicialmente é realizado o trabalho com malhas triangulares e quadriculares para depois trabalhar com desenhos em perspectiva, no qual este conceito é enfatizado com a arte. Os textos que esse capítulo traz leva o aluno a refletir sobre os conceitos geométricos estudados relacionando-os com o mundo em que vive. A seguir, podemos ver algumas ilustrações contidas nesse capítulo sobre o uso da “perspectiva” em artes. 266 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 179. 267 No capítulo 12 encontramos o estudo de áreas e volumes, mas vamos apenas nos atentar para o estudo do Teorema de Pitágoras, que está contido nesse capítulo. A abordagem desse teorema é feita a partir de desenhos, exemplos de aplicação no cotidiano e um pouco de historia, na qual é levado a “fórmula”, destacando que nos triângulos retângulos existe uma relação entre as medidas dos lados. O texto traz a seguinte definição. Em todo triângulo retângulo, sendo a, b e c as medidas dos lados (a é a do lado maior), vale a relação: a c a2 = b2 + c2 b Esta descoberta é considerada uma das mais importantes da história da matemática e a propriedade acima é conhecida como relação de Pitágoras (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 221). Após essa “definição” o texto traz um “quadrinho” no qual as personagens conversam sobre a dificuldade de aceitar essa relação sem nenhuma demonstração ou prova. A partir disso, o texto traz a “prova” dessa demonstração usando os conceitos de área aprendidos no capítulo, conforme vemos a seguir. [...] Vamos usar nossos conhecimentos sobre álgebra e cálculo de áreas e provar que ela é sempre verdadeira. 268 Com um quadrado e quatro triângulos retângulos iguais entre si (mas sem nenhuma outra característica especial), podemos compor um outro quadrado maior, como mostra a figura: c b c a b a a b c a c b O quadrado maior tem lado b + c. Dentro dele, o quadrado menor tem lado a e os quatro triângulos retângulos iguais têm lados perpendiculares b e c. As áreas dessas figuras são: • área de cada triângulo: b.c 2 • área do quadrado menor: a2 • área do quadrado maior (ou da figura toda): (b + c)2 A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado menor. Ou seja: (b + c)2 = 4. b.c + a2 2 (b + c).(b + c) = 2bc + a2 b2 + bc + bc + c2 = 2bc + a2 b2 + c2 = a2 Uma propriedade obtida por meio de uma dedução é um teorema. Esse que vimos é o teorema de Pitágoras (IMENES & LELLIS, 7ª série, 2002, p. 222). Os exercícios e problemas propostos nessa parte trabalham com a relação de Pitágoras, através das áreas, e com o uso de seu teorema aplicado em situações-problema contextualizadas, conforme vemos a seguir. 269 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 7. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 223 e p. 225. 270 271 No capítulo 14, intitulado Geometria experimental, o texto aborda, inicialmente, a questão da proporcionalidade entre as medidas de figuras objetivando o conceito de figuras semelhantes. Nesse capítulo, observamos uma abordagem bem experimental que leva o aluno a “tirar” suas conclusões sobre figuras semelhantes. Nos problemas e exercícios propostos percebemos que as atividades levam o aluno a refletir e chegar a conclusão de que as figuras semelhantes têm as medidas dos lados proporcionais e ângulos iguais. Também há uma introdução sobre a homotetia. Como já dissemos, esse capítulo traz uma abordagem bem experimental, na qual há muitas atividades para que o aluno chegue às conclusões objetivadas. No volume destinado a 8ª série desta coleção, encontramos os seguintes capítulos relacionados ao tema de Geometria: Capítulo 1 – Semelhança; Capítulo 7 – Geometria dedutiva; Capítulo 9 – Trigonometria; Capítulo 11 – Construções geométricas. No capítulo 1 encontramos o estudo da semelhança entre figuras. Diferentemente da abordagem realizada na 7ª série, nesse capítulo trabalha-se com a ampliação e redução de figuras e logo a seguir já traz a “definição” de figuras semelhantes, conforme segue: 272 Dois polígonos são semelhantes simultaneamente, duas condições: quando satisfazem, • as medidas dos lados que se correspondem são proporcionais; • as medidas dos ângulos que se correspondem são iguais (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 7). A partir daí, o texto traz um exemplo que identifica a razão de proporção entre os lados correspondentes de duas figuras. Com os conceitos já estudados, o texto traz uma outra maneira de se construir figuras semelhantes, conforme vemos a seguir. • Para ampliar ou reduzir este polígono de 5 lados, marcamos um ponto O (o pólo) e traçamos as semi-retas AO, OB, OC, etc. B A D E O C • Para duplicar o polígono, marcamos o ponto A’ sobre a semireta AO de modo que AO’ = 2.OA. Usar o compasso diminui o trabalho. [...] • Da mesma forma, fazemos OB’ = 2.OB, OC’ = 2.OC, etc. 273 B' A' D' B A D E' C' E C O • Para completar, ligamos A’ com B’ com C’, etc. Neste exemplo, a ampliação é de 1 para 2. B' A' D' B A D E' C' E O C Nesse processo de ampliação ou redução a partir de um pólo, obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas. Essa relação entre duas figuras chama-se homotetia. A palavra vem do grego (homós – igual + thetos – colocado + ia) e se referem ao fato de as figuras estarem igualmente colocadas, igualmente dispostas. Também dizemos que são figuras homotéticas (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, pp. 8 – 9). A partir desses conceitos são propostos problemas e exercícios aos alunos para verificar se houve a aprendizagem e em alguns problemas, com figuras geométricas, são abordados esses conceitos, nos quais o aluno identifica se as figuras dadas são ou não semelhantes. 274 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 12 – 13. 275 276 Seguindo esse capítulo encontramos um estudo sobre figuras e triângulos semelhantes, em que se chega a conclusão de que basta conhecer os ângulos dos triângulos para dizer se são ou não semelhantes, enquanto que nas demais figuras é preciso saber se os lados correspondentes são proporcionais, conforme descrito a seguir: [...] Basta que dois triângulos tenham respectivamente iguais para serem semelhantes. os ângulos Essa propriedade só é valida para os triângulos, ou seja, não se aplica a outros polígonos [...]. A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos. Aliás, basta conhecer dois ângulos, pois o terceiro é o que falta para a soma dos três dar 180º (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 15). Nos problemas e exercícios propostos para essa parte é trabalhada a identificação de semelhança entre triângulos e o calculo da medida de um de seus lados usando o conceito de semelhança. Alguns também abordam conceitos não estudados pelos alunos, mas que eles “chegam” a essa a conclusão desse conceito. 277 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 18 – 19. 278 Continuando o capítulo, encontramos o estudo de semelhança no triângulo retângulo, em que, a partir do conceito de semelhança, se chegam as 279 relações métricas no triângulo retângulo. A seguir, mostraremos uma demonstração encontrada nesse volume. [...] H H C B A A Seus lados são respectivamente proporcionais: AH CH = BH AH Multiplicando os dois lados da igualdade por BH, vem: CH.BH AH = AH E, multiplicando os dois lados por AH, fica: (AH)2 = CH.BH Veja como se lê essa fórmula: A C H B O quadrado da medida da altura é igual ao produto das medidas dos dois segmentos formados na hipotenusa (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 25). Os problemas e exercícios propostos trabalham com essa relação e em alguns é pedido ao aluno que “demonstre” as outras relações encontradas no triângulo retângulo. Também encontramos muitos exercícios para determinar a medida de um lado do triângulo envolvendo os conceitos estudados no texto e as demonstrações que os alunos desenvolveram nos problemas e exercícios anteriores. 280 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 27 – 28. 281 282 Continuando o capítulo, é retomado o estudo do teorema de Pitágoras, em que é apresentada uma demonstração utilizando o conceito de semelhança e as relações métricas do triângulo retângulo estudado nesse capítulo, conforme vemos abaixo. Na 7ª série, o teorema de Pitágoras foi demonstrado com base no cálculo de áreas. Agora, chegaremos a mesma conclusão por outro caminho. Na figura, sabemos que: 2 c b b = a.m c2 = a.n m n Vamos somar as duas igualdades: b2 + c2 = a.m + a.n Agora, fatoramos a expressão a.m + a.n, colocando o fator a em evidência: b2 + c2 = a.(m + n) Veja, na figura, m + n = a. Logo: b2 + c2 = a.a. Ou seja: b2 + c2 = a2. Assim, deduzimos o teorema de Pitágoras usando as fórmulas que foram deduzidas com base na semelhança de triângulos (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 30). Os problemas e exercícios dessa parte trabalham com o teorema de Pitágoras e com os conceitos de semelhança. Em alguns problemas encontramos contextualização com situações do cotidiano. 283 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, p. 32. 284 No capítulo 7, esse volume inicia o estudo da Geometria dedutiva, no qual é proposto ao aluno, a partir de situações-problema, que prove ou deduza alguns dos conceitos geométricos estudados até essa série, tais como: a soma dos ângulos internos de um polígono, a relação do ângulo externo de um triângulo como sendo igual a soma dos ângulos internos não adjacentes etc. Realizada essas “provas” e “reflexões”, este capítulo inicia o estudo dos ângulos na circunferência. Inicialmente, encontramos a prova de que a medida do ângulo central mede o dobro da medida do ângulo inscrito, conforme vemos a seguir: Sabemos que o triângulo OPB é isósceles, porque OP = OB ^ ^ (raios). Se OPB mede b, então OBP também mede b. P Lembrando agora que, “em qualquer triângulo, a medida do ângulo externo em um vértice é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos outros dois vértices” e notando que o b O b ^ a ângulo AOB é externo para o triângulo OPB, resulta: B A a = b + b ou a = 2.b, que é o que queríamos provar (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 134). Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham os conceitos abordados, utilizam instrumentos de medidas, transferidor, régua etc, e alguns usam a contextualização desses conceitos em situações-problema. 285 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 136 – 137. 286 287 Após esse estudo, é realizada uma revisão do conceito de paralelismo para abordar o teorema de Tales, em que é realizada a seguinte demonstração: [...] Partimos desta figura: r x a s b y t r // s // t Traçamos AD e BE, paralelos a FH: A r F x a B s D G b y t C E H Os triângulos ABD e BCE são semelhantes porque têm ângulos AB AD a AD = ou = . respectivamente iguais. Logo: BC BE b BE Como os quadriláteros são paralelogramos, resulta: AD = x e a x BE = y. Portanto: = . Isso é o que queríamos provar. b y [...] O teorema de Tales pode ser enunciado assim: Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, então as medidas dos segmentos correspondentes que estão 288 sobre as transversais são diretamente proporcionais (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 140). Os problemas e exercícios propostos nessa parte trabalham com a aplicação do teorema de Tales e os conceitos geométricos estudados até então. Em alguns casos é pedido ao aluno que “prove” certas relações. Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 141 – 142. 289 290 No capítulo 9, intitulado Trigonometria, encontramos um texto que comenta sobre o uso da trigonometria no cotidiano e a utilização desse conceito ao longo da historia. A abordagem do conceito de trigonometria, desenvolvida no texto, “vai” trabalhando algumas relações entre as medidas dos lados, comparando com os ângulos de cada triângulo estudado, na qual se destaca a seguinte característica: cateto oposto depende apenas do ângulo e cateto adjascente não do triângulo. Assim, a razão [...] O triângulo pode ser minúsculo ou gigantesco, não importa, o valor do quociente é sempre o mesmo. Esse quociente entre os catetos chama-se tangente do ângulo [...] (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 161). A partir desse conceito são propostos problemas e exercícios ao aluno abordando o que foi aprendido e, logo depois são trabalhadas as relações trigonométricas: seno e cosseno. Nessa parte, muitos dos exercícios propostos trabalham os conceitos desenvolvidos em situações-problema aplicadas no cotidiano, tais como: medir a altura de uma montanha, o comprimento de sua base ao seu pico, a largura de um rio e etc, conforme vemos a seguir. 291 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 164 – 165. 292 Realizado esse estudo, o capítulo inicia uma abordagem sobre os polígonos inscritos e circunscritos, em que o foco é utilizar as razões trigonométricas para a determinação de medidas desses polígonos. 293 No capítulo 11, denominado “Construções geométricas”, percebemos que a abordagem utilizada, por meio de situações-problema e exercícios, visa retomar os conceitos geométricos estudos pelo aluno ao longo de todo o ensino fundamental. Nesse sentido, encontramos conceitos como: simetrias, relação de desigualdade nos triângulos, desenhando em perspectiva e etc. Notamos que nesse capítulo é introduzido, na verdade apenas um comentário, do caso de congruência de triângulos, mais especificamente o caso Lado – Lado – Lado. Os autores orientam o professor a trabalhar esses casos de congruência, mas não há na coleção um material de apoio para isso. A seguir, vemos o texto que aborda o caso de congruência LLL e algumas situações-problema encontradas no capítulo. [...} imagine um quadrilátero construído com ripinhas de madeira e parafusos nos vértices. Compare-o com um triângulo construído da mesma forma. Há uma grande diferença no comportamento desses dois polígonos. 294 Devido a essa propriedade, dizemos que as medidas dos quatro lados não determinam o quadrilátero, isto é, não o caracterizam de forma única. Por outro lado, a rigidez geométrica do triângulo significa que as medidas dos três lados determinam o triângulo, isto é, dois triângulos cujos lados têm respectivamente as mesmas medidas são absolutamente iguais (ou congruentes). Esse fato é conhecido como caso LLL de congruência de triângulos; a sigla LLL significa lado-lado-lado (IMENES & LELLIS, 8ª série, 2002, p. 214 – grifo nosso). 295 Fac-símile do livro “Matemática para todos”, Imenes & Lellis. V. 8. Editora Scipione. São Paulo. 2002, pp. 216 – 217. 296 297 3.3 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a coleção Matemática para todos. Analisando os Parâmetros Curriculares Nacionais com a coleção Educação Matemática, percebemos que os conteúdos e as orientações didáticas que o documento oficial trazem em seu corpo são contemplados nesta coleção, com exceção do conteúdo de Congruência de triângulos, em que, como já dissemos, há apenas uma orientação dada ao professor, para que se trabalhe tal conteúdo, mas não há um texto de apoio. Notamos que os autores dessa coleção buscaram apresentar o conteúdo de Geometria de uma forma mais dinâmica e interativa para o aluno, quando se propõe a investigação de algumas propriedades geométricas por meio do uso de material concreto, por exemplo, o caso da soma dos ângulos internos de um triângulo, em que é proposta a utilização de dobraduras para verificar essa propriedade. Nessa coleção, o que nos chamou muito a atenção foi o fato de que nas situações-problema e nos exercícios propostos o aluno é estimulado a refletir sobre o conteúdo estudado e suas características e também é “levado” ao conhecimento de outros conceitos, em que, através de seqüências didáticas, o próprio aluno valida ou não suas hipóteses. 298 Também percebemos que os conteúdos estudados em determinado momento fazem uma revisão daqueles já estudados por esse aluno, ampliando, gradativamente, os seus conhecimentos. Analisando os textos e os exercícios propostos por essa coleção, percebemos que o aluno é estimulado a refletir sobre as propriedades matemáticas a partir de situações contextualizadas. Nessa perspectiva, podemos notar que o aluno vai “construindo” o seu conhecimento a partir do que ele já conhece, a partir de suas análises do objeto em questão. Por esses motivos consideramos que essa coleção teve uma abordagem segundo o Modelo Construtivista. 300 Capítulo 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS. FINAIS. Analisando documentos oficiais e coleções de livros didáticos de três momentos de reformas curriculares, procuramos responder as seguintes questões: • Quais foram as mudanças ocorridas no ensino de Geometria da década de 60 ao momento atual? • Analisando as prescrições curriculares para o ensino de Geometria, como elas foram interpretadas pelos autores de livros didáticos selecionados para esta pesquisa? Com relação às mudanças ocorridas, foi possível fazer observações, nos documentos oficiais e nos livros didáticos sobre: as finalidades ou objetivos gerais do ensino de geometria; os conteúdos indicados para o trabalho no segmento analisado (quatro últimas séries do ensino fundamental de 8 anos); a abordagem metodológica dominante e os recursos didáticos utilizados; a ênfase conferida ao processo de formalização, ou ao processo de descoberta ou ao processo de investigação; a preocupação com a linguagem, com a contextualização e com as aplicações; a preocupação com as peculiaridades e possíveis interesses dos alunos dessa faixa etária (de 11 a 14 anos); o papel do professor e do aluno em relação ao saber geométrico. 301 Finalidades do ensino de geometria: Na tabela abaixo, mostramos a diferenciação da concepção de ensino de geometria apresentada na Proposta Curricular para o ensino de 1º grau (1992, p. 181) entre o que pretendia e o que constava dos Guias Curriculares. GUIAS CURRICULARES PROPOSTA CURRICULAR • Objetivos gerais inovadores, como o desenvolvimento da intuição geométrica, aquisição de habilidades em construções geométricas, e processos de medidas, etc. Opção pelo ensino da Geometria a partir da manipulação, exploração de objetos do mundo físico, reconhecimento das formas mais freqüentes de sua caracterização, através das propriedades, do encadeamento e relacionamento • Propõe trabalhar a noção de entre elas, caminhando para uma transformação, até hoje axiomatização provisória no final do inviabilizada. 1º grau. • Ênfase na utilização da linguagem dos conjuntos na geometria – o que desviou a atenção das propriedades geométricas Com relação aos PCN encontramos uma abordagem onde é enfatizado o trabalho das construções geométricas, com o uso de régua e compasso, a visualização de figuras onde o aluno possa aplicar as propriedades de cada figura e relacione-as com outras propriedades. Nesse sentido, o trabalho com as transformações geométricas ganha destaque, o que não havia no documento da Proposta Curricular, pois permite o desenvolvimento da percepção espacial e permite que o aluno “descubra” as condições necessárias para que duas figuras sejam semelhantes e/ou congruentes. 302 Nas coleções aqui analisadas, percebemos que trabalham as recomendações e conteúdos orientados nos documentos oficias, mesmo que em séries diferentes. Conteúdos indicados para o trabalho no segmento analisado e a abordagem desses conteúdos. Com relação aos conteúdos indicados para cada ano desse segmento, reunimos as informações extraídas de cada um dos documentos no quadro abaixo para estabelecer comparações: 5ª. série 6ª. série Guias Curriculares Conceitos Geométricos, noções de reta, semi-reta, segmento de reta Identificação de figuras geométricas. Noção de circunferência e de circulo. Proposta Curricular Noções de reta, semi-reta e segmento de reta. Alturas de triângulos, paralelogramos e trapézios: identificação e construção com esquadro. Noção de circunferência: conceito de círculo, circunferência, superfície esférica, esfera. Elementos de uma circunferência: centro, raio, corda, diâmetro, arco. Elementos de uma esfera: centro, raio, corda, diâmetro, arco e circunferência máxima. Posições relativas de duas circunferências. Posições relativas de uma reta e uma circunferência. Divisão da circunferência em partes iguais. Geometria intuitiva, congruência de Circunferência e ângulo. Conceito de ângulo. Parâmetros Curriculares Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da posição de pontos e de seus deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em um sistema de coordenadas cartesianas. Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, escrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura própria. Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, 303 7ª. série segmentos de retas, de ângulos, ângulo determinado por duas retas paralelas e uma transversal, construção de figuras geométricas com o uso de instrumentos: régua, compasso e transferidor. Noção de polígono regular e sua construção. Classificação dos ângulos quanto à medida. Classificação dos triângulos quando à medida de seus ângulos internos. Perpendicularismo entre retas e segmentos de reta. Perpendicularismo entre retas e planos. Bissetriz de um ângulo. Ângulos adjacentes e opostos pelo vértice. Ângulos formados por retas coplanares cortadas por uma transversal. Verificação experimental e demonstração do teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Noção de polígono regular. Construção de polígonos com auxilio de régua e transferidor ou com régua, compasso e transferidor. Figuras geométricas planas, curvas fechadas. Conceito de polígonos, diagonais de polígonos. Estudo dos triângulos, Diagonais de um polígono. Conceito. Propriedades das diagonais de um paralelogramo. polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. Composição e decomposição de figuras planas. Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros. Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície). Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área). Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números. Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança de direção e pelo seu reconhecimento em figuras planas. Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. (*) Representação e interpretação do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por um 304 8ª. série congruência de triângulos. Demonstração dos casos de congruência. Estudo dos quadriláteros. Posições relativas entre circunferências. Posições relativas entre retas e circunferência. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência. Simetria axial e central. Estudo da semelhança. Teorema fundamental da proporcionalidade. Feixe de paralelas. Teorema de Tales. Demonstração do teorema de Tales. Semelhança de triângulos. Homotetia. Razões trigonométricas. Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras. Demonstração do teorema de Pitágoras. Relações métricas num triângulo qualquer. Relações métricas no circulo. Relações métricas nos polígonos regulares. Verificação experimental. Número de diagonais de um polígono. Teorema de Pitágoras. Verificação experimental. Demonstração e generalização. Congruência de figuras planas. Congruência de triângulos e aplicações. Semelhança. Semelhança de figuras planas. Teorema fundamental da proporcionalidade. Verificação experimental e demonstração. Teorema de Tales e aplicações. Verificação experimental e demonstração dos casos de semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo. Demonstração do Teorema de Pitágoras. Relações métricas nos polígonos regulares. Cálculo do lado e do apótema de um polígono inscrito numa circunferência de raio dado. segmento de reta orientado. Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras obtidas. Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares). Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas. Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e compasso. Identificação de ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais. Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um polígono convexo para os polígonos não-convexos. Resolução de situaçõesproblema que envolvam a obtenção da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e 305 transferidor. Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas a partir de transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície). Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos. Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso. (*) (*) Nos PCN os conteúdos são propostos para o Terceiro Ciclo (correspondente a 5ª e 6ª séries) e Quarto Ciclo (correspondente a 7ª e 8ª séries). Em nossa analise dos livros didáticos percebemos que nas décadas de 60 e 70 a demonstração dos conceitos geométricos era muito abordada, principalmente nos casos de congruência de triângulos. Apesar de esse período ter enfatizado o trabalho com as transformações geométricas, o livro aqui analisado esse conteúdo aparece apenas no apêndice. Notamos que a linguagem utilizada no livro era muito formal e técnica, onde o aluno tinha que resolver enormes listas de exercícios sem contextualização, apenas para aplicação dos conceitos aprendidos. Apesar do livro “propor” uma participação do aluno, a nosso ver, isso não acontecia, o professor era quem tinha o conhecimento e repassava-o para o aluno, no caso, o receptor desse conhecimento. 306 Na época das Propostas Curriculares percebemos um trabalho a partir da experimentação, na qual os alunos chegavam a concluir alguns conceitos por meio do uso de recortes e dobraduras. Nessa época, o trabalho com as transformações geométricas já não aparece, o que ocorre no livro analisado por nós. Também notamos que o conteúdo de congruência e semelhança ganha destaque. Na abordagem utilizada pelo livro “A conquista da matemática”, notamos que visava uma maior participação do aluno, onde ele demonstrava alguns conceitos através da “experimentação”, como dobraduras e etc, a linguagem utilizada também já se aproxima mais da linguagem do aluno. A partir do PCN notamos que o trabalho com a geometria inicia de forma intuitiva, partindo de conhecimentos que o aluno traz através de sua vivência em sociedade, de sua familiaridade com os conceitos geométricos. Ao longo do ensino fundamental esse conhecimento “torna-se melhor elaborado” a partir de situações-problema que contextualizam os conceitos matemáticos. Na coleção analisada para essa época, “Matemática para todos”, percebemos que a abordagem partia de situações-problema nas quais o aluno, a partir de seus conhecimentos prévios, adquiria outros conhecimentos geométricos. A resolução de problemas e a contextualização dos conceitos matemáticos são marcantes nessa coleção. Percebemos que o aluno tem papel fundamental na construção do seu conhecimento, o papel de investigador, enquanto que o professor desempenha o papel de mediador desse conhecimento, propondo atividades desafiadoras que levam o aluno a 307 adquirir, através de suas próprias reflexões e conjecturas, outros conhecimentos. Considerações finais Para finalizar nosso trabalho gostaríamos de destacar a importância deste estudo para nossa formação profissional. A compreensão das propostas curriculares atuais depende de um conhecimento das tendências que as influenciam mas também dos acontecimentos anteriores. De modo geral, em nossa formação inicial e continuada, nós professores de Matemática não somos estimulados a refletir sobre questões de natureza curricular nem de natureza didática o que traz sérias dificuldades para definir objetivos de aprendizagem, selecionar conteúdos, planejar boas situações de aprendizagem e escolher recursos didáticos adequados. Nesse estudo verificamos que na década de 60, o avanço tecnológico ocorrido nessa época propiciou a iniciação de um movimento que buscava ligar as novas tecnologias, o que se via de novo nas ciências, com o conteúdo ensinado nas escolas. Era uma época em que o cidadão precisava ter uma formação segundo as exigências das indústrias que vinham surgindo – o período do Movimento da Matemática Moderna. Vimos que o Professor Osvaldo Sangiorgi foi um grande nome nesse Movimento e responsável pela primeira publicação de livros didáticos que 308 continham as propostas da Matemática Moderna no Brasil. Juntamente com o GEEM – Grupo de Estudo do Ensino da Matemática, promoveu e divulgou as idéias da Matemática Moderna no Estado de São Paulo e em todo o país. Aliás, esse Grupo foi responsável por organizar e desenvolver cursos preparatórios para professores de Matemática com intuito de viabilizar a difusão das idéias do movimento nas salas de aula. Em sua obra, Matemática – Curso Moderno, analisada neste trabalho, Sangiorgi incorporou a teoria dos conjuntos, tão difundida na época. Com relação aos conteúdos destinados ao tema de Geometria, percebemos que as mudanças foram “tímidas”. Não podemos deixar de citar que foi nesse estudo, o da Geometria, que os autores tiveram a maior dificuldade de introduzir as propostas da Matemática Moderna. Verificamos que o conteúdo de “transformações geométricas”, tão enunciadas nesse Movimento, só foi abordado no Apêndice do terceiro volume, destinado a 3ª série ginasial (atual sétima série), e de maneira bem menos detalhada do que os outros conteúdos desse tema. A justificativa dada por Sangiorgi a respeito de apresentar o estudo das transformações geométricas apenas no apêndice de seu livro é que o conteúdo da terceira série ginasial é muito extenso, então, provavelmente, o estudo das transformações geométricas fique para a quarta série ginasial. 309 O estudo das transformações é considerado de extrema importância por Sangiorgi, mas o fato do mesmo tê-lo colocado no apêndice de seu livro parece incoerente. Para Miorim (2005) “isso é um indicativo de que o autor não parece ter se sentido à vontade para incorporar as discussões mais teóricas acerca das transformações geométricas no corpo do texto”. Ficou evidenciada a preocupação com “rigor” e coma a utilização “apropriada” da linguagem matemática, dos termos técnicos, o que nos chama a atenção em relação a aprendizagem do aluno dessa época – “será que esses alunos aprendiam mesmo, ou será que se utilizavam apenas da memorização?”. Notamos que a abordagem dos conteúdos geométricos e os problemas propostos nessa obra seguem o Modelo Euclidianista, segundo os modelos teóricos abordados por Gascón (2001), em que evidenciamos o teoricismo e a utilização das técnicas apropriadas para determinada resolução, o tecnicismo. Após o período da Matemática Moderna, e devido às críticas que esse movimento recebeu, evidenciamos nas Propostas Curriculares, desenvolvidas no Estado de São Paulo, um trabalho mais focado na construção da aprendizagem por parte do aluno. Nessas Propostas vimos à utilização do “experimentalismo” na disciplina de Matemática, como o caso da utilização de dobraduras para “constatar” que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. 310 A linguagem utilizada pelos livros se aproximou da linguagem da faixa etária dos alunos a que o livro se destinava e a utilização de “imagens” também ficou mais evidenciada. Na coleção “A conquista da Matemática”, por nós analisada, evidenciamos que as orientações propostas pelo documento oficial, a Proposta Curricular, foram seguidas conforme o documento tratava. Em relação aos Modelos Teóricos, notamos uma perspectiva Quaseempirista, mas sem deixar a perspectiva Euclidianista. Como já citamos que a coleção “A conquista da Matemática” seguiu “fielmente” as orientações propostas no documento Proposta Curricular, encontramos os mesmos Modelos Teóricos mencionados anteriormente para essa coleção. A partir do final da década de noventa, constatamos uma considerável mudança em relação ao tratamento do tema de Geometria contido nos livros didáticos. Enquanto que nas coleções “Matemática – Curso Moderno” e “A conquista da Matemática” esse tema era tratado no final de cada volume, ou série, como um “compartimento” estanque dos outros conteúdos de Matemática, na coleção “Matemática para todos”, aqui analisada, esse conteúdo aparece no decorrer de cada série, sendo relacionado com os outros conteúdos dessa disciplina. Nessa coleção, “Matemática para todos”, percebemos que os conteúdos propostos são contextualizados, levando o aluno a refletir sobre cada tema, a 311 analisar e conjecturar suas idéias, tornando-se um agente ativo de sua aprendizagem. O conteúdo abordado nessa coleção segue as orientações propostas pelo documento oficial “Parâmetros Curriculares Nacionais”. Alias, segundo Pires (2000) foi a “primeira vez na história da educação brasileira, educadores de diversos níveis de ensino debateram e indicaram diretrizes curriculares comuns para o ensino fundamental no Brasil”. Para essa mesma pesquisadora, o “saber” (relacionado ao conceito matemático), o “saber fazer” (relacionado aos procedimentos) e o “saber ser” (relacionado às atitudes) estavam interligados nesta proposta. Nesse documento, o tema de Geometria ganha destaque, pois é considerado um assunto onde os alunos apresentam maior interesse. Perspectiva que também encontramos na coleção analisada. Tanto nos PCN quanto na coleção “Matemática para todos” verificamos uma abordagem em que os conteúdos são trabalhados de forma contextualizada e em que, a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, há uma proposta de ampliação desses conhecimentos por meio de intervenções apropriadas do professor. Por isso, identificamos, segundo Gascón (2001), uma perspectiva Construtivista. 312 Referências Bibliográficas ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 14724. Informação e documentação – Trabalhos Acadêmicos – Apresentação. Rio de Janeiro: ago.2002, 6 p. APOS, Arquivo Pessoal Osvaldo Sangiorgi. São Paulo: Programa de Estudos Pós-Graduados, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 2007 BORGES, R. A. S. A Matemática Moderna no Brasil: As primeiras Experiências e Propostas de seu Ensino. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Novembro de 2005. BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental; Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998. BÜRIGO, E. Z. Movimento da matemática moderna no Brasil: estudo da ação e do pensamento de educadores matemáticos nos anos 60. 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Livros Grátis ( http://www.livrosgratis.com.br ) Milhares de Livros para Download: Baixar livros de Administração Baixar livros de Agronomia Baixar livros de Arquitetura Baixar livros de Artes Baixar livros de Astronomia Baixar livros de Biologia Geral Baixar livros de Ciência da Computação Baixar livros de Ciência da Informação Baixar livros de Ciência Política Baixar livros de Ciências da Saúde Baixar livros de Comunicação Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE Baixar livros de Defesa civil Baixar livros de Direito Baixar livros de Direitos humanos Baixar livros de Economia Baixar livros de Economia Doméstica Baixar livros de Educação Baixar livros de Educação - Trânsito Baixar livros de Educação Física Baixar livros de Engenharia Aeroespacial Baixar livros de Farmácia Baixar livros de Filosofia Baixar livros de Física Baixar livros de Geociências Baixar livros de Geografia Baixar livros de História Baixar livros de Línguas Baixar livros de Literatura Baixar livros de Literatura de Cordel Baixar livros de Literatura Infantil Baixar livros de Matemática Baixar livros de Medicina Baixar livros de Medicina Veterinária Baixar livros de Meio Ambiente Baixar livros de Meteorologia Baixar Monografias e TCC Baixar livros Multidisciplinar Baixar livros de Música Baixar livros de Psicologia Baixar livros de Química Baixar livros de Saúde Coletiva Baixar livros de Serviço Social Baixar livros de Sociologia Baixar livros de Teologia Baixar livros de Trabalho Baixar livros de Turismo