MATEMÁTICA
FICHA INFORMATIVA
NOME: ___________________________________________
ANO: ____ TURMA: ____ N.º ____
SEQUÊNCIAS
SEQUÊNCIAS
“O João colecciona camisolas de futebol com uma característica especial.
Depois de um torneio de futebol pôs algumas das suas camisolas a secar no estendal
de sua casa.
Qual será o número da última camisola?”
Como facilmente verificamos o número de cada camisola resulta da adição do
anterior com duas unidades.
Repara:
2+2 = 4
4+2=6
6+2=8
8 + 2 = 10
2, 4, 6, 8, 10 é uma sequência de números.
Uma sequência de números é uma lista de números
normalmente relacionados entre si e escritos por uma certa ordem.
Cada número dessa lista designa-se por termo.
Uma das sequências mais conhecidas é a Sequência de Fibonacci.
“Um casal de coelhos adultos começa a procriar um mês apôs o seu nascimento.
Se admitirmos que em cada criação tem um
casal de coelhos, macho e fêmea, e a partir
desse momento todos os meses cada casal com
maturidade suficiente tem mais um casal de
coelhos, quantos coelhos haverá ao fim de um ano? (Considerando que os coelhos são
imortais.)
1.º mês → 1 casal
2.º mês → 1 casal
3.º mês → 2 casais
4.º mês → 3 casais
5.º mês → 5 casais
6.º mês → 8 casais
……
Repara que cada termo resulta da soma dos dois termos anteriores:
1+ 1 =
1+ 2 =
2+3 =
Assim temos:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Portanto ao fim de um ano existirão 288 coelhos.
Curiosidades:
• Existe uma planta de nome
Euphorbia que tem duas sépalas grandes,
três sépalas pequenas, cinco pétalas e oito
estames;
• Temos duas mãos, cada uma com
cinco dedos e cada dedo se divide em três
partes;
• O ananás tem oito diagonais num sentido e treze no outro sentido;
• As margaridas geralmente têm 21, 34 ou 55 pétalas.
TERMO GERAL DE UMA SEQUÊNCIA
Quantos termos tem uma sequência?
Quando se escrevem reticências a seguir ao último termo significa que a
sequência tem um número infinito de termos. Contudo, existem sequências com um
número finito de termos.
Sequência dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Sequência dos números naturais menores que 20: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 18, 19,
20
Será que é necessário conhecer todos os elementos de uma sequência para
saber se um determinado termo pertence à mesma?
Não precisamos. Assim, existem expressões que permitem conhecer melhor as
sequências.
“Observemos um automóvel.
Tem 4 rodas. 4 × 1 = 4 rodas;
2 automóveis, têm 4 × 2 = 8 rodas;
3 automóveis, têm 4 × 3 = 12 rodas;
4 automóveis, têm 4 × 4 = 16 rodas;
Então:
n automóveis, têm 4 × n = 4n rodas.
Assim, obtemos uma expressão representativa de todos os termos da sequência,
o termo geral:
4n
Tendo o termo geral da sequência torna-se muito fácil calcular qualquer termo,
seja qual for a sua ordem.
O termo geral de uma sequência é uma expressão analítica que
representa uma lei para se obter todos os seus elementos.
Exemplo 1:
Considera a seguinte sequência de números: 3, 7, 11, 15,…
Vamos descobrir a sua expressão geradora, ou seja, o termo geral da
sequência.
Repara que a diferença entre um número e o seu anterior é de 4 unidades,
então o termo geral será do tipo 4n + k , sendo k uma constante.
Assim se substituirmos o n por 1 no termo geral deveríamos obter o termo 3.
Temos que o termo geral é do tipo 4n + k , e como n = 1, vem que: 4 × 1+ k = 3 .
Facilmente verificamos que o k é igual a -1.
Assim podemos concluir que o termo geral da sequência é 4n − 1.
Exemplo 2:
Será que o número 346 pertence à sequência de termo geral 3n + 6 ?
Para verificarmos se o número pertence a uma sequência, basta igualar esse
número ao termo geral da mesma e comprovar se o resultado para o valor de n
pertence ao conjunto dos números naturais.
3n + 6 = 346 ⇔ 3n = 346 − 6
⇔ 3n = 340
⇔n=
340
3
⇔ n ≈ 113,3
Como o n não é um número natural, significa que o número 346 não pertence à
sequência 3n + 6 .