XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
ISSN 2177-9139
VALIDAÇÃO QUANTI-QUALITATIVA PARA UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE
ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL
Edcarlos Vasconcelos da Silva – [email protected]
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Santa Maria, RS, Brasil
Gabriela Granzotto Fillipin – [email protected]
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Santa Maria, RS, Brasil
Ângela Mallmann Wendt – [email protected]
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Santa Maria, RS, Brasil
Viviane de Senna – [email protected]
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Santa Maria, RS, Brasil
Sabrina Londero da Silva Rossato – [email protected]
Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, Santa Maria, RS, Brasil
Resumo. Este artigo apresenta os resultados de uma pesquisa realizada com uma turma de
alunos do 3º Ano do Ensino Médio, cujo objetivo foi de avaliar a eficiência de uma
metodologia de ensino de volume de sólidos geométricos a partir de materiais manipuláveis.
A metodologia consistiu em pesquisa de abordagem quanti-qualitaviva, com aplicação de
teste inicial, em seguida a aplicação da sequência didática e por fim aplicação de teste final
para comparação com o teste inicial. Entre os principais resultados, foi verificado pela
análise qualitativa que os alunos compreendem melhor os conceitos de volume e
procedimentos de cálculo quando utilizam os materiais manipuláveis. A análise quantitativa
foi feita com uso do teste estatístico não-paramétrico U de Mann-Whitney e revelou diferença
significativa entre as notas dos testes inicial e final, mostrando que a sequência didática é
eficiente.
Palavras Chaves: Ensino. Geometria Espacial. Sequência Didática. Volumes.
1 INTRODUÇÃO
No exercício da prática docente os professores de Matemática encontram algumas
barreiras no ensino de seus conteúdos que acabam de certa forma, contribuindo para levar o
aluno ao fracasso escolar. Tais barreiras estão associadas a diversos fatores como: formação
docente, estrutura das escolas, dificuldades naturais dos alunos com a Matemática, entre
outros.
Algumas barreiras no ensino que estão relacionadas às dificuldades naturais do aluno
podem ser remediadas com a simples elaboração de seqüências didáticas que possibilitem ao
164
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
aluno “enxergar” os mecanismos matemáticos para resolver determinado problema. Um
exemplo que representa essa situação é o uso de materiais manipuláveis para o ensino de
Geometria Espacial. O aluno compreende melhor os conceitos dos sólidos se puder manipular
os materiais.
No caso desta pesquisa, partiu-se do uso de materiais manipuláveis para o ensino de
volumes de sólidos geométricos regulares, no caso, prisma, cilindro e pirâmide. O problema
estabelecido para esta pesquisa foi o seguinte: a sequência didática de ensino de geometria
com uso de materiais manipuláveis é eficiente para o aprendizado de volumes de sólidos
geométricos?
Com base no problema, o objetivo de investigação foi “avaliar a eficiência de uma
metodologia de ensino de volume de sólidos geométricos a partir de materiais manipuláveis”.
O desenvolvimento da pesquisa será explicado nos tópicos seguintes a partir, inicialmente, de
uma breve exposição do referencial teórico pautado nas Orientações Curriculares Nacionais
(Brasil, 2006) e em pesquisas envolvendo materiais manipuláveis e, em seguida, a
apresentação da pesquisa e seus resultados.
2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL
A Geometria no Ensino Médio trata das formas planas e tridimensionais, seu ensino é
“essencial à descrição, à representação, à medida e ao dimensionamento de uma infinidade de
objetos e espaços na vida diária e nos sistemas produtivos e de serviços”, (Brasil, 2002),
sendo assim um conteúdo muito importante para que o aluno reflita sobre os significados
matemáticos e sua relação na vida cotidiana.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino da Matemática (Brasil, 2002)
argumentam ainda que o ensino de Geometria Espacial possui estreita relação com outras
áreas do conhecimento, assim, o desenvolvimento das habilidades de visualização, desenho e
argumentação lógica constituem em objetivos a serem atingidos com o ensino de Geometria,
possibilitando ao aluno ampliar o horizonte de conhecimento, aplicando tais habilidades não
somente no mundo da Matemática como também em outras áreas como a Física e a Química,
reconhecendo aplicações na vida real.
Entretanto, para que o professor consiga ter sucesso no trabalho com este conteúdo e
consiga desenvolver as habilidades de aprendizagem dos alunos, é necessário uso de recursos
auxiliares para reduzir as dificuldades de aprendizagem dos estudantes, pois, como se é
sabido, a Matemática é uma das disciplinas de maior retenção na Educação Básica, devido
suas próprias características de ser abstrata, fazendo com que o aluno não consiga estabelecer
relações em figuras tridimensionais, além da própria barreira que o professor encontra para
lecionar tal conteúdo por estar “preso” ao livro didático ou por não buscar metodologias
inovadoras.
Neste sentido e com vistas à redução do déficit de aprendizagem dos estudantes, um dos
primeiros caminhos a serem seguido pelo docente é o aporte de alguma teoria de ensino, entre
as quais, este artigo destaca aquela desenvolvida pelo casal Van Hiele para o ensino de
Geometria.
Segundo Rotti (2011) a fundamentação da Teoria de Van Hiele baseia-se na construção
de um modelo de pensamento que leva o aluno a assimilar os conceitos do objeto geométrico
em estudo. Para tanto, Rotti (2011) escreve que a teoria se desenvolve em cinco níveis quais
sejam:
165
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
1) Nível 0 – Visualização ou Reconhecimento: neste nível é trabalhado o vocabulário
geométrico dos objetos em estudo. O aluno reconhece os nomes das figuras (ou sólidos) por
meio de sua visão global do objeto.
2) Nível 1 – Análise: os estudantes analisam os objetos geométricos de forma informal,
reconhecem propriedades de cada objeto mas não relacionam propriedades a outros objetos
semelhantes.
3) Nível 2 – Dedução informal: neste nível os estudantes conseguem articular
propriedades dentro de um mesmo objeto e entre objetos diferentes, além de perceberem que
um propriedade pode ser explicada pela existência de outra. Conseguem verificar algumas
demonstrações embora ainda não sejam capazes de fazer provas com base em premissas
diferentes.
4) Nível 3 – Dedução formal: o aluno é capaz de executar demonstrações, deixando de ser
um mero memorizador de fórmulas. É um nível de excelência e requer domínio absoluto dos
níveis anteriores.
5) Nível 4 – Rigor: o aluno atinge o grau máximo de conhecimento geométrico, consegue
estabelecer teoremas em diversos grupos de objetos geométricos e demonstra-los. O aluno,
por este nível, também reconhece a existência das geometrias não-euclidianas que é uma
geometria não-usual no Ensino Médio mas que pode ser trabalhada em sala de aula pelo
professor.
A Teoria de Van Hiele possui aplicabilidade prática quando associada à alguma
metodologia de ensino que viabilize a aplicação dos níveis por ela estabelecida. Cabe frisar
também que, numa mesma sala de aula, o professor vai encontrar alunos que estão em níveis
diferentes, dificultando ainda mais o trabalho docente, mostrando que os desafios em sala de
aula vão muito além de cumprir algum programa em si, mas sim, dar sentido à Matemática do
Ensino Médio.
Para tanto, este artigo propõe como metodologia de ensino o uso de materiais
manipuláveis como recurso auxiliar para trabalhar volumes de sólidos geométricos regulares.
Os materiais manipuláveis são descritos no tópico a seguir.
3 OS MATERIAIS MANIPULÁVEIS E A GEOMETRIA ESPACIAL
3.1 Os materiais manipuláveis
Os materiais manipuláveis são definidos por Nacarato (2005) como os objetos que o
aluno é capaz de tocar, manipular e movimentar no dia-a-dia ou para representar uma ideia.
Como esses materiais fazem parte do mundo do aluno é válida a sua utilização para a
construção do conhecimento matemático com as intervenções do professor. O uso de
poliedros para o manuseio dos alunos facilita a visualização dos conceitos espaciais. No
entanto, apenas a manipulação de materiais não garante o sucesso no alcance dos objetivos da
atividade pedagógica planejada. Devem ser consideradas as vantagens e desvantagens desse
uso, citadas por Matos e Serrazina (1996).
Como vantagens têm-se: a possibilidade de construção das relações matemáticas; a
interação com o material possibilita ao aluno um momento de reflexão, formulação de
situações e questionamentos, bem como, a percepção de seus atributos no teste de algumas
propriedades; o material serve de ponto de apoio ao professor para a introdução de novos
conceitos e noções; e possibilita maior proximidade com a realidade permitindo a
compreensão dos problemas e suas soluções.
166
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
As desvantagens do uso de materiais, ainda conforme os mesmos autores: os alunos
podem não efetuar a relação da experiência com a matemática formal; o uso desse artifício
pode afastar as relações matemáticas da referência de material concreto tornando-o um
símbolo arbitrário; não há garantia de que o aluno irá perceber as relações sugeridas pelo
professor. Para evitar pequenos desvios da proposta é importante um planejamento e
mediação minuciosos por parte do professor.
Para Silva e Martins (2000) os materiais manipuláveis ajudam os alunos a fazerem a
passagem do concreto para a abstração, ou seja, um suporte físico para a aprendizagem. Por
isso, é relevante equipar as aulas com todo o tipo de material, seja adquirido comercialmente
ou produzido pelo próprio professor, desde que esteja adequado a resolução dos problemas e a
exploração das idéias de acordo com os conceitos matemáticos.
Para aulas de geometria espacial os sólidos de Platão oportunizam o acréscimo do lúdico
as aulas formais, tornando-as mais interessantes e desafiadoras. Aos professores, a
compreensão do conteúdo deverá ser a mais ampla possível para que a relação entre
aprendizagem e ensino seja a melhor possível.
3.2 Materiais manipuláveis no ensino de Geometria Espacial
A construção de materiais manipuláveis é viável devido a o baixo custo do material e a
facilidade na manipulação. Segundo Kaleff (2003) podem ser usados materiais como varetas
de madeira, arame, canudos plásticos coloridos, palitos de dente ou bolinhas de isopor para
construir um modelo esquelético. O modelo esquelético consiste em construir os sólidos
unindo apenas suas arestas, desta forma permite que o aluno observe todas as faces do
poliedro e ainda o que está oculto no interior das faces.
No modelo casca as figuras são montadas a partir de planificações, neste caso os sólidos
são geralmente construídos com cartão ou cartolina. Com esses sólidos o aluno tem, com
maior clareza, o número de faces, que é igual ao número de lados que podem ser tocados na
figura plana. Facilita a identificação das propriedades dos sólidos de Platão.
Outra maneira de construção dos poliedros é através de um tabuleiro de madeira contendo
pinos ou pregos. Neste tabuleiro podem ser construídos diversos formatos de planos com o
uso de barbantes coloridos. Ainda é possível, através do uso de dois tabuleiros e barbantes
organizar as mesmas figuras em geoplano espacial.
No caso da pesquisa que estamos ora apresentando, optou-se pelo modelo casca,
construído com papel paraná por ser mais resistente, maleável e de fácil montagem dos
sólidos.
4 METODOLOGIA DA PESQUISA
A pesquisa foi de abordagem quanti-qualitativa. O uso das duas abordagens se deu em
função de que foi preciso analisar de forma qualitativa a aprendizagem dos alunos com o uso
da metodologia de ensino de materiais manipuláveis, bem como analisar de forma
quantitativa os resultados dos testes inicial e final, comparando o desempenho dos alunos.
Para o tratamento dos dados coletados foi aplicado o teste não paramétrico chamado
Teste U de Mann-Whitney, por se tratar de duas amostras independentes e pequenas, e por
não exigir que os dados sigam uma distribuição de probabilidade normal. Este teste foi
utilizado para verificar se há ou não diferença significativa entre os grupos, ou seja, para
averiguar se a aplicação de materiais manipuláveis é ou não significativo na aprendizagem
167
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
dos alunos no estudo da geometria espacial. Aplicou-se o teste U de Mann-Whitney através
do software Statistica 9.0 e utilizando um nível de 5% de significância.
Para executar o teste estatístico seguiu-se a metodologia de Johson e Kuby (1999) com os
seguintes passos:
a) Estabelecer as hipóteses Ho e H1;
b) Determinar os escores de cada grupo de amostra;
c) Determinar U e U’ por meio das fórmulas com n1 e n2 amostras e R soma de postos;
𝑈 = 𝑛1 𝑛2 +
𝑛1 (𝑛1 + 1)
− 𝑅1
2
(1)
𝑈′ = 𝑛1 𝑛2 +
𝑛2 (𝑛2 + 1)
− 𝑅2
2
(2)
d) Encontrar a estatística do teste usando min(U, U’)
e) Aplicar a regra de decisão:
Se 𝑈𝑐𝑎𝑙𝑐 ≤ 𝑈𝑡𝑎𝑏 , rejeita-se a hipótese 𝐻0 .
4.1 População e amostra
A população de estudo constou de alunos do 3º ano do Ensino Médio da cidade de Santa
Maria. A amostra selecionada foi 1 turma de 14 alunos que cursam o 3º em um colégio
localizado na região central da cidade.
4.2 Procedimentos de Pesquisa
A pesquisa foi realizada na última semana de Setembro de 2014, com duração de 4 horasaulas, e feito em 2 encontros. No primeiro deles foi realizada a aplicação do teste inicial para
verificar o nível de conhecimentos dos alunos e teve duração de 01 hora-aula. No segundo
momento foi feito aplicação da sequência didática de ensino com materiais manipuláveis e
teve duração de 2 horas-aulas seguida da aplicação do teste final para verificação da
aprendizagem com 01 hora-aula.
Os dois testes, inicial e final constaram de questões sobre volume de Prismas, Pirâmides e
Cilindros e estavam em níveis semelhantes de elaboração.
Para a sequência didática foram solicitados aos alunos a formação de 5 grupos de 3
alunos. Como auxílio de um datashow os professores regentes da pesquisa fizeram exposição
de conteúdos relacionados aos sólidos: Prisma, Pirâmide e Cilindro. Em seguida cada grupo
recebeu um conjunto de sólidos que foram previamente construídos pelos professores
regentes da pesquisa. A figura 01 seguinte mostra os materiais utilizados na pesquisa.
168
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
Figura 01 – Materiais manipuláveis utilizado na sequência didática.
Fonte: Autores
Em seguida foram trabalhados nomenclaturas e elementos de cada sólido. O passo
seguinte foi a utilização de régua para fazer a medida dos elementos dos sólidos que são
básicos para o cálculo de volumes como arestas da base e altura. Os registros foram feitos em
uma folha de atividade.
Na sequência foi solicitado que os alunos calculassem os volumes dos sólidos e
registrassem também na folha de atividades. Os cálculos dos alunos foram verificados com
um medidor de volume (criado de forma manual pelos professores pesquisadores) que
consistia em colocar grãos de feijão em um cilindro plástico com uma escala graduada de 200
em 200 cm³ para se pudesse ter uma referência de volume.
Figura 02 – Medidor de volume para comprovação de cálculos teóricos.
Fonte: Autores
A última etapa da sequência didática foi a construção de sólidos com volume
determinado. Para o desenvolvimento desta atividade, os professores regentes solicitaram aos
grupos que planejassem e construíssem um Paralelepípedo cujo volume final fosse de 800
169
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
cm³, ao final da produção de cada grupo, o volume do sólido criado pelos grupos foi
comprovado pelo medidor de volume. Após a sequência didática foi aplicado o teste final.
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
5.1 Análise qualitativa
Foi observado que o uso dos materiais manipuláveis possibilita ao aluno o contato com o
objeto geométrico matemático. O contato com o objeto geométrico é fundamental para a
união entre teoria e prática. O desenvolvimento do conhecimento com suporte dos materiais
(objetos geométricos) torna o processo prático, onde o aluno deixa de ser um mero receptor de
conteúdo passando a ser construtor do próprio conhecimento. Na figura 03 tem-se uma
amostra da primeira atividade onde os alunos anotam as medidas dos elementos dos sólidos.
Figura 03 – Registros de um dos grupos com os valores dos elementos dos sólidos.
Fonte: Autores
Os alunos primeiramente mediram os elementos com uso da régua, a medida foi com
valores aproximados para as arestas das respectivas bases, bem como para o raio. No caso da
altura da Pirâmide, foi solicitado aos alunos que fizessem uso do teorema de Pitágoras para o
cálculo da altura deste sólido. Esta atividade representa os níveis 0 e 1 de Van Hiele descrito
por Ritter (2011) da Visualização e da Análise.
Em seguida os alunos foram orientados a procederem com os cálculos dos volumes dos
sólidos os quais haviam medido os valores de arestas e alturas. Os valores que os grupos
chegaram para os volumes, em cm³, foram os seguintes:
Grupo
01
02
03
04
05
Quadro 01 – Valores de volumes calculados pelos grupos
Sólido
Paralelepípedo
Cilindro
600
405
600
405
600
405
600
405
600
405
Fonte: Autores
Pirâmide
791,61
788,96
792
789
792,61
170
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
Nesta atividade observou-se que, para o cálculo do volume da Pirâmide houve
divergências, isso aconteceu em função de que, o cálculo anterior para a altura que envolveu o
Teorema de Pitágoras, chegou valores de altura diferentes, os alunos cometeram pequenos
equívocos de arredondamento, por isso não chegaram a valores comuns. O valor do volume
com a altura correta deveria ser de 792,61 que foi alcançado somente pelo grupo 05, o volume
da Pirâmide, para efeito de medição, foi arredondado para 800 cm³. De maneira geral, esta
atividade foi satisfatória, pois, todos os grupos calcularam os volumes solicitados.
Todos os valores de volumes foram comprovados via medidor de volume inserindo grãos
de feijão no medidor de acordo com o valor que se desejava e logo em seguida despejando o
volume de feijão do medidor no interior dos sólidos.
A última atividade desenvolvida foi a construção de um sólido Paralelepípedo cujo
volume fosse de 800 cm³. Os alunos conseguiram planejar e construir o sólido. A figura 04 a
seguir apresenta o planejamento de um dos grupos em relação ao sólido que iriam construir
Figura 04 – Planejamento de sólido de volume 800 dimensões 5 cm, 8 cm e 20 cm.
Fonte: Autores
Estabelecendo uma relação com os níveis de Van Hiele pode-se verificar que esta etapa
está associada ao nível 2 da dedução informal tendo em vista que os alunos “conseguem
verificar algumas demonstrações embora ainda não sejam capazes de fazer provas com base
em premissas diferentes”. (RITTER, 2011, p. 30)
A estratégia do uso de materiais manipuláveis permitiu aos alunos colocar em prática o
planejamento feito na atividade registrada pela figura 04, ou seja, o aluno passa a ter contato
com o concreto verificando que as medidas por eles estabelecidas realmente conferem com o
volume desejado.
Verifica-se que o trabalho com materiais manipuláveis são fatores positivos para a
contribuição do aprendizado dos alunos. Resultados semelhantes são relatados por Nunes e
Silva (2011) que trabalharam a construção de sólidos geométricos com uso desses materiais,
os autores desenvolveram o estudo com dois grupos, o controle e o experimental e
verificaram que, o grupo experimental que atuou com os materiais obtiveram uma evolução
de aprendizagem superior ao grupo controle que não usou os materiais, “como podemos
171
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
observar o grupo experimental teve um aproveitamento melhor do que o grupo controle,
ficando assim comprovado que a utilização de materiais didáticos alternativos é de grande
valia para a aprendizagem da geometria espacial” (NUNES; SILVA, 2011, p. 09)
5.1 Análise quantitativa
As hipóteses do teste, com nível de significância de 5%, foram as seguintes:
𝐻 : 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
{ 0
𝐻1 : 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠
Os testes inicial e final foram colocados na tabela 01 com os resumos dos escores por
aluno e com os cálculos dos respectivos escores por postos:
Notas antes
55,55
77,78
88,89
88,89
88,89
55,55
88,89
66,67
33,33
88,89
33,33
88,89
88,89
88,89
Tabela 01 – Escores por aluno nos testes inicial e final
Notas depois
Escores antes
Escores depois
100
3,5
22,5
100
7
22,5
100
12,5
22,5
100
12,5
22,5
100
12,5
22,5
100
3,5
22,5
100
12,5
22,5
100
6
22,5
100
1,5
22,5
100
12,5
22,5
100
1,5
22,5
60
12,5
5
80
12,5
8
100
12,5
22,5
Fonte: Autores
Os valores encontrados para U e U’ foram respectivamente 178 e 18. Como a
metodologia deste teste orienta a usar o menor valor, então se usou o valor 18 para analisar a
significância. Como 9 ≤ 𝑛2 ≤ 20 , ou seja, 𝑛2 = 14 , utiliza-se a tabela com valores críticos
de U apresentada por Johnson e Kuby (1999) para encontrar o valor de U tabelado.
Consultando a tabela, esse valor foi de Utab = 55. A decisão diz que se Ucalc ≤ Utab, devemos
rejeitar a hipótese Ho. Verifica-se que 18 é menor que 55 logo rejeitamos a hipótese Ho,
concluindo que há diferença significativa entre as notas antes e depois da aplicação da oficina
de Geometria Espacial com materiais manipuláveis.
172
XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul
Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 13-16 nov. 2014.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com este trabalho verificamos que o uso de materiais manipuláveis para o ensino de
Geometria Espacial contribui de forma significativa para o aprendizado dos alunos. A
diferença de notas foi confirmada pelo teste estatístico e mostra que há maior aprendizado
quando o aluno trabalha com material concreto em sala de aula.
Assim, este estudo que teve por objetivo avaliar a eficiência de uma metodologia de
ensino de volume de sólidos geométricos a partir de materiais manipuláveis, teve seu objetivo
alcançado, uma vez que se pode avaliar a metodologia com o apoio das duas abordagens, a
qualitativa e a quantitativa.
Neste sentido, esperamos ter dado nossa contribuição ao conhecimento e desejamos que
professores e futuros professores possam tomar essa idéia para aumentar o leque de
possibilidades de sua aula.
7 REFERÊNCIAS
BRASIL. Orientações Curriculares Para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias. – Brasília: MEC, vol 2. 2006
______. PCN+ Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. –
Brasília: MEC. 2002
JOHNSON, Robert; KUBY, Patricia. Elementary statistics. Eighth edition. Duxbury,
USA. 1999
KALEFF, Ana Maria M.R. Vendo e Entendendo e Entendendo poliedros: do desenho ao
cálculo do volume através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos.
Niterói. Ed. UFF, 2003.
MATOS, José M.; SERRAZINA, Maria de Lurdes. Didáctica da Matemática. Lisboa. Ed.
Universidade Aberta, 1996.
NACARATO, Adair Mendes. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação
Matemática, Ano 9, no. 9-10. São Paulo. Ed. SBE, 2005.
RITTER, A. M. A visualização no ensino de Geometria Espacial: possibilidades com o
software Calques 3D. Dissertação (Mestrado). 2011. Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 143 p., 2011. Disponível em:
<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/32385/000786641.pdf?...1> Acesso em:
11.09.14.
SILVA, A.; MARTINS, S.. Falar de Matemática hoje é .... Millenium – Revista do ISPV: n.
20, 2000. Disponível em: http://www.ipv.pt/millenium/20_ect5.htm. Acesso em: 11.09.14.
173