3 Método das Forças - Problemas
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3 Método das Forças - Problemas
Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuição do esforço
transverso, excepto quando expressamente indicado.
Problema 3.1 Determine, pelo Método das Forças, os diagramas de esforços
na estrutura indicada. Despreze a deformabilidade das barras por esforço
transverso. Considere EA = 3.6 × 106 kN e EI = 48 × 103 kNm2 .
16 kN
10 kN/m
C
E
D
3m
A
2m
B
4m
2m
Problema 3.2 Recorrendo ao Método das Forças calcule a rotação relativa
em C para o carregamento indicado na figura. Admita que é desprezável a
deformabilidade axial das barras e que todas as barras têm a mesma inércia à
flexão EI = 105 kNm2 .
5 kN
5 kN
10 kNm
C
10 kNm
D
4 kN/m
4m
A
3m
1m
2m
1m
3m
B
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Problema 3.3 Considere a estrutura representada na figura em que a rigidez à
flexão, EI, é constante para todas as barras excepto a da barra CD de rigidez
infinita. Para as deformações axiais adopte a rigidez EA = 10EI. Recorrendo
ao Método das Forças determine a distribuição de esforços devido a acção isolada
de cada uma das solicitações indicadas:
3m
10 kN
C
D
4m
B
5 kN/m
A
a) solicitação representada na figura;
b) variação da temperatura na barra CD constante na altura da barra e
com variação linear ao longo do eixo da barra, sendo o valor máximo
em tC = +10◦ C e tD = 0◦ C. Adopte um coeficiente de dilatação
térmica α = 10−5 /◦ C.
c) assentamento vertical (para baixo) no apoio A de 5 cm.
Problema 3.4 Considere a estrutura representada na figura. Aplicando o
Método das Forças determine os diagramas de esforços. Todas as barras têm
a mesma inércia à flexão EI = 4.0 × 102 kNm2 e k = 5 EI kNm. Considere
apenas as deformações por flexão.
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F
G
3m
8 kN/m
8 kN/m
C
E
D
3m
k
A
B
3m
3m
Problema 3.5 Considera a estrutura representada na figura, em que todas as
barras têm as mesmas características: secção rectangular de 0.4 m de altura,
inércia à flexão EI e deformação axial EA = 10EI constantes.
D
C
3m
20 kN/m
A
B
3m
Determine:
a) os diagramas de esforços e o deslocamento do nó C para o carregamento
representado.
b) os diagramas de esforços para uma variação de temperatura uniforme
ao longo da barra CD e variação linear na secção sendo a temperatura
interior ti = −10◦ C e exterior te = +5◦ C. Adopte um coeficiente de
dilatação térmica α = 10−5 /C.
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Problemas Propostos - Método das Forças
Problema 3.6 Considere a estrutura representadas na figura:
1
0
0
1
0
1
a) 20 kN/m
11
00
00
11
A
C
B
c) θ = 2◦
EI = const.
AC axialmente indeformavel
I/A = 0.1 m2
D
4m
11
00
b) ∆ = 3 cm
4m
3m
Determine a distribuição de esforços na estrutura e o deslocamento do ponto B
devido a:
a) uma carga uniformemente distribuída p = 20 kN/m;
b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm.
b) uma rotação de θ = 2◦ em C representada na figura.
Problema 3.7 Considere a estrutura representada na figura:
B
10 kN/m
A
30◦
4m
k
6m
D
C
2
ABC: EI = EI0 kNm
EA → ∞
α = 10−5 ◦ /C
h = 0.2 m
BD: EA = 10EI0 kN
k = 4EI0 kN/m
Secção B:
◦
tB
em = −20 C
0.20 m
+
◦
tB
im = +20 C
3m
Determine a distribuição dos esforços na estrutura devido ao momento aplicado
no nó B e a variação de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixo
da barra e diferencial na altura da secção com valor máximo na secção B de
ti = +20◦ C e te = −20◦ C (como mostra na figura).
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Problema 3.8 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuição
de esforços na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotação em D
devido a:
C
b) ∆ = 5 cm
4m
C
A
B
30◦
EI0 = const.
AC,BC: EA → ∞
BD: A = 10I0 m2
α = 10−5 /◦ C
4m
D
4m
2m
2m
a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na secção de
+20◦ C nas barras BC e BD e variação uniforme ao longo da barra e
diferencial na secção da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30◦ C na fibra
superior e de −30◦ C na fibra inferior;
b) um assentamento vertical de ∆ = 5 cm no apoio C;
Problema 3.9 Para a estrutura e acção representadas na figura, determine a
distribuição de esforços e trace a deformada aproximada:
10 kN/m
B
D
C
4m
11
00
00
11
A
20 kN
11
00
EI = const.
EA = const.
I/A = 0.1 m2
4m
1m 1m
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Problema 3.10 Para a estrutura e acção representadas na figura, determine:
01
10
10
0010
11
0010
11
00
11
A
EA = 4EI0
EI0
C
k = EI0
B
3m
D
EI0
50 kN
10 kN/m
2m
2m
4m
a) a distribuição de esforços em todas as barras.
b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotação em A.
Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmente
indeformável.
Problema 3.11 Considere a estrutura representadas na figura:
a) p
0110
10
AB: EI = 4EI0 kNm2
EA = ∞
B
BC: EI = 2EI0 kNm2
EA = 30EI0 kN
A
3m
α = 10−5 ◦ /C
b) +20◦ C
C
3m
111
000
+
c) ∆ = 6 cm
0.30 m
Determine a distribuição de esforços na estrutura e os deslocamentos do ponto B
devido a:
a) uma carga uniformemente distribuída p = 20 kN/m;
b) uma variação de temperatura na barra AB, constante ao longo do eixo da
barra e com variação linear na altura da barra, representada na figura b)
c) assentamento vertical no apoio C de 6 cm.
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Problema 3.12 A viga do caminho de rolamento de uma grua de um cais
marítimo é construída por vários troços de 4 tramos apoiados em 5 estacas
de betão trabalhando por resistência de ponta. Utilizando o modelo de
cálculo representada na figura e considerando um carregamento uniformemente
distribuído nos 2 tramos centrais, determine os esforços finais na estrutura.
200 kN/m
A
EI
E
D
C
B
E = 30.5 GPa
I = 25 × 106 cm4
k = 16 × 105 N/cm
k
8m
8m
8m
8m
a) Resolver o problema tomando em conta a simetria;
b) Resolver o mesmo problema substituindo as molas por 4 apoios simples e
um apoio fixo e comparar os resultados;
c) Nas condições da alínea a) qual é o deslocamento do ponto C?
Problema 3.13 Considere o pórtico representada na figura:
ABCDE: EI = const kNm2
EA = ∞
α = 10−5 ◦ /C
h = 0.40 m
C
2m
D
B
BD: EA = 10EI kN
4m
111
000
000
111
c) 2∆
111
000
A
3m
E
a) BC: 2∆◦ C
+
b) 2∆
5m
5m
0.40 m
3m
Determine os diagramas de esforços na estrutura devido:
a) a uma variação da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo da
barra e variação linear na altura da secção como mostra na figura a)
b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a 2∆, figura b);
c) a um assentamento do apoio E vertical igual a 2∆, figura c)
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Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria.
Problema 3.14 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representada
na figura:
E1 I1
E 2 A2
= 2 m2
E2 A2
16 m
100 kN/m
12 m
111
000
000
111
12 m
E1 I1
12 m
8m
12 m
Admita que os cabos estão pré-esforçados com um valor suficiente, de modo que
o seu esforço total nunca seja de compressão. Admita ainda que é desprezável a
deformabilidade axial do tabuleiro e da torre.
a) Determine a parcela simétrica e anti-simétrica do carregamento
b) Trace os diagramas de momento flector e de esforço axial para a parcela
anti-simétrica do carregamento indicado.