Matemática e Física
Prof.: Fábio Miranda
Contato: [email protected]
1) Provar que a função f(x) = 2x + cosx é bijetora. Sabe-se que seu domínio e seu contra-domínio são os reais.
2) (Putnam) Encontre o menor valor que a função

9
f ( x, y ) = ( x − y ) +  2 − x 2 − 
y

2
2
pode assumir para 0 < x <
2 e y > 0.
3) (IME) Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Provar que dois
números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se, e somente se,
_
_
Z1Z2 + Z1Z2 = 0
4) (IME) Resolva a equação
5 − 5 − x = x , sabendo-se que x > 0.
5) Um menino gira uma pedra em uma circunferência localizada em um plano horizontal a 2,0 m acima do solo, por meio de um
fio de 1,5 m de comprimento. Suponha que o fio arrebente, e a pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10 m de
distância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava em movimento circular uniforme?
6) (ITA) Na figura temos uma bomba de bicicleta, com que se pretende encher uma câmera de ar de volume V. A e B são válvulas
que impedem a passagem do ar em sentido inverso. A operação se faz isotermicamente e o volume da bomba descomprimida (à
pressão atmosférica P0) é V0. Inicialmente a câmera está completamente vazia. Após N compressões da bomba, a pressão na
câmera será:
a) P
0
1+ N V
V0
N P0
N P0 V
c)
V0
N P0 V0
d)
V
N P0 V + V0
e)
V0
b)
7) Um pequeno corpo desliza com velocidade v = 10 m/s por um plano horizontal aproximando-se de um buraco. O buraco é
formado por duas paredes verticais paralelas, situadas a d = 5 cm entre si. A velocidade v do corpo é perpendicular às paredes. A
profundidade do buraco é H = 1 m. Quantas vezes o corpo se chocará com as paredes antes de bater no fundo? Supor que todos
os choques são perfeitamente elásticos.
v
H
d
8) Considere infinitos balões interligados por tubos de volumes desprezíveis providos de torneira, todos a uma mesma
temperatura que permanece constante durante todo o experimento.
- No 1º balão, de 9,0 L, há gás a uma pressão de 8,0 atm.
- No 2º e 3º balões, cada qual de 3,0 L, há o mesmo gás a uma presão de 4,0 atm.
- No 4º, 5º e 6º balões, cada qual de 1,0 L, ha o mesmo gás a uma pressão de 2,0 atm, e assim por diante até o "infinitésimo"
balão.
Pergunta-se:
a) Quando forem abertas as infinitas torneiras, qual será a pressão final?
b) Se o gás a que se refere o problema for oxigênio, e a massa total deste gás nos infinitos balões for de 160 g, qual será o valor
da temperatura (que foi mantida constante) do oxigênio gasoso nos balões, em ºC?
GABARITO:
2) 8
4) x = [√(21) – 1]/2
5) 162,2 m/s
6) D
7) 89
8) a) 5,12 atm
b) 252,9 K